2023-2024學年山東省濟寧市高二上冊期末數學

模擬試題

一、單選題

1.若直線/：2x+砂+1=0與直線/2：x-2y+2=0平行，則。=（）

A.1B.-1C.4D.-4

【正確答案】D

根據兩直線平行可得出關于實數。的等式，由此可解得實數”的值.

［詳解】由于直線/：2x+@+1=0與直線，2：x_2y+2=0平行，則解得。=一4.

故選：D.

2.已知圓G：x2+y2-4y=0,圓C?：x2+y2-2x-2y+l=0,則兩圓的位置關系為（）

A.內切B.相交C.外切D.外離

【正確答案】B

【分析】根據圓的方程確定圓心及半徑，由兩圓圓心距離與半徑的關系判斷位置關系.

2—

【詳解】由題設，G：x'+（y—2）=4,C2：（x—1）'+（JF1）"—1＞

C,（0,2）,半徑，j=2；C2（l,l）,半徑々=1；

＜|CC1=&＜八+弓，即兩圓相交.

故選：B

3.假設/（1）=。3,/（8）=0.4,且A與B相互獨立，則P（/U8）=（）

A.0.12B.0.58C.0.7D.0.88

【正確答案】B

【分析】根據獨立事件的并事件的概率公式計算.

【詳解】由A與B相互獨立，則

P（/U8）=P（Z）+P⑻-尸（N）P（8）=0.3+0.4-0.3x04=0.58.

故選：B.

4.已知雙曲線。:鳥-《=1（。＞0口＞0）,拋物線E:/=4x的焦點為尸，拋物線E的準線與

Q-b-

雙曲線C的兩條漸近線分別交于點48,若/為正三角形，則雙曲線C的漸近線方程

為（）

A.y=±^-xB.y=±^-x

32

C.y=±2fxD.y=+\fix

【正確答案】C

【分析】根據雙曲線方程，把漸近線表示出來，推出48兩點坐標，利用尸為正三角

形，列方程解系數既可.

【詳解】雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x,

a

拋物線E的焦點為F（LO）,準線方程為x=-l,不妨取

b

△4BF為正三角形,由對稱性可知，直線/尸的傾斜角為30。，則％=包=正，解得

AF~2~3

b25/3

——----,

a3

所以雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±逑X.

3

故選：C

5.已知數列｛%｝為等比數列，且%是%與4-4的等差中項，若q=2,則該數列的前5項

和為（）

A.2B.10C.31D.62

【正確答案】D

【分析】根據等比數列的基本量求出公比4,然后求s$.

【詳解】設等比數列｛4｝的公比為4,

因為由是外與。4-4的等差中項

所以%+。4-4=勿3

即q?g+q?夕3―4=,

又。I=2,所以2q+2q3—4=4/

即2（q-2乂d+l）=0,所以q=2

2（l-25）

所以$5==26—2=62

i-q1-2

故選：D

6.已知平面a的一個法向量為“=(1,2,1),直線/的一個方向向量為三=(1,0,1),則直線/與

平面a所成角的正弦值為()

A.3B.也C.—D.顯

3232

【正確答案】A

【分析】根據線面角的向量法求解即可.

【詳解】因為平面a的一個法向量為3=(1,2,1),直線/的一個方向向量為而=(1,0/),

所以直線/與平面a所成角的正弦值為片肯=詈*=￡

|m|.|?|V6XV23

故選：A.

7.已知拋物線C:/=2px(p>0),過C的焦點且斜率為2的直線/交拋物線。于48兩點,

以48為直徑的圓與拋物線C的準線相切于點”，若點M的縱坐標為4,則拋物線C的標

準方程為()

A.y2=4xB./=8x

C.y2=l2xD.y2=16x

【正確答案】D

【分析】由拋物線C:『=2px(p>0),可知焦點為尸準線為x=-^,設直線/的方

程為y=/(七,弘)，8(馬,外),聯立直線與拋物線方程組，根據韋達定理可得

xl+x2=^-,x/4,結合題意可得點E的縱坐標為4,進而得到乂+%=8,進而求解.

【詳解】由拋物線C:r=2px(p>0),可知焦點為尸(5,0),準線為x=-5,

設直線/的方程為V=2(x-5j,A(x?y,),B(x2,y2),

聯立方程組’I2),可得4x2-6px+p2=0,

/=2Px

所以占+X2=3,X,X2=,

以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切于點M,

設48的中點為E,則有==

因為點〃的縱坐標為4,所以點E的縱坐標為4,

即丐21=4,則兇+%=8,

又必+為=2卜1-9+2區苦卜2(網+x)-1p=i，

所以p=8,即拋物線C的標準方程為必=16*.

8.已知數列｛““｝為等差數列且6>0,數列的前〃項和為不，則4=()

A.〃+1B.〃+2C.2?-1D.2〃+1

【正確答案】C

1

3

【分析】由題意可得求出q與公差，根據等差數列的通項公式即可求解.

12

5

【詳解】由數列」一的前〃項和為白

〔44+J2?+1

+d)=3

設公差為d,則，(:+,/)(：+24=15,解方程得％=1(負值舍去)，d=2.

an=2n-\.

故選:C.

二、多選題

9.下列說法中正確的是()

A.直線x+y+2=o在y軸上的截距是-2

B.直線x+島+1=0的傾斜角是60°

C.直線mx-y+w+2=0(MeR)恒過定點(-1,2)

D.過點(1,2)且在X.軸、y軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=o

【正確答案】AC

【分析】對于A,令x=0,求出y,即可判斷；對于B,求出直線的斜率，進而可得傾斜

角，即可判斷；對于C,直線方程可化為(x+1)機-》+2=0,再令x+l=0即可判斷；對于

D,分直線過原點和不過原點兩種情況討論即可判斷.

【詳解】對于A,令x=0,則y=-2,

所以直線x+y+2=0在V軸上的截距是-2,故A正確；

對于B,直線x+⑨+1=0的斜率為所以其傾斜角為150。，故B錯誤；

對于C,直線加工一歹+〃7+2=0(mw1<)化為(工+1)加一卜+2=0,

[x+1=0[x=-\

令「記得廣

[-y+2=0['=2

所以直線加"歹+加+2=0(加wR)恒過定點(-1,2)，故C正確；

對于D,當直線過原點時，直線方程為y=2x,

當直線不過原點時，設直線方程為二+上=1,

aa

將(1,2)代入解得a=3,

此時直線方程為x+y-3=0,

所以過點(1,2)且在x.軸、夕軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=0或y=2x,故D錯誤.

故選：AC.

10.拋擲兩枚質地均勻的正四面體骰子，每個骰子四個面的點數分別為1,2,3,4,分別觀察

底面上的數字，記事件］="第一-枚骰子底面數字為奇數“，事件8="第二枚骰子底面數字為

奇數”，事件C=”兩枚骰子底面數字之和為偶數”,事件。兩枚骰子底面數字之和為奇數”,

下列判斷中正確的是()

A.事件A與事件C互斥

B.事件C與事件。互為對立事件

C.事件A與事件8相互獨立

D.尸(⑷=尸(。)

【正確答案】BCD

【分析】利用對立事件、互斥事件、相互獨立事件的意義及古典概率判斷各選項即可.

【詳解】兩枚骰子底面數字之和為偶數包含了兩枚骰子底面數字均為奇數的可能，所以事件

A與事件C可能同時發生，故A錯誤；

“兩枚骰子底面數字之和為偶數”和“兩枚骰子底面數字之和為奇數”一定會發生一個事件，另

一個不發生(它們概率之和為1),所以事件C與事件。互為對立事件，故B正確：

由尸(力)=尸(8)=!且P(/5)=!，即尸(48)=P(/)?尸(8),所以事件A與事件B相互獨立,

24

故C正確；

.\2x41,s2+2+2+21t-rb,

P(D)=———=T>故D止確.

'>4x42\'4x42

故選：BCD.

11.已知等比數列｛《,｝的前”項和為S,,,且S,,+2%M=18,數列｛叫的前〃項積為7；,則下

列結論中正確的是()

A.數列｛《,｝是遞增數列B.q=9

C.的最大值為看D.Z,的最大值為4

【正確答案】BC

【分析】由己知遞推等式，利用等比數列的性質，解出首項與公比，得到數列通項，即可研

究數列特征，驗證選項是否正確.

【詳解】等比數列｛《,｝的前〃項和為s?,且S.+2a向=18,

當差=1時,S［+2a2=4+24=18；當〃=2時，S2+2%=4+出+2a3=18,

設等比數列｛《,｝公比為9,則有｛：;窯；［：2=18'解得'；=!，

2

所以a“=9x［；j'>0,a^=^a?<a?,數列｛%｝是遞減數列，故A選項錯誤，B選項正

確；

數列｛《｝的前〃項積為。，則爭■=。,用，當〃43,向>1；當“24,0<??+1<1,

即〃43,T,^>T?,w>4,T?+t<Tn,所以7；的最大值為刀，C選項正確，D選項錯誤.

故選：BC.

12.已知產為雙曲線/一片=1的右焦點，直線、=依/>0）與該雙曲線相交于48兩點（其

4

中A在第一象限），連接4尸,8尸，下列說法中正確的是（）

A.k的取值范圍是（0,2）

B.若|/尸|=2,則忸日=4

C.若“尸_L8尸，則點A的縱坐標為亞

5

D.若雙曲線的右支上存在點C,滿足三點共線，則|4日的取值范圍是（2,+8）

【正確答案】ABD

【分析】對于A,根據漸近線分析即可求解；

對于B,結合對稱性，雙曲線定義即可求解；

對于C,結合對稱性可知△耳/斤為直角三角形，/耳/尸=90",結合雙曲線定義及勾股定理,

可得尸1=8,進而求解：

對于D,根據臨界情況,直線AF的方程為：y=-2（x-石），聯立方程組，可得力（若>半］,

k>

進而求解.

【詳解】對于A,雙曲線的漸近線方程為y=±2'，因為直線y=H（左>0）與雙曲線相交于

4B,所以上的取值范圍是（0,2）,故A正確；

對于B,設m為雙曲線的左焦點，連接8片,“可，

由對稱性知，\BF\=\AF.\,又川劇-|ZF|=2,中尸|=2,

所以忸日=|4娼=4,故B正確;

對于C,結合選項B,知△/=；/尸為直角三角形，且/片4尸=90°,

所以]MT/=2

化簡得M貝?|力日=8,

“[|^|2+|T4F|2=4-2=20

則獷壺等

設點4的縱坐標為%,故C不正確;

對于D,當直線"的斜率為-2時，直線”尸的方程為：j=-2（x-V5）,

夕=-26"）但/3有4后

聯立方程組,yi

x~--=-1k55

4

又尸（近0）,所以以日=2,

所以雙曲線的右支上存在點C,滿足4￡C三點共線，

則|/目的取值范圍是（2,+8）,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.已知等差數列｛4,｝的前〃項和為S“，且牝=4,S7=-7,貝IJ4=.

【正確答案】-6

【分析】根據等差數列通項公式和求和公式列出方程組，求出首項和公差，求出

13

4+〃=4%二萬

【詳解】設公差為d,則7%+21d=-7'解得：’

d=--

2

.一1325,

故4=4+5d=----=-6

故-6

14.如圖所示，在空間四邊形0/8C中，方=￡,痂=石,衣=",點M在上，且

兩=3而,N為8c中點，若礪=x3+黃+z".則x+y+z

【正確答案】%#。25

【分析】根據題意可得。M——=:。/3,-。-汽---=-51[OB+OCy又麗=麗-麗，從而可求解.

【詳解】因為兩=3拓f,N為BC中點，所以麗=1方，麗=；（麗+玩）.

所以礪=礪_而=；（歷+困——3-1-1-

0A=—aHb4-c.

422

3111

因為朋V=xa+y5+zc,所以x+y+z=—+—+—=-.

4224

故答案為！.

22

15.如圖所示、點4綜與為橢圓C：++4=l（a>“0）的頂點，尸為C的右焦點，若

ABX1B2F,則橢圓C的離心率為.

【正確答案】正匚

2

【分析】利用橢圓得到頂點和右焦點的坐標，然后利用垂直可得從=℃,利用/=/+c2可

得l=e+/,求解即可

22

【詳解】由橢圓C：9+4=l（a>b>0）可得工（。,0）,4（0。）,B2（0,-6）/（C,0）,

所以如,=2,心/="，

'-a2c

bb.,c

因為工4_1與尸，所以心眉?原/-------=T,即nrb=〃c,

-ac

所以=/+/=QC+C?，所以l=e+/，

因為0<e<l,所以e=Xl二1

2

故空

16.已知圓心在x軸上移動的圓經過點4（2,0）,且與x軸，V軸分別相交于8（x,0）,C（0,y）兩

個動點，則點w（x,y）的軌跡方程為.

【正確答案】y2=-2x

【分析】由題意可知，48為該動圓的直徑，Z5G4=90°.可列等式得方程.

【詳解】因為動圓圓心在x軸上移動，且該動圓始終經過點42,0）和8（x,0）,所以，AB為

該動圓的直徑，

又因為點C（O,y）在該動圓上，所以，CA.CB=0,HP2x+y2=0,

所以，點M（xj）的軌跡方程為/=-2x.

故/=-2x

四、解答題

17.在空間直角坐標系中，已知向量々=(苞-1,2)石=(24,1),其中*/€氐￡】分別是平面1

與平面耳的法向量.

(1)若。〃夕,求匕兒的值；

(2)若a"且同=3,求xj的值.

【正確答案】(1)》=4/=一；

(2)x=-2,y=-2或x=2,y=6

【分析】(1)根據平面平行，得到空間向量平行，列出方程組，求出答案；

(2)根據平面垂直，得到空間向量垂直，結合同=3,列出方程組，求出答案.

【詳解】(1)分別是平面a與平面耳的法向量且。〃夕，

：.a//b

令￡=4，即(x,-l,2)=〃2,%l)

x=2A

所以，一l=4y,解得.2=2,x=4,y=-g

2=2

(2)￡3分別是平面。與平面￡的法向量且。，夕，

：.aA_h>

即a.B=0,

2x—歹+2=0,

又同=3,;.&+1+4=3,

所以x=-2,y=-2或x=2,y=6.

18.已知圓C的圓心在直線x-2y=0上，且與直線》-2夕+5=0相切于點(3,4).

(1)求圓C的標準方程；

(2)求直線/：3x-41-6=0被圓C截得的弦的長.

【正確答案】⑴(x-4)2+(y-2)2=5

【分析】(1)設圓C的標準方程為(x-a)2+(J，T)2=/,列出“,b/的方程組解決.

(2)求出圓心到直線的距離，半徑圓心到直線的距離，弦的一半構成直角三角形解決.

【詳解】(1)設圓C的標準方程為。-斤+。-6)2="

???圓C的圓心在直線x-2y=0上，且與直線x-2y+5=0相切于點

a-2b=0

(3,4)二，(3-4)2+(4-6)2_,2

…+5|_,

解方程組得4=4,6=2"=\[~5

所以，圓C的標準方程為(工-4>+3-2)2=5

(2)圓心C(4,2)到直線/:3x-4y-6=0的距離]=心$4=]

所以，直線/：3x-4y-6=0被圓C截得的弦AB的長為y.

19.某班級從3名男生和2名女生中隨機抽取2名同學參加學校組織的校史知識競賽.

(1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；

(2)若抽到的2名同學恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答對每道題的概率均為女生

乙答對每道題的概率均為:，甲和乙各自回答兩道題，且甲、乙答對與否互不影響，各題的

結果也互不影響.求甲答對2道題且乙只答對1道題的概率.

【正確答案】(1耳

⑵1

-9

【分析】(1)列舉法求出古典概率；

(2)分別求出甲答對2道題，乙只答對1道題的概率，再根據獨立事件概率乘法公式求出

答案.

【詳解】(1)記3名男生分別為4,4,4,2名女生分別為片,鳥，

則隨機抽取2名同學的樣本空間為

2={(4,4)，(4,4)，(4田),(4，鳥)，(4,4)，(4田),(4，員),(&4),(&員),(綜員)},

記事件/="恰好抽到1名男生和1名女生”

則事件4={(4,用),(4,々),(4,8J,(4,約),(4,BJ,(H，J)}

(2)設事件G="甲答對2道題“，事件的=乙只答對1道題”，根據獨立性假定，得

尸⑹=24*)=器

...尸(GG)=尸(G)P(G)=；X[=[,

所以甲答對2道且乙只答對1道題的概率是!.

20.已知數列{4“}滿足：《=1,且"氏+i=("+l)4,+l,〃€N\

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)求數列｛。/2"｝的前〃項和S”

【正確答案】(1)。“=2"—1

(2)5“=(2"-3).2%6

【分析】(1)由數列遞推式〃％=(〃+1)%+1,〃€川可得("-1)%=叫_1+1,心2,作差可

得°向+4,1=2%,〃22,確定數列｛叫為等差數列，即可求得其通項公式；

(2)由(1)可得aj2"=(2〃-l)2,利用錯位相減法即可求得數列｛見2'｝的前”項和S”.

【詳解】(1)由〃a.+i=("+l)a.+l,〃wN*,

作差得，叫+|-(〃-1”“=+

即???+|+/???.,=(n+l)a?+(/?-i)??=2?a?,

又“22且〃eN*,，a“+i+q,T=2a”,”22,

二數列｛4｝為等差數列，

又％=1,%=24+1=3,所以數列的公差為1=2,

故數列｛a?｝的通項公式為%=1+2（〃-1）=2〃-1.

（2）=（21）.2",

.?.S?=l-21+3-22+5-23+7-24+--+（2n-l）-2,',

2S?=l-22+3-23+5-24+7-25+---+（2>7-l）-2n+l,

345+,,,+1

作差得，-Sn=2+2+2+2+???+2"-（2/1-1）-2,

：=2+2'（51）

-（2?-1）-2"+1>

1-2

所以，S?=（2n-3）-2"+1+6.

21.如圖，在直三棱柱Z8C-4AG中，/8=8C=84=2,/Z8C=12（T,點E滿足

A

(I)當a=；時，求4c與AE所成角的余弦值：

(2)是否存在實數2使得平面4GE與平面BBC。的夾角為30。.

【正確答案】(I)4

(2)^=1

【分析】以點B為坐標原點，分別以麗的方向為x軸，z軸的正方向，建立空間直角坐

標系.

(1)代入數據，表示出4c與用E的方向向量，利用異面直線方向向量與夾角的關系

/一八\m-n\

cos。4”)=占口斗計算即可；

H-M

(2)用義表示出平面的法向量，再表示出平面的法向量，根據平面法向量和

兩平面二面角的關系列出等式解出2即可.

【詳解】(1)以點8為坐標原點，分別以耳，畫的方向為x軸，z軸的正方向，

建立如圖所示空間直角坐標系

則/(2,0,0),8(0,0,0),。卜1,石,0),4(2,0,2)出(0,0,2),q(-1,73,2)

就=13,省,0),而="，百,-2),朝=(-1,0,0),第=(2,0,-2)

UUUUUU

點E滿足/E=/MC，當彳=5時，點E為/C的中點，

故點E的坐標為；,與0,

1

.及6?

..LJ,LL——,------.-2

122

cos(詬丘”否留,+；+(-2)［若

=

''H-IM4x5/55

4c與與￡所成角的余弦值為咚.

(2)設面SS]C|C的一個法向量為〃=(X”M，ZJ

?.?函=（0,0,2）,就=（一1,百,0）

萬麗=02Z[=0

則,所以<令凹=i則7=（6LO）

心前=0一演=0

又瓦月=蟲+荏=即+；1就=（2,0,-2）+4卜3,"0）=（2-3/1,包,一2）

設平面的一個法向量為而二（x,y,z）

麗?南=0J-x+V3y=0jfx=&

inBxE=0[（2-34）/+6Zy-2z=0|z二6"2}

令J=l,則加=（"1,百（1一4））

若平面4GE與平面B8CC所成角為30”,則kos（"；,"）卜COS30=等

|3+1|y/315

??-/'J解得/=;或彳（舍去）

274+3（1-2）2233

所以，存在實數彳=；使得平面與GE與平面88CC所成角為30。.

/

22.已知橢圓C:=l（a”>0）,點/（0,1）為橢圓C的上頂點，設直線/過點￡（-1,0）

且與橢圓C交于P,。兩點，點P,。不與C的頂點重合，當尸Q，x軸時，|尸。|=行.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線力尸與直線x=3的交點分別為M、N,求|四|的取值范圍.

【正確答案】（1）1+/=1

4

1a、

（2）-^-,3<J（3,+8）

【分析】（1）利用橢圓上的點求橢圓方程；

（2）分類討論，設直線/的方程，與橢圓聯立方程組，設P,。兩點坐標，得直線/PM。的

方程，得〃、N兩點的坐標，借助韋達定理和二次函數的