2022?2023學年度蘇錫常鎮四市高三教學情況調研（一）

數學2023.3

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫

在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合/={x|log2X<l},3={x|x>l},貝!J/U（CR3）=

A.B.{x[0<xWl}C.{x|xWl}D.R

2.兩個粒子2從同一發射源發射出來，在某一時刻，它們的位移分別為

=（4,3）,SB=（-2,6）,則s》在力上的投影向量的長度為

V10

A.10

3.“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我國的生態環境越來越好，外出旅游的人越

來越多.現有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖章頭渚、蘇州拙政園、

鎮江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚州瘦西湖”這6個景點中隨機選擇1

個景點游玩.記事件/為“兩位游客中至少有一人選擇太湖耄頭渚”，事件3為

“兩位游客選擇的景點不同”，則尸（叫/）=

A.ZB—C.2D.3

991111

4.已知正四面體P-N3C的棱長為1,點。為底面/8C的中心，球。與該正四面

體的其余三個面都有且只有一個公共點，且公共點非該正四面體的頂點，則球。

的半徑為

高三數學第1頁（共6頁）

5.已知〃x)是定義在R上的偶函數，當無20時，/(x)=e，+sinx,則不等式

/(2x-l)<e"的解集是

./1+n、c1+兀、cl+e\c.1-711+7T.

A.(―,+co)B.(0,—)C.(0,^—)D.)

乙乙乙乙乙

6.在中，NBAC=—，/胡。的角平分線4。交8C于點。，的面

3

積是/\ADC面積的3倍，貝！JtanB=

V3廣3仙6-V3

A.C.-----

7533

222

7.已知橢圓餐+4=1（°>“0）的右焦點為尸（以0）,點尸，。在直線彳=幺上,

abc

------->-------->-------->2

FPLFQ,。為坐標原點，若OPOQ=2OF,則該橢圓的離心率為

A.工B."C./D.旦

3322

8.已知數列｛%｝的前n項和為Sn,%=1,若對任意正整數n,Sn+1=-3??+1+an+3,

Sn+a?>(-iya,則實數a的取值范圍是

355

A.(-1,-)B.(-1,-)C.(-2,-)D.(-2,3)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某校1000名學生在高三一模測試中數學成績的

頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數據用該

組區間的中點值作代表），分數不低于X即為優

秀，己知優秀學生有80人，則

A.a=0.008

B.X=120

C.70分以下的人數約為6人

D.本次考試的平均分約為93.6

10.己知正數a,6滿足a6=a+b+l,貝！I

A.a+6的最小值為2+2及B.的最小值為1+貶

1

C.工+^■的最小值為2亞-2D.2"+下的最小值為16亞

ab

高三數學第2頁（共6頁）

11.已知函數f(x)=sin(cox+—)+sin((yx--)+coscox(G〉0),則下列結論正確的有

66

A.將函數〉=2sin@i的圖象向左平移殳個單位長度，總能得到y=/(x)的圖象

6

B.若①=3,則當工時，/(%)的取值范圍為[1,2]

一1319

C.若“X)在區間(0,2兀)上恰有3個極大值點，則一<gW—

66

D.若“X)在區間q,1|)上單調遞減，則iWowg

12.正方體/BCD-431GA的棱長為3,E,尸分別是棱耳G，G2上的動點，滿

足RF=CiE,貝！I

A.BF與DE垂直

B.3尸與。￡一定是異面直線

C.存在點￡,F,使得三棱錐尸的體積為?

D.當E,尸分別是與G，G2的中點時，平面NE尸截正方體所得截面的周長

為3而+』四

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填寫在答題卡相應的

住置上.

13.(2-L)(x-2)5的展開式中小的系數為▲.

X

14.在△48C中，已知麗=2反，CE=EA,BE與4D交于點O.若

CO=xCB+yCA(x,yeR),貝！Ix+y=▲.

15.已知圓C:X2_2X+J?-3=O,過點7(2,0)的直線/交圓C于4,B兩點，點P在

—>—>1

圓C上，若CP〃AB,PAPB=q,則|4旬=▲.

16.已知函數/(x)=xex-ex-x的兩個零點為再,馬，函數g(x)=xlnx-ln%-x的兩

個零點為貝U-^-+~^-+'+'=▲?

再x2x3x4

高三數學第3頁(共6頁)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

己知等比數列｛%｝的各項均為正數，且%+%+%=39,a5=2a4+3a3.

（1）求｛a,｝的通項公式；

（2）數列低｝滿足2=，，求.”｝的前〃項和北.

18.(12分)

在AABC中，角4,3,C所對的邊分別為a,6,c,1+sin24=(3tan2+2)cos24.

（1）若。=衛37r，求tanB的值；

4

（2）若4=5,c=2,求△45C的面積.

高三數學第4頁（共6頁）

19.（12分）

在三棱柱48c-421G中，平面4瓦2/_1平面4SC,側面/由四為菱形，

■7T

ZABB,=-,AXB1AC,AB=AC=2,￡是NC的中點.

（1）求證：42J■平面4sC；

TTFP

（2）點尸在線段4片上（異于點4,E）,4尸與平面所成角為一，求一

4E4]

的值.’

n

（第19題圖）

20.（12分）

某小區有居民2000人，想通過驗血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者，為此需對小

區全體居民進行血液化驗，假設攜帶病毒的居民占。％,若逐個化驗需化驗2000

次.為減輕化驗工作量，隨機按〃人一組進行分組，將各組〃個人的血液混合

在一起化驗，若混合血樣呈陰性，則這〃個人的血樣全部陰性；若混合血樣呈

陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對每個人再分別單獨化驗一

次.假設每位居民的化驗結果呈陰性還是陽性相互獨立.

（1）若。=0.2,〃=20,試估算該小區化驗的總次數；

（2）若a=0.9,每人單獨化驗一次花費10元，"個人混合化驗一次花費"+9

元.求〃為何值時，每位居民化驗費用的數學期望最小.

（注：當p<0.01時，（1-p）n^1—np.）

高三數學第5頁（共6頁）

21.(12分)

已知直線/與拋物線G：/=2x交于兩點/區，乂)，2(%,%),與拋物線

G：爐=4x交于兩點C(%3，%)，。(匕，居)，其中/，C在第一象限，B,D在

第四象限.

(1)若直線/過點”(1,0),且」......-,求直線/的方程；

\BM\\AM\2

(2)①證明：—+—=—+—；

%%%乂

②設△/。3,△COZ)的面積分別為H.S?(。為坐標原點)，

若|/q=2忸0，求一.

22.(12分)

已知定義在(0,+8)上的兩個函數〃x)=/+Lg(x)=lnx.

4

(1)求函數/?(%)=/(%)-g(x)的最小值;

(2)設直線歹=—x+與曲線y=/(x),>=g(x)分別交于4,5兩點，求

|451的最小值.

高三數學第6頁(共6頁)

2022?2023學年度蘇錫常鎮四市高三教學情況調研（一）

數學參考答案2023.3

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.A2.D3.D4.B5.D6.A7.B8.C

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分

選對的得2分，有選錯的得0分.

9.AD10.AC11.BC12.ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

a

13.-20014.-15.V1516.2

5

三、解答題：本題共6小題，共70分.

17.解：（1）設數列｛4｝的公比為g,

3

貝！Iaxq+。廳+atq=39，q/=2ad+，.....................................................1分

因為為”0,所以《2-2?-3=0,......................................................................2分

即（q+l）（q-3）=0,

因為q>0,所以q=3,則4=1,所以a“=3"T；.............................................4分

（2）因為a〃=3"T,所以所以北=：+：+…+木，①

/=[+§+…+號+2，②..........................................................................6分

331323〃T3〃

g乙日2Tli1幾32〃+3c八

33°313〃T3〃22?3〃

18.解：(1)若。=」，則4+5二四，

44

因為1+sin2/=(3tan3+2)cos2A，

rrjr

LU1+sin(--2S)=(3tan5+2)cos(--25),.....................................................1分

所以l+cos28=(3tan8+2)sin28,..............................................................2分

J5/f^,3tan25+213115-1=0,...............................................................................4分

高三數學參考答案第1頁（共6頁）

所以tan8=—或tanB=-\,

3

JT1

因為0<2<—，貝Utan3=—................................................................................6分

43

(2)若N=8,則l+sm2/=3tan/+2,所以^^=3tan/+2,............8分

cos241-tanA

n

得3tan?4=1,所以tan4=—(負的舍去)，

3

71

又0<4<兀，所以4=5=—，.........................................10分

6

又c=2,所以NB邊上的高為迫，故面積為......................12分

33

19.(1)證明：因為側面/2瓦4為菱形，所以48，/瓦，................1分

又因為43~L/C，AC^AB^A,

所以48_L平面ABXC.4分

(2)法一：取的中點。，連接用O,

因為/48月=三，所以片為等邊三角形，所以8。，48.........................5分

因為平面/?B/J■平面4s。，平面/百胡Pl平面4BC=48,8Qu平面4424,

所以片。_1平面48C,................................6分

所以2Q_L/C,又因為4臺L/C，

BXO[\AB=O,

所以/C_L平面4耳氏4?...........................7分

以。為原點，O2,OD,O21(O0〃/C)所在直

線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系.則2(1,0,0),-1,0,0),4(-2,0,向,E(-1,1,0),所以

高三數學參考答案第2頁(共6頁)

可=（-3,0,百），BE=（-2,1,0）......................................8分

設平面的一個法向量為〃=（x,y,z）,

“In-BA,=—3x+=0,

所以<_

n?BE=-2x+y=0,

取x=l,得2=^/^，y=2f

所以平面48E的一個法向量為“=（1,2,6）.............................9分

又尸在線段4E上，設麗=%鬲尸（再，乂,zj,

所以（X]+1,%一1,Zj）=^，（―1,-1,\/3）,

X]=—1—A9

所以（必=1-九所以尸（-1-九1-/1,百Q,所以至=（-九1-九6/1）.

Z1=百2,

因為4P與平面4BE所成角大小為巴，

14

所以加乙=卜4</，〃>|=%=K+2-2"34............]0分

1

41%可同“2+（—）2+3/通

所以5萬-22=0,即4=2或4=0（舍），即生=2...................12分

5EAl5

法二：設45口/4=尸，因為4B_L平面NBC，

所以平面48EL平面/qc,...........................................5分

EF為交線,由法「得NCL平面4⑸A4,..............................7分

所以/￡=4F=1,EF=O,

5

過4作_L￡/于〃，則=.................................9分

2

因為/P與平面48E所成角大小為巴，所以/P=l,..................10分

14

7FP9

在中，可計算得E尸=二，所以絲=4.........................12分

垂EA、5

高三數學參考答案第3頁（共6頁）

20.解：（1）設每位居民需化驗的次數為X

171

若混合血樣呈陰性，則x=,，若混合血樣呈陽性，則x=a,....................2分

2020

所以X的分布列為：

尸（X=1）=0.9982°,尸（x=|^）=1-0.998”,......................................................4分

1212121

E(X)=——xO.99820+—(1-0.99820)=——O.99820=--(1-0.002)20

20202020

?|^-(1-0.002x20)=0.09,

故2000名居民總化驗次數約為2000x0.09=180次.....................6分

(2)設每組〃人總費用為y元，若混合血樣呈陰性則y=〃+9,若混合血樣呈陽性,

則y=ii〃+9,所以，Y的分布列為：

尸(y="+9)=0.991",尸(y=11"+9)=1-0.991",.........................................8分

所以￡(￥)=(〃+9)x0.991"+(11"+9)(1-0.991")=11H-10/7x0.991"+9,

每位居民的化驗費用為：

=ll-10x0.991"+-=11-10x(1-0.009),,+-....................................10分

nnn

?11-10x(l-0.009?)+-=l+0.09?+-^1+20.09M--=2.8元，

nnNn

g

當且僅當0.09〃=—,即幾=10時取等號.

n

故〃=10時，每位居民化驗費用的期望最小...........................12分

21.解：(1)由題意，設/:%=叼+1,

聯立方程組[>2=2x，得/_2〃"_2=0...........................................................2分

[x=my+

故夕+%=2加，_l+±=21±A=.m.

〔必％=一2，%％弘％

由,---1-------1--=------1-----------1----=----m---.

\BM\\AM\~4+m2A/1+Tn2

所以=解得加=1.故直線/的方程為y=x-l.4分

J1+/2

(2)①設/(K0)?>0),l:x=my+tfC(x3,%),D(x4,%)，

高三數學參考答案第4頁（共6頁）

故，2x，j；2—2my—2t=0,所以上+，二一竺,

[x=my+t,必y2t

同理可得_1+，=一'11

=--1--.6分

為y4乂%為y4

②由①可知,一工1%一必_%一%,故12nd=12匹1

\y-y1Iyy1

%為y4%%%2424

弘---

2^_21AM|2

注意到值一切1=9=2,以及也工

—2t\DM|2

y4.一乂

必

所以即W為中點.8分

x=2t-演

所以4代入拋物線方程,

>4=-"，

必=2xl，2y[6tyj6t

可得y,=---%-二F

、(一乂)2=4(2/—石)，3

由"=一必=,以及%"=_書，可得為io分

故岳切切-%I

W12分

S]\CD\]%一%|10

C”+墳〃

3

22.解：(1)//(%)=/(x)-g(x)=x2+--Inx,

4

、(V2也、

12(x+--)v(x--)

得〃'(1)=2x—=-----------------，.................