湖北省襄陽市襄州區2022-2023學年八年級下學期期中數學試卷(解析版)一.選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其序號在答題卡上涂黑作答.1．（3分）下列二次根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）小明的作業本上有以下四題，做錯的題是（）A． B．?＝ C． D．3．（3分）下列二次根式中，與能合并的二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列四組線段中，不能構成直角三角形的是（）A．a＝1，，c＝2 B．a＝1，，c＝1 C．a＝1，b＝2，c＝2 D．a＝3，b＝4，c＝55．（3分）在四邊形ABCD中，從①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任選兩個使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）A．6種 B．5種 C．4種 D．3種6．（3分）已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，E是BC的中點，以下說法錯誤的是（）A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE7．（3分）如圖，點A表示的實數是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發現此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（）A．12m B．13m C．16m D．17m9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點，F是對角線AC上的一個動點，則FE+FB的最小值是（）A．1 B． C．2 D．10．（3分）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G．下列結論：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，其中正確結論有（）個A．2 B．3 C．4 D．1二.填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）把答案填在答題卡的相應位置上.11．（3分）二次根式中字母x的取值范圍是．12．（3分）若□＝3，則“□”表示的運算符號是．13．（3分）如圖，以直角△ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝8，則S3＝．14．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，頂點A、B、D在坐標軸上，AD＝5，AB＝9，點A坐標為（﹣3，0），則點C坐標為．15．（3分）已知一個直角三角形的兩邊長分別為3，4，則第三邊的長為．16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G，F分別為AD、BC邊上的點，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，則GF的長為．三、解答題（本大題共8個小題，共72分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并且寫在17．（8分）計算：（1）；（2）；（3）．18．（8分）某居民小區有塊形狀為長方形的綠地，長方形綠地的長BC為，寬AB為，現要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（圖中陰影部分），長方形花壇的長為，寬為．（1）求長方形ABCD的周長；（2）除去修建花壇的地方，其他地方全修建成通道，則通道的面積是多少？（結果化為最簡二次根式）19．（8分）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，且AB＝2．（1）求菱形ABCD的周長；（2）若AC＝2，求菱形ABCD的面積．20．（8分）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝8：5，求∠ADO的度數．21．（8分）如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．利用正方形網格可以畫出長度為無理數的線段，如圖1中．請參考此方法按下列要求作圖：（1）在圖1中以格點為頂點畫一個面積為17的正方形ABCD，并標出字母；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個△EFG，使EF＝5，，，并標出字母；（3）猜想△EFG是何種特殊三角形？并說明理由．22．（10分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP，EF．給出下列結論：①PD＝EC；②四邊形PECF的周長為8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．（1）其中正確結論的序號為；（2）請你選擇一個正確的結論進行證明．23．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，DE∥BC且DE＝BC，∠ABD＝90°，E為AD的中點，連接BE．（1）求證：四邊形BCDE為菱形；（2）連接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的長．24．（12分）如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6cm，AD＝10cm，BC＝14cm，點P從點A出發以1cm/s的速度在邊AD上向點D運動；點Q從點C同時出發以2cm/s的速度在邊CB上向點B運動．規定其中一個動點到達端點時，另一動點也隨之停止運動．設運動時間為ts．（1）當四邊形ABQP是矩形時，t的值是；（2）在運動過程中，當PQ＝CD時，t的值是；（3）如圖2，若∠DPQ＝2∠C，求t的值．

參考答案與試題解析一.選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其序號在答題卡上涂黑作答.1．（3分）下列二次根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據最簡二次根式的概念即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝，故A不是最簡二次根式；（B）原式＝，故B不是最簡二次根式；（D）原式＝2，故D不是最簡二次根式；故選：C．【點評】本題考查最簡二次根式，解題的關鍵是正確理解最簡二次根式的概念，本題屬于基礎題型．2．（3分）小明的作業本上有以下四題，做錯的題是（）A． B．?＝ C． D．【分析】根據二次根式混合運算的計算法則進行解答．【解答】解：（﹣）2＝2，故A選項不符合題意；，故B選項不符合題意；，故C選項不符合題意；，不是同類項，不能進行相加，故D選項符合題意，故選：D．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是根據計算法則來解答．3．（3分）下列二次根式中，與能合并的二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】將各選項最簡化，再比較即可．【解答】解：A、＝3，B、＝，C、＝2，D、＝，∴與能合并的二次根式的是2，故選：C．【點評】本題考查的是同類二次根式，將各選項進行化簡是解題的關鍵．4．（3分）下列四組線段中，不能構成直角三角形的是（）A．a＝1，，c＝2 B．a＝1，，c＝1 C．a＝1，b＝2，c＝2 D．a＝3，b＝4，c＝5【分析】利用勾股定理的逆定理，進行計算即可解答．【解答】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，∴12+（）2＝22，∴能構成直角三角形，故A不符合題意；B、∵12+12＝2，（）2＝2，∴12+12＝（）2，∴能構成直角三角形，故B不符合題意；C、∵12+22＝5，22＝4，∴12+22≠22，∴不能構成直角三角形，故C符合題意；D、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴能構成直角三角形，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．5．（3分）在四邊形ABCD中，從①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任選兩個使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）A．6種 B．5種 C．4種 D．3種【分析】根據平行四邊形的判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．根據平行四邊形的判定進行逐一驗證即可．【解答】解：任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結論的情況有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四種．故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的判定；平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．6．（3分）已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，E是BC的中點，以下說法錯誤的是（）A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE【分析】由平行四邊形的性質和三角形中位線定理得出選項A、B、C正確；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，選項D錯誤；即可得出結論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，又∵點E是BC的中點，∴OE是△BCD的中位線，∴OE＝DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE＝∠OBA，∴選項A、B、C正確；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴選項D錯誤；故選：D．【點評】此題考查了平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分．還考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于三角形第三邊的一半．7．（3分）如圖，點A表示的實數是（）A． B． C． D．【分析】根據勾股定理可求得OA的長為，再根據點A在原點的左側，從而得出點A所表示的數．【解答】解：如圖，OB＝＝，∵OA＝OB，∴OA＝，∴點A在數軸上表示的實數是﹣．故選：D．【點評】本題考查了實數和數軸，以及勾股定理，注意原點左邊的數是負數．8．（3分）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發現此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（）A．12m B．13m C．16m D．17m【分析】根據題意畫出示意圖，設旗桿高度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：設旗桿高度為xm，過點C作CB⊥AD于B，則AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗桿的高度為17米．故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，構造直角三角形的一般方法就是作垂線．9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點，F是對角線AC上的一個動點，則FE+FB的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【分析】連接BD，則AC垂直平分BD，FD＝FB，當D，F，E在同一直線上時，FE+FB的最小值等于DE的長，再根據△ABD是等邊三角形，即可得到AE的長，進而得到FE+FB的最小值是．【解答】解：如圖所示，連接BD，則AC垂直平分BD，FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD，∴當D，F，E在同一直線上時，FE+FD的最小值等于DE的長，∵AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，又∵E是AB的中點，∴DE⊥AB，AE＝1，∴Rt△ADE中，DE＝＝＝，∴FE+FB的最小值是，故選：D．【點評】此題主要考查了最短路線問題以及菱形的性質，熟悉菱形的基本性質是解決本題的關鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．10．（3分）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G．下列結論：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，其中正確結論有（）個A．2 B．3 C．4 D．1【分析】通過條件可以得出Rt△ABE≌△RtADF，從而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性質就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC＝x，由勾股定理就可以表示出BE+DF與EF即可判斷．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．∵△AEF等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．∴∠BAE+∠DAF＝30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF（故①正確）．∠BAE＝∠DAF，∴∠DAF+∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°（故②正確），∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF．（故③正確）．設EC＝x，由勾股定理，得EF＝x，CG＝x，∴AG＝AE?sin60°＝EF?sin60°＝2×CG?sin60°＝x，∴AC＝x+x，∴AB＝，∴BE＝，∴BE+DF＝x﹣x≠x，（故④錯誤），故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理是解題的關鍵．二.填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）把答案填在答題卡的相應位置上.11．（3分）二次根式中字母x的取值范圍是x≤4．【分析】根據二次根式有意義的條件可得4﹣x≥0，再解不等式即可．【解答】解：由題意得：4﹣x≥0，解得：x≤4，故答案為：x≤4．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．12．（3分）若□＝3，則“□”表示的運算符號是÷．【分析】分別用“+”、“﹣”、“×”、“÷”逐個判斷，判斷出若□＝3，則“□”表示的運算符號即可．【解答】解：+＝4，﹣＝2，×＝6，÷＝3，∴若□＝3，則“□”表示的運算符號是÷．故答案為：÷．【點評】此題主要考查了實數的運算，解答此題的關鍵是要明確實數加減乘除的運算方法．13．（3分）如圖，以直角△ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝8，則S3＝12．【分析】根據勾股定理的幾何意義解答．【解答】解：∵△ABC直角三角形，∴BC2+AC2＝AB2，∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，∴S3＝S1+S2＝12．【點評】解決本題的關鍵是根據勾股定理得到三個面積之間的關系．14．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，頂點A、B、D在坐標軸上，AD＝5，AB＝9，點A坐標為（﹣3，0），則點C坐標為（9，4）．【分析】根據平行四邊形的性質得出AB＝CD＝9，再根據勾股定理求出OD的長，以此即可求出點C坐標．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD＝9，∵點A坐標為（﹣3，0），∴OA＝3，在Rt△OAD中，由勾股定理得，∴點C的坐標為（9，4）．故答案為：（9，4）．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質、坐標與圖形的性質、勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質，由勾股定理算出OD時解題關鍵．15．（3分）已知一個直角三角形的兩邊長分別為3，4，則第三邊的長為5或．【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊4既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【解答】解：設第三邊為x，（1）若4是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理得：32+42＝x2，∴x＝5；（2）若4是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理得：32+x2＝42，∴x＝；∴第三邊的長為5或．故答案為：5或．【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當已知條件中沒有明確哪是斜邊時，要注意討論，一些學生往往忽略這一點，造成丟解．16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G，F分別為AD、BC邊上的點，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，則GF的長為6．【分析】延長GE交CB的延長線于M．只要證明△AEG≌△BEM，推出AG＝CM＝2，再根據線段的垂直平分線的性質，即可解決問題．【解答】解：如圖，延長GE交CB的延長線于M．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，∵E為AB邊的中點，∴AE＝BE，在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM（AAS），∴GE＝EM，AG＝BM＝2．又∵EF⊥MG，∴EF垂直平分GM，∴FG＝FM．∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝4+2＝6，∴GF＝FM＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質等知識，關鍵是添加輔助線，構造全等三角形解決問題．三、解答題（本大題共8個小題，共72分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并且寫在17．（8分）計算：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接將根號下的數相乘，再進行二次根式的化簡即可；（2）先將二次根式進行化簡，再進行計算即可；（3）根據平方差公式來進行計算．【解答】解：（1）＝＝6；（2）＝3＝；（3）＝5﹣3﹣2＝0．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是根據計算法則和平方差公式來解答．18．（8分）某居民小區有塊形狀為長方形的綠地，長方形綠地的長BC為，寬AB為，現要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（圖中陰影部分），長方形花壇的長為，寬為．（1）求長方形ABCD的周長；（2）除去修建花壇的地方，其他地方全修建成通道，則通道的面積是多少？（結果化為最簡二次根式）【分析】（1）根據長方形的周長公式進行列式，計算出結果；（2）根據長方形的面積公式，用大長方形的面積減去陰影部分的面積；再進行化簡，計算出結果．【解答】解：（1）長方形ABCD的周長：＝18+16；（2）通道的面積：﹣（+1）×（）＝72﹣13．【點評】本題考查了二次根式的應用，解題的關鍵是根據長方形周長和面積公式來列式計算．19．（8分）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，且AB＝2．（1）求菱形ABCD的周長；（2）若AC＝2，求菱形ABCD的面積．【分析】（1）由菱形的四邊相等即可求出其周長；（2）利用勾股定理可求出OB的長，得出BD的長，由菱形面積公式計算即可．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的周長＝4AB＝8；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，∴形ABCD的面積＝AC×BD＝×2×2＝2．【點評】本題主要考查了菱形的性質、勾股定理以及菱形面積公式；熟練掌握菱形的性質和勾股定理是解題的關鍵．20．（8分）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝8：5，求∠ADO的度數．【分析】（1）證四邊形ABCD是平行四邊形，再證AC＝BD，即可得出結論；（2）由矩形的性質得到AB∥CD，再由平行線的性質得到∠ABO＝∠CDO，然后由三角形的內角和求出∠ABO＝50°，即可求解．【解答】（1）證明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠AOB：∠ODC＝8：5，∴∠AOB：∠ABO＝8：5，∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝5：8：5，∴∠ABO＝50°，∵∠BAD＝90°，∴∠ADO＝90°﹣50°＝40°．【點評】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握矩形的判定與性質，證明AC＝BD是解題的關鍵．21．（8分）如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．利用正方形網格可以畫出長度為無理數的線段，如圖1中．請參考此方法按下列要求作圖：（1）在圖1中以格點為頂點畫一個面積為17的正方形ABCD，并標出字母；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個△EFG，使EF＝5，，，并標出字母；（3）猜想△EFG是何種特殊三角形？并說明理由．【分析】（1）根據正方形的性質以及勾股定理結合網格作出圖形即可；（2）根據勾股定理結合網格作出圖形即可；（3）由勾股定理的逆定理可得出結論．【解答】解：（1）如圖1所示，正方形ABCD即為所求；（2）如圖2所示，△EFG即為所求；（3）三角形EFG是直角三角形，理由如下：∵FG2+EG2＝25＝EF2，∴三角形EFG是直角三角形．【點評】本題考查了作圖﹣應用設計作圖，正方形的性質，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟記各性質定理是解題的關鍵．22．（10分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP，EF．給出下列結論：①PD＝EC；②四邊形PECF的周長為8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．（1）其中正確結論的序號為①②④；（2）請你選擇一個正確的結論進行證明．【分析】（1）根據正方形的性質進行判斷即可；（2）①根據正方形的對角線平分對角的性質，得△DPF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，即可得結論；②先證明四邊形PECF為矩形，根據等腰直角三角形和矩形的性質可得其周長為2BC，即可得結論；③根據P的任意性可以判斷△APD不一定是等腰三角形；④四邊形PECF為矩形，通過正方形的軸對稱性，即可得AP＝EF．【解答】解：（1）正確結論的序號為①②④，故答案為：①②④；（2）①正確，理由如下：∵PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，CD⊥BC，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，∴PD＝DF，∴PD＝EC，②正確，理由如下：∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四邊形PECF為矩形，∴四邊形PECF的周長＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8；③錯誤，理由如下：∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP＝45°，∴當∠PAD＝45°或67.5°或90°時，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形；④正確，理由如下：如圖，連接PC，∵四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，∵正方形為軸對稱圖形，∴AP＝PC，∴AP＝EF．【點評】此題考查正方形的性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理的運用，熟練掌握正方形的性質和等腰三角形的性質是解題的關鍵．23．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，DE∥BC且DE＝BC，∠ABD＝90°，E為AD的中點，連接BE．（1）求證：四邊形BCDE為菱形；（2）連接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的長．【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE＝DE即可解決問題；（2）在Rt△ACD中只要證明∠ADC＝60°，AD＝2即可解決問題．【解答】（1）證明：∵DE∥BC，DE＝BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四邊形BCDE是菱形；（2）解：連接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∵E為AD的中點，∴AE＝BE＝DE＝1，∴△ABE是等腰三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝AD＝1，AC＝＝．【點評】本題考查菱形的判定和性質、直角三角形斜邊中線的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是熟練掌握菱形的判定方法，屬于中考常考題型．24．（12分）如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6cm，AD＝10cm，BC＝14cm，點P從點A出發以1cm/s的速度在邊AD上向點D運動；點Q從點C同時出發以2cm/s的速度在邊CB上向點B運動．規定其中一個動點到達端點時，另一動點也隨之停止運動．設運動時間為ts．（1）當四邊形ABQP是矩形時，t的值是；（2）在運動過程中，當PQ＝CD時，t的值是或6；（3）如圖2，若∠DPQ＝2∠C，求t的值．【分析】（1）由題意得AP＝t，CQ＝2t，BC＝14cm，當四邊形ABQP是矩形時，則AP＝BQ，可列方程t＝14﹣2t，解方程求出t的值即可；（2）當PQ＝CD，且PQ∥CD時，則四邊形PQCD是平行四邊形，則PD＝CQ，可列方程10﹣t＝2t，解方程求出t的值；當PQ＝CD，且PQ與CD不平行時，