2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

?.下列式子求導(dǎo)正確的是()

A.(χ2-COSX)=2X-SinXB.P)=JyC.(XeT)=(1-x)e^tD.(In2)，=g

【正確答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式分別求導(dǎo)數(shù)即可，注意A中的余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，B中的

分式求導(dǎo)可轉(zhuǎn)化為辱函數(shù)求導(dǎo)，C中注意e'求導(dǎo)要用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，D中的ln2是

常數(shù)，求導(dǎo)為零，不同于InX在x=2時(shí)導(dǎo)數(shù)值.

【詳解】(cosx),=-sinx).-.(x2-cosx)=2x-(-sin%)=2%+sinx,

(Xer)=x'e^x+x(e^t),=e^v+x(-e^v)=(1-?)e'?,

?；ln2是常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,??.(ln2)'=0,

故選：C

2.已知函數(shù)/(x)可導(dǎo)，且滿足帆,C-黑二八3)=2,則函數(shù)y=∕(χ)在χ=3處的導(dǎo)數(shù)

為()

A.2B.IC.-ID,-2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解】由題意，Iim/(3-Δx)T⑶=Hm〃3-Δx)-43)=_/⑶，所以/'(3)=-2.

Δ*?→0?χArTO-??`’

故選：D.

3.設(shè)函數(shù)/(χ)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(χ)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y=∕(χ)的圖象可

能是()

【正確答案】D

【分析】根據(jù)/(x)的圖象可得/(x)的單調(diào)性，從而得到了'(X)在相應(yīng)范圍上的符號(hào)，據(jù)此

可判斷了'(X)的圖象.

【詳解】由/(x)的圖象可知，“X)在(-8,0)上為單調(diào)遞減函數(shù),故X∈(F,O)時(shí)，∕,(x)<O,

故排除A,C；當(dāng)X?0,一)時(shí)，函數(shù)“X)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以/'(X)

的值是先正，再負(fù)，最后是正，因此排除B,

故選：D.

4.函數(shù)/(x)=lnx+"2-2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-00,—2)B.f

C.(-8,+8)D.(-2,+8)

【正確答案】C

【分析】通過題意將問題轉(zhuǎn)化為存在使得尸(X)=T+2以>0成立，通過參變分離

手段求解即可.

【詳解】由題意得，f?x)=→2ax,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lnx+0√-2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，

所以存在使得r(x)=g+20r>0成立，即"(-圭)=-8.

故選:C

5.如圖，一圓形信號(hào)燈分成4,民C,。四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要

求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號(hào)總數(shù)為

【正確答案】A

【分析】根據(jù)涂色問題，按照使用顏色種數(shù)進(jìn)行分類，再結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可得總的方

法數(shù).

【詳解】若用3種不同的顏色燈帶，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么AC,要么民。相同，

有2種方案，則不同的信號(hào)數(shù)為2A；=12：

若只用2種不同的顏色燈帶，則AC顏色相同，民。顏色相同，只有1種方案，則不同的

信號(hào)數(shù)為C武=6；

則不同的信號(hào)總數(shù)為12+6=18.

故選：A.

6.某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5mm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯

片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為5塊，10塊，10塊，若甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次

品率分別為0/，0.2,0.3,則從這25塊芯片中任取一塊芯片，是正品的概率為()

A.0.78B.0.64C.0.58D.0.48

【正確答案】A

【分析】設(shè)8="任取一塊芯片是正品“，A(i=l,2,3)分別表示芯片由甲、乙、丙三條生產(chǎn)線

生產(chǎn)，根據(jù)互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)3="任取一塊芯片是正品“，4(i=l,2,3)分別表示芯片由甲、乙、丙三條生產(chǎn)

線生產(chǎn),

根據(jù)題意可得:P(A)=U=02尸(4)=盛=0.4,P(A)W=O.4,

P(B∣Λ1)=l-0,1=0.9,P(B∣A2)=1-0.2=0.8,P(BIA3)=1-0.3=0.7,

由全概率公式可

得:P(B)=P(A)P(BlA)+P(4)P(5∣4)+P(4)P(B∣4)

=0.2X0.9+0.4×0.8+0.4×0.7=0.78.

故選：A

7.設(shè)(I-OX)2020=%+qχ+%χ2++%02oχ2O2O,若

al+2a2+303++2O2Oa2θ2θ=2020a(a≠0),則實(shí)數(shù)4的值為()

A.2B.OC.1D.-1

【正確答案】A

【分析】對(duì)已知關(guān)系式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，然后令x=l,建立方程即可求解.

【詳解】對(duì)已知關(guān)系式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：

20922019

2020(1-or)'×(-α)=αl+2?,-%+3?,?x?■?+2O2Oα2θ2o?x,

2o9

令X=1,則4+2/+34++2O2O?o=2020×(l-o)'×(-67),

.?.(l-α)20'9×(-α)=α,BP(l-a)20'9=-1,解得.α=2

故選：A.

8.f(x),g(X)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(X)g(X)+f(X)

g(x)<0JLf(-I)=0則不等式f(χ)g(x)<0的解集為

A.(-1,0)U(1,+∞)B.(-1,0)U(0,1)

C.(-∞,-1)U(1,+8)D.(-∞,-1)U(0,1)

【正確答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)g(x),由已知得當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0,所以函數(shù)y=

h(X)在(-8,0)單調(diào)遞減，又因?yàn)閒(x),g(X)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),

得函數(shù)y=h(x)為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y=h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，得到f(x)

g(X)<0不等式的解集.

【詳解】設(shè)h(x)=f(x)g(x),因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，f'(x)g(x)+f(x)g,(x)<0,

所以當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0,所以函數(shù)y=h(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，

又因?yàn)閒(X),g(X)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

所以函數(shù)y=h(x)為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y=h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,

因?yàn)閒(-1)=0,所以函數(shù)y=h(X)的大致圖象如下：

所以等式f(X)g(X)<0的解集為(-1,0)U(1,+∞)

故選A.

本題考查導(dǎo)數(shù)的乘法法則、導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；奇函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)稱區(qū)間上

一致，屬于中檔題.

二、多選題

9.A,B,C,D,E五個(gè)人并排站在一起，下列說法正確的是()

A.若A,B不相鄰，有72種排法B.若4在正中間，有24種排法

C.若A在B左邊，有24種排法D.若A,B相鄰，有24種排法

【正確答案】AB

【分析】A.利用插空法求得選項(xiàng)A正確；B.直接利用分步原理和排列求得選項(xiàng)B正確；C.

利用縮倍法求得選項(xiàng)C不正確；D.利用捆綁法求得選項(xiàng)D不正確.

【詳解】A.若8不相鄰，利用插空法得共有A；?A：=72種方法，故A正確；

B.若A站在最中間，有A：A；=24種方法，故B正確；

C.若A在B左邊，利用縮倍法共有當(dāng)=60種方法，故C不正確；

Aj

D.若A、8兩人相鄰站在一起，利用捆綁法共有A：A；=48,故D不正確.

故選：AB

10.已知曲線/(X)=J則過點(diǎn)(τ,3),且與曲線y=∕(x)相切的直線方程可能為()

A.y=-x+2B.γ=-9x-6C.y=-Sx-5D.y=-lx-4

【正確答案】AB

(1、

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)?,求出函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)，利用點(diǎn)斜式寫出方程，再代入計(jì)算

Ix0J

作答.

【詳解】設(shè)過點(diǎn)(-1,3)的直線與曲線y=∕(x)相切的切點(diǎn)為(X。，,)，由〃X)=L求導(dǎo)得

?X

于是得切線方程為>一1?=--τ(?r-?),即y=--τ-r+-,則3=《+；,解得%=ι或

????%與

1

?="~?

因此得切線方程為y=r+2或y=-9x-6,

所以所求切線的方程是y=-x+2或y=-9x-6.

故選：AB

11.在(1-3x)"("eN")的展開式中，二項(xiàng)式的系數(shù)和為256,則下列說法正確的是(〉

A.〃=8B.展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為256

C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.展開式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為4

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理及其性質(zhì)計(jì)算逐一分析判斷即可.

【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=256,解得〃=8,A選項(xiàng)正確；

令x=l,得(1-3)8=(—2)8=256,B選項(xiàng)正確；

〃=8時(shí)，(l-3x)”的展開式共9項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

18

設(shè)(l-3x)=a0+axx+a2x+fzsx,

a

則卬，心，5>%為負(fù)數(shù)，?().?2>?4>6為正數(shù)，

故展開式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為

%∣+M+'+∣?∣=ο0-6t1+?-0,+?-?+?-07+?,

令戶-1,得⑷+㈤++∣t?∣=(1+3)8=48,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

Inx

12.對(duì)于函數(shù)/(X)=V,下列說法正確的有().

A./(x)在X=e處取得極大值-

e

B./(x)有兩不同零點(diǎn)

C./(2)<∕U)<∕(3)

D.若在(0,e)上恒成立,則%>1

X

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)于A,先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于零，然后再判其極值即可;

對(duì)于B,令/(x)=0,則可得函數(shù)的零點(diǎn)；

對(duì)于C,由選項(xiàng)A的解答過程可知，當(dāng)x>e時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以

/(3)>∕(π)>∕(4),而/(2)=/(4),從而可得結(jié)果；

對(duì)于D,由在(0,+∞)上恒成立，得處+L令〃(X)=UU+L再利用導(dǎo)數(shù)求

XXXXX

此函數(shù)的最大值即可

【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(χ)=上￥，(χ>0),

,

令ιf(x)=O得x=e,則當(dāng)0<χ<e時(shí),∕U)>0,函數(shù)為增函數(shù)，

當(dāng)x>e時(shí)，∕,(x)<0,函數(shù)f(χ)為減函數(shù),

則當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為〃e)=J,故A正確，

e

由/(X)=O,Wlnx=O,得X=1,即函數(shù)/(X)只有一個(gè)零點(diǎn)，故8錯(cuò)誤，

Q"2)=f(4)=*竿號(hào),由x>e時(shí)，函數(shù)"x)為減函數(shù)知〃3)>∕S)>∕(4),

故/(2)<“句</(3)成立，故C正確，

若/ɑ)vz-`??在(0,+8)上恒成立,

X

則3+1

XX

設(shè)人(X)=皿+工，(x>0),

XX

貝M(X)=-粵，當(dāng)OVXVI時(shí),//(X)>0,MX)單調(diào)遞增,當(dāng)χ>l時(shí)，A,ω<0,MX)單調(diào)

遞減,

即當(dāng)X=I時(shí)，函數(shù)版x)取得極大值同時(shí)也是最大值∕z(l)=l,

.?">1成立，故。正確.

故選：ACD.

本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，極值，函數(shù)零點(diǎn)問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

三、填空題

13.函數(shù)/(x)=SinX-X,Xe(O,乃)的單調(diào)遞減區(qū)間為

【正確答案】(。,萬)

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解即可.

【詳解】當(dāng)0<χ<τt時(shí)，∕,(x)=Cosx-I<0,

所以f(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,乃).

故(。㈤

14.某學(xué)習(xí)小組共有10名成員，其中有6名女生，為學(xué)習(xí)期間隨時(shí)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，現(xiàn)

隨機(jī)從這10名成員中抽選2名任小組組長.協(xié)助老師了解學(xué)情，A表示“抽到的2名成員都

是女生”，B表示“抽到的2名成員性別相同”，則P(AI8)=.

3

【正確答案】-/0.6

【分析】可以利用P(A⑸=-?2或P(A∣8)=-?^計(jì)算，注意本題中兩個(gè)事件具有包含

關(guān)系，即AB=A.

【詳解】［解法一］

抽到的2名成員都是女生的取法有C；=15種，

抽到的2名成員性別相同即為都是女生或都是男生的取法，

有。；+仁=15+10=25種，所以〃(A)=I5,"(8)=25.

因?yàn)锳=B,所以〃(A)="(Aβ),

,、n(AB}153

所以P(AIB)=-V√=-=一

、)n(B)255

［解法二］

10名成員中任選2人，有GZ種不同的取法，每種取法都是等可能的.

抽到的2名成員都是女生的取法有C：=15種，

抽到的2名成員性別相同即為都是女生或都是男生的取法，

有C：+C：=15+10=25種，所以〃(A)=I5,“(8)=25.

由于A=B,所以〃(A)="(A3),

所以P(AB)=P(A)=*/⑻嗯

1

3-3

所以8=-=

Al55-

9-

15.(l+g}l+x)4展開式中V的系數(shù)是(用數(shù)字作答).

【正確答案】5

【分析】求得(1+X)4的展開式的通項(xiàng)為4+1=α?χ',進(jìn)而得出展開式中含有丁的項(xiàng)，即可

求解.

【詳解】由(1+X)4的展開式的通項(xiàng)為卻=Q-1j=C：?χ',

則［1+∕∣(1+X)4展開式中含有V的項(xiàng)為Ie.χ3+Jc;Y=4χ3+χ3=5χ3,

所以［l+-/+X)4展開式中χ3的系數(shù)是5.

故答案為.5

16.已知函數(shù)f(x)=Λj-3x對(duì)區(qū)間［-3,2］上任意的占，巧都有∣∕(XJ-√(w)∣≤m,則實(shí)數(shù)〃?

的最小值是.

【正確答案】20

【分析】求出/S)在［-3,2］上的最大值和最小值后由兩者差可得〃?的范圍，即得機(jī)的最小值、

【詳解】/(Λ)=Λ3-3Λ,則/'(x)=3--3=0,x=±l,當(dāng)-3≤x<T或1<χ≤2時(shí),

∕,(x)>0,/(χ)遞增，當(dāng)T<x<l時(shí)，∕?,(x)<0,/(χ)遞減.

所以/(X)極大值=/(T)=2,/(X)極小值=-2,又∕Q3)=T8,/(2)=2,

所以在［一3,2］上，八外最大值=2J(X)城小值=-18,

所以∣∕α)~√α2)∣的最大值為|2-(-18)|=20,即刈≥20,所以"的最小值為20.

故20.

本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是命題對(duì)區(qū)間”3,2］上任意的外，巧都有

l/(?i)-/(^)k^，轉(zhuǎn)化繼|/(與)一∕G)∣≤∕(χ)最大值一AM最,wa.

四、解答題

17.已知二項(xiàng)式的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和比各項(xiàng)系數(shù)之和小240.求:

(1)〃的值;

(2)展開式中X項(xiàng)的系數(shù)：

(3)展開式中所有含X的有理項(xiàng).

【正確答案】(1)4

⑵54

(3)第1項(xiàng)81Y,第3項(xiàng)54x,第5項(xiàng)一

【分析】(1)由題可得2"+240=4",解方程即得；

(2)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即得；

3

(3)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令4-］r∈Z,即求.

【詳解】(1)由已知，得2"+240=4",即(2"J-2"-240=0,

所以2"=16或2"=-15(舍)，

；?H=4.

(2)設(shè)展開式的第r+1項(xiàng)為7；M=C1(3x)-1+1=34-rC^.

3

令4一萬r=1,得廠=2,

則含X項(xiàng)的系數(shù)為3?C=54.

3

(3)由(2)可知，令4-^reZ,則有r=0,2,4,

所以含X的有理項(xiàng)為第1項(xiàng)81j,第3項(xiàng)54x,第5項(xiàng)廠2.

18.設(shè)某廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的

25%,35%,40%,并且各車間的次品率依次為5%,4%,2%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.

(1)求取到次品的概率；

(2)若取到的是次品，則此次品由三個(gè)車間生產(chǎn)的概率分別是多少？

【正確答案】(1)0.0345

(2)此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：—,由乙車間生產(chǎn)的概率為：—,由丙車間生產(chǎn)的概率

6969

【分析】(1)根據(jù)全概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.

(2)根據(jù)貝葉斯公式，計(jì)算出所求概率.

【詳解】(1)取至U次品的概率為0.25x0.05+0.35x0.04+0.4x0.02=0.0345

(2)若取到的是次品，則:

U、心口4川—生0.25×0.050.012525

此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為.…,U=——=—

0.03450.034569

1,..π,+3行+二0.35×0.040.01428

此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為?許r=訴=&

U“口-UH+“如+士0.4x0.020.00816

此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為?er=N兩=&

19.已知/(x)=e*-ax-l.

(1)當(dāng)α=2時(shí)，討論/(χ)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/O)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

【正確答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是(M2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,ln2).

⑵(-∞,0].

【分析】(1)對(duì)/*)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論單調(diào)區(qū)間；

(2)/(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，即導(dǎo)函數(shù)/'(x)=e'-a≥O恒成立，解。的取值范圍即可.

【詳解】(1)當(dāng)α=2時(shí)，f{x}=ex-2x-?,定義域XeR.

f(x)=ex-2.

令/'(x)>0,即"-2>0解得：x>ln2;

令((x)<O,即--2<0解得:x<ln2;

.?.當(dāng)α=2時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間是(In2,+∞),遞減區(qū)間為(-∞,ln2).

(2)Y/(Λ)=e`-ax-l,xeR.,.f'(x)=ex-a

V/(?)在R上單調(diào)遞增，即尸(X)=e'-a≥O恒成立,

YXeR時(shí)e*e(0,+∞)

."40,即。的取值范圍為(-8,0］.

20.己知函數(shù)“χ)=?√-χ2+dχ+6,若曲線y=∕(χ)在(Oj(O))處的切線方程為y=-χ+l.

⑴求α,b的值;

⑵求函數(shù)y="X)在［-2,2］上的最小值.

【正確答案】(l)α=-l;b=?

⑵-9

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的切線方程即可求得參數(shù)值；

(2)判斷函數(shù)在［-2,2］上單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.

【詳解】(1)由已知可得/(0)=b=l.

又∕,(x)=3X2-2x+a,

所以/'(0)=。=—1.

,2

(2)由(1)可知/(x)=d—f—x+1,,∕(x)=3x—lx—1,

令/K?r)>o,解得或χ>ι,

所以“X)在-2,-￡|和［1,2］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又〃一2)=—9,/(1)=0,

所以函數(shù)y=∕(x)在［-2,2］上的最小值為—9.

21.已知函數(shù)KX)=Or+Inx,其中。為常數(shù).

(1)當(dāng)。=-1時(shí),求危)的最大值;

(2)若/U)在區(qū)間(O,e］上的最大值為一3,求”的值.

【正確答案】(I)-I

⑵07

【分析】(1)求出/(x),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此可得函數(shù)的最值；

(2)求出,(x),分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最

ee

值，結(jié)合題意列出方程，求解。的值即可.

【詳解】(1)解：函數(shù)/W=Or+Inx的定義域?yàn)?0,+00),

當(dāng)α=T時(shí)，f(x}=-x+?nx,

則r(x)=T+L±lΔ,

XX

當(dāng)OVXVI時(shí)，∕,(x)>0,當(dāng)x>l時(shí)，f,(x)<0,

所以/(X)在(0,1)上為單調(diào)遞增函數(shù)，在(l,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以"χLs="ι)=τ,

所以當(dāng)α=