2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)二中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下列各題四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)是符合題意的.

1.（2分）下列各曲線是在平面直角坐標(biāo)系xO），中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心

對(duì)稱圖形的是（）

2.（2分）拋物線y=（x-4）2+34561的對(duì)稱軸是（）

A.x=4B.x=1C.x=-1D.x=-4

3.（2分）關(guān)于x的一元二次方程（w-1）x^+x+m2-1=0的一個(gè)根為0,則加為（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

4.（2分）拋物線y=（x-2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-2,-1）B.（-2,1）C.（2,-1）D.（2,1）

5.（2分）如圖，A,B,C是。。上的點(diǎn)，如果N8OC=120°,那么的度數(shù)是（）

6.（2分）在aABC中，C4=CB,點(diǎn)。為AB中點(diǎn).以點(diǎn)C為圓心，C。長為半徑作

則0C與A8的位置關(guān)系是（）

c

A.相交B.相切C.相離D.不確定

7.（2分）用配方法解方程7+4x=l,變形后結(jié)果正確的是（）

A.（x+2）2=5B.（x+2）2=2C.（%-2）2=5D.（%-2）2-=2

8.（2分）二次函數(shù)y=a/+fex+c（”W0）的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）

C.a+h+c>0D.4a-2b+c=0

二、填空題（本題共16分,每小題2分）

9.（2分）如果點(diǎn)A（3,-2）與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么點(diǎn)8的坐標(biāo)是.

10.（2分）將拋物線）=2?向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為.

11.（2分）若關(guān)于x的一元二次方程/-2x+A=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則％的取值范圍

是.

12.（2分）在一個(gè)不透明袋子中有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外無其他差別.從

袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，則取出紅球的概率是.

13.（2分）若點(diǎn)A（-1,yi）,B（2,”）在拋物線.y=2,上，則>[,”的大小關(guān)系為:

），1y2.（選填“<或“=”）

14.（2分）已知拋物線ynaf+bx+c（aWO）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表:

X…-2-10123

y?,??50-3-4-30

那么該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

15.（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,若/D4E=110°,ZB=40°,

則/C的度數(shù)為

A

E

DC

16.（2分）斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書?律歷志》記載：“斛底，方而圜（hu6n）

其外，旁有魔（tiao）焉意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)

同心圓.”如圖所示.問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“龐

旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形

的邊長為尺.

三、解答題（本題共68分，第17-22每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27,28題,

每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.計(jì)算下列各題

17.（5分）解方程：，-2x-3=0.

18.（5分）解方程：2?-9x+10=0.

19.（5分）已知：二次函數(shù)y=/-4x+3.

（1）求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在坐標(biāo)系中畫出圖象，并結(jié)合圖象直接寫出y<0時(shí)，自變量x的取值范

20.（5分）已知：如圖，4為上的一點(diǎn).

求作：過點(diǎn)A且與。0相切的一條直線.

作法：

①連接。4；

②以點(diǎn)A為圓心，OA長為半徑畫弧，與。。的一個(gè)交點(diǎn)為B,作射線OB；

③以點(diǎn)3為圓心，04長為半徑畫弧，交射線。8于點(diǎn)尸（不與點(diǎn)。重合）:

④作直線PA.

直線外即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接54.

由作法可知BO=BA=BP.

...點(diǎn)A在以O(shè)P為直徑的圓上.

：.ZOAP=90°（）（填推理的依據(jù)）.

'.'OA是。。的半徑，

.?.直線力與00相切（）（填推理的依據(jù)）.

21.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，二次函數(shù))，=/+加什〃的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),B

(3,4).求此二次函數(shù)的解析式及函數(shù)圖象的對(duì)稱軸.

22.(5分)如圖，在正方形ABCZ)中，射線AE與邊C。交于點(diǎn)E,將射線4E繞點(diǎn)4順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，與CB的延長線交于點(diǎn)F,BF=DE,連接FE.若ZD4E=30°,DE=2,求

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求。的取值范圍.

24.(6分)學(xué)校附近順天府超市銷售一種進(jìn)價(jià)為10元/雙的手套，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種手套每

天的銷售量卬(雙)與銷售單價(jià)x(元)滿足w=-2x+40(10<x<20),設(shè)銷售這種手

套每天的利潤為y(元).

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤最大？最大利潤是多少？

25.(6分)如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位時(shí)，4B寬20m,水位上升

到警戒線CD時(shí)，CC到拱橋頂E的距離僅為1〃?，這時(shí)水面寬度為10〃?.

(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中求拋物線的解析式；

(2)若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.3m的速度上升，從正常水位開始，持續(xù)多少小時(shí)

到達(dá)警戒線？

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，拋物線-2n?x-1與y軸交點(diǎn)為4.

(1)求拋物線的對(duì)稱軸和4的坐標(biāo)；

(2)橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn)，已知點(diǎn)8(2,0),記拋物線與直線A8所圍的封閉

區(qū)域?yàn)閳D形W(不含邊界)，

①當(dāng)〃?=1時(shí)，直接寫出圖形W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若圖形W內(nèi)恰好有一個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求，”的取值范圍.

27.(7分)如圖，AC與OO相切于點(diǎn)C,48經(jīng)過上的點(diǎn)力，BC交。。于點(diǎn)E,DE//

OA,CE是。。的直徑.

(1)求證：A3是。。的切線；

(2)若BD=4,CE=6,求4c的長.

28.(7分)點(diǎn)P為平面直角坐標(biāo)系xOy中一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圖形M上一點(diǎn)，我們將線段PQ長

度的最大值與最小值之間的差定義為點(diǎn)P視角下圖形M的“包容度”.

如圖，。0半徑為2,與x軸交于點(diǎn)4,B,點(diǎn)P(2,3).

(1)在點(diǎn)P視角下，。。的“包容度”為，線段AB的“包容度”為;

(2)點(diǎn)、M(m,0)為x軸上一點(diǎn)，若在點(diǎn)P視角下，線段AM的“包容度''為2,寫出

2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)二中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下列各題四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)是符合題意的.

1.（2分）下列各曲線是在平面直角坐標(biāo)系xO），中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解.在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形.這個(gè)旋

轉(zhuǎn)點(diǎn)，就叫做中心對(duì)稱點(diǎn).

【解答】解：選項(xiàng)4、B、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和

原圖形完全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)C能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是

中心對(duì)稱圖形，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形的概念.中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)

180度后與原圖重合.

2.（2分）拋物線y=（x-4）2+1的對(duì)稱軸是（）

A.x=4B.x=1C.x=-1D.x=-4

【分析】由拋物線的解析式，直接寫出該拋物線的對(duì)稱軸.

【解答】解：；拋物線y=(x-4)2+1

該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握拋物線解析式的頂點(diǎn)式.

3.(2分)關(guān)于x的一元二次方程(川-1)x2+x+m2-1=0的一"根為0,則“為()

A.0B.1C.-1D.1或-1

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=0代入原方程列出關(guān)于"，的方程，通過解

該方程來求m的值；注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于零.

【解答】解：依題意，得

m1-1=0,且m-1#0,

解得m=-1.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義，一元二次方程的定義.注意，一元二次

方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0,這是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)，需要同學(xué)們注意.

4.(2分)拋物線y=(x-2)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(2,1)

【分析】已知拋物線的頂點(diǎn)式，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

【解答】解：(x-2)2+1是拋物線的頂點(diǎn)式，

根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，

對(duì)稱軸為直線x=2,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),對(duì)稱

軸是直線x=/?.

5.(2分)如圖，A,B,C是上的點(diǎn)，如果NBOC=120°,那么NBAC的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據(jù)圓周角定理即可解答.

【解答】解：因?yàn)榍八鶎?duì)的圓心角是/30C,前所對(duì)的圓周角是NBAC,

所以：ZBAC=AZBOC=AX120°=60°,

22

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題

的關(guān)鍵.

6.(2分)在△ABC中，C4=CB,點(diǎn)。為AB中點(diǎn).以點(diǎn)C為圓心，CO長為半徑作OC,

則OC與4B的位置關(guān)系是()

C.相離D.不確定

【分析】連接CO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OCLA8,于是得到點(diǎn)C到A8的距離等

于OC的半徑，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接C。，

???CA=CB,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，

：.OCLAB,

,：以點(diǎn)C為圓心，CO長為半徑作。C,

...點(diǎn)C到AB的距離等于0C的半徑，

OC與AB的位置關(guān)系是相切，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方

法是解題的關(guān)鍵.

7.(2分)用配方法解方程*2+4X=1,變形后結(jié)果正確的是()

A.G+2)2=5B.(x+2)2=2C.(%-2)2=5D.(%-2)2-=2

【分析】兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

【解答】解：?+4x=l,

則，+4x+4=l+4,即(x+2)2=5,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本題的關(guān)鍵.

8.（2分）二次函數(shù)y=〃/+bx+c（“r0）的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）

C.a+b+c>0D.4a-2b+c=0

【分析】由拋物線的對(duì)稱軸判斷選項(xiàng)A；結(jié)合函數(shù)圖象判斷選項(xiàng)8；令x=l判斷選項(xiàng)C；

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可判斷選項(xiàng)D.

【解答】解：A、對(duì)稱軸是直線x=-旦=1,

2a

:.b=-2a,故選項(xiàng)A不符合題意；

8、由函數(shù)圖象知，拋物線交y的負(fù)半軸，

c<0,故選項(xiàng)8不符合題意；

C、由圖可知：當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c<0,故選項(xiàng)C不符合題意；

D、由圖可知：對(duì)稱軸是直線x=l,圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（4,0）,

另一個(gè)交點(diǎn)為（-2,0）,

當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c=0,故選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)對(duì)稱性、二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系和二次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.解題的關(guān)鍵理解函數(shù)圖象與不等式之間的關(guān)系.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）如果點(diǎn)A（3,-2）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么點(diǎn)8的坐標(biāo)是（-3,2）.

【分析】利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)（橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)）

可得答案.

【解答】解：?.?點(diǎn)4（3,-2）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-3,2）,

故答案為：（-3,2）.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，

它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

10.（2分）將拋物線）=2?向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為y=2，+3.

【分析】直接利用二次函數(shù)圖象平移規(guī)律得出平移后解析式.

【解答】解：將拋物線y=2?向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為：y=2?+3.

故答案為：）'=2^+3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確記憶平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.

11.（2分）若關(guān)于x的一元二次方程/-公+4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則A的取值范圍

是k<\.

【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到（-2）2-4k>0,然后解不等式即可.

【解答】解：根據(jù)題意得△=（-2）2-4X%>0,

解得A<1.

故答案為：k<l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+bx+c=0（a#0）的根與A=廬-4ac

有如下關(guān)系，當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.上面的結(jié)論反過來也成立.

12.（2分）在一個(gè)不透明袋子中有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外無其他差別.從

袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，則取出紅球的概率是3.

一5一

【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二

者的比值就是其發(fā)生的概率.

【解答】解：???在一個(gè)不透明袋子中有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，共5個(gè)球，

取出紅球的概率是S.

5

故答案為：1.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，

其中事件4出現(xiàn)機(jī)種可能，那么事件4的概率尸（4）=%.

n

13.（2分）若點(diǎn)A（-1,yi）,B（2,”）在拋物線.y=27上，則yi,"的大小關(guān)系為：

V1<V2.（選填“〉”“<或“=”）

【分析】將點(diǎn)A,8坐標(biāo)代入解析式求解.

【解答】解：將A（-1,yi）＞B（2,j2）代入y=2%2得yi=2,"=8,

?'-y\＜y2.

故答案為：＜.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握

二次函數(shù)與方程的關(guān)系.

14.（2分）已知拋物線丫=a/+加;+，（a#0）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表:

x…-2-10123…

y…50-3-4-30…

那么該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-4）.

【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求解.

【解答】解：???拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0,-3）,（2,-3）,

二拋物線對(duì)稱軸為直線x=l,

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-4）.

故答案為：（1,-4）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，由拋物線的對(duì)稱

性求解.

15.（2分）如圖,將△ABC繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AQE,若ND4E=110°,ZB=40°,

則/C的度數(shù)為30°.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/D4E=NBAC,由三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

【解答】解：將△A8C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

.?.NO4E=/BAC=110°,

VZB=40°,

AZC=1800-ZB-ZBAC=180°-40°-110°=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問

題是本題的關(guān)鍵.

16.（2分）斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書?律歷志》記載：“斛底，方而圜（hudn）

其外，旁有鹿（tiao）焉意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)

同心圓.”如圖所示.問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“鹿

旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形

的邊長為尺.

【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)確定△CDE為等腰直角三角形，CE為直徑，根據(jù)題意求出正

方形外接圓的直徑CE,求出CQ,問題得解.

【解答】解：如圖，

?.?四邊形COE尸為正方形，

AZD=90°,CD=DE,

:.CE為直徑,ZECD=45°,

由題意得48=2.5,

CE=2.5-0.25X2=2,

:?CD=匹CE=匹

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形外接圓的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是判斷出正

方形對(duì)角線為其外接圓直徑.

三、解答題（本題共68分，第17-22每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27,28題,

每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.計(jì)算下列各題

17.（5分）解方程：7-2x-3=0.

【分析】通過觀察方程形式，本題可用因式分解法進(jìn)行解答.

【解答】解：原方程可以變形為（x-3）（x+1）=0

x-3=0或x+l=0

??X1=3,X2=-1.

【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程.注意：常數(shù)項(xiàng)應(yīng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且

這兩個(gè)的和應(yīng)等于一次項(xiàng)系數(shù).

18.（5分）解方程：2x2-9x+10=0.

【分析】方程利用公式法求出解即可.

【解答】解：這里a=2,b=-9,c=10,

（-9）2-4X2X10=l>0,

?v一-b±Vb2-4ac_9±1

??A.......................,

2a2X2

?*.xi=—,X2=2.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵.

19.（5分）已知：二次函數(shù)y=/-4x+3.

（1）求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在坐標(biāo)系中畫出圖象，并結(jié)合圖象直接寫出yVO時(shí)，自變量x的取值范

yA

5-

4-

3-

2-

圍.

【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，將y=0代入解析式可

得拋物線與x軸交點(diǎn)，將x=0代入解析式可得拋物線與y軸交點(diǎn).

（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式作出圖象，根據(jù)圖象求解.

【解答】解：（1）-4x+3=（x-2）2-1,

二拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,

將y=0代入y=7-4x+3得0=7-4x+3,

解得xi=3,xi—1,

...拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（L0）,（3,0）.

將x=0代入y—x2-4x+3得y=3,

.,.拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）.

由圖象可得l<x<3時(shí)，y<0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握

二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.

20.（5分）已知：如圖，A為上的一點(diǎn).

求作：過點(diǎn)A且與。0相切的一條直線.

作法：

①連接。4

②以點(diǎn)A為圓心，OA長為半徑畫弧，與的一個(gè)交點(diǎn)為8,作射線03；

③以點(diǎn)8為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線08于點(diǎn)P（不與點(diǎn)。重合）；

④作直線PA.

直線以即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接84.

由作法可知BO=BA=BP.

...點(diǎn)A在以。尸為直徑的圓上.

：.ZOAP=90Q（直徑所對(duì)的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）.

,：OA是的半徑，

直線PA與00相切（過半徑的外端與半徑垂直的半線是圓的切線）（填推理的依

據(jù)）.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）利用圓周角定理解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖，直線以即為所求;

（2）連接BA.

由作法可知BO=BA=BP.

.?.點(diǎn)4在以。尸為直徑的圓上.

...NOAP=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）,

是。。的半徑，

直線PA與O。相切(過半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線).

故答案為：直徑所對(duì)的圓周角是直角，過半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈

活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

21.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=/+mr+〃的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),B

(3,4).求此二次函數(shù)的解析式及函數(shù)圖象的對(duì)稱軸.

【分析】把A、B的坐標(biāo)代入)，=7+加計(jì)”，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一般式，化成頂點(diǎn)

式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：???二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),B(3,4)；

.Jn=1,

I9+3mtn=4

解得：卜戶2,

In=l

.,.y—x2,-2x+l,

Vy=x2-2x+l=(x-I)2,

函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=\.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，

熟知待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

22.(5分)如圖，在正方形中，射線AE與邊CZ)交于點(diǎn)E,將射線AE繞點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，與CB的延長線交于點(diǎn)F,BF=DE,連接FE.若ND4E=30°,DE=2,求

EF的長.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到4B=AO,NABC=/。=NBAD=90°,求得NABF=

90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=4E,ZBAF=ZDAE,證出是等腰直角三

角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=2Q￡=4,于是得到結(jié)論.

【解答】解：；四邊形A8CZ)是正方形，

：.AB=AD,ZABC=ZD=ZBAD=90°,

.,.NA8F=90°,

在△A8F與△AOE中，

，AB=AD

<ZABF=ZD=90°，

BF=DE

，XABF空/\ADE(SAS),

：.AF=AE,NBAF=NDAE,

：.ZBAF+ZBAE=ZDAE+ZBAE=90a,

AZM￡=90°,

...△A￡F是等腰直角三角形，

在RtAADE中，ZD=90°,NDAE=30°,DE=2,

：.AE=2DE=4,

EF=I/AE2+AF2=V42+42=4弧?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角

三角形的判定和性質(zhì)，證得△ABF也△AOE是解題的關(guān)鍵.

23.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程？-(a+2)x+“+l=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求〃的取值范圍.

【分析】(1)計(jì)算根的判別式的值得到△=/2()，則根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論：

(2)利用求根公式解方程得到Xl=l,X2=4+l,再根據(jù)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)得

到a+121.所以且。為整數(shù).

【解答】(1)證明：：△=[-(。+2)]2-4(67+1)

=。-+4〃+4-4。-4

=〃2,

;冷0,

...方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)解：尸火土包,

2

??XI=1,XI—。+1,

V方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，

解心0,

：.a的取值范圍為且a為整數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的意義.

24.（6分）學(xué)校附近順天府超市銷售一種進(jìn)價(jià)為10元/雙的手套，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種手套每

天的銷售量w（雙）與銷售單價(jià)x（元）滿足w=-2A+40（10<x<20）,設(shè)銷售這種手

套每天的利潤為y（元）.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】（1）用每雙手套的利潤乘以銷售量得到每天的利潤；

（2）由（1）得到的是一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求出最大利潤以及銷

售單價(jià).

【解答】解：（1）y=w（x-10）

=（-2x+40）（x-10）

=-2X2+60X-400；

（2）y=-2（x-15）2+50,

V10<A:<20,a=-2<0,

，當(dāng)x=15時(shí)，yja大值=50.

答：當(dāng)銷售單價(jià)定為每雙15元時(shí)，每天的利潤最大，最大利潤為50元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是（1）根據(jù)題意得到二次函數(shù)；（2）

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

25.（6分）如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位時(shí)，寬20〃?，水位上升

到警戒線C￡>時(shí)，C￡>到拱橋頂E的距離僅為1%,這時(shí)水面寬度為10〃?.

（1）在如圖所示的坐標(biāo)系中求拋物線的解析式；

（2）若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.3加的速度上升，從正常水位開始，持續(xù)多少小時(shí)

到達(dá)警戒線？

【分析】(1)首先設(shè)所求拋物線的解析式為：＞=/(a#0),再根據(jù)題意得到C(-5,

-1),利用待定系數(shù)法即可得到拋物線解析式；

(2)根據(jù)拋物線解析式計(jì)算出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到F點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算出EF的長，再

算出持續(xù)時(shí)間即可.

【解答】解：(1)設(shè)所求拋物線的解析式為：、=加(a￥O),

?.?由CD=10機(jī)，CD到拱橋頂E的距離僅為\m,

則C(-5,-1),

把C的坐標(biāo)分別代入丫=/得：。=-安，

故拋物線的解析式為y=-親2：

(2)-AB寬20m,

.,.設(shè)4(-10,b),

把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式為y=-Xr2中,

解得：b=-4,

：.F(0,-4),

；.EF=3,

?.?水位以每小時(shí)0.3團(tuán)的速度上升，

.*.34-0.3=10(小時(shí)),

答：從正常水位開始，持續(xù)10小時(shí)到達(dá)警戒線.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確得到C點(diǎn)坐標(biāo)，求出拋物線解析

式.

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線了="?%2-2蛆-1與y軸交點(diǎn)為4.

（1）求拋物線的對(duì)稱軸和A的坐標(biāo)；

（2）橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn)，已知點(diǎn)8（2,0）,記拋物線與直線A8所圍的封閉

區(qū)域?yàn)閳D形W（不含邊界），

①當(dāng)〃?=1時(shí)，直接寫出圖形W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若圖形W內(nèi)恰好有一個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求，”的取值范圍.

【分析】（1）直接利用對(duì)稱軸公式計(jì)算，即可得出拋物線的對(duì)稱軸，再令x=0,即可求

出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）①先確定出拋物線解析式，即可得出結(jié)論；

②先判斷出滿足條件的整數(shù)點(diǎn)由（1,-1）,進(jìn)而拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的范圍即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）：拋物線的解析式為、=〃措-2,內(nèi)-1

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-二2更=1,

2m

令x=0,則y=-1,

AA（0,-1）；

（2）①當(dāng)相=1時(shí)，拋物線的解析式為y=?-2x-1,

由（1）知，A（0,-1）,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

???拋物線還經(jīng)過（2,-1）,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-2）,

...圖形W內(nèi)的整點(diǎn)只有(1,-1)一個(gè);

?.?圖形W內(nèi)有1個(gè)整數(shù)點(diǎn)，

2

當(dāng)m>0時(shí)，則-2W4mxI)-⑵)<-],

4m

2

當(dāng)機(jī)<o時(shí)，則o<里左(二L)二②1,

4m

.,.0<wtWl或-2Wm<-1.

【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線對(duì)稱軸的確定，函數(shù)圖象的畫法，

頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

27.(7分)如圖，4c與OO相切于點(diǎn)C,A8經(jīng)過上的點(diǎn)力，BC交。。于點(diǎn)E,DE//

OA,CE是OO的直徑.

(1)求證：A3是。。的切線：

(2)若80=4,CE=6,求4c的長.

【分析】(1)連接OD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NO￡)E=NA。。，ZDEO=ZAOC,根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NOEQ=/OQE,即可得出NAOC=/AO。，進(jìn)而證得△AOD

絲△AOC(SAS),得到NA￡>O=/ACB=90°,即可證得