直線與圓

［考情分析］1.和導數、圓錐曲線相結合，求直線的方程，考查點到直線的距離公式，多以

選擇題、填空題形式出現，中低難度.2.和圓錐曲線相結合，求圓的方程或弦長、面積等，中

高難度.

考點一直線的方程

【核心提煉】

1.已知直線Z：4x+4y+G=0（4,氏不同時為零），直線4：4x+4y+C=0（4,氏不同

時為零），則4旦=0,且4G—4GW0,，_1心=44+6摳=0.

|Zxo+為b+C\

2.點戶（荀，%）到直線/：4r+6y+C=0（46不同時為零）的距離d=

Ic-d

3.兩條平行直線1i：4r+8y+G=0,4:公十分+C=0（46不同時為零）間的距離d=m?+??

例1⑴若直線71：x+"+6=0與?（己-2）x+3y+2a=0平行，則，與乙間的距禺為

解析由乙〃/2得(a—2)d=lX3,且aX2dW3X6,

2

解得乃=-1,Ji：x—y+6=0,/：x—y+-=0,

o

「?與，2間的星巨禺d=不—.

W+-13

⑵直線ax+y+3a—1=0恒過定點N,則直線2x+3y—6=0關于點兒對稱的直線方程為

()

A.2x+3y—12=0B.2x+3p+12=0

C.2x—3y+12=0D.2入一3/—12=0

答案B

解析由ax+y+3a—1=0可得a(x+3)+y—1=0,

fx+3=0,

令|1八可得x=—3,y=l,

[y—1=0,

AM-3,1).

設直線2x+3p—6=0關于點N對稱的直線方程為2x+3p+c=0(cW—6).

1

|—6+3—6||—6+3+c|

“[4+9—14+9'

解得c=12或c=—6(舍去).

.?.所求直線方程為2x+3y+12=0.

易錯提醒解決直線方程問題的三個注意點

(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用45一/血=0建立方程求出參數的值后，要注意代

入檢驗，排除兩條直線重合的可能性.

(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直,

而截距式方程即不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線.

(3)討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在.

跟蹤演練1(1)已知直線/經過直線71：x+y=2與72：2x-y=\的交點，且直線1的斜率

9

為一勺，則直線/的方程是(

A.-3x+2y+l=0B.3x—2y+l=0

C.2x+3y—5=0D.2才一3?+1=0

答案C

fx+y=2,

解析解方程組°

[2x-

所以兩直線的交點為(1,1).

因為直線/的斜率為一2*

o

9

所以直線1的方程為y-1=—5(x—1),

0

即2x+3y—5=0.

(2)已知直線/i：Ax—p+4=0與直線L：x+Ay—3=0(AW0)分別過定點4B,又h人相

交于點必則|例|?|圾的最大值為.

25

答案萬

解析由題意可知，直線A：y+4=0經過定點/(0,4),直線心：x+Ay—3=0經過定

點庾3,0).

易知直線A：4x—y+4=0和直線心：x+Ay—3=0始終垂直，又〃是兩條直線的交點，所

以MALMB,

所以|例「+|如|2=|/8「=25,故|也|?|加*萬

當且僅當I例|=|圾-時取“=”

2

考點二圓的方程

【核心提煉】

1.圓的標準方程

當圓心為(a,6),半徑為r時，其標準方程為(x—a)?+(y—⑹2=合，特別地，當圓心在原點

時，方程為，+/=之

2.圓的一般方程

3+/+以+砂+6=0,其中〃+1一4^o,表示以(一呆一名為圓心，y萬+f—4戶為半徑的

圓.

例2(1)(2018?天津)在平面直角坐標系中，經過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為

答案x+/~2x=0

解析方法一設圓的方程為3+y尸=0.

??,圓經過點(0,0),(1,1),(2,0),

"分=0,[D=~2,

??.{2+D+E+F=0,解得<￡=0,

、4+2〃+分=0.[F=0.

?二圓的方程為？+/—2x=0.

方法二畫出示意圖如圖所示，

y

A

01BX

則△力6為等腰直角三角形，

故所求圓的圓心為(1,0),半徑為1,

所求圓的方程為(X—1)?+/=1,

即/+7—2矛=0.

⑵已知圓，與x軸相切于點7(1,0),與y軸正半軸交于兩點4M3在4的上方)，且|朋

=2.則圓「的標準方程為.

答案(X—iy+(y—4”=2

解析設圓心以a,6),半徑為r,

???圓C與x軸相切于點7(1,0),

r=|b\.

又圓。與p軸正半軸交于兩點,

Z?>0,則b=r,

3

V|^|=2,：.2=2yjr~l,

?*.r=y[2,

故圓c的標準方程為(x—1尸+5—鏡)2=2.

規律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法

⑴幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程.

⑵代數法：即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數.

跟蹤演練2(1)(2020?全國II)若過點⑵1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x—y

—3=0的距離為()

答案B

解析由題意可知圓心在第一象限，設為(a,6).

?.?圓與兩坐標軸都相切，

a=b,且半徑r=a,

?,?圓的標準方程為(x—乃)2+(y—a)2=次

??,點⑵1)在圓上，???(2—3￥+(1—4=才,

.?.才一6a+5=0,解得a=l或3=5.

當a=l.時，圓心坐標為(1,1),

此時圓心到直線2x—y—3=0的距離為

12X1-1-312^5

氣24Tk5；

當a=5時，圓心坐標為(5,5),

此時圓心到直線2x—y—3=0的距離為

2X5-5-312^5

氣24T干5?

綜上，圓心到直線2x—y—3=0的距離為攣.

(2)已知46分別是雙曲線C：1的左、右頂點，尸(3,4)為C上一點，則△用6的外

接圓的標準方程為.

答案/+(y-3)2=10

916

解析???尸(3,4)為。上一點，???一一萬=1,

m2

4

解得力=1,則8(1,0),.\kpB=-=2f

4

心的中點坐標為⑵2),

心的中垂線方程為y=—[(x—2)+2,

令x=0,則尸3,

設外接圓圓心為欣0,t),

則”(0,3),r=|頗|=加不？=45，

...△以8外接圓的標準方程為/+5—3)2=10.

考點三直線、圓的位置關系

【核心提煉】

1.直線與圓的位置關系：相交、相切和相離，判斷的方法

(1)點線距離法.

(2)判別式法：設圓C-.(x—a)2+(y—t>)2=r,直線7：/x+4r+C=0(1+##0),方程組

|x—a2+y~b2=r,

消去y,得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為/,則直線與圓相離=/〈0,直線與

圓相切=/=0,直線與圓相交o/>0.

2.圓與圓的位置關系有五種，即內含、內切、相交、外切、外離.

例3⑴已知直線1：x+ay—l=0(aeR)是圓C：/+/—4x—2y+l=0的對稱軸，過點A(~

4,a)作圓C的一條切線，切點為氏則等于()

A.2B.4y[2C.6D.2710

答案C

解析由題意，得圓c的標準方程為(X—2)2+5—1)2=4,知圓。的圓心為C(2,1),半徑為

2.

方法一因為直線,為圓，的對稱軸，所以圓心在直線，上，則2+a—1=0,解得a=—1,

所以|加三I第—18。2=[(-4-2)2+-4=36,所以=6.

方法二由題意知，圓心在直線/上，即2+a—1=0,解得a=—1,再由圖知，\AB\=6.

(2)(2020?全國I)已知。肱x+y-2x-2y~2^,直線h2x+y+2=0,戶為/上的動

點，過點戶作。〃的切線用，PB,切點為46,當|阿?最小時，直線期的方程為()

A.2x—y—l=0B.2x+y—1=0

C.2x—y+l=0D.2x+p+l=0

答案D

5

解析?！ǎ?X—1)?+(y—1)2=4,

則圓心?！ǖ陌霃綖?.

如圖，由題意可知冏吐力6,

四邊形用奶=51〃/|,\AB\

=\PA\?\AM\=1\PA\,

：.|PM\?\AB\=4|序I

=”/|冏/|J.

當|掰|?|A3|最小時，[翻最小,此時局人/.

故直線冏/的方程為y—1=1(A—1),

即x—2y+1=0.

[A-2y+l=0,—

由得

〔2x+y+2=0,[y=0,

.?.?(一1,0).

又：直線x=-1,即必與?！ㄏ嗲校?/p>

.?.必J_x軸,PALMA,；.4(一1,1).

又直線46與，平行，

設直線AB的方程為2x+y+/=0W2),

將^4(—1,1)的坐標代入2x+y+〃=0,得1.

直線AB的方程為2x+y+1=0.

規律方法直線與圓相切問題的解題策略

直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切

線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式.過圓外一點求解切線段長的問題，可先

求出圓心到圓外點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算.

跟蹤演練3(1)已知點〃是拋物線/=2x上的動點，以點〃為圓心的圓被y軸截得的弦長

為8,則該圓被x軸截得的弦長的最小值為()

A.10B.4事C.8D.2y/15

答案D

6

解析設圓心《會aj,

而產=(1y+(1)=?+16，

:圓〃與x軸交于46兩點，

/.|AB\=2yJr-a=2yj^+16—a2

=yja-4a+64=yj~a—2~2+60

2M=2標.

(2)若圓x+y=4與圓f+y+ax+Zap—9=0(d>0)相交，公共弦的長為2鏡，則a=

答案號

\x+爐=4,

解析聯立兩圓方程z,z,,…

|/+/+ax+2oay—9=0,

可得公共弦所在直線方程為ax+2ay—5=0,

故圓心(0,0)到直線ax+2ay—5=0的距離為

|-5乖,、

后^=a⑷。)-

故2r2?-用2=2$,解得4=|,

因為a〉0,所以a=邛.

專題強化練

一、單項選擇題

1.過點4(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.y-x=\B.y+x=3

C.2x—y=0或x+y=3D.2x—y=0或y—x=l

答案D

2—0

解析當直線過原點時，可得斜率為廣=2,

1—U

故直線方程為p=2x,即2x—y=0,

當直線不過原點時，設方程為三+上=1,

a-a

7

19

代入點（1,2）可得---=1,解得a=-1,

aa

方程為x—y+l=O,

故所求直線方程為2x—y=Q或y—x=l.

2.若直線x+（l+㈤y—2=0與直線以x+2y+4=0平行，則r的值是（）

-3

A.IB.-2C.1或一2D.--

答案A

解析由兩直線平行的條件可得一2+〃+B=0,

???加=-2（舍）或m=l.

3.已知圓/+/+2必才+2_7+4A=0關于y=x對稱，則A的值為（）

A.-IB.IC.±1D.0

答案A

解析化圓/+產+2入r+2p+4A=0為（x+A?）—（y+l）2^^4—4A+1.

則圓心坐標為（一片一1）,

???圓X2+/+2?1+2_7+44=0關于p=x對稱，

???直線y=x經過圓心，

—A2=—1,得4=±1.

當4=1時，A4—4^+1<0,不合題意，

k=-1.

4.（2020?廈門模擬）已知圓G/+/-4x=0與直線1相切于點尸（3,小）,則直線1的方

程為（）

A.3x—45y—6=0

B.x—\[3y—6=0

C.x+/y—4=0

D.x+/y—6=0

答案D

解析圓G/+/—4了=0可化為（x—2尸+/=4,則圓心以2,0）,

直線/T的斜率為總,=展9=第，

Z一JV

Y1LPC,則直線，的斜率為

,1

???直線/的點斜式方程為y—十=-3（x—3）,化為一般式得x+十y—6=0.

8

5.(2020?長沙模擬)已知直線1過點A(a,0)且斜率為1,若圓/+/=4上恰有3個點到1

的距離為1,則a的值為()

A.3小B.±372

C.±2D.±y/2

答案D

解析直線1的方程為尸x—a,即x一廠a=0.圓上恰有三個點到直線1的距離為1,可知

圓心到直線的距離等于半徑的一半，即三=1，a=土@.

6.已知點戶為圓a(X—l)2+(y—2)2=4上一點，A(0,-6),6(4,0),則|行+無|的最大

值為()

A.-J26+2B.標+4

C.2-J26+4D.2^26+2

答案C

解析取的中點2(2,-3),

則湯+崩=2歷，\PA+PB\=\2PD\,

又由題意知，圓。的圓心。的坐標為(1,2),半徑為2,

I曲的最大值為圓心C(l,2)到2(2,—3)的距離d再加半徑r,

又d="l+25=^26,d+r=y[^>+2,

/.12PD\的最大值為2標+4,

即|PA^PB\的最大值為2m+4.

7.(2020?北京市陳經綸中學月考)古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出

了圓的另一種定義：平面內，到兩個定點46距離之比是常數4(4>0,的點〃的軌

跡是圓，若兩定點48的距離為3,動點〃滿足|揚|=2|雄則〃點的軌跡圍成區域的面

積為()

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

答案D

解析以/為原點，直線為x軸建立平面直角坐標系(圖略)，則6(3,0).設〃(x,y),依

題意有，]近十北尸2,化簡整理得，/+/-8^+12=0,即(x—4尸+/=4,則〃點

7x—32+y

的軌跡圍成區域的面積為4”.

8.(2020?遼寧省大連一中模擬)已知圓C：/+y=4,直線1：x—y+6=0,在直線，上任

取一點戶向圓C作切線，切點為4B,連接46,則直線A6一定過定點()

9

22'

丁3B.(1.2)

4￡

C.(-2,3)

3*3

答案A

解析設點尸(劉，為),則劉一%+6=0.過點尸向圓。作切線，切點為4B,連接/氏以"

為直徑的圓的方程為x(x—xo)+y(y—%)=0,

又圓GV+/=4,作差可得直線A6的方程為x?)+期=4,將為=荀+6,代入可得

x+y=0,

(x+y)劉+6y—4=0,滿足，

6y—4=0

故直線45過定點(一］,gj.

二、多項選擇題

9.集合力={(x,y)|x+y=4},{(x,y)\(JT—3)2+(y—4)2=/},其中r〉0,若/A6中

有且僅有一個元素，則r的值是()

A.3B.5C.7D.9

答案AC

解析圓x+y2=4的圓心是。(0,0),半徑為7?=2,圓(x—3)?+(y—4)?=封的圓心是。⑶4),

半徑為r,|OC\=5,當2+r=5,r=3時，兩圓外切，當—2|=5,r=7時，兩圓內切，

它們都只有一個公共點，即集合AC6中只有一個元素.

10.下列說法正確的是()

A.直線x—y—2=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2

B.點尸(0,2)關于直線y=x+1的對稱點為P'(1,1)

C.過皿荀，/，Pz(xz,㈤兩點的直線方程為匚匹=匚生

yi—yi苞一xi

D.經過點(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y—2=0

答案AB

解析選項A中直線x—y—2=0在兩坐標軸上的截距分別為2,-2,所以圍成的三角形的

面積是2,所以A正確；選項B中分'的中點色工，在直線曠=才+1上，且尸(°，2)，

P,(1,1)兩點連線的斜率為一1,所以B正確；選項C中需要條件4力■，X2#x”所以C錯

誤；選項D中還有一條截距都為0的直線y=x,所以D錯誤.

11.已知圓G：(x+6)2+(y—5)2=4,圓C：(^-2)2+(y-l)2=l,M,"分別為圓G和C

上的動點，尸為x軸上的動點，貝1掰+|加的值可以是()

10

A.6B.7C.10D.15

答案BCD

解析圓G關于x軸的對稱圓G為（x—2產+（了+1）2=1,圓心G（2,-1）,々=1,點“關

于x軸的對稱點N在圓G上，又圓G的圓心4（-6,5）,h=2,|掰+|朋=|阿+

PN|2|PCi|—11+|PCa|-zs=|PCi+|PC、\—32|C\Ci|-3="\j2+6——1—5'—3

=7,|陰+|網的取值范圍是［7,+8）.

12.已知點/是直線_/：x+y—4=0上一定點，點戶，0是圓/+4=1上的動點，若

的最大值為90°,則點/的坐標可以是（）

A.（0,木）B.（1,72-1）

C.（巾,0）D.（V2-1,1）

答案AC

解析

如圖所示，坐標原點。到直線Ax+y—鏡=0的距離咨卞=1,則直線/與圓/+/

=1相切，由圖可知，當/R40均為圓f+/=l的切線時，/以0取得最大值，連接能

0Q,由于/為0的最大值為90°,且/"。=/4?。=90°,\OP\=\OQ\=1,則四邊形相。0

為正方形，所以1M=/|陰設4（3書—t）,由兩點間的距離公式得IM=

q干+一t—,=小,整理得「一筐大=o,解得力=?；蛞虼?，點/的坐標為（0,

?或（低0）.

三、填空題

13.若直線1：；+、=l（a>0,6〉0）經過點（1,2）,則直線，在x軸、y軸上的截距之和的最小

值是.

答案3+2/

解析因為直線1-.-+T=1（a>0,6>0）經過點（1,2）,所以所以a+b=（a+6），■+,

abab\abj

=3+g+*3+24，當且僅當@=鏡+1,6=2+班時等號成立.所以直線在x軸、y軸

上的截距之和的最小值是3+2嫡.

11

14.已知。。：V+/=l.若直線了=履+2上總存在點只