2023屆新疆烏魯木齊市名校高三第一次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知不重合的平面/和直線/,貝！”的充分不必要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.ILa且/

C.a-L/且y_L力D.a內(nèi)的任何直線都與￡平行

2.如圖示，三棱錐ABC的底面ABC是等腰直角三角形,ZACB^90°,且尸4=。8=48=也PC=5

3.已知函數(shù)〃x）="（a>0,且awl）在區(qū)間上",2〃?]上的值域為在”,2〃?],貝ija=（）

A.y/2B.-C.4或正D.9或4

4164

4.已知是兩條不重合的直線，a,夕是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）

A.若ma,僧p,n//a,n///3,則a(3

B.若tn〃n,mVa,nL/3,則a0

C.若加_L〃，mua,nu0,則aJ?戶

D.若加_L〃，ma,nl/3,則

2〃+l

5,已知數(shù)列｛a“｝的通項公式是a=sin----------71貝+生+%+…+〃|2=()

n2

A.0B.55C.66D.78

6.設(shè)雙曲線C:二-乙=1的右頂點為A,右焦點為尸，過點戶作平行。的一條漸近線的直線與C交于點8,則

916

△AF3的面積為（)

3264

AA.?D.C.5D.6

1515

Y2v22

已知雙曲線：土■）一匕雙曲2，一

7.G—1U-USPQ?Ar—1有相同的漸近線，則雙曲線G的離心率為（

m/n-104

5D.男

A.B.5c.V5

42

=卜卜=4+1}

8.已知集合。=11,A={y|yNO},B;,貝！M①B=()

A.[0,1)B.(0,+oo)C.(l,+<?)D.[1,+co)

9.幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1,2,3........./這〃2個數(shù)填入〃X”方格中，使得每行、每列、每條對角線上

的數(shù)的和相等，這個正方形數(shù)陣就叫〃階幻方.定義/（〃）為"階幻方對角線上所有數(shù)的和，如/（3）=15,則f（10）=

()

E□

□S□□

A.55B.500C.505D.5050

10.若函數(shù).f（x）=x3+ox2+3x-9在％=_3時取得極值，貝ja=（）

A.2B.3C.4D.5

11.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=K=在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）

1+2;

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12.如圖所示，三國時代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直

角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30°,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不

計，取百合1.732）,則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）

A.134B.67C.182D.108

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線，上1（。〉0,b>0）的左頂點為A,右焦點為尸，過尸作x軸的垂

線交雙曲線于點九。.若A4PQ為直角三角形，則該雙曲線的離心率是.

A1

14.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且/=/十82一缶"。=8,sin,=§,則。=.

22

15.已知雙曲線。：二—二=1（?>o,b>0）的左，右焦點分別為匕，F(xiàn)2,過點E的直線與雙曲線的左，右兩

ah

7

支分別交于A,B兩點,若|AB|=|AK|,COSZBAF2=-,則雙曲線C的離心率為.

O

16.若（2—x）=a。+a［（1+x）+4（1+x）-++%（l+x）>則％+%+。2++4+%三__>a.=___.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知直線x+y=l過橢圓三+齊=l（a>">0）的右焦點，且交橢圓于4,8兩點，線段A8的中點是

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的直線/與線段48相交（不含端點）且交橢圓于C,D兩點,求四邊形AC5D面積的最大值.

18.（12分）誠信是立身之本，道德之基，我校學(xué)生會創(chuàng)設(shè)了“誠信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進誠信教育，并用

“卑熱表示每周，，水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個

周投入成本

周期）的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計：

第一周第二周第三周第四周

第一周期95%98%92%88%

第二周期94%94%83%80%

第三周期85%92%95%96%

（I）計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)嚏；

（D）若定義水站誠信度高于90%的為“高誠信度”，90%以下為“一般信度”則從每個周期的前兩周中隨機抽取兩周

進行調(diào)研，計算恰有兩周是“高誠信度”的概率；

（ni）已知學(xué)生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動,

根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.

19.(12分)如圖，在三棱柱ADE-BCF中,ABCO是邊長為2的菱形，且44￡>=60。，CDEE是矩形，￡0=1,

且平面CDEF_L平面ABC。，P點在線段8c上移動(P不與。重合)，〃是AE的中點.

(1)當四面體七。尸。的外接球的表面積為5兀時，證明：平面EDP

(2)當四面體EQPC的體積最大時，求平面"DP與平面EPC所成銳二面角的余弦值.

20.(12分)已知等差數(shù)列｛4｝滿足%=7,%+%=26.

(1)求等差數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)％=」一,〃€N,求數(shù)列｛c“｝的前〃項和7“.

44+1

d+e~f

x=--------

2

21.(12分)在直角坐標系X。)，中，曲線。的參數(shù)方程為：乙(其中/為參數(shù))，直線/的參數(shù)方程為

一-二

y=--------

I2

,C1

x=2+—j=m

2'5(其中機為參數(shù))

(1)以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線。的極坐標方程；

(2)若曲線C與直線/交于A3兩點，點p的坐標為(2,0),求|/%卜|尸邳的值.

2

22.(10分)已知函數(shù)/(龍)=0，

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

4r2

(2)當0<相</時，判斷函數(shù)g(x)=]—〃2,(x>0)有幾個零點，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)函數(shù)〃(x)=；+---ex2,若函數(shù)〃(x)在(0,+8)為增函數(shù)，求實數(shù)C的取值

范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行，則。，尸相交或。///，排除；

B./la且/_L/7,故二//夕，當a///?,不能得到/_La且/，尸，滿足；

C.且夕，alIp,則a,7?相交或a//￡,排除；

D.。內(nèi)的任何直線都與尸平行，故二//夕，若。//夕，則a內(nèi)的任何直線都與力平行，充要條件，排除.

故選：B.

【點睛】

本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

2、A

【解析】

首先找出PC與面Q46所成角，根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系

求出所成角的正弦值.

【詳解】

由題知.ABC是等腰直角三角形且NACB=90°,^ABP是等邊三角形，

O

B

設(shè)AB中點為。，連接P。，CO,可知po=逅，CO=—>

22

同時易知AB1CO,

所以AB_L面POC,故NPOC即為PC與面RLB所成角,

PO2+CO2-PC225/2

有cosZ.POC=

2PoeO

故sin4Poe=Vl-cosZPOC=-

3

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.

3,C

【解析】

對。進行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.

【詳解】

a"'=mla'"=2m

分析知，相>0.討論：當時，《，所以""=2,m=2,所以。=及；當0<a<l時，<

a-m=2m

所以優(yōu)'=；,根=所以。=，.綜上，。=±或“=夜，故選C.

【點睛】

本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題，指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象的核心素

養(yǎng).

4、B

【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系，逐項判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】

A選項，若ma,m,，n//a,n///3,則a，或a與P相交；故A錯；

B選項，若;？2〃〃，mVa,則〃_La,又鼠工。,々，夕是兩個不重合的平面，則aP,故B正確；

C選項，若mua,則〃ua或〃〃a或〃與a相交，又〃u尸，a,￡是兩個不重合的平面，則。，或a

與父相交；故C錯;

D選項，若加，〃，m\a,則〃ua或〃〃&或〃與a相交，又〃，夕，/夕是兩個不重合的平面，則a4或a與

尸相交；故D錯；

故選B

【點睛】

本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于常考題型.

5、D

【解析】

先分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出sin|軍1■萬]的值，可進一步得到數(shù)列｛2｝的通項公式，然后代入

q+%+%+…+/轉(zhuǎn)化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.

【詳解】

解：由題意得，當〃為奇數(shù)時，sin(符已))=sin(〃萬+^1)=sin(7+5)=sin言=-1,

當n為偶數(shù)時，sin[---71\-sin[“7+yl=siny=1

所以當〃為奇數(shù)時，。“=-〃=當〃為偶數(shù)時，4=/,

所以q+%+%-1----1*。12

=-12+22-32+42------112+122

=(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

_12x(1+12)

2

=78

故選：D

【點睛】

此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔

題.

6、A

【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程求出右頂點A、右焦點尸的坐標，再求出過點尸與C的一條漸近線的平行的直線方程，通過

解方程組求出點5的坐標，最后利用三角形的面積公式進行求解即可.

【詳解】

由雙曲線的標準方程可知中：a=3,b=4:.c=yla2+b2=5.因此右頂點A的坐標為(3,0),右焦點尸的坐標為

44

(5,0),雙曲線的漸近線方程為：y=±-x,根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點F作平行C的一條漸近線y=-x

44

的直線與C交于點3,所以直線所的斜率為因此直線所方程為：y=-(x-5)9因此點8的坐標是方程組：

y=|u-5)17

彳1732

的解，解得方程組的解為:；，即以三「恁)，所以所的面積為:

__匕

916

32

故選：A

【點睛】

本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用，考查了兩直線平行的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.

7,C

【解析】

由雙曲線G與雙曲線有相同的漸近線，列出方程求出〃?的值，即可求解雙曲線的離心率，得到答案.

【詳解】

222

由雙曲線G：土+上一=i與雙曲線-2-=1有相同的漸近線，

m"2-10

2,解得加=2,此時雙曲線G：^--乙=1,

28

則曲線G的離心率為e=￡=Y孚=6,故選C.

aV2

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，準確運算是解答

的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

求得集合B中函數(shù)的值域，由此求得加8,進而求得人心或①.

【詳解】

由y=?+121,得8=[1,物)，所以Q/=(fU),所以AI率3=[0,1).

故選：A

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補集、交集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得/(〃)=1+2+3+-一+〃,即得解.

n

【詳解】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，

所以〃階幻方對角線上數(shù)的和/(〃)就等于每行(或每列)的數(shù)的和，

又〃階幻方有〃行(或〃列),

1+2+3+…+〃2

因此，f(ri')=

n

1+2+3+…+99+100

于是/(10)==505.

10

故選：C

【點睛】

本題考查了數(shù)陣問題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

10、D

【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=-3時取得極值，得到廣(-3)=0,即可求出結(jié)果.

【詳解】

因為,f(x)=x3+ax2+3x-9,所以/'(X)=+2or+3,

又函數(shù)/(x)=V+加+3x-9在％=-3時取得極值,

所以./(—3)=27—&,+3=0,解得a=5.

故選D

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于常考題型.

11、D

【解析】

31

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，化簡得到2=二-《"再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意’根據(jù)復(fù)數(shù)的運算'可得］=而1+z=（；（l++2z；））（（l1-2z3）=二3-z=丁3」1

3

所對應(yīng)的點為5，-5位于第四象限.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，準確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解

答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為迫，

22

下)1-16

則小正方形的邊長為上，小正方形的面積5=—-1------，

2222)2

則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為

x500?(1-0.866)x500=0.134x500=67'

【點睛】

本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】

根據(jù)AAPQ是等腰直角三角形，且尸為PQ中點可得A/=巧乙再由雙曲線的性質(zhì)可得a+c=L,解出《即得.

a

【詳解】

x=c--

h~

由題，設(shè)點P(c,%)，由-y2,解得％=±幺，即線段PF=￡_,A4PQ為直角三角形，

-z----——l(^z>0,Z?>0)cia

h-

ZPAQ=-9且AP=42,又尸為雙曲線右焦點，PQ過點尸，且尸軸，.?.A尸=依，可得〃+。=幺

2a

2_2

a+c=----—,整理得：2?2+ac-c2=0?即e*-e-2=0，又e>l,e=2.

a

故答案為：2

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，是常考題型.

14、9

【解析】

已知由余弦定理即可求得C=￡,由sin&=」可求得cos4=2叵，即可求得sinA，利用正弦定理即可求得結(jié)果.

42323

【詳解】

「歷A1

由余弦定理/+。2_2a0cosC和/=/+/?2-，可得cosC=，得sinC=>由sin—=—,

2223

A2夜.,一.AA472ac始八

cos—=-----，；.sinA=2sin—cos—=------,由正弦定理------=----—?得c=9.

23229smAsinC

故答案為：9.

【點睛】

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，難度一般.

15、巫

3

【解析】

設(shè)忸用=〃,|傷|=加，由雙曲線的定義得出：忸周=勿+〃,|筋|=加一2右由|AB|=|A用得AB居為等腰三角

形，設(shè)NA8鳥=NA鳥8=6,根據(jù)cosZBA居=(,可求出J_5忸目=5"，得出機=2”，再結(jié)合焦點

8

4|AF2|m

三角形ABFF2,利用余弦定理：求出。和c的關(guān)系，即可得出離心率.

【詳解】

解:T^\BF2\=n,\AF2\=m,

由雙曲線的定義得出：

忸周一忸鳥|=2凡則忸制=2。+〃，

|然|一|秋|=2。,則|4耳|=相_勿,

由圖可知：|Afj|=4a+〃一加,

又\AB\=\AF2\,

即而+〃一加二相，

則21n=4々+〃，

???AA8Q為等腰三角形，

7

cosZBAF2=—,

?.20+ZBAF2=7r9則2。=乃一N8AK，

7

cos20=cos("-ZBAF)=-cosBAF=——,

228

071

即cos26=2cos2。-1二一一,解得：cos6=—,

84

1

,￡—77=_1，解得：〃2=2〃，

m4

4

4〃=4Q+〃，即3〃=4。，解得：n=—a,

3

8

m=-a,

3

在中，由余弦定理得:

忸"廣+忸用2一-段

cosZFJBF2=cos0=

2忸用忸鳥4

flO￥f4Y2

W+Uc?」=『J+口Yu,

即:

2（2a+/z）?〃4c1。44

v72x——ax—a

33

解得：e2=^=—,即e=￡=口色.

a236a3

故答案為：巫.

3

【點睛】

本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.

16、12821

【解析】

令x=0,求得“。+6+。2++4+%的值?利用［3—(1+x)］展開式的通項公式，求得生的值.

【詳解】

令x=0,得4+q++%=27=128.［3-(1+”了展開式的通項公式為337-［一(1+力］'，當r=6時，為

C^3'(1+X)6=21(1+X)6,即4=21.

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)—+y2=l(2)拽

2-3

【解析】

42

(D由直線X+y=1可得橢圓右焦點的坐標為(1,0),由中點加可得玉+W=**+%=(,且由斜率公式可得

上工=-1,由點A5在橢圓上，則1+二=1國+母=1，二者作差，進而代入整理可得/=2b2，即可求解；

X?—%aba廳

(2)設(shè)直線l：y=kx點A,B到直線I的距離為4,d2，則四邊形的面積為S=^\CD\-dl+^\CD\-d2=(4+4),將

y=^代入橢圓方程，再利用弦長公式求得|C￡>|,利用點到直線距離求得4,4,根據(jù)直線/與線段A5(不含端點)相交,

可得X0-+g)<0,即氏〉進而整理換元，由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.

【詳解】

(D直線x+y=1與X軸交于點(1,0),所以橢圓右焦點的坐標為(1,0),故c=1,

因為線段A8的中點是M

設(shè)A&,y）,6（馬,必），則為+%=［，乂+%=］，且:

又￡+￡=i,M+g=i,作差可得立■+￡￡=（）,

a優(yōu)廿crbz

貝^（.一飛）!遇+%）+（%+=o,得/=2b2

a'b

又/=〃+c2c=1,

所以〃=2,〃=1,

因此橢圓的方程為1+9=1.

24

X21X———

—+V=1x=03

(2)由(1)聯(lián)立《2，解得,或，

y=l1'

x+y=1y=—

3

不妨令4(0,1),唱,一),易知直線i的斜率存在，

設(shè)直線/：丁=依，代入[+y2=],得(2公+1,2=2,

■JlJ1

解得.而場或一環(huán)？

/o2/9

設(shè)。(工,必),。(辱乂),則卜7人五幣+行廠而下,

2

貝！J|co|=J1+二k-x4|=\J\+k

w+1

因為40,1),展,-1到直線>=履的距離分別是1，/」3*:，

㈠314一4‘4一k

由于直線/與線段(不含端點)相交，所以(％xO-+即上〉一

133)4

4^44

+§(E)

所以4+4=313

川+公

四邊形AC8。的面積5=*。|0+*。|4=*。|(4+4)=警?品

3

令攵+1=，/>—,則2公+1=2/一41+3,

4

。4夜t4&I?401-

所以3,29一4/+33丫2產(chǎn)—由+331_4+^1

11c1_4g

當_=2即上=5時,%-_=逑W-X尸|場一亍，

t32V12

因此四邊形ACBD面積的最大值為生亙.

3

【點睛】

本題考查求橢圓的標準方程，考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算能力.

2

18、(I)91%；(H)］；(ID)兩次活動效果均好，理由詳見解析.

【解析】

(I)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求解即可；

(II)設(shè)抽到“高誠信度”的事件為4,則抽到“一般信度”的事件為B,則隨機抽取兩周，則有兩周為“高誠信度”事件

為C,利用列舉法列出所有的基本事件和事件C所包含的基本事件，利用古典概型概率計算公式求解即可；

(m)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.

【詳解】

(I)表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)

_95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+961

x---------------------------------------------x——=9n1i%o/.

12100

(II)設(shè)抽到“高誠信度”的事件為4,則抽到“一般信度”的事件為B,則隨機抽取兩周均為“高誠信度”事件為C,總

的基本事件為A4、44、44、AA、44、44、4A、44、AA、AA、4以4氏4氏、共15種,

事件C所包含的基本事件為44、AA、44、AA、44、&4、&4、4&、4&、444共10種，

102

由古典概型概率計算公式可得，P(C)=^=-.

(ni)兩次活動效果均好.

理由：活動舉辦后，“水站誠信度，由88%—94%和80%—85%看出，后繼一周都有提升.

【點睛】

本題考查平均數(shù)公式和古典概型概率計算公式；考查運算求解能力；利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典

概型概率的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.

7

19、(1)證明見解析(2)-

8

【解析】

(1)由題意，先求得P為8。的中點，再證明平面HW5//平面E0P,進而可得結(jié)論；

(2)由題意，當點P位于點8時，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.

【詳解】

(1)證明：當四面體EOPC的外接球的表面積為5兀時.

則其外接球的半徑為由.

2

因為ABCD時邊長為2的菱形，CDEF是矩形.

ED=\,且平面CDEEL平面

則平面ABC。，EC=M.

則EC為四面體EOPC外接球的直徑.

所以NEPC=90。，即CB_L￡：P.

由題意，CB±ED,EPED=E,所以CBLOP.

因為N84D=N5c￡>=60。，所以P為8c的中點.

記AO的中點為M，連接MH,MB.

則MBPDP,MHPDE,DEcDP=D,所以平面“M3//平面EDP.

因為HBu平面HMB，所以HB//平面EDP.

(2)由題意，EDlYffiABCD,則三棱錐￡—DPC的高不變.

當四面體E0PC的體積最大時，△OPC的面積最大.

所以當點P位于點3時，四面體EDPC的體積最大.

以點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。一砂z.

則。(0,0,0),￡(0,0,1),5(73,1,0),H,C(0,2,0).

所以。5=(G,l,0),DH=,EC=(O,2,-l),￡B=(V3,1,-1).

設(shè)平面"DB的法向量為團=(X］，x，zJ.

DB-m-6x、+y=0,

J3I?

DH,m=—X,—y.H—z.=0,

212121

令X1=l,得"2=(1,-8

設(shè)平面EBC的一個法向量為/i=(x2,y2,z2).

EC-n-2y,-z,=0,

則r-

EBn=V3X2+y2-z2=0,

令％=3,得“=(6,3,6).

設(shè)平面與平面EPC所成銳二面角是。，貝！|cose=

7

所以當四面體EDPC的體積最大時，平面“0P與平面EPC所成銳二面角的余弦值為

【點睛】

本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運用平面與平面的平行、線面

平行的判定，利用好空間向量是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

幾

20、(1)%=2〃+1；(2)7；,=-~

6〃+9

【解析】

試題分析：(D設(shè)等差數(shù)列｛%｝滿的首項為為,公差為"，代入兩等式可解

⑵由⑴-2〃+1,代入得的臼*-荒，所以通過裂項求和可求得小

q+2d=7[4=3

試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則由題意可得cc/，解得C

2q+10d=26[d=2

所以a”=3+2(n-l)=2n+l.

11

(2)因為%=-----=

aa(vv

nn+\(2〃+1)(2〃+3)

______

所以C,212〃+12n+3)

_if11,1111Vn

所以“―5[§一弓+^_'++2?+l-2n+3)~2\3~2n+3J6n+9

21、(1)cos2。=1(。G(,一))(2)5

44

【解析】

（1）首先消去參數(shù)得到曲線的普通方程，再根據(jù)X=QCOS6,y=psin。，得到曲線的極坐標方程;

（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得解;

【詳解】

e'+e'

x---------

9

解：（1）曲線C：〈,消去參數(shù)/得到：x2-y2=](xzl),

e-e

y=--------

2

由x=/?cos6,y=psinff,

得p1cos20-p2sin26=1(6e

44

所以22cos2。=1(。

'c1

x=2+—j=m

5

⑵v2代入/一產(chǎn)二1,

y=-m

3o4

：.—m~——產(chǎn)，〃-3=0

575

設(shè)PA=g,PB=m2,由直線的參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義得:

叫阿=帆町|=5

【點睛】

本題考查參數(shù)方程、極坐標方程、普通方程的互化，以及直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題.

22、(1)單調(diào)增區(qū)間(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(F,0),(2,”)；(2)有2個零點，證明見解析；⑶

【解析】

(1)對函數(shù)/(X)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)f(X)的正負判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間即可;

2

⑵函數(shù)g(x)=--/?,(x>0)<2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;

ex

1y21

(3)記函數(shù)F(x)=/(x)-(尤-與=上-尤+<龍>0,求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得F(l)-F(2)<0,由零點存在性定理及單

xexx

調(diào)性知存在唯一的x°e(l,2),使/(%)=0,求得〃(x)為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當尤〉/時，利用函數(shù)的單

調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為2c4〃(4面的問題;②當0<x</時，當cWO時,力'(幻>0在(0,%)上恒成立，從而求得c的取

值范圍.

【詳解】

⑴由題意知dej-2J列表如下：

X(-8,0)0(0,2)2(2收)

f,(x)—0+0—

/(x)極小值極大值

所以函數(shù)“X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(9,0),(2,+8).

2

Y

(2)函數(shù)g(x)=j-a,(x20)有2個零點.證明如下:

44

因為Ovm<-r時，所以g(2)=二一〃2>0,

ee

因為g(X)=-27)，所以g(6〉0在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

e

由g(2)〉0,g(())=—加<0,且g(x)在(0,2)上單