專(zhuān)題17圓中陰影部分的面積七種計(jì)算方法（原卷版）第一部分典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練方法一公式法典例1(2023?涼山州）家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇形的圓心角∠BAC＝90°，則扇形部件的面積為（）A．12π米2 B．14π米2 C．18π米針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?臥龍區(qū)二模）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊BC于點(diǎn)B，交邊AC于點(diǎn)E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，則扇形BDE的面積為．方法二和差法典例2(2023?荊州）如圖，以邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，恰好與BC邊相切，分別交AB，AC于D，E，則圖中陰影部分的面積是（）A．3?π4 B．23?π C．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?玉樹(shù)市校級(jí)一模）如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，過(guò)AB的中點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D，E，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣4 D．π方法三等積變形法典例3(2023?朝陽(yáng)）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，連接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，BD，已知⊙O半徑為2，則圖中陰影面積為．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023秋?天橋區(qū)期末）如圖，菱形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，對(duì)角線(xiàn)AC，OB交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑是23，則圖中陰影部分的面積是（）A．2π B．6π C．33π D．3方法四化零為整法（整體法）典例4(2023?天橋區(qū)二模）如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4，分別以正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)為圓心作半徑是2的圓，則圖中陰影部分的面積為．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，分別以五邊形的各個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為πcm2．方法五割補(bǔ)法（拼接法）典例5(2023?銅仁）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，以BC為直徑畫(huà)半圓，則陰影部分的面積是（）A．9 B．6 C．3 D．12針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?鄭州模擬）如圖，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，連接AB，以BC為直徑作半圓，交AB于點(diǎn)D．若陰影部分的面積為（π﹣1），則陰影部分的周長(zhǎng)為．方法6圖形變化法（旋轉(zhuǎn)、平移、翻折）典例6(2023?武威模擬）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如圖所示，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB'C'．則圖中陰影部分的面積為．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?西寧）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝23，則圖中陰影部分的面積是．典例7(2023?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，O為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，以C為圓心，4為半徑作圓弧BD，再分別以E，F(xiàn)為圓心，2為半徑作圓弧BO，OD，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?重慶模擬）如圖，在正方形ABCD中，扇形BAD的半徑AB＝4，以AB為直徑的圓與正方形的對(duì)角線(xiàn)BD相交于O，連接AO．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）典例8(2023?招遠(yuǎn)市）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為G，OG：OC＝3：5，AB＝8．點(diǎn)E為圓上一點(diǎn)，∠ECD＝15°，將CE沿弦CE翻折，交CD于點(diǎn)F，圖中陰影部分的面積＝．針對(duì)訓(xùn)練1．（如圖，將半徑為4cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，折痕為AB，則圖中陰影部分的面積為．方法七重疊求余法例七(2023?鄂爾多斯二模）如圖，直徑AB為6的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B′，則圖中陰影部分的面積是．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?市南區(qū)校級(jí)一模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，將三角形繞著B(niǎo)C的中點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則圖中陰影部分的面積為．專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練一．選擇題（共15小題）1．(2023?蘭州）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，則陰影部分的面積為（）A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm22．(2023秋?西華縣期末）如圖，在半徑為2，圓心角為90°的扇形內(nèi)，以BC為直徑作半圓，交弦AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．12π﹣1 D．123．(2023?泰安）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，DE為半徑，且DE＝6的圓交CD于點(diǎn)F，則陰影部分的面積為（）A．6π﹣93 B．12π﹣93 C．6π?932 4．(2023?達(dá)州）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊△ABC，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作BC，AC，AB，三弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．如果一個(gè)曲邊三角形的周長(zhǎng)為2π，則此曲邊三角形的面積為（）A．2π﹣23 B．2π?3 C．2π D．π5．現(xiàn)在很多家庭都使用折疊型餐桌來(lái)節(jié)省空間，兩邊翻開(kāi)后成圓形桌面（如圖①），餐桌兩邊AB和CD平行且相等（如圖②），小華用皮尺量出BD＝1米，BC＝0.5米，則陰影部分的面積為（）A．（π12?38）平方米 C．（π12?34）平方米6．(2023?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于點(diǎn)E，連接BE，則扇形BAEA．π3 B．3π5 C．2π37．(2023?赤峰）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長(zhǎng)CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π B．22 C．2π﹣4 D．2π﹣228．(2023?畢節(jié)市）如圖，一件扇形藝術(shù)品完全打開(kāi)后，AB，AC夾角為120°，AB的長(zhǎng)為45cm，扇面BD的長(zhǎng)為30cm，則扇面的面積是（）A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm29．(2023?山西）如圖，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（）A．3π﹣33 B．3π?932 C．2π﹣33 10．(2023?連云港）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)相鄰刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線(xiàn)段，則鐘面中陰影部分的面積為（）A．23π?32 B．23π?3 C．43π﹣2二．填空題11．(2023?鞏義市二模）如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為8的⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，交OA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．連接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°，則圖中陰影部分的面積為．12．(2023?宛城區(qū)一模）如圖所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，長(zhǎng)為2的線(xiàn)段CD的兩個(gè)端點(diǎn)分別在線(xiàn)段OA、OB上滑動(dòng)，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，連接EF、BE．若AF的長(zhǎng)是π3，則線(xiàn)段EF的最小值是，此時(shí)圖中陰影部分的面積是

13．(2023?貴港）如圖，在?ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，若AB＝32，則圖中陰影部分的面積是14．(2023春?亭湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝6，則陰影部分的面積是．15．(2023?黔西南州）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角∠FOH＝90°．則圖中陰影部分面積是．16．(2023?康巴什一模）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點(diǎn)O，則圖中陰影部分的面積為．17．(2023秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，在扇形OAB中，點(diǎn)C在AB上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，連接AC，若OA＝4，則圖中陰影部分的面積為．專(zhuān)題17圓中陰影部分的面積七種計(jì)算方法（解析版）第一部分典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練方法一公式法典例1(2023?涼山州）家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇形的圓心角∠BAC＝90°，則扇形部件的面積為（）A．12π米2 B．14π米2 C．18π米思路引領(lǐng)：連結(jié)BC，AO，90°所對(duì)的弦是直徑，根據(jù)⊙O的直徑為1米，得到AO＝BO=12米，根據(jù)勾股定理得到解：連結(jié)BC，AO，如圖所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直徑，∵⊙O的直徑為1米，∴AO＝BO=1∴AB=A∴扇形部件的面積=90360π×（22）2=故選：C．總結(jié)提升：本題考查了扇形面積的計(jì)算，掌握設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?臥龍區(qū)二模）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊BC于點(diǎn)B，交邊AC于點(diǎn)E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，則扇形BDE的面積為．思路引領(lǐng)：求出扇形的圓心角以及半徑即可解決問(wèn)題．解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC＝20°，∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，∴S扇形DBE=40π×3故答案為：π．總結(jié)提升：本題考查扇形的面積公式、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式．方法二和差法典例2(2023?荊州）如圖，以邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，恰好與BC邊相切，分別交AB，AC于D，E，則圖中陰影部分的面積是（）A．3?π4 B．23?π C．思路引領(lǐng)：作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根據(jù)S陰影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．解：由題意，以A為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，恰好與BC邊相切，設(shè)切點(diǎn)為F，連接AF，則AF⊥BC．在等邊△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF=A∴S陰影＝S△ABC﹣S扇形ADE=12×=3故選：D．總結(jié)提升：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，求扇形面積，理解切線(xiàn)的性質(zhì)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積﹣扇形的面積是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?玉樹(shù)市校級(jí)一模）如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，過(guò)AB的中點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D，E，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣4 D．π思路引領(lǐng)：連接OC，求出∠AOC＝∠BOC＝45°，求出∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，求出CD＝OD，CE＝OE，根據(jù)勾股定理求出CD＝OD＝OE＝CE=2解：連接OC，∵OA＝2，∴OC＝0A＝2，∵∠AOB＝90°，C為AB的中點(diǎn)，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，∴CD＝OD，CE＝OE，∴2CD2＝22，2OE2＝22，即CD＝OD＝OE＝CE=2∴陰影部分的面積S＝S扇形AOB﹣S△CDO﹣S△CEO=90π×22360故選：B．總結(jié)提升：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，扇形面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵，注意：如果扇形的圓心角為n°，半徑為r，那么該扇形的面積為nπr方法三等積變形法典例3(2023?朝陽(yáng)）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，連接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，BD，已知⊙O半徑為2，則圖中陰影面積為．思路引領(lǐng)：由圓周角定理可得∠AOB的度數(shù)，由OD∥AB可得S△ABD＝S△ABO，進(jìn)而可得S陰影＝S扇形AOB，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S陰影＝S扇形AOB=30π×故答案為：π3總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理、扇形面積公式和同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023秋?天橋區(qū)期末）如圖，菱形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，對(duì)角線(xiàn)AC，OB交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑是23，則圖中陰影部分的面積是（）A．2π B．6π C．33π D．3思路引領(lǐng)：根據(jù)四邊形OABC是菱形，得BC＝OC＝OB，即△COB是等邊三角形，根據(jù)S△ADB＝S△OCD，所以圖中陰影部分的面積＝S扇形COB．解：∵四邊形OABC是菱形，∴BC＝OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴∠COB＝60°，∵S△ADB＝S△OCD，∴圖中陰影部分的面積＝S扇形COB=60π×(23)故選：A．總結(jié)提升：本題考查的是扇形面積的計(jì)算和菱形的性質(zhì)，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．方法四化零為整法（整體法）典例4(2023?天橋區(qū)二模）如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4，分別以正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)為圓心作半徑是2的圓，則圖中陰影部分的面積為．思路引領(lǐng)：先求出六邊形的內(nèi)角和，再根據(jù)扇形的面積公式即可求出．解：∵六邊形的內(nèi)角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴陰影面積＝6×π×22?720π×22故答案為：16π．總結(jié)提升：本題主要考查了扇形的面積公式，學(xué)會(huì)把圖中不規(guī)則圖形的面積由幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，分別以五邊形的各個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為πcm2．思路引領(lǐng)：根據(jù)多邊形的外角和為360°可得陰影部分的面積為半徑為1的圓的面積，再利用圓的面積計(jì)算公式可得答案．解：圖中陰影部分的面積為π×12＝π．故答案為：π．總結(jié)提升：此題主要考查了多邊形的外角，關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和為360°．方法五割補(bǔ)法（拼接法）典例5(2023?銅仁市）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，以BC為直徑畫(huà)半圓，則陰影部分的面積是（）A．9 B．6 C．3 D．12思路引領(lǐng)：設(shè)AC與半圓交于點(diǎn)E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，證明BE＝CE，得到弓形BE的面積＝弓形CE的面積，則S陰影解：設(shè)AC與半圓交于點(diǎn)E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴弓形BE的面積＝弓形CE的面積，∴S陰影故選：A．總結(jié)提升：本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?鄭州模擬）如圖，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，連接AB，以BC為直徑作半圓，交AB于點(diǎn)D．若陰影部分的面積為（π﹣1），則陰影部分的周長(zhǎng)為．思路引領(lǐng)：根據(jù)BC為直徑可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D為半圓的中點(diǎn)，設(shè)AC＝BC＝m，則AB=2m，CD＝AD＝BD=22m，陰影部分的面積可以看作是扇形ACB的面積與△ADC的面積之差，據(jù)此求得直角三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得AB解：設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接OD，連接CD，∵以BC為直徑作半圓，交AB于點(diǎn)D．∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AD＝BD，CD=12∴CD＝BD，∴CD=∵AD＝BD，CO＝BO，∴OD∥AC，∴∠BOD＝90°，設(shè)AC＝BC＝m，則AB=2m，CD＝AD＝BD=2∵陰影部分的面積為（π﹣1），∴S陰影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=14π?m2?12×（22∴14πm2?14m2∴14m2∴m＝2，∴AC＝BC＝2，AB＝22，OC＝OB＝1，∴AB的長(zhǎng)為：90?π×2180=π，BD的長(zhǎng)為：90?π×1∴陰影部分的周長(zhǎng)為：π+2×12π+22+2＝2π故答案為：2π+22+總結(jié)提升：本題考查了扇形的面積和弧長(zhǎng)的計(jì)算，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．方法6圖形變化法（旋轉(zhuǎn)、平移、翻折）典例6(2023?武威模擬）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如圖所示，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB'C'．則圖中陰影部分的面積為．思路引領(lǐng)：解直角三角形得到AB=3BC=3，AC＝2解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB=3BC=3，AC＝2∴圖中陰影部分面積＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′=90?π?22故答案為：π?3總結(jié)提升：本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，扇形的面積公式，解直角三角形，熟練掌握扇形的面積公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?西寧）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝23，則圖中陰影部分的面積是4π3思路引領(lǐng)：根據(jù)內(nèi)接于圓O的等邊三角形的性質(zhì)可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形AOC的面積，利用扇形面積的公式計(jì)算可求解．解：∵△ABC為等邊三角形，∴S△BOC＝S△AOC，∠AOC＝120°，在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝120°，BC＝23，∴OB＝OC＝2，∴S陰影＝S扇形AOC=120π×故答案為：4π3總結(jié)提升：本題主要考查扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．典例7(2023?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，O為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，以C為圓心，4為半徑作圓弧BD，再分別以E，F(xiàn)為圓心，2為半徑作圓弧BO，OD，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）思路引領(lǐng)：連接BD，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧，所對(duì)的弦分別相等，利用面積割補(bǔ)法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形CBD減去直角三角形CBD的面積之差．解：連接BD，EF，如圖，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，O為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，由題意可得：EF，BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴FD＝FO＝EO＝EB＝2，∴OB=OD，OB＝∴弓形OB＝弓形OD．∴陰影部分的面積等于弓形BD的面積．∴S陰影＝S扇形CBD﹣S△CBD=90π×42故答案為：4π﹣8．總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算．通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將不規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的差是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?重慶模擬）如圖，在正方形ABCD中，扇形BAD的半徑AB＝4，以AB為直徑的圓與正方形的對(duì)角線(xiàn)BD相交于O，連接AO．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）思路引領(lǐng)：理由圓周角定理得出AO⊥BD，利用正方形的性質(zhì)性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出OD＝OA＝OB，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想得出陰影部分面積＝S扇形ABD﹣S△ADC，進(jìn)而得出答案．解：如圖，∵AB是直徑，∴∠AOB＝90°，∴AO⊥BD，∵AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，∴OD＝OA＝OB，∴S弓形OA＝S弓形OB，∴陰影部分面積＝S扇形ABD﹣S△ADC=14π×42?1故答案為4π﹣8．總結(jié)提升：本題考查正方形的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，屬于中考?？碱}型．典例8(2023?招遠(yuǎn)市一模）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為G，OG：OC＝3：5，AB＝8．點(diǎn)E為圓上一點(diǎn)，∠ECD＝15°，將CE沿弦CE翻折，交CD于點(diǎn)F，圖中陰影部分的面積＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)AB⊥CD，垂足為G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得⊙O的半徑；要求陰影部分的面積只要做出合適的輔助線(xiàn)，然后利用銳角三角函數(shù)、扇形的面積和三角形的面積即可解答本題．解：如圖，連接AO，將陰影部分沿CE翻折，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD于點(diǎn)N，∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，AB＝8，∴AG=12∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足為G，∴設(shè)⊙O的半徑為5k，則OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半徑是5；∵∠ECD＝15°，由對(duì)稱(chēng)性可知，∠DCM＝30°，S陰影＝S弓形CBM，連接OM，則∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD于點(diǎn)N，∴MN＝MO?sin60°＝5×3∴S陰影＝S扇形OMC﹣S△OMC=120×π×25即圖中陰影部分的面積是：25π3總結(jié)提升：本題考查翻折變換、扇形的面積、垂徑定理，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．針對(duì)訓(xùn)練1．（如圖，將半徑為4cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，折痕為AB，則圖中陰影部分的面積為．思路引領(lǐng)：作OC⊥AB于C，交AB于點(diǎn)D，連接AO，BO，AD，BD，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以得出CO＝CD，由三角函數(shù)值就可以求出∠AOB的度數(shù)，由扇形的面積﹣三角形AOB的面積就可以得出結(jié)論．解：作OC⊥AB于C，交AB于點(diǎn)D，連接AO，BO，AD，BD，∴∠ACO＝90°．∵△AOB與△ADB關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，∴△AOB≌△ADB∴AO＝AD，∠ACO＝∠ACD＝90°，∴CO＝CD．∵OD＝AO＝4，∴OC＝2．在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝23．∵cos∠AOC=CO∴∠AOC＝60°．∵AO＝BO，OC⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°．AB＝2AC＝43．∴S扇形AOBD=120π×16∵S△AOB=43×2陰影部分的面積為：（163π?43）故答案為：（163π?43）總結(jié)提升：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，扇形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．方法七重疊求余法例七(2023?鄂爾多斯二模）如圖，直徑AB為6的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B′，則圖中陰影部分的面積是．思路引領(lǐng)：根據(jù)陰影部分的面積＝以AB′為直徑的半圓的面積+扇形ABB′的面積﹣以AB為直徑的半圓的面積，即可求解．解：陰影部分的面積＝以AB′為直徑的半圓的面積+扇形ABB′的面積﹣以AB為直徑的半圓的面積＝扇形ABB′的面積，則陰影部分的面積是：60π×62360故答案為：6π．總結(jié)提升：本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算，正確理解陰影部分的面積＝以AB′為直徑的半圓的面積+扇形ABB′的面積﹣以AB為直徑的半圓的面積＝扇形ABB′的面積是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．(2023?市南區(qū)校級(jí)一模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，將三角形繞著B(niǎo)C的中點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則圖中陰影部分的面積為．思路引領(lǐng)：如圖，連接OE，OA．根據(jù)S陰＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE，求解即可．解：如圖，連接OE，OA．由題意可知△BOF為等邊三角形．∴OB＝OF＝BF＝1，∴S△BOF=3在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝DE＝23，∴S△EOF=12?OF?DE∵OF＝OD，∴S△EOF＝S△DEO=3∵∠AOE＝60°，AO=A∴S扇形EOA=60?π?(由題意，△BPE為直角三角形，BE＝EF﹣BF＝4﹣1＝3，∴BP=12BE=32∴S△PBE=1∴S陰＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE=13π解法二：可以根據(jù)S陰＝S△APE+（S扇形AOE﹣S△AOE）計(jì)算．總結(jié)提升：本題考查扇形的面積，旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練一．選擇題（共15小題）1．(2023?蘭州）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，則陰影部分的面積為（）A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2思路引領(lǐng)：根據(jù)S陰＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，計(jì)算即可．解：S陰＝S扇形DOA﹣S扇形BOC=120π×9＝2.25πm2．故選：D．總結(jié)提升：本題考查的是扇形面積的計(jì)算，掌握扇形的面積公式S=n2．(2023秋?西華縣期末）如圖，在半徑為2，圓心角為90°的扇形內(nèi)，以BC為直徑作半圓，交弦AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．12π﹣1 D．12思路引領(lǐng)：已知BC為直徑，則∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D為半圓的中點(diǎn)，陰影部分的面積可以看作是扇形ACB的面積與△ADC的面積之差．解：在Rt△ACB中，AB=22+∵BC是半圓的直徑，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD=2∴D為半圓的中點(diǎn)，∴S陰影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=12π×22?12×（2故選：A．總結(jié)提升：本題主要考查扇形面積的計(jì)算，在解答此題時(shí)要注意不規(guī)則圖形面積的求法．3．(2023?泰安）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，DE為半徑，且DE＝6的圓交CD于點(diǎn)F，則陰影部分的面積為（）A．6π﹣93 B．12π﹣93 C．6π?932 思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，扇形的面積公式，三角形面積公式解答即可．解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DF交DF于點(diǎn)G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝33，∴DF＝63，陰影部分的面積=120π×36360?12×6故選：B．總結(jié)提升：本題主要考查了扇形面積和平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握扇形面積公式是解決本題的關(guān)鍵．4．(2023?達(dá)州）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊△ABC，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作BC，AC，AB，三弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．如果一個(gè)曲邊三角形的周長(zhǎng)為2π，則此曲邊三角形的面積為（）A．2π﹣23 B．2π?3 C．2π D．π思路引領(lǐng)：此三角形是由三段弧組成，如果周長(zhǎng)為2π，則其中的一段弧長(zhǎng)為2π3，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得60πr180=解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為r，∴60πr180=2π∴這個(gè)曲邊三角形的面積＝2×3×12+（60π×4故選：A．總結(jié)提升：本題考查了扇形面積的計(jì)算．此題的關(guān)鍵是明確曲邊三角形的面積就＝三角形的面積+三個(gè)弓形的面積，然后再根據(jù)所給的曲邊三角形的周長(zhǎng)求出三角形的邊長(zhǎng)，從而求值．5．現(xiàn)在很多家庭都使用折疊型餐桌來(lái)節(jié)省空間，兩邊翻開(kāi)后成圓形桌面（如圖①），餐桌兩邊AB和CD平行且相等（如圖②），小華用皮尺量出BD＝1米，BC＝0.5米，則陰影部分的面積為（）A．（π12?38）平方米 C．（π12?34）平方米思路引領(lǐng)：設(shè)圓心為O，連接CO，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，進(jìn)而得出CD，EO的長(zhǎng)以及∠COD的度數(shù)，進(jìn)而由S弓形CD面積＝S扇形COD﹣S△COD得出弓形CD的面積，進(jìn)一步即可求得陰影部分的面積．解：設(shè)圓心為O，連接CO，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，由題意可得出：∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∵BD＝1米，BC＝0.5米，∴BC=12BD，CD∴∠BDC＝30°，∴OE=12OD∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠BDC＝30°，∴∠COD＝120°，∴S弓形CD面積＝S扇形COD﹣S△COD=120π×＝（π12∴陰影部分的面積為：2×（π12?3∴故選：B．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理以及扇形面積計(jì)算以及三角形面積求法等知識(shí)，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．(2023?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于點(diǎn)E，連接BE，則扇形BAEA．π3 B．3π5 C．2π3思路引領(lǐng)：解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面積公式求解．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC=3∴cos∠CBE=CB∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∴S扇形BAE=60?π?故選：C．總結(jié)提升：本題考查扇形的面積，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出∠CBE的度數(shù)．7．(2023?赤峰）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長(zhǎng)CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π B．22 C．2π﹣4 D．2π﹣22思路引領(lǐng)：連接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根據(jù)扇形面積減三角形面積計(jì)算即可．解：連接OE，OC，BC，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC為等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝22，∴S陰影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(22)故選：C．總結(jié)提升：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．(2023?畢節(jié)市）如圖，一件扇形藝術(shù)品完全打開(kāi)后，AB，AC夾角為120°，AB的長(zhǎng)為45cm，扇面BD的長(zhǎng)為30cm，則扇面的面積是（）A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2思路引領(lǐng)：先求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)扇形的面積公式求出扇形BAC和扇形DAE的面積即可．解：∵AB的長(zhǎng)是45cm，扇面BD的長(zhǎng)為30cm，∴AD＝AB﹣BD＝15cm，∵∠BAC＝120°，∴扇面的面積S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE=120π×4＝600π（cm2），故選：C．總結(jié)提升：本題考查了扇形的面積計(jì)算，能熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵，注意：圓心角為n°，半徑為r的扇形的面積S=nπ9．(2023?山西）如圖，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（）A．3π﹣33 B．3π?932 C．2π﹣33 思路引領(lǐng)：根據(jù)折疊的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四邊形AOBC是菱形，連接OC交AB于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根據(jù)菱形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．解：沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO＝BO，∴四邊形AOBC是菱形，連接OC交AB于D，∵OC＝OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠CAO＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AC＝3，∴OC＝3，AD=32AC∴AB＝2AD＝33，∴圖中陰影部分的面積＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=120π×32360?1故選：B．總結(jié)提升：本題考查了扇形面積的計(jì)算，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．10．(2023?連云港）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)相鄰刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線(xiàn)段，則鐘面中陰影部分的面積為（）A．23π?32 B．23π?3 C．43π﹣2思路引領(lǐng)：連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOB為等邊三角形，再根據(jù)扇形面積公式求出S扇形AOB=23π，再根據(jù)三角形面積公式求出S△AOB解：連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，由題意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×2∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=3∴S△AOB=1∴陰影部分的面積為：23π?故選：B．總結(jié)提升：本題考查有關(guān)扇形面積、弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練應(yīng)用面積公式，其中作出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．二．填空題11．(2023?鞏義市二模）如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為8的⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，交OA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．連接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°，則圖中陰影部分的面積為．思路引領(lǐng)：連接OB，交CA于E，根據(jù)圓周角定理得到∠BOA＝60°，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠D＝∠OAC＝30°，即可得出∠OBD＝90°，解直角三角形求出BD，分別求出△BOD的面積和扇形AOB的面積，即可得出答案．解：連接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C=12∠∴∠BOA＝60°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠OAC＝30°，∴∠OBD＝90°，∴BD=3OB＝83∴S陰影＝S△BDO﹣S扇形AOB=12×8×83故答案為323?總結(jié)提升：本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目比較好，難度適中．12．(2023?宛城區(qū)一模）如圖所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，長(zhǎng)為2的線(xiàn)段CD的兩個(gè)端點(diǎn)分別在線(xiàn)段OA、OB上滑動(dòng)，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，連接EF、BE．若AF的長(zhǎng)是π3，則線(xiàn)段EF的最小值是，此時(shí)圖中陰影部分的面積是思路引領(lǐng)：如圖，連接OF，OE，BF，取OF的中點(diǎn)T，連接BT．根據(jù)弧長(zhǎng)求得∠AOF＝30°，jk證明△OBF是等邊三角形，利用直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)求出OE，EF≥OF﹣OE＝1，推出當(dāng)O，E，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，EF的值最小，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)T重合，求出BT，然后根據(jù)S陰影＝S扇形BOF﹣S△BOT求得陰影的面積．解：如圖，連接OF，OE，BF，取OF的中點(diǎn)T，連接BT．∵AF的長(zhǎng)是π3，OA∴π3∴n＝30，∴∠AOF＝30°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOF＝60°，∵CE＝DE，∴OE=12CD∵OF＝2，∴EF≥OF﹣OE＝1，∴當(dāng)O，E，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，EF的值最小，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)T重合，∴此時(shí)EF＝1，∵OF＝OB，∠BOF＝60°，∴△BOF是等邊三角形，∵OT＝TF，∴BT⊥OF，∴BE＝BT=32OB∴此時(shí)S陰影＝S扇形BOF﹣S△BOT=60π×22故答案為：1，23π?總結(jié)提升：本題考查了扇形的面積，等邊三角形的判定，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，明確當(dāng)O，E，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，EF的值最小是解題的關(guān)鍵．13．(2023?貴港）如圖，在?ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，若AB＝32，則圖中陰影部分的面積是思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得DF，從而求得EB，最后由S陰影＝S?ABCD?S扇形ADE?S△EBC結(jié)合扇形面積公式、平行四邊形面積公式、三角形面積公式解題即可．解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵AD=23AB，∠BAD＝45°，AB＝3∴AD=23×32∴DF＝ADsin45°＝22×∵AE＝AD＝22，∴EB＝AB?AE=2∴S陰影＝S?ABCD?S扇形ADE?S△EBC＝32×2?＝52?π故答案為：52?π總結(jié)提升：本題考查等腰直角三角形、平行四邊形的