第09講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

0目標導航

課程標準課標解讀

1.理解與掌握兩角差與和的余弦公式；

2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的

通過本節課學習，要求會利用兩角和與差的正弦、余弦、

正弦、正切公式；

正切公式進行三角函數式的求值、化簡及證明.

3.能利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公

式求值(角)、化簡、證明等問題的解決.

視知識精講

*、知識點

1.兩角差的余弦公式

(1)公式內容:對于任意角a,B，有cosQa-B)=.cosacosS+sinasin夕.簡記為C(“).

(2)公式推導：①利用三角函數線推導.②利用向量法推導.

2.兩角和的余弦公式

(1)公式內容：對于任意角a,B，有cos(a+用)=cosacos)ff-sinasinp.簡記為C(a+#.

(2)公式推導：

在公式C<*小中，將￡用-6來替換，并且注意到cos(一或)=cos^,sin(-/0=-sin4，

于是cos(a+6)=cos[a-(/)]=cosacos(/)+sinasin(/)=cosacosy?-sinasin/J.

即cos(a+/?)=cosacos4一sinasinp.

3.兩角和與差的正弦公式

(1)公式內容：對于任意角a,}有sin(a士戒)=sinacosy?icosccsinp.簡記為S(a±.).

(2)公式推導：

運用差角的余弦公式及誘導公式，可得

sinQa+B)=cos[-(a+￡)]

=cos[(^-a)-fi\=cos(]-?)cos夕+sin(1-a)siny?=sin<xcos/？+cosctsinp.

運用差角的余弦公式C,0+例及誘導公式，可得

JT

sin(a-/D=cos[—-(a-^?)]

7^

=cos[(—-a)+y8]=cos(--a)cos勺sin(]-?)sin^?=sinacos^?-cosasinfi.

4.兩角和與差的正切公式

⑶】“土

(1)公式內容：tan(a垓)=tan/?(加小a±p^-+kit,k5).簡記為T<前).

1.tanatan尸2

(2)公式推導：

當cos（a+夕）用時，將公式Ss+份,Cs+m的兩邊分別相除,

sinacos/?+cosasinp

有tan有+尸）

cosacos￡一sicasinp

若cosacos￡，0,將上式的分子、分母分別除以cosacos少,

tana+tan/?

得tan(a+S)

1-tanatan/7

在Tg+伊中，將￡用來替換，可得tan(a-￡)=tan[a+(-/?)]=tana+tan(-/7)=tan"-tan￡

1-tanatan(一/)1+tanatan/7

【即學即練1】cos20°=（）

A.cos30°cos100-sin30°sin10°B.cos30°cos100+sin30°sin10°

C.sin30°cos10°-sin10°cos30°D.cos30°cos100-sin30°cos10°

【答案】B

【分析】

根據余弦的差角公式計算求解即可.

【詳解】cos20°=cos(30-10)=cos30cos10+sin30sin10

故選：B

【即學即練2】cos75。的值為()

A瓜+&>o>/6—V2「\[6—y/2n>/6+5/2

4444

【答案】B

【分析】

直接利用兩角和的余弦公式即可得出答案.

【詳解】COS75°=cos（450+30。）=cos45°cos300-sin45°sin30°

夜6血1屈_及

=-------X--------------------X—=-------------------.

22224

故選：B.

【即學即練3】計算sin46Ocosl4o+sin44Ocos76。的結果等于（）

A.-B.—C.正D.且

2223

【答案】C

【分析】

結合誘導公式、兩角和的正弦公式求得正確答案.

【詳解】

原式=sin46°cosl40+sin（90°-46°）cos（90°—14。）

=sin46°cos140+cos46°sin14°=sin（46°+14°）=sin60°=

故選：C

【即學即練4]若tan[?-a）=3,則tana的值為（）

A.—2B.—C.~D.2

22

【答案】B

【分析】

利用再結合兩角和差的正切即可得到答案.

【詳解】

故選：B.

【即學即練5］已知28s（萬+9）=sin（—夕），則tan3+?=（

）

A.-B.-C.—1D.-3

53

【答案】D

【分析】

利用誘導公式和同角三角函數關系可求得tan。，由兩角和差正切公式可求得結果.

【詳解】

sin0

由2cos(乃+e)=sin(-6)得:—2cos〃=—sing,tan0--------=2,

cos，

八冗

tan0+tan

/.tan16+?4=出=-3

<八九1-2

1-tan0tan—

4

故選：D.

1rI(九

【即學即練6]己知cosa=m，a￡(0,],則cos[a-§

5

【答案】喑

【分析】

由題知sina=短，進而根據余弦的差角公式計算即可.

5

【詳解】

因為cosa=—G|0,

所以sina=Jl-cosa

所以cos|a-g=8sa8s2+sina.si/」」+偵x@=21

33525210

故答案為：匕述

10

【即學即練7】已知。為鈍角，夕為銳角滿足cosa=-*,sin〃=巫，則力二

510

3冗

【答案】a

【分析】

根據已知得sina=@,cos〃=亞，進而根據余弦的差角公式結合角的范圍求解即可.

510

【詳解】

由于a為鈍角，夕為銳角，cosa=-竽,sin￡=^

所以sina=gcos”酒,

510

所以cos(a-p)=cosacos/+sinasin0

2石3x/io亞Vio

=-------X---------1-----X------

510510

__V2

~2

37r

又因為a為鈍角，夕為銳角，所以。<"尸5所以"夕一

3兀

故答案為：—

4

[即學即練8]2c2s5。*25。

sin65°

【答案】6

【分析】

由題意觀察出角之間的關系為5。=30。-25。，65。=90。-25。，故原式轉化為包竺二也二把竺，利用

cos25°

兩角差的余弦公式化簡求解.

【詳解】

2cos50-sin25。2cos（30°-25°）-sin25°

sin65°cos25°

版os250+sin250-sin25°

cos25°

=>/3.

故答案為：&

Q能力拓展

考法01

兩角和與差的正、余弦、正切公式

【典例1]COSE的值為()

12

D76-72

AA?--------0.--------

24

V6+V2

cD.G

4

【答案】C

【解析】cos2=cos(---)=cos—cos—4-sin—sin—=—x^-+—x-^-=+.故選C.

1234343422224

【解題必備】S，a妙：sin(a切)=sinacos^icosasinf}.

C＜?妙：cos(a±Q=cos?cosp4.sin?sin”.

【典例2】已知7c?sinP=~~~1則sin(6+gj=()

A.1B.2

C2立+6D2&-石

66

【答案】C

【分^1?】

利用同角三角函數的關系式求出cos￡,然后利用正弦的和角公式即可求出答案.

【詳解】

因為？＜〃＜］，sin^=——,所以cos^=Jl-sii?夕=4，

33

所以sin(夕+三)=sin/cos-710.乃2&1162國汽

-4-cospsin-=-----X—+—x——=-------------.

3332326

故選：C.

【典例3】若2tana=1,tan夕=-2,則tan(Q+￡)=__________.

【答案】-3

4

1

【解析】??,Ztanaul,；.tana=L又tan/?=-2,.'.tan(a+QJna+tan夕=———=_2.故答案為:

4

21-tanatan夕1_lx(_2)

_3

~4,

4(兀%),則cos(；_a卜()

【即學即練9】已知cosa=—g,

A,巫B.一巫「7夜n7上

10101010

【答案】B

【分析】

根據同角三角函數的基本關系求巾sin。，再由兩角差的余弦公式代入求值.

【詳解】

4(7T\22

cosaf=,ael—，^1,sirra+cos-a=l

.3

z.sina=—

5

/萬、TVV2f4^V23V2

44425j2510

故選：B.

【即學即練10】cos79°cos34o+sin79osin34°=()

A.《B.1C.—

22

【答案】C

【分析】

由余弦的差角公式，運算即可得解.

【詳解】

cos79°cos34°+sin79°sin34°=cos(79°-34°)=cos45°=.

故選：C.

考法02

三角函數式的化簡

(1)三角函數式的化簡原則

①一看"角”，這是最重要的一環，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的轉化，再使用公式.

②二看“函數名”，看函數名之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦

③三看式子“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通

分”“遇到根式一般要升幕”等.

(2)三角函數式的化簡要求

①使三角函數式的項數最少、次數最低、角與函數名稱的種類最少;

②式子中的分母盡量不含三角函數:

③盡量使被開方數不含三角函數等.

(3)三角函數式的化簡方法

①異名化同名、異次化同次、異角化同角、弦切互化;

②“1”的代換，三角公式的正用、逆用.

sin22+cos45sin23

【典例4】化簡:

cos220-sin45sin230

【答案】1

【分析】

化簡得原式為:器著u；黑吸,再進一步化簡即得解,

【詳解】

_sin(45-23°)+cos45sin23

小,cos(45-23°)-sin45sin23"

sin45cos231

------------r=1?

cos45cos23

故答案為：1

【點睛】

方法點睛：三角恒等變換常用的方法：三看（看角看名看式）三變（變角變名變式）,要根據已知條件靈活選

擇方法求解.

【典例5】已知Isin[a+2冗]+sina=-生叵，貝ijcos（a+竺8兀]等于（

)

353

B

A-4--ID-?

【答案】D

【分析】

yj?再結合sin(a+q兀.4G—j-xg

利用拼湊法將a表示成（二+1-+sina=———,可得

3

71.7171

sina+—+sin,結合輔助角公式和誘導公式進一步化簡即可

(3a-\3-----------

【詳解】

UIsinfa+—71+sintz=,所以sin(a+色71.(兀兀4G

+sina+-----

353I33

.兀4月

所以sin[a+]7171

+sina+—COS——cosa+—sin—=-----

I33335

所以3sin/a+27C百Tl

----cosa+一

2323

1n7t逑

所以-石—cosa+一sina+—

233

/兀714G,即cos[a+g)=4

所以-cosa+—+—

I335

所以cos]a+早2兀4

=cosa+Tj-5,

故選D.

【點睛】

本題考查三角函數公式的化簡求值，拼湊角、輔助角公式的使用，解題關鍵在于表示出

屬于中檔題

【典例6】若角a滿足cos仔+小二，則[里一=()

[4)31+taiTa

7二7-7-7

A.-B.—C.—D.—

9241812

【答案】C

【分析】

利用兩角和的余弦公式化簡已知等式可得cosa-sina=￥，兩邊平方，可得2sinacosa的值，根據同角三

角函數基本關系式化筒所求即可求解.

【詳解】

+=^^(cosa-sina)=g,可得cosa-sina=^~，

因為COS

7

兩邊平方，可得2sinacosa=3,

sina

tana

所以l+tar?/=——-7=sinacosa=—

1+rsinaV18'

[cosa)

故選：C.

考法03

給值求值、給值求角、給角求值

【典例7】若角。，4均為銳角，sina=2叵，cos(a+/)=：,則cos〃=()

53

A.亭B-萼c-竽或絳7

【答案】A

【分析】

先求出cosa,sin(a+尸)，再利用和差角公式求出cos"

【詳解】

Qa,夕均為銳角，sina=拽，cos(a+￡)=：,

53

2班

二.cosp=cos[(a+4)一a]=cos(a+P)cosa+sin(?+J3)sina=乜旦+，邁

5555"I"

故選：A.

【點睛】

利用三角公式求三角函數值的關鍵：

(1)角的范圍的判斷；

(2)根據條件進行合理的拆角，如分=(a+夕)-a,2a=(a+￡)+(a-月)等.

【典例8】已知sina=當,sin(a-尸)=-巫，均為銳角,則角夕等于

510

5兀-兀〃兀一兀

A.—B.-C.-D.一

12346

【答案】c

【分析】

由同角三角函數的平方關系和a,/?的范圍求出Sin(a-⑶和cosa,再利用正弦兩角差公式求出sin4,從而

確定出戶的值.

【詳解】

解：因為見力均為銳角，所以

又sin(a-/7)=,所以cos(a一夕.又sina=,,所以cosa=

所以sin/?=sin^a-(a-/7)J=sinacos(<z-/?)-cos<zsin(a->3)

——_V_5x_3_回______2_>_/5_x也

51052

7T

所以夕故選：C.

【點睛】本題考查三角函數求值，關鍵是正弦兩角差公式的靈活應用，屬于中檔題.

【典例9】在A/C中，已知tan5=g,tanA=g,則C的大小為()

A.90°B.45°C.135°D.60°

【答案】c

【分析】

利用兩角和正切公式及三角形內角和定理可得結果.

【詳解】

n1x1

.tanB=—,tanA=",

23

-1+—1

tan4+tan8_32

tan（A+B）==1,

1-tanAtanB一口

6

tanC=-tan（A+8）=-l,

又Cw（O,乃）,

.r3兀

??c=—.

4

故選：C.

sin500+sin30°sin10°_

【典例10】求值：

cos50°-cos30°sin10°

【答案】＞/3

【分析】

根據50。=60。-10。，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可.

【詳解】

sin50°+sin30°sin10°_sin（60°-10°）+sin30°sin10°

cos500-cos30°sin10°cos（60°-10°）-cos30°sin10°

_sin60°cos10°-cos60°sin100+sin30°sin10°

cos60°cos100+sin60°sin10°-cos30°sin10°

^sin600cosl00=tan6（）o=^

cos60°cos10°

故答案為：石

【點睛】本題主要考查了非特殊角的三角函數化簡與求值，需要根據所給的角度與特殊角的關系，并利用

三角恒等變換進行求解.屬下中檔題.

123

【即學即練11】已知a為銳角，尸為第三象限角，且cosa=R,sin￡=-1,則cosg+尸）的值為（）

6333-63r33

A.-----B.-----C.—D.—

65656565

【答案】B

【分析】

結合同角的平方關系求出sin。,cos/?,然后利用兩角和的正弦公式即可求出結果.

【詳解】

因為a為銳角，夕為第三象限角，所以sina>0,cos/?<0,

故選：B.

【即學即練12】設且tana=*tan尸=；,則a-￡=.

【答案】￡

【分析】

根據a,夕且tana=g,tan￡=g,判斷a,4的范圍，進而求出口一夕的范圍，再由tana,tan/的值求

出tan（a-A）,即可求出a-6.

【詳解】,:.a—[3￡

4_J_

.ta_tan?-tan￡3%=i

,41

1+tanatan01+—X—

37

因為a-夕所以a-夕=（.故答案為:n

7

【點睛】利用三角函數值求角的關鍵:

（1）角的范圍的判斷；

（2）根據條件進行合理的拆角，如A=（a+/7）-a,2a=（a+分）+（。-力）等;

（3）盡量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范圍縮小.

品分層提分

題組A基礎過關練

1.‘COS15O+/"SinlS。的值是()

22

A,也B.一正C.男

D.

2222

【答案】A

【分析】

結合兩角差的余弦公式求得正確結論.

【詳解】

原式=cos60°cos150+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=.

故選：A

2.在一ABC中，若sin(8+C)=2sinBcosC,則ABC是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【分析】

利用兩角和與差的正弦函數公式化簡已知可得sin(C-8)=。，結合角的范圍，利用正弦函數的圖象和性質

即可解得C=B,從而得解：角形為等腰三角形.

【詳解】

解：sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sin^cosC,

可得：cosBsinC-sin8cosC=sin(C-B)=0,

.Be(0,^),Cw(0,O,可得：C-BG(F,G,

解得：C=B,

故選：D.

c'?tan820-tan220/、

3.計算------：--------7=()

1+tan82tan22

A.-1B.1C.73D.-73

【答案】C

【分析】

由正切的差角公式，即得解

【詳解】

tan82°-tan22°

由題意,=tan(82—22)=tan60=>/3

1+tan82tan22'

故選：C

4.cos(a-35°)cos(25o+a)+sin(?-35o)sin(250+a)&\j{M^J()

A.--B.；C.-BD.3

2222

【答案】B

【分析】

根據余弦的差角公式計算求解即可.

【詳解】

解：由余弦的差角公式得

cos(a-35°)cos(250+a)+sin(a-350)sin(250+a)=cos^(a-350)-(25°+a)]=cos(-60

故選：B

5.已知1€(0,1]/211￡=2,則cos(a-f]等于()

A.巫B.叵C3所3M

.------Ln).---------

10101010

【答案】C

【分析】

由已知結合同角三角函數的關系可求COS&,sinaL然后結合兩角差的余弦公式即可求解.

【詳解】

解：由tana=2得，sina=2cosa

)1

又sin?a+cos2a=1,所以cos-a=g,

因為ac(0,10，

所以cosa=,sina=-,

55

冗冗冗

因為cos(a----)=cosacos—+sinasin—,

444

石應2石&3>/10

=-------X----------1------------X--------=-------------.

525210

故選：C.

6.已知a,￡均為銳角，且883+0=$皿9"),則tana=()

A.0B.gC.；D.1

【答案】D

【分析】

利用兩角和公式展開，可求得(cos〃+sin〃)(sina-cosa)=。，進而sina-cosa=0,即可求解

【詳解】

cos(a+/7)=sin(a-p),

/.cosacos尸一sinasin￡=sinacosp-cosasin/7,

即cosp(sin(7-cosa)+sin/7(sina-cosa)=0,

所以(cos〃+sin力)(sina-cosa)=0,

因為a,/7均為銳角，所以cos/7+sin/7>0,

所以sina-cosa=0,

所以tanc=1,

故選：D

7.若。為銳角，cos(6+—)—....，則tang+=()

410tan。

A.』25「24D-(

D.--C.--

12127

【答案】B

【分析】

由8式。+馬=_且，得cosO-sin”-!，兩邊同時平方得：sindcos0=￥，故有.sm^cosg巳再

410525sirre+cos*25

化弦為切即可得出答案.

【詳解】

解：由cos(e+工)=-顯,得旦。S。-gin”-變，

4102210

所以cos。-sin。=-[,

1I?

兩邊同時平方得：l-2sinecosg=」-,則sin0cos9=上，

2525

w/.sincos0_12

",sin20+cos2025

112

「廣..tunu]2_.----------=—

所以-貝LA工125.

tan~0+125lan6+----

25

所以tan6+----

tan。n

故選：B.

8.已知。是第二象限角，sin(e+：)=|,則tane=()

341

A.—B.—C.—D.-7

437

【答案】D

【分析】

根據已知條件，結合同角三角函數的關系和正切函數的兩角和公式求解即可

【詳解】

4

5

八兀

tan+tan—

3tan0+13

所以-----------生-,即an-------

4

1一tan，tan—41-tan0

4

解得tan，=—7,

故選：D

9.tan10°tan20°+x/3(tan100+tan20°)=()

A石

.—B.1C.百D.-\/6

3

【答案】B

【分析】

利用和角的正切公式得到tanlO+tan20=y^(l-tanlO.tan20),代入即得解.

【詳解】

由題得tan(10+20)=L。J卜⑺,.tan]04-tan20=^-(1-tan10-tan20),

1-tan10.tan203

所以tan10°tan20°+>/3(tanl0o+tan20°)=tan10°tan20°+>/3.-^-(1-tan10.tan20)

=1.

故選：B

題組B能力提升練

3

1.在一ABC中，已知sinA=M,cosB=—,貝!]cosC=()

B.上c63

A,史D.——

6565c卷噫65

【答案】A

【分析】

a5

根據sinA=1,cosB=],結合函數值確定角的范圍，分別求得cosAsinB,再由cosC=-cos（A+8）求解.

【詳解】

在-A3C中，VcosB=—,

13

??_[i2n_]2

??sinD=\JL-cosD=—>—，

132

7T7t

/.Be

?.?sinA=|w

2

717t

或Aw（舍去）,

Z'W

/.cosA-Vl-sin2<A=1

cosC=-cos(A+=-cosAcosB4-sinAsinB,

4531216

-----xF—x—=——

51351365

故選：A.

2.已知角角夕的頂點均為坐標原點。，始邊均與工軸的非負半軸重合，角夕的終邊。5在第四象限，角

712

a的終邊04繞原點順時針旋轉g后與0B重合，sin/?=彳，則cosa=()

0V35）35

A-4B.f「而+2D2-—石

66

【答案】C

【分析】

OA繞原點。順時針旋轉芻后與03重:合可令a=￡+：,

66

sin（尸+]）=|,p的終邊在第四象限一夕+g為第一象限角fcos"?+g）=今,

3333

(A乃)(A兀)兀V15+2

—>coscr=cosl/>+—l=cosIp+—I-—

6

【詳解】

jrjr

因為。4繞原點。順時針旋轉-后與。8重合，所以可令a=月+二,

66

因為缶且萬的終邊在第四象限，所以尸+：為第一象限角，所以cos(/+g)=1,

所以

兀Q兀)71.\Tt\.It

cosa=cos(/7+￡]=cos(4十三=coslp+—Icos—+sinlpn+—Ism—

6

=旦旦三「叵1

32326

故選：C.

【點睛】

關鍵點點睛：解決本題的關鍵是能夠根據sin(尸+])=：及戶的終邊在第四象限判斷出6+]為第象限角.

夕都是銳角，且cosa=q,sin(a—夕)="^,則cos￡=()

，

^

-B.2

AC.2

^

-

2戈一克D,叵或立

10210

【答案】A

【分析】

由cos/7=cos[a-(a-￡)],根據兩角差的余弦公式展開.結合已知條件，求出8sa,cos(a-月)，代入即得.

【詳解】

:.0<a-P<ycos(a-尸)=Jl-sin.1a-0)=3y.

6..r,------2

coscr=-^-,..sincr=vl-cosa-—非.

/.cos/?=cos[a-(a-/7)]=cosacos(a-/?)+sinasin(a-〃)

y/53屈25/5VioV2

=-----x-----------1---------x-------=------

5105102

故選：A-

【點睛】

本題考查了同角三角函數的基本關系式，兩角差的余弦公式，角變換技巧，屬于中檔題.

4.(多選題)下列各式的值計算正確的是()

A.sin30cosO=0B.—sin2—+cos2—K=—\

66

C.V3(tan550-tan25)-tan55-tan25°=1D.

【答案】CD

【分析】

根據三角恒等變換的知識依次討論各選項即可得答案.

【詳解】

解：對于A選項，因為sin30"cos0"=sin30"=；,所以A錯誤；

對于B選項，因為-sirM+cos??不二cos2工一sin?工=cos巳=L所以8錯誤；

666632

對于C選項，因為tan30°=「55二tan25°.=3,所以6(355°-tan25°)=l+tan55°-tan25°,

1+tan55?tan253

IU\/3(tan55-tan25°)-tan55tan25=1,所以C正確；

對于D選項，因為；s60°=，二(1-藥)=.30°=；，所以。正確.

故選：CD.

【點睛】

本題考查恒等變換化簡求值，解題關鍵在于熟練應用三角函數公式，是中檔題.

5.(多選題)在AABC中，NC=120",tanA+tanB=手，下列各式正確的是()

A.A+B=2CB.tan(A+B)=-V3C.tanA=tanB

D.cosB=6sinAE.tanA-tan8=g

【答案】CDE

【分析】

求出tan(A+B)=6,判斷A,B錯誤；計算得到tanA-tanB=:，所以E正確；計算得到tanA=tanB=3,

33

故C,D正確.

【詳解】

VZC=120°,：.ZA+ZB=6(),：.2(A+B)=C,

tanA+tan3

tan(A+B)=6,...A,B都錯;

1-tanAtanB

tanA4-tanB=V3(l-tanA-tanB)=

3

/.tanA?tan3=g①，E正確；

又tanA+tan3=2正②，由①②聯立解得tanA=tan3=,所以cosB=GsinA,故C,D正:確.綜上,

33

C,D,E正確.

故選：CDE.

【點睛】

本題主要考查和角的正切公式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

6.(l+tan21°)(l+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=

【答案】4

【分