8.4空間點、直線、平面之間的關系8.4.2空間點、直線、平面的位置關系復習與引入

前面我們認識了空間中點、直線、平面的一些位置關系，如點在平面內，直線在平面內，兩個平面相交，等等.你還能想起這些關系嗎？圖形語言文字語言符號語言①

②③④⑤圖形語言文字語言符號語言⑥⑦⑧

那么空間中的點、直線、平面到底有怎樣的位置關系嗎?我們接下來就來探討這個問題知識探究(一)

問題1：長方體是我們熟悉的空間幾何圖形，下面我們借助長方體進一步研究空間中點、直線、平面之間的位置關系.

我們知道，長方體有8個頂點，12條棱，6個面.12條棱對應12條棱所在的直線，6個面對應6個面所在的平面，觀察下圖所示的長方體ABCD-A'B'C'D'，你能發現這些頂點、直線、平面之間的位置關系嗎?BDCA'B'C'D'A

思考(1)：如何有序地思考這個問題？需要研究哪一些關系?

點與直線，

點與平面，直線與直線，直線與平面，平面與平面.

思考(2)：點與直線，點與平面的位置關系是怎樣的，請結合圖形解釋?點與直線的位置關系有兩種：點在直線上；點在直線外.點與平面的位置關系有兩種：點在平面內；點在平面外.線線BDCA'B'C'D'A

問題2：點與直線，點與平面的位置關系我們已經比較熟悉了，接下來我們來研究空間中直線和直線的位置關系.知識探究(二)

觀察右圖中的長方體，你能歸納出空間中直線和直線的位置關系有哪些種類嗎？

①平行直線.

如直線A′B′與D′C′，它們在同一個平面A′B′C′D′內，它們沒有公共點.

②相交直線.

如直線AB與BC，它們在同一個平面ABCD內，它們只有一個公共點B.

③兩條直線不同在任何一個平面內.

如直線

AA'與CD，它們不僅不在圖中給出的平面內，而且還不可能在任何一個我們未給出的平面內.

象這種位置關系的兩條直線，我們稱為異面直線.思考(1)：你能說說什么是異面直線嗎？BDCA'B'C'D'A異面直線1.異面直線定義:

不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線。沒有在同一個平面的可能性，即同時過這兩條直線的平面不存在。思考(3)：分別在兩個平面內的兩條直線是否一定異面？不一定.它們可能異面，可能相交，也可能平行.

思考(2)：你能用筆或尺子擺出一些異面直線的位置，驗證一下它們確實不同在任何一個平面內嗎？試試看.BDCA'B'C'D'A

思考(4)：下圖中與AA'

異面的直線，除CD外還有哪一些？

思考(5)：我們在作圖時，如何才能體現出異面直線不共面的特點？2.異面直線的畫法:αabαabαβba

為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常要借助一個或兩個輔助平面襯托.

思考(6)：拿出兩支筆，看作兩條直線，再看一看它們之間的位置關系有幾種？相交直線:平行直線:共面直線異面直線:不同在任何一個平面內，沒有公共點

同一平面內,有且只有一個公共點.

同一平面內，沒有公共點.1.根據兩條直線是否共面分:空間直線間的位置關系2.根據兩條直線公共點的個數分:平行直線異面直線沒有公共點有且只有一個公共點:相交直線

思考(7)：我們根據前面的學習，你能給空間直線的位置關系作一個分類嗎？你分類的標準是什么，結果又是怎樣的？線面BDCA'B'C'D'A

問題3：觀察圖中的長方體，類比問題2，你能完成空間中直線與平面位置關系的研究嗎？知識探究(三)

思考(1)：回顧問題2的研究，你認為本題的研究路徑是怎樣的？①直線在平面內.

如直線AB與平面ABCD內，

有無數個公共點，即

②直線與平面相交.

如直線AA′與平面ABCD相交于A，有1數公共點，即觀察長方體，舉例說明直線與平面的關系→舉出更多實例→用三種語言來表示→按一定的標準來分類思考(2)：具體的過程和結果是怎樣的？③直線與平面平行.

如直線C′D′與平面ABCD平行，

沒有公共點，即→實驗確認

拿出一本書和一支筆，看作一個平面和一條直線，看看它們之間的位置關系有幾到底有幾種？

由基本事實2可知，第二、三兩種情況的直線都不在平面內，因此，直線與平面的位置關系可這樣分：空間直線與平面的位置關系1.根據直線是否在平面內來分:直線在平面內:直線在平面外直線與平面相交:有1個公共點

直線與平面平行:沒有公共點

Aαaαaαa有無數個公共點

注意：

直線在平面內時，直線應全部畫在平行四邊形內；

直線在平面外時，直線應部分或全部畫在平行四邊形外直線與平面有無數個公共點：

Aαaαaαa2.根據直線與平面公共點的個數來分:直線在平面內直線與平面有1個公共點：

直線與平面相交直線與平面沒有公共點：

直線與平面平行面面BDCA'B'C'D'A

問題4：觀察圖中的長方體，類比前面的方法，你能完成空間中平面與平面位置關系的研究嗎？知識探究(四)空間中平面與平面之間的位置關系

兩個平面平行:沒有公共點

兩個平面相交:有一條公共直線

再拿出兩本書，看作兩個平面，上下、左右移動和翻轉，看看它們之間的位置關系到底有幾種？平行，相交

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思考(1)：直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行有什么相同之處？都是沒有公共點

思考(2)：如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，連結A′B，CD′，請你再舉一些空間中直線，平面之間位置關系的例子，并用符號語言表示出來？BDCA'B'C'D'A例1.用符號表示下列圖形中直線、平面之間的位置關系．例析

思考：為了防止寫漏，可以按照怎樣的順序來寫？

例2.如圖，AB∩α=B，A?α，a?α，B∈a，直線AB與

α具有怎樣的位置關系？為什么

思考(1)：你能用窮舉法說明這兩直線不同在任一個平面嗎？由此，你能想到什么方法來說明這個問題？正難則反可以先考慮它的反面（即兩直線共面），會出現什么情況.

思考(2)：由例2得到了一種判定兩直線異面的方法，請說說這種方法？

與平面相交的直線和平面內不經過交點的直線異面.結論1.如果直線a，b沒有公共點，那么a與b（

）.(A)共面(B)平行(C)異面(D)可能平行，也可能異面練習2.設直線a，b分別是長方體相鄰兩個面的對角線所在的直線，

則a與b（

）.(A)共面(B)相交(C)異面(D)可能相交，也可能異面3.如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，

請指出下列元素間的位置關系：BDCA'B'C'D'A4.(1)經過同一直線上3個點的平面（

）.(A)有且僅有1個(B)有且僅有3個

(C)有無數個

(D)不存在(2)若直線a不平行平面α，且a?α,則下列結論成立的是().(A)α內的所有直線與a異面(B)α內不存與a平行的直線

(C)α內存與惟一的直線與a平行

(D)α內的所有直線與a相交1.本節課我們研究了什