2023-2024學年四HI省眉山高二下冊開學測試文科數學試卷

一、選擇題

1、設x∕wR,命題“若/+/>2,則V〉i或∕>ι”的否命題是()

A.若χ2+∕≤2,則ΛJ≤I或B.^X2+y2>2,則Yq或

C.^X2+y2≤2,則∕≤1且D.?X2+y2>2,貝IJX2≤1且

2、已知拋物線V=2pχ上的點/(2,%)到該拋物線焦點的距離為3,則拋物線

的方程()

A.y2-2xB.y2-4xC.y2--IxD.y2--Ax

3、《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵某“塹堵”的三視

圖如圖，則它的外接球的體積為()

2

A4πB.警C.4√2πD.∣π

___IA.—

3

主視圖左視圖J

4,ZUBC的兩個頂點坐標Z(T,0),5(4,0),它的周長是18,

俯視圖

則頂點C的軌跡方程是()

%2y2

A.—+—B.?-+—=1(?≠0)

259259v7

2222

c?±+匕=1(尸0)D.^―+-—=l(y≠0}

16925917

5、已知命題p:2x+加<0,q:x2-2x-3>0,若是夕的一個充分不必要條件,

則小的取值范圍是()

A.[2,+∞)B.(2,+oo)C.(-oo,2)D.(-∞,2]

22

6、已知雙曲線0-5=l(α>0,b>0)的焦距為2√L且雙曲線的一條漸近線

Crb

與直線2x+y=0平行，則雙曲線的方程為()

AX-∕=1B./-2L=ιCJV-1DJ/3/-?

4-4164520

7、如圖所示，直三棱柱ZBC-4與G中，N8C4=60。，M,N分別是4G，

CG的中點，BC=CA=CC1,則BN與ZM所成角的余弦值為()

3423

B.-C.-D.-

5534

已知圓G：(x-3)2+5+4)2=1與。2：

x-")2+(y-a+3)2=9恰好有4條公切線，則實數α的取值范圍是()

A.(-∞,0)U(4,+∞)B.(-∞,1—VδjU(1+?^6^,+∞)

C.(0,4)D.(→o,-l)U(3,+∞)

9、如圖，過拋物線∕=2pχ(p>0)的焦點b的直線/交拋物線于點，交其準線

于點C,若忸C∣=2忸/I,且|/可=6,則P的值為()A.2B.3C.4D.5

10、已知橢圓。：《+己=1的兩焦點分別為片，F2,P為橢圓上一點，且

12612

ZFyPF2=60°,則a[Pg的面積等于().

A.6B.2√3C,4√3D.6√3

11、圓/+/+4χ-12y+l=0關于直線OX-勿+6=0(α>0,b>0)對稱，則

2+9的最小值是()

ab

A.2√3B.-C.-D.—

333

12、已知耳，工分別為雙曲線。:餐-5=l(α>0,b>0)的左，右焦點，以

ah

6片為直徑的圓與雙曲線C的右支在第一象限交于點，直線/月與雙曲線C的

右支交于點，點石恰好為線段48的三等分點(靠近點)，則雙曲線C的離心率

等于()

A.√2B.√5C.—

32

二、填空題

13、若命題“3xeR,使得G2+2G_1N(T，為假命題，則實數ɑ的取值范圍是

14、若雙曲線￡■-*■=1的離心率為2,則此雙曲線的漸近線方程__________.

a~b

15、過拋物線C：V=6x的焦點的直線/交。于，兩點，若MBl=9,則線段ZB

中點的橫坐標為.

16、在三棱錐尸一48C中，PA=PC=AC=AB,Z6_L平面PZCτ,三棱錐

P-ABC的頂點都在球0的球面上.若三棱錐尸-Z8C的體積為"，則球。

4

的表面積為.

三、解答題

17、設命題p:實數X滿足/—4ZMX+3/≤0,其中"?〉0；命題

q[x+2)(x-3)≤0.

(1)若加=2,且PAq為真，求實數X的取值范圍；

(2)若是力的充分不必要條件，求實數機的取值范圍.

18、已知圓C的圓心在第一象限內，圓C關于直線y=3x對稱，與X軸相切，被直線

N=X截得的弦長為2√7?

(1)求圓C的方程；

(2)若點尸(-2,1),求過點尸的圓的切線方程.

19、在四棱錐尸一458中，平面PZBJ.平面4βC0,ZABC=ZBCD=90°,

PC=PD,PA=AB=BC=X,Cz)=2.

(1)證明：PZ_L平面/88；

BC

⑵求點。到平面尸8。的距離.

20、設雙曲線C:1-E=l(α>0,6>0)的左，右焦點分別為耳，F2,且

ab

山周=4,一條漸近線的傾斜角為60。.

(1)求雙曲線C的標準方程和離心率；

(2)求分別以耳，月為左，右頂點，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標準方程.

21、在四棱錐尸一/8CZ)中，尸ZL底面/8C。，ABLAD,ADHBC,

ZD=38C,點E在棱尸。上，且滿足PE=LPO.

3

(1)證明：CE〃平面口8；

(2)若尸Z=Z8=ZO=3,求點5,E到平面HC的距離之和.

221

22、已知橢圓U=γ+勺υ=1(。>6〉0)的一個頂點為N(2,0),離心率為二,直線

a~b2

y=Ax與橢圓C交于不同的兩點M,N.

(1)求橢圓C的標準方程；

1

(2)當AZMTV的面積為］時，求左的值.

文科四答案

1、答案：C2、答案：B3、答案：B

解析：根據幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：

該幾何體為底面為直角三角形的直三棱柱；如圖所示:

設外接球的半徑為及，即3=R,故球心。滿足：

R=y∣OG~+AG2=&,所以S球=土π?R'=犯電.故4、答案:

壞33

D解析：?.?Z(-4,0),6(4,0),.??HM=8,

又△力BCZkABC的周長為18,Λ∣5C∣+∣^C∣=10

，頂點C的軌跡是一個以〃，3為焦點的橢圓，則α=5,c=4a=5,c=4,

b2=a2-c2=25-16=9b2=a2-C2=25-16=9,

.??頂點C的軌跡方程為二+幺=1("0)。？=1(y≠0).故選：D.

259239

5、答案：A解析：?.?*2x+m<0,“所對應的集合1=(-8,-9，

?.?q:X2-2x-3>0,:.q所對應的集合為5=(-∞,-l)U(3,+∞),

；若p是q的一個充分不必要條件，

/.A0B,/.---≤—1??q,加≥2,故選：A.

2

6、答案：B

解析：?.?雙曲線1―g?=l(α>O,6〉0片一《=1他>0,1)>0)的焦距為2后，

.?.c=6,?.?雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0平行，

.?.—=2,.*.b=2a9Vc2-=a1Λ-h1=5,?二α=l,b=2

a

???雙曲線的方程為./一匕=1故選：B.

4

7、答案:A解析：取的中點0,〃。的中點尸，則8N〃G。，AM∕∕ClPBN∕/

C∣Q,AM∕∕C∣P,/.ZQC1P：.NQCIP即為BN與ZMAM所成

角，設8C=2BC=2,則NM=BN=石，PQ=2,?APgClΔPQC1Φ,可

5+5-43?

WCOSZPCiQ=rr?=-..?.BN：.BN與NM所成角的余弦值為2故選：A.

2×√5×√555

8、答案：D解析:因為圓G：(x-3)2+(y+4)2=l與G<x-4+(y-α+3)2=9

恰好有4條公切線，所以圓α與G外離，所以而-3丫+(4-3+4)2>4,解得

α>3或α<-l,即實數α的取值范圍是(-∞,T)U(3,+∞).

故選：D.

9、答案：B解析：如圖，分別過4B作準線的垂線，交準線于E。，

設忸可=α∣BF∣=a,由已知可得忸C∣=2α∣BC∣=2a,由拋物線的定義可得

忸。∣=α∣BD∣=a,則NBCZ)=30。NBCD=30',在直角三角形NCE中，因為

MEI=M目=6∣AEl=IAFl=6,Mq=6+3α,1?AE?=?AC?,所以6+34=12,

解得α=2,∣FC∣=30=6∣FC∣=3a=6,所以p=；Eq=3p=g∣FC∣=3.故選：B.

10、答案：B

解析：在PK4F]PF2中，由余弦定理得

閨用2=歸用2+歸用2_21PEHP用COS60。，

①IP用2+∣pgfTPGHP曰=g)2=(2指『=24,又

?PFy?+?PF2?=2a=4y[3,平方得，

?\PF}f+\PF2f+2∣尸片HP閭=48,

②-①,得3附HP用，即歸耳HP用=8,

.?.△6PE的面積S=JP耳H尸周sin6()0=2√J故選：B.

11>答案：C解析：圓x?+/+4x-12y+1=Ox?+y2+4x—12y+1=O的標準方

程為(x+2)*2+(y-6)2=39(x÷2)2÷(y-6)2=39,.二圓

X2+?2+4x-12γ+1=0X2+y2÷4x-12y+1=0的圓心坐標為(一2,6)(-2,6),,/

2222

[U%+ey+4x-12y+1=0x+y+4x-12y÷1=0關于直線ax-by+6=Oax-

by+6=0對稱，.,.直線QX-勿+6=OaX-by÷6=0經過圓心(-2,6)(-2,6),

???一2。-66+6=0.?.-2a-6b+6=0,艮Pα+3b=3a+3b=3,

b>°???R(=*a+3b府+

2a__2h

3

當且僅當<haError!Digitexpected.,即α=b=2時取等號,

4

a+36=3

一+9.?.2+劭最小值是王N.故選：c.

abab3

12、答案：C解析：設HEl=XlAF2∣=x,則忸閶=2x∣BF2∣=2x,由雙曲線的

定義可得：IZKl=IZ6∣+2α=2α+x,

?BFi?=?BF2?+2a=2a+2x,

y

因為點Z在以￡gFF2為直徑的圓上，所以

.NKZ6=90。NFIAB=90。，所以

2222

M2+?ABI=I^IIAF11+∣AB∣=IBFII2,即

(2a+x)2+(3x)2=(2a+2x)2(2a+x)2+(3x)2=(2a+2x)2,

22R

解得：X=]Q,x=在片工△AF]F2中，|力用=2α+x=]4∣AF]I=2a+

Q?,

∣∣∣∣∣∣由

X=?-a,?AF^=-a,∕^∕ζ=2cAF2=-a,F1F2=2c,

J33

I西『+|/柳=由用2∣AFF+∣AF2∣2=RF2∣2可得(|4+《a)=(2c)2即

17a2=9c2,所以雙曲線離心率為e=后=舊=浮，故選：C.

13、答案：(—1,0]

解析：命題："mx∈Rmx∈R,使得ax?+2。》—120aχ2+2aχ-1》0”為假命題

OO命題："VX∈RVxeR,使得ɑ/+2qχ-l<0aχ2+2aχ-1<0”恒成

立.?.?α=0?.?a=0時，符合題意，

CQRfa<O[a<0

4≠0.?.a,0時，需<=><2/、=>—1<α<O,

Δ<0[(2a)2-4α?(-l)<0

a

.?.T<α≤θ[χ<?=[；：、？λZ,?,n=>-1<a<0Λ-1<a≤0.

(Δ<O((2a)z-4a?(-1)<O

故(TO](-l,0]?

14、答案：y=±也X

解析：由題可知，離心率e='=2,即c=2α,又/+〃=c?=4/,即〃=3〃,

a

則2=√L故此雙曲線的漸近線方程為y=±√^x.

a

15、答案：3解析：如圖，拋物線∕=6xy2=6χ的焦

點為嗚O)FG,0),準線為x=-∣x=T分別過4

8作準線的垂線，垂足為HA',B',B',則有

MM=M@+忸El=MHl+忸m=9,過/8的中點M作

準線的垂線，垂足為ATM',則WMM'為直角梯形

1Q

ABB'A'ABB'A'中位線，則IJWI=—(∣∕H∣+怛8[)=-∣MM'∣=?1(∣AA'∣+∣BB∣)=

9

-即w+=所以/的橫坐標為：.故

2rljl(XM+1)=g33.

16、答案：21兀解析：依題意設P4=PC=4C=∕8=α,則

VP-ABC=；SAAPe?AB=^~，即gxg"X曰X"=￥^,解得

α=3,設PC外接圓的半徑為八則2r=U-=2√L設三棱錐P-Z8C外

.π

sin—

3

接球的半徑R,則(2&『=(2廳+4爐=21,所以球。的表面積S球=4成2=21兀；

故21兀

17、答案：⑴[2,3](2)(0』

解析：⑴由x?-4加x+3加240,其中團〉0；

解得m<x<3m,又加=2,即2≤x≤6,

-2≤X≤3

由(x+2)(x-3)≤0得：一2≤x≤3又夕Aq為真,則

2≤x<6

得：2≤x≤3,故實數X的取值范圍為[2,3]；

(2)由(1)得:命題p:Z=["?,3/w],命題q:B=I-2,3],

由「q是「°的充分不必要條件，即P是q的充分不必要條件，

Z是8的真子集，

ZM>-2

所以<3m≤3,EPO<H?≤1.

ZM>O

故實數加取值范圍為.(0,1]

18、答案：(1)(χ-l)2+(?-?)2=9(2)X=-2或5x+12y-2=0

解析：(1)由題意，設圓C的標準方程為：(JV-Q)2+(y-6丫=>0,b>0)，

圓C關于直線歹=3%對稱，.?.b=3。

,?,圓C與X軸相切：.?.廠=6=3。…①

點Cmb)到N=X的距離為：4=2ZT=竿=缶，

√12+12J2

22

?.?圓C被直線N=X截得的弦長為2√?).?,Γ=d；+(√7)，

結合①有：9/=2/+7,，/=1，

又“>0，α=1'r=b=3a=3，

.?.圓C的標準方程為.(χ-1)?+(夕_3)2=9

(2)當直線/的斜率不存在時，χ=-2滿足題意

當直線/的斜率存在時，設直線/的斜率為k,則方程為y-l=k(x+2)?

又圓C的圓心為(1,3),半徑r=3，

解得％=_』.

12

所以直線方程為y-l=--∣?（x+2），即5x+12y-2=0

即直線/的方程為χ=-2或5x+12y-2=0.

19、答案：（1）見解析

⑵當

解析：（1）?.?面P48_L面458,面PZBn面ZBCD=/8,且BCU

面ABCD,

：.BCPAB,而尸ZU面尸/8,.?.8CLP4.取CQ的中點A1,連接NM,PM,

BD.

?.?AB∕∕CM^.AB=CM,NBCD=90°,

.?.四邊形/800為矩形，則Z/J.CD,又PC=PD,

：.PMICD,又,尸加匚面尸工"，AM[}PM=M,

：.CD±面PAM,尸4u面PAM,：.CD±PA.

?;BC,Cr>u面45C。，BCCCD=C,PA1?ABCD.

⑵設點C到平面PBD的距離為h,

,

?Vp-BCD=VC-PBD即ISCZ）?PA-~SΛPBD?h,

又SCD=Jxlx2=l,PA=I,在APBO中，PB=6,PD=yβ,BD=非,

212

BD=PB+PD,則N8PD=90°,SAwSQ=LX√∑χ√J=逅，

22

綜上，四〃=：可得力=*,即點。到平面心。的距離為凈.

6333

2

20、答案：（1）雙曲線。的標準方程為：x-^-=l,離心率為e=￡=2

3a

22

⑵土+匕=1

43

解析：(1)由題意，E閭=2c=4,.*.c-Vtz2+h2=2

又2=tan60o=?/?

Q

解得：α=l,b-?/?

故雙曲線。的標準方程為：x2-^=l,離心率為e=￡=2

3a

(2)由題意橢圓的焦點在軸上，設橢圓方程為9+∕?=l(α'>b'>0)

故"=C=2,b'=b—?/?

即橢圓方程為：工+亡=1

43

21、答案：(1)證明見解析

(*

解析：(1)證明：在ZP上取一點凡使得列7=；PZ,連接BF,EF.

1PFPF11

因為尸E=上尸0,所以*=j=±,所以EF//4D且EF=L4D,

3PDPA33

又BeHAD,AD=3BC,所以8C=1/。，

3

所以BC=EF,BCHEF,所以四邊形BCEE是平行四邊形，