第二十二章二次函數的圖象和性質22.1二次函數的圖象和性質22.1.1二次函數教學設計一、教學目標1．理解二次函數的概念．2．掌握二次函數的形式．二、教學重點及難點重點：對二次函數概念的理解，初步學會用函數描述實際問題中兩個變量之間的關系．難點：由實際問題確定函數解析式和函數自變量的取值范圍．三、教學用具多媒體課件。四、相關資源《函數復習》動畫，《正方體表面展開》動畫，《球隊比賽》動畫。五、教學過程【溫故知新】此圖片是動畫縮略圖，此處插入交互動畫《【知識探究】探究一次函數的性質》，可以通過圖形運動變化，定量觀察一次函數的相關性質。什么叫函數？我們之前學過了哪些函數？它們的形式是怎樣的？師生活動：教師用多媒體出示問題，學生回顧舊知，回答問題．全班訂正，不足之處教師補充．小結：若在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么我們就說y是x的函數，x叫做自變量．我們之前學過一次函數，它的形式是y=kx+b（k、b為常數，k≠0）．設計意圖：復習這些問題是為了幫助學生弄清自變量、函數、常量等概念，加深對函數定義的理解，目的是與二次函數進行比較．【合作探究】引言拋出課題此圖片是動畫縮略圖，此處插入交互動畫《【知識探究】二次函數定義-問題一》，可以通過圖形中邊長x與面積之間的關系，建立二次函數關系,引出二次函數的概念。思考：如果改變正方體的棱長x，那么正方體的表面積y也會隨之改變．y與x之間有什么關系？師生活動：拋出實際生活中的問題，學生思考，培養學生發現問題，解決問題的能力．教師引導學生：設正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x之間的關系式為y=6x2．教師總結對于x的每一個值，y都有一個對應值，即y是x的函數．引出課題．合作探究概念此圖片是動畫縮略圖，此處插入交互動畫《【知識探究】二次函數定義-問題二》，可以通過圖形中邊長x與面積之間的關系，建立二次函數關系,引出二次函數的概念。問題1n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽．比賽的場次數m與球隊數n有什么關系？師生活動：學生思考問題，列出關系式．教師巡查，指導不會列關系式的學生．教師總結比賽的場次數m與球隊數n的關系，對于n的每一個值，m都有一個對應值，即m是n的函數．小結：每個隊要與其他（n－1）個球隊各比賽一場，甲隊對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以比賽的場次數，即．比賽的場次數m與球隊數n的關系，對于n的每一個值，m都有一個對應值，即m是n的函數．問題2某種產品現在的年產量是20t，計劃今后兩年增加產量．如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示？師生活動：教師利用多媒體出示自學提綱：如果每年都比上一年的產量增加x倍，則一年后的產量是現在產量的________倍，這種產品現在的年產量是20t，一年后的產量是__________t．兩年后的產量又是一年后產量的__________倍，所以兩年后的產量是___________t，即y與x之間的關系式可表示為________________________．學生小組合作交流、討論，根據自學提綱填空．教師巡查，督促學生思考，對自學有困難的學生給予個別指導．小結：這種產品現在的年產量是20t，一年后的產量是20(1＋x)t．再經過一年后產量是20(1＋x)(1＋x)t，即兩年后的產量是t，即．兩年后的產量y與計劃增產的倍數x之間的關系式中，對于x的每一個值，y都有一個對應值，所以y是x的函數．設計意圖：本問題有一定難度，通過自學提綱，讓學生有目的的去學習，查找自己所要問題的答案并記錄自己的不解與困惑，這就讓每一個學生都動起來了，發揮了學生學習的主動性和積極性，培養學生的自主學習能力．問題3上述三個函數解析式具有哪些共同特征？師生活動：讓學生充分發表意見，提出各自看法．教師歸納總結：上述三個函數解析式經化簡后都可以化為y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的形式．教師提醒學生切不可忽視a≠0．小結：一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數(quadraticfunction)．其中，x是自變量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．設計意圖：結合實例更利于學生理解和接受二次函數的概念．問題4為什么二次函數的定義中要求a≠0？b和c是否可以為零？師生活動：學生小組交流、討論，一學生回答，教師聆聽，訂正．小結：若a=0，b不為0，則ax2＋bx＋c就不是關于x的二次多項式了，是關于x的一次多項式，所以當a=0，b不為0時，y=ax2＋bx＋c是一次函數．由引言可知，b和c均可為零．若b=0，則y=ax2＋c；若c=0，則y=ax2＋bx；若b=c＝0，則y=ax2．以上三種形式都是二次函數的特殊形式，而y=ax2＋bx＋c是二次函數的一般形式．設計意圖：這里強調對二次函數概念的理解，有助于學生更好地理解，掌握其特征，為接下來判斷一個函數是否是二次函數作好鋪墊．【例題分析】例下列函數是否是二次函數？若是，分別指出二次項系數，一次項系數和常數項．（1）y=3(x－1)2＋1；（2）y=x＋；（3）s=3－2t2；（4）y=(x＋3)2－x2；（5）y=－x；（6）v=8πr2．師生活動：小組交流、討論，學生嘗試解答．教師引導學生先把解析式化成一般式，再對比二次函數的概念求解．解：（1）y=3(x－1)2＋1=3(x2－2x＋1)＋1=3x2－6x＋4是二次函數．二次項系數是3，一次項系數是－6，常數是4．（2）y=x＋不是二次函數．（3）s=3－2t2是二次函數．二次項系數是－2，一次項系數是0，常數是3．（4）y=(x＋3)2－x2=x2＋6x＋9－x2=6x＋9不是二次函數．（5）y=－x不是二次函數．（6）v=8πr2是二次函數．二次項系數是8π，一次項系數是0，常數是0．設計意圖：理論學習完二次函數的概念后，讓學生在實踐中感悟什么樣的函數是二次函數，將理論知識應用到實踐中．【練習鞏固】1．對于任意實數m，下列函數一定是二次函數的是()．A．y=(m－1)2x2B．y=(m＋1)2x2C．y=(m2＋1)x2D．y=(m2－1)x22．把一根長為50cm的鐵絲彎成一個長方形．設這個長方形的一邊長為xcm，面積為ycm2，則y與x之間的函數關系式為()．A．y=－x2＋50xB．y=x2－50xC．y=－x2＋25xD．y=－2x2＋253．若函數是二次函數，則m的值是．4．函數（m為常數），（1）當m______時，這個函數為二次函數；（2）當m______時，這個函數為一次函數．5．分別說出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項：(1)；(2)y=1－x2．6．某小區要修建一塊矩形綠地，設矩形的長為xm，寬為ym，面積為Sm2（x＞y）．（1）如果用18m的建筑材料來修建綠地的邊緣（即周長），求S與x的函數關系式，并求出x的取值范圍；（2）根據小區的規劃要求，所修建的綠地面積必須是18m2，在滿足（1）的條件下，矩形的長和寬各為多少米？7．如圖，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD．設AB邊長為xm，求菜園的面積y(m2)與x(m)的關系式．參考答案1．C2．C3．54．解：（1）當m≠2時，這個函數為二次函數；（2）當m=2時，這個函數為一次函數．5．解：（1）的二次項系數、一次項系數和常數項分別為，0．（2）y=1－x2的二次項系數、一次項系數和常數項分別為－1，0，1．6．解：（1）由題意，得2x＋2y=18，y=9－x．∵x＞y＞0，∴x的取值范圍是4.5＜x＜9．∴（4.5＜x＜9）．（2）當矩形面積m2時，即，解得．當x=3時，y=9－3=6，但y＞x，不合題意，舍去；當x=6時，y=9－6=3．所以當所修建的綠地面積為18m2時，矩形的長為6m，寬為3m．7．解：因為菜園的形狀為矩形，設AB邊長為xm，所以BC邊長為m．所以菜園的面積為x·(0＜x＜30)．所以菜園的面積y(m2)與x(m)的關系式為y=(0＜x＜30)，即(0＜x＜30)．設計意圖：幫助學生消化、理解及鞏固所學的新知識，促進解題技能、技巧的形成，實現知識遷移和能力的發展，加深了二次函數的概念的理解．六、課堂小結一般地，形如y=ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數(quadraticfunction)．其中，x是自變量，a是二次項系數，b是