7.1復數的概念同步訓練

一、單選題

1.已知“eR,若z=(T_l)一(a-/(i為虛數單位)為純虛數，則。=()

A.0B.1C.-1D.±1

2.若復數z滿足z(l+i)=|l+石i|,則在復平面內z的共輾復數對應的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知復數z=l+2i(i為虛數單位)，則它的共軌復數［=()

A.2-iB.2+iC.2/D.1-2i

4.已知i為虛數單位，a&R,若l+(a+l)i為純虛數，則復數z=a+(a-2)i在復平面內對應的點位于(〉

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.復數z=(/-24)+(/-a-2)i(i為虛數單位,aeR)對應的點在虛軸上，則

A.aw2或awlB.a=0且a=2C.a=0或4=2D.a=0

6.復數6+5,?與-3+4i分別表示向量OA、則表示向量BA的復數在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多選題

7.有下列四個命題，其中正確的是()

①方程2x—5=0在自然數集N中無解；

②方程2/+9x—5=0在整數集Z中有一解，在有理數集Q中有兩解；

③x=i是方程》2+1=0在復數集C中的一個解；

④/=1在R中有兩解，在復數集C中也有兩解.

A.①B.②

C.③D.@

8.已知復數4=2-2i(i為虛數單位)，復數々滿足%-胃=1,則下列結論正確的是().

A.4在復平面內所對的點在第四象限

B.zz-4在復平面內對應的點在第一象限

C.|Z|-Z2|的最大值為JB+1

D.k+ZzI的最小值為屈-1

三、填空題

9.復數Z］=a+bi,z2=c+di(a^b、c、deR)在復平面上對應的點分別為、Z2.

(1)若Z］、Z?關于x軸對稱，則。、b、c、d應滿足的關系是；

(2)若乙、Z2關于y軸對稱，則。、b、c、d應滿足的關系是；

(3)若Z］、Z2關于原點對稱，則。、b、c、d應滿足的關系是;

(4)若Z1、Z2關于第一、三象限的角平分線對稱，則。、b、c、d應滿足的關系是.

10.復數Z=3sine+isin0(0eR)對應點的軌跡是.

11.在復平面內，復數4對應的點為(2,2),復數％?對應的點為(1,1),復數z=Z2-z一則z對應的點在第

象限.

12.il03=.

四、解答題

13.若復數4=4-35=4+于所對應的向量分別為OZ|與OZ「求OZZz的周長.

14.實數〃?分別取什么數值時，復數z=(>+5優+6)+(>-2〃?-15)i是：

(1)純虛數；

(2)對應點在x軸上方；

15.求實數機的值或取值范圍，使得復數z=〃+m-2+(療-l)i分別滿足：

(l)z是實數；

(2)z是純虛數；

(3)z是復平面中對應的點位于第二象限.

16.設z/=2x+l+(x2-3x+2)i,zz=N-2+(x2+x-6)i(xGR).

(1)若z/是純虛數，求實數X的取值范圍：

(2)若ZI>Z2,求實數X的取值范圍.

參考答案:

1.c

【分析】根據復數的分類和性質可得答案.

【詳解】若z=（i為虛數單位）為純虛數,

a2-1=0

則得a=-1,

a-1^0

故選：C.

【點睛】本題考查復數的分類和性質，屬于基礎題.

2.A

【分析】先求出復數z和）再求出在復平面內z的共軌復數對應的點的位置得解.

【詳解】由題得z=告2(1-/)

=—,所以，=1+

(1+Dd-0

所以在復平面內Z的共輛復數對應的點為（1,1）,在第一象限.

故選：A.

【點睛】本題主要考查復數的模和復數的除法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和

分析推理能力.

3.D

【分析】直接根據共輾復數概念寫出結果.

【詳解】因為z=l+2i,所以4=1-2i

故選：D

【點睛】本題考查共規復數概念，考查基本求解能力，屬基礎題.

4.D

【分析】根據純虛數的定義即可求出參數，從而得出復數對應的點坐標即可判斷結果.

【詳解】因為i為虛數單位，aeR,a2一1+（。+）為純虛數，所以吁:口解得

〃+1工0

所以z=l-i,z=l-i在復平面內對應的點坐標（1,-1）,所以該點位于第四象限.

故選：D

5.C

【解析】根據復數對應點在虛軸上，實部為零列方程，由此求得。的值.

【詳解】：z在復平面內對應的點在虛軸上,.?.片-24=0,解得“=0或a=2.

故選：c

【點睛】本小題主要考查復數虛軸的概念，屬于基礎題.

6.A

【分析】先求出向量54的復數對應的復數，然后判斷向量54的復數在復平面內對應的點

的位置.

【詳解】因為復數6+5i與-3+4i分別表示向量OA、0B，

所以復數6+5i與-3+4i在復平面內對應的點分別為A(6,5)、8(-3,4),

所以a4=(6,5)-(-3,4)=(9,1),所以而對應的復數為z=9+i,

所以表示向量54的復數在復平面內對應的點位于第一象限.

故選：A.

7.ABC

【分析】根據方程的解的情況逐一判斷選項的正誤即可.

【詳解】①方程左一5=0根為x=故方程在自然數集N中無解，正確；

②方程2%2+9x—5=0即(2x-l)(x+5)=0,故在整數集Z中有一解-5,在有理數集Q中有

兩解-5和正確；

③x=i代入方程N+1=0成立，故x=i是方程/+1=0在復數集C中的一個解；

④/=1在R中有兩解±1,在復數集C中也有四解±1,土i,故錯誤.

故選：ABC.

8.AC

【分析】復數4=2-2i在復平面內對應的點為P(2,-2),故選項A正確；

復數Z2在復平面內對應的點。是以C(0,l)為圓心，1為半徑的圓，故在復平面內對應

的點不一定在第一象限，故選項B錯誤；

14-22|的最大值為|「(7|+1=屈+1,故選項C正確；

|Z|+zJ的最小值為,故選項D錯誤.

【詳解】復數Z|=2-2i在復平面內對應的點為尸，則尸(2,-2),所以點尸在第四象限，故選

項A正確；

復數Z2滿足14-i|=l,則Z?在復平面內對應的點。是以C(0,l)為圓心，1為半徑的圓,

故4-4在復平面內對應的點不一定在第一象限，故選項B錯誤；

|z「Zzl表示點尸,。之間的距離，所以|z「Z2l的最大值為|PC|+l=a+l,故選項C正確；

I4+7|表示點。與點PX-2,2)之間的距離，所以14+Z21的最小值為IPC|-1=》-1,故選項

D錯誤.

故選：AC

9.a=c,b=-da=-c,b=da=-c,b=-da=d,b=c

【分析】直接利用復數的幾何意義即可得到.

【詳解】因為復數4=。+為，z?=c+M(a、b、c、dwR)在復平面上對應的點分別為Z1、Z2,

所以Z,(a,6),Z2(c,d)

(1)若Z］、Z?關于x軸對稱，則。、b、。、d應滿足的關系是“=。，b=-d；

(2)若Z］、Z2關于V軸對稱，則。、b、。、d應滿足的關系是。=-。，h=d；

(3)若Z］、Z2關于原點對稱，則。、。、c、d應滿足的關系是。=-。，h=-d

(4)若Z1、4關于第一、三象限的角平分線對稱，則。、b、c、d應滿足的關系是a=d,

b=c.

故答案為：(1)a=c,b=-d；(2)a=-c,b=d；(3)a=—c,b=-d；(4)a=d,b=c.

10.線段

【分析】根據題意，找出復數的對應點坐標，即可得到復數z=3sin，+isinO(eeR)對應點

的軌跡.

【詳解】根據題意可知，復數z=3sine+isine(6eR)對應點為(3sine,sin。)，

因此復數2=3疝11。+1011磯。€1<)對應點的軌跡為丫=：X，且(—14x9),

即軌跡是線段.

故答案為：線段.

11.四

【分析】根據復數的幾何意義，可得4=-2+27%=17.，進而得到z=Z2-4=3-3i,得出

復數z對應的點的坐標，即可求解.

【詳解】由題意，復數4對應的點為(2,2),復數z?對應的點為(1,1),

可得4=-2+2i,Z2=l-i,所以復數z=Z2-4=3-3i,

所以復數z對應的點的坐標為(3,-3)位于第四象限.

故答案為：四.

【點睛】本題主要考查了復數兒何意義，以及復數的運算的應用，其中解答中熟記復數的表

示和復數的幾何意義是解答的關鍵，意在考查推理與運算能力，屬于基礎題.

12.-i

【分析】直接算出答案即可.

【詳解】i103=i3=-i

故答案為：-i

13.16

【分析】由復數的代數形式寫出對應點坐標，進而求。乙、oz2,oz.-oz,,由，。4乙的

周長為IOZJ+|oz??+|oz—oz??,應用向量模的坐標計算求周長即可.

【詳解】由題設，Z/2分別對應(4,-3),(4,3),

...OZ,=(4,-3),OZ2=(4,3),則OZ,-OZ2=(4,-3)—(4,3)=(0,-6),

OZtZ2的周長為|OZJ+1ON?|+1OZ|-OZ；|=16.

14.(l)m=-2；(2)m<-3或m>5

【分析】(1)由復數是純虛數可得實部等于0,虛部不等于0,解不等式組即可.

(2)根據題意和復數的幾何意義可得對應點的縱坐標大于0,解不等式即可.

【詳解】⑴因為復數Z為純虛數，所以《解得機=-2,

nr+5/M+6=0

所以當加=-2時，復數z為純虛數；

(2)由復數的幾何意義，z的對應點為(療+5加+6,nr-2m-15),

又z在x軸上方，

得A??一27〃一15>0,國軍得〃？<一3或相>5,

所以當機<-3或〃7>5時，復數z的對應點在x軸上方.

15.(1)w=±1

(2)m=-2

⑶一

【分析】(1)根據復數的概念列式可求出結果；

(2)根據復數的概念列式可求出結果；

(3)根據復數的兒何意義可求出結果.

【詳解】(1)由題意得病-1=0