2023-2024學年上海市楊浦高一下冊開學考試數學試題

一、填空題

1.已知LG,9成等比數列，則等比中項G=.

【正確答案】±3

【分析】根據等比中項得到G?=1x9,解得答案.

【詳解】已知LG9成等比數列，則G?=1x9,G=±3.

故土3

2.函數/（x）=",xe[-l,l]的值域為.（結果用區間表示）

【正確答案】pl

【分析】x∈[-l,l],貝得到f（x）=",xe[-l,l]的值域.

【詳解】xe[-U],則f+l∈[l,2],故/（可=”,》W一1,1]的值域為?1

故J」

3.己知等差數列｛%｝的前〃項和為S,,,如果S,,=",則公差4=.

【正確答案】2

【分析】由等差數列的求和公式可得出關于公差d的等式，解之即可.

【詳解】根據題意，由等差數列的求和公式，

可得Sn=nai+"("2"=3"°+(4-'

故答案為.2

4.己知等腰三角形的周長為1,把該三角形腰長y表示為底邊長X的函數，則該函數為

N=.（要求：寫出解析式和自變量的取值范圍）

【正確答案】y=?[o<x<；）

【分析】根據題意x+2y=l,0<x<∣,得到函數關系式.

【詳解】根據題意：x+2y=l,2y>x,故O<x<g,則函數為y=與［θ<x<∕.

故y=?(0<x<5

5.己知等比數列｛叫的前〃項和為S,,,若可=(￡)，則!吧S,=.

【正確答案】1

【分析】由等比數列求和公式得出S“，再求極限.

ιf-∩1

【詳解】由題意可知，%=(應=(ι，S—I1(2〃1.

22

112"

2

Iim5.=Iim(I-±)=1

Λ→∞n->∞2

故1

6.利用二分法計算函數/(x)=Inr-X+7在區間(9,10)的零點，第一次操作后確認在(9,9.5)

內有零點，那么第二次操作后確認在區間內有零點.

【正確答案】(9,9.25)

【分析】利用二分法的定義即可求解.

【詳解】由題意可知，取區間(9,9.5)的中點芭=上O∣5Q2S=9.25,

/(9)=ln9-9+7=ln9-2≈0.20>0,

/(9.25)=ln9.25-9.25+7=ln9.25-2.25≈-0.03<O,

所以/(9)X"9?25)<0,

所以第二次操作后確認在區間(9,9.25)內有零點.

故答案為.(9,9.25)

7.已知函數y=∕(x),xe［-2,2］是在定義域［-2,2］上嚴格增的奇函數，若

22

/(β+2fl-3)+∕(2-2a)<0,則實數。的取值范圍是.

【正確答案】［夜一1,1)(∣,√2］

—2≤+2α—3≤2

【分析】根據定義域、奇偶性和單調性得到-2≤2-2a2≤2,解不等式組即可得到。

+2。-3<-2+2。"

的取值范圍.

【詳解】函數)，=/(力/?-2,2]是在定義域[-2,2]上嚴格增的奇函數，

/(a2+2α-3)+/(2-2叫<0,gp/(?+2tz-3)<∕(-2+2α2),

-2<a2+2a-3<2

所以.-2≤2-2a2≤2,解得xe[√∑-1,1)(1,0].

cι~+2a-3<-2+2。2

故(1典

8.等差數列｛/｝的前"項和為S,,,若％=9,R=36,則當5“取到最大值時〃=,

【正確答案】6

【分析】由∕=9,59=36得出4=-34=14,再由求和公式結合二次函數的性質求解即可.

q+2d=9解得d=-∣,q=14.

【詳解】由

9q+36d=36

ππɑn(n-Y).5961

即Sn=na,H----------d=——n~÷——n

n1244

61

因為函數y=-3∕+"χ的對稱軸為X=-—J=6.1.

44-2χ≡

4

故當”=6時，S,,取到最大值.

故6

9.已知函數〃力=若∣∕(x)∣2”則。的取值范圍是.

【正確答案】-2,0]

【分析】分x>0,X=O和x<0三種情況進行討論，在計算過程中可通過去掉絕對值進行運

算，即可得到答案

【詳解】當x>0時，?I/(x)∣>ax,得∣∕(x)∣-αr≥0,即IIn(X+l)∣-or≥O,

因為當x>0時，In(X+l)>0,所以In(X+1)—Or≥0,

則In(X+1)≥αr=x+1≥e"=e"?e*在(O,+8)上恒成立,

當α>O,由于指數函數y=e,的增長速率遠遠比一次函數y=χ+i要快,

所以易得X+1≥e"=e"?ev在(0,+∞)上不恒成立，舍去,

當α≤0,ln(x+l)>O,αx≤O,故In(X+l)≥αr在(0,+s)上恒成立;

當x=0時，∣∕(0)∣"*0恒成立;

當x<0時，由∣∕(x)∣20r,得四?≤.,即巨必≤tj,化簡得Tx-2∣≤α,即x—2≤α,

xX

而x-2<-2,故“≥-2,

綜上可得—2≤α≤0,

故答案為.[-2,0]

4+l,"=2,4,6,8,

2若4=得，貝1〃=

10.已知數列｛4｝滿足：at=?,a,l

-----=3,5,7,9,

%

【正確答案】238

【分析】根據數列｛4｝的遞推公式，分析可知，當”為偶數時，??>I,當為奇數時,

I?n

4=—J。』)，則女為偶數，由％=蚤往回推，然后根據4=1以及｛4｝的遞推公式逐項

?9

遞推可得出女的值.

【詳解】由題設知，βπ>θ(n∈N-),又因為q=l,且當"為偶數時，an>?,

當為奇數時，?=-≡(θ>1),

an-?

因為4=蚤30>1,所以，女為偶數，

由a=理往回推可得把→U→2→色→U→3→g→2→2→3f,→2→ι,

“19191911118833322

132583

即4=lnα?=2=/=7=%=}n%=^=64=;=428=[=%9=[

ZZ?J?o

118191130

=陽=W=。59=??=418=??n419=歷n出38二歷?

因此，2=238.

故答案為.238

關鍵點點睛：解本題的關鍵在于根據數列的遞推公式進行逆向推導，確定數列的值取目標值

時的推導過程，然后逐項推導可得出的值.

二、單選題

11.若國表示不大于X的最大整數，則函數“χ)=χ-[χ]-g的零點個數是()

A.O個B.1個C.2個D.無數個

【正確答案】D

【分析】取x=%+g,JleZ,[Λ]=Λ,J?時“x)=k+g-"1=0,得到答案.

【詳解】取X=&+；,左eZ,則[x]=3此時〃X)=X-[x]-；=左+g-Z-J=O,

即函數"x)=x-[x]-g的零點是k+g,ZeZ,有無數個.

故選：D

12.用數學歸納法證明：/+2?++/++22+產=必T刊("為正整數)從k至IJZ+1

3

時，等式左邊需增加的代數式是()

A.k2+(k+↑)2B.k2+(k+?)2+k2

C.(k+1)2D.2?+l

【正確答案】A

【分析】取〃=%+1和〃=A帶入左式相減得到答案.

【詳解】等式左邊需增加的代數式是：

[l2+22++k2+(k+↑)2+k2++22+l2]-(l2+22++k2++22+l2)

=k2+(?+l)2.

故選：A

13.已知y=∕(x)是定義在[3,4]上的嚴格減函數，若/⑶=2,/(4)=0,那么其反函數

丫=尸(力是()

A.定義在[0,2]上的嚴格增函數B.定義在[0,2]上的嚴格減函數

C.定義在［3,4］上的嚴格增函數D.定義在［3,4］上的嚴格減函數

【正確答案】B

【分析】求出函數y=∕τ(χ)的定義域，利用函數與其反函數單調性相同可得出結論.

【詳解】因為y="x)是定義在［3,4］上的嚴格減函數，若〃3)=2,/(4)=0,

則當3≤x≤4時,0≤∕(x)≤2,

因為函數y=∕(χ)在定義域［3,4］上的單調性與其反函數》=尸(力在定義域［0,2］上的單調

性相同，

故函數y=尸(X)是定義在［0,2］上的嚴格減函數.

故選：B.

14.定義在正整數集上的函數/(x)=kT∣+2∣x-2∣++10OkTooI,其最小值是()

A.99010B.99050C.99080D.99160

【正確答案】C

【分析】計算出“X)的解析式中絕對值的個數，利用倒序相加法可知在2∕(x)中，最中間

的兩項為|x-71∣+∣x-71∣和卜-71∣+∣x-71∣,利用絕對值三角不等式可知,當x=71時,f(x)

取最小值，然后計算出了(71)即可.

【詳解】因為函數/(x)的解析式中絕對值的個數為1+2+3++IO。=>。"I(X))=5050,

設α≥b,貝ιj∣x-a∣+∣x?-M≥Kx-a)—(x—〃)］="一6,當且僅當b≤x≤α時，等號成立，

/(x)=∣x-l∣+2∣x-2∣++l(X)∣.r-l(X)∣,①

/(x)=100∣x-10(^+99∣x-99∣+∣x-l∣,(2)

①+②可得

2/(X)=Qx-1∣÷∣%-1OθQ+QΛ-2∣+∣x-10θQ+Qx-2∣+|x—ιooQ÷+Qx-1(X)∣+∣Λ-1Q,

~,d(l+70)×705050

因l為1+2++70=i-------——=2485<2525=——，

22

,Cr,(∣+71)×71CcU5050

1+2++71=------------=2556>2525=-------,

22

所以，在2"x)中，最中間的兩項為k-71∣+∣x-71∣和以一71|+卜一71|,

所以，由絕對值三角不等式可得2∕(x)≥(100T)+(100-2)+(100—2)++(100-1)

當且僅當x=71時，等號成立，

所以，/(χ)nιjn=∕(7l)=l×(71-l)+2×(71-2)++71×(71-71)++1∞(∣OO-71)

=(1+2++70)×71-(l2+22++7O2)+(722+732++1002)-(72+73++1∞)×71

=17649035-116795+216514-177074=99080.

故選：C.

關鍵點點睛：解本題的關鍵在于將絕對值兩兩配對，確定最中間兩項，結合絕對值三角不等

式求解.

三、解答題

15.已知函數/(x)=∣∣XT-Ix∈[0,2].

I一∣,O≤Λ≤I

(1)請用分段表示法把該函數寫為/(x)=M[<<2的形式;

(2)畫出“x)的大致圖象并寫出的單調區間.

/?fx,O≤x≤1

【正確答案】⑴"X=’.

[2-x,ι<x≤2

(2)作圖見解析，函數/(x)的增區間為[05，減區間為[1，2]

【分析】(1)分()≤χ≤i?lvx≤2兩種情況化簡函數/(χ)的解析式即可;

(2)根據(1)中函數/(x)的解析式可作出函數/(x)的圖象，利用函數“X)的圖象可寫

出函數/(x)的增區間和減區間.

【詳解】(1)解：當O≤x≤l時，/(x)=∣∣x-?I-1|=|(1-X)-1∣=∣-x∣=X,

當1<%≤2時，/(χ)=∣∣χ-l∣-l∣≈∣(χ-l)-l∣=∣χ-2∣=2-x,

X,0≤Λ≤1

所以，〃X)=

2-%,1<X≤2

(2)解：作出函數f(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數/(X)的增區間為[0,1],減區間為[1,2].

7

16.已知數列｛%｝滿足.q《,a”=3q,τ-l("≥2)

(1)求證：數列是等比數"J;

(2)求數列｛q｝的通項公式及其前"項和SB的表達式.

【正確答案】(1)證明見解析;

C、,∣1C3,,^l—3+H

⑵4=a3"+5,S,,=--

【分析】(1)由等比數列的定義證明即可；

(2)由(1)得出數列｛α,,｝的通項公式，再由等差和等比的求和公式計算S”.

【詳解】(1)由題意可知《川=3α,,-l,"≥l,

121l1、

?÷1-23β-?-1^23(/-5)

Γ=Γ^=r=3

a"~2a',~2a"~2

所以數列是以3為首項，公比為3的等比數列.

(2)由(1)可知，可一；=3"，即/=3"+；

NTF；工∏o3(1—3")n3π+l—3÷H

刖〃FI項和S〃=-^-------+-=--------------.

〃1-322

17.己知α∈R,函數/(x)=gW+?L,x∈(-oo,0)u(0,+oo).

⑴判斷〃x)的奇偶性，并證明你的判斷;

(2)當α≥;時，判斷了(x)在區間［l,+∞)上的單調性并證明你的判定.

【正確答案】(1)當"=O時/(x)為奇函數；當α≠0時/(x)為非奇非偶函數；證明見解析:

(2)嚴格增函數，證明見解析；

【分析】(1)判斷出當a=0時/(x)為奇函數；當“片0時/(x)為非奇非偶函數，然后利用

函數奇偶性的定義可證得結論成立；

(2)判斷出當aS；時，/(x)在區間［l,+∞)上為增函數，然后任取4、Λ2∈［1,E)且%＞々，

作差∕α)-∕(w),因式分解并判斷了(內)-/(々)的符號，結合函數單調性的定義可得出結

論.

【詳解】(1)解：當α=0時“X)為奇函數；當QWO時/(九)為非奇非偶函數，證明如下：

當Q=O時，/(?)??,X∈(→O,0)u(0,-HX＞),

/(T)=-J=-“X)，此時函數/(x)為奇函數；

當ɑwθ時，f{x}=ax2+?,x∈(-∞,0)u(0,+oo),

對任意的XWo,〃T)=G2-J則/(T)Ky(力，/(-x)≠-∕(x).

此時函數/(χ)為非奇非偶函數.

綜上所述，當。=0時/(X)為奇函數；當αN0時/(X)為非奇非偶函數,

(2)解：當α≥y時，“X)在區間［1,小)上為增函數，證明如下:

任取巧、X2e［l,W)且不＞x?，

1ɑr?+?=d(x-x)(x+x)-X-X2

/(?X)-∕(?)=竭+—12121

lxxXX

J2712

[OXIΛ2(X1+X2)-1](X1-X2)

一，

X1X2

a≥

因為X∣>X2≥1,^^^則XIX2>1，x∣+Z>2,所以，x1-Λ2>0,

所以，64X1?(Λ?+Λ2)>1,則/(χ)-∕(w)>O,即/(%)>/(%)，

所以，當“≥J時，函數f(χ)在[l,+∞)上為增函數.

18.某市環保部門對市中心每天的環境污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合污染

Y3

指數/(X)與時刻X(時)的關系為“X)=百寸-α+2α+"xe[θ,24),其中。是與氣象

有關的參數，且“eθ-?.若用每天/(x)的最大值為當天的綜合污染指數，并記作M(4).

(1)令Xe[0,24),求/的取值范圍；

X2+1l

(2)求"(a)的表達式，并規定當M(a)<2時為綜合污染指數不超標，求當。在什么范圍

內時，該市市中心的綜合污染指數不超標.

【正確答案】⑴0；；(2)答案見解析，θ?

1

【分析】(1)當X=O時，得到f=0；當()<x<24時，'=一Γ,利用對勾函數性質可求得

%+—

X

fe[0,]>取并集得到結果；

3

3。一/+—,O≤f≤a

4],得到的單調性

(2)由(1)可將f(x)化為g(r)="4+2”-9=3g(f)

r+4+—,a<t≤-

[42

后，可知最大值在f=0或，=g處取得；分別壬三0≤4≤J和;兩種情況下確定g(∕)的

最大值，即M(α),由M(α)≤2得到不等式，解不等式求得結果.

【詳解】(1)當X=O時，t=0

當0<x<24時，-1

X+—

X

x+-≥2(當且僅當x=L,即x=l時取等號)，又x→0時，x+'→+oo

XXX

te,

:.^+?∈[2,÷∞)~χ+^V2

X

綜上所述：止o?

X1

(2)由(1)知：令f=-—,貝IJrW0,-,

r1+1L2_

3

3。一/+—,0≤f≤α

當〃￡時,3

0,1f(x)=g(t)=?t-a?+2a+^=?4

3,1

l+αH—,α<f≤—

42

當/w[0,α]時，g(f)單調遞減：r∈[,g時，g(∕)單調遞增

又g(0)=3α+[,g(g)=α+∣飛(0)-8出=2"3

①當O≤α≤;時，2α-g≤O.1M(〃)=g(；)="+：

3「廠

由M(z4)≤2得：a≤-???α∈0,-

1113

②當W<α≤∕時，2a-->0.?,M(tz)=^(0)=3a+-

由M(α)≤2得：a<-^

綜上所述：當a?0,得時，綜合污染指數不超標

本題主要考查了利用給定函數模型求解實際問題，涉及到函數值域的求解、根據函數性質求

解不等式等知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

19.數列｛/｝中,已知4=1,%=。，。,用=%(q+。“+2)對任意〃€曠都成立，數列｛4｝的前“

項和為S,,.

(1)若a=5,%=g,求數列｛《,｝的通項公式；

(2)若“=1,&=-[,求S2023的值；

(3)是否存在實數。和3使數列｛q｝是公比不為1的等比數列,且任意相鄰三項4“，4,用，??,+2

按某順序排列后成等差數列？若存在，求出所有實數。和k的值；若不存在，請說明理由.

【正確答案】(l)%=4"-3;

(2)-2021；