第1頁（共1頁）2024年湖北省十堰市茅箭區中考數學一模試卷一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分。在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．（3分）﹣2的相反數是（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．正方形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．平行四邊形3．（3分）下列各式計算正確的是（）A．2﹣3＝ B．|﹣1.7|＝1.7﹣ C．＝± D．＝﹣14．（3分）已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，下列說法錯誤的是（）A．大量反復拋一均勻硬幣，平均100次出現正面朝上50次 B．連續拋一均勻硬幣10次都可能正面朝上 C．連續拋一均勻硬幣2次必有1次正面朝上 D．通過拋一均勻硬幣確定誰先發球的比賽規則是公平的5．（3分）如圖，是一副三角尺拼成的圖案，則∠AEB＝（）A．90° B．75° C．100° D．60°6．（3分）如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑的中點，連接BC，則∠CDE的度數為（）A．22° B．32° C．34° D．44°7．（3分）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中，它的一個外角∠1＝（）A．45° B．60° C．110° D．135°8．（3分）方程＝的解為（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝49．（3分）關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數根，則b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（3分）已知二次函數y＝﹣x2+2cx+c的圖象經過點A（a，c），B（b，c），且滿足0＜a+b＜2．當﹣1≤x≤1時，該函數的最大值m和最小值n之間滿足的關系式是（）A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m2+m D．m＝n2+n二、填空題（共5題，每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝．12．（3分）一次函數y＝kx﹣1的函數值y隨x的增大而減小，當x＝2時，寫出一個符合條件的y的值為．13．（3分）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢；每人出7錢，還缺3錢，設合伙人數為x人，可列方程為．14．（3分）如圖，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分別位于格點上，與點A、B為頂點作三角形，則所作三角形為等腰三角形的概率是．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點，延長ED'，交BC于點F．若AB＝15，則tan∠EFC的值是．三、解答題（共9題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（6分）計算：．17．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．連結BF．求證：四邊形ADBF是矩形．18．（6分）某工廠計劃購買甲、乙兩種型號機器人，讓它們協助人們進行垃圾分類．已知用360萬元購買甲型機器人和用480萬元購買乙型機器人的臺數相同，兩種型號機器人的單價和為140萬元19．（8分）4月24日是中國航天日，為激發青少年崇尚科學、探索未知的熱情，某中學開展了“航空航天”知識問答系列活動，從七、八年級學生的知識問答成績中，各隨機抽取20名學生的成績進行統計分析（6分及6分以上為合格）（單位：分）：七年級八年級平均數7.557.55中位數8c眾數a7合格率b85%學成績統計表根據以上信息，解答下列問題：（1）寫出統計表中a，b，c的值；（2）若該校八年級有600名學生，請估計該校八年級學生成績合格的人數；（3）從平均數、中位數和眾數中任選其一，說明其在本題中的實際意義．20．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，垂足為A．反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點C，BC＝5．（1）若OA＝8，求k的值：（2）連接OC，若BD＝BC，求OC的長．21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點，連接CD，∠BDC＝∠BAD．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半徑．22．（10分）某超市在“元宵節”來臨前夕，購進一種品牌元宵，每盒進價是20元，根據以往銷售經驗發現；當售價定為每盒25元時，每盒售價每提高1元，每天要少賣出10盒．（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數關系式；（2）當每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？（3）為穩定物價，有關管理部門限定：這種元宵的每盒售價不得高于38元，如果超市想要每天獲得不低于2000元的利潤23．（11分）定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形．理解：（1）若四邊形ABCD是對余四邊形，則∠A與∠C的度數之和為；證明：（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點A，B，AM，CN相交于點D．求證：四邊形ABCD是對余四邊形；探究：（3）如圖2，在對余四邊形ABCD中，AB＝BC，探究線段AD，CD和BD之間有怎樣的數量關系？寫出猜想24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2﹣6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y＝﹣x+5經過點B（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l與直線BC相交于點P，連接AC，AP，并說明理由；（3）在直線BC上是否存在點M，使AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍？若存在，請求出點M的坐標，請說明理由．

2024年湖北省十堰市茅箭區中考數學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分。在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．（3分）﹣2的相反數是（）A．2 B．﹣2 C． D．【解答】解：﹣2的相反數是2，故選：A．2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．正方形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．平行四邊形【解答】解：A、正方形是軸對稱圖形，符合題意；B、等邊三角形是軸對稱圖形，不符合題意；C、等腰直角三角形是軸對稱圖形，不符合題意；D、平行四邊形是中心對稱圖形不是軸對稱圖形．故選：A．3．（3分）下列各式計算正確的是（）A．2﹣3＝ B．|﹣1.7|＝1.7﹣ C．＝± D．＝﹣1【解答】解：∵2﹣3，∴選項A不正確；∵|﹣1.7|＝，∴選項B不正確；∵，∴選項C不正確；∵，∴選項D正確．故選：D．4．（3分）已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，下列說法錯誤的是（）A．大量反復拋一均勻硬幣，平均100次出現正面朝上50次 B．連續拋一均勻硬幣10次都可能正面朝上 C．連續拋一均勻硬幣2次必有1次正面朝上 D．通過拋一均勻硬幣確定誰先發球的比賽規則是公平的【解答】解：A、大量反復拋一均勻硬幣，故A正確；B、連續拋一均勻硬幣10次都可能正面朝上；C、連續拋一均勻硬幣2次可能1次正面朝上；D、通過拋一均勻硬幣確定誰先發球的比賽規則是公平的；故選：C．5．（3分）如圖，是一副三角尺拼成的圖案，則∠AEB＝（）A．90° B．75° C．100° D．60°【解答】解：如圖，由圖可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB，∴∠AEB＝30°+45°＝75°．故選：B．6．（3分）如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑的中點，連接BC，則∠CDE的度數為（）A．22° B．32° C．34° D．44°【解答】解：連接OE，∵OC＝OB，∠ABC＝22°，∴∠OCB＝∠ABC＝22°，∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，∵E是劣弧的中點，∴＝，∴∠COE＝×136°＝68°，由圓周角定理得：∠CDE＝∠COE＝，故選：C．7．（3分）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中，它的一個外角∠1＝（）A．45° B．60° C．110° D．135°【解答】解：∵正八邊形的外角和為360°，∴每一個外角為360°÷8＝45°．故選：A．8．（3分）方程＝的解為（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝4【解答】解：去分母得：2x+2＝x，解得：x＝﹣8，經檢驗x＝﹣2是分式方程的解，故原方程的解是x＝﹣2．故選：A．9．（3分）關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數根，則b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝b4﹣4c＝0，∴b8＝4c，∴b2﹣7（1+2c）＝b8﹣4c﹣2＝5﹣2＝﹣2．故選：A．10．（3分）已知二次函數y＝﹣x2+2cx+c的圖象經過點A（a，c），B（b，c），且滿足0＜a+b＜2．當﹣1≤x≤1時，該函數的最大值m和最小值n之間滿足的關系式是（）A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m2+m D．m＝n2+n【解答】解：∵二次函數y＝﹣x2+2cx+c的圖象與x軸交于A（a，c），c）兩點，∴圖象開口向下，對稱軸為直線，∵0＜a+b＜2，∴5＜c＜1，∴當﹣1≤x≤6時，函數的最大值是x＝c時所對應的函數值，∴m＝﹣c2+2c8+c＝c2+c，n＝﹣1﹣6c+c＝﹣c﹣1，∴m＝n2+n故選：D．二、填空題（共5題，每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）．【解答】解：x2y﹣y3＝y（x5﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案為：y（x+y）（x﹣y）．12．（3分）一次函數y＝kx﹣1的函數值y隨x的增大而減小，當x＝2時，寫出一個符合條件的y的值為﹣3（答案不唯一）．【解答】解：∵一次函數y＝kx﹣1的函數值y隨x的增大而減小，∴k＜0，∴k＝＜0，當x＝2時，y＜﹣5，不妨y＝﹣3（答案不唯一）．故答案為：﹣3（答案不唯一）．13．（3分）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢；每人出7錢，還缺3錢，設合伙人數為x人，可列方程為5x+45＝7x+3．【解答】解：設合伙人數為x人，依題意，得：5x+45＝7x+4．故答案為：5x+45＝7x+5．14．（3分）如圖，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分別位于格點上，與點A、B為頂點作三角形，則所作三角形為等腰三角形的概率是．【解答】解：根據從C、D、E、F四個點中任意取一點，選取D、C，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）＝；故答案為：．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點，延長ED'，交BC于點F．若AB＝15，則tan∠EFC的值是．【解答】解：連接AF，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，AB＝15，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝15，根據折疊的性質可得，AD＝AD′＝15，∠D＝∠AD′E＝90°，∴AB＝AD′，∠AD′F＝90°，在Rt△ABF和Rt△AD′F中，，∴Rt△ABF≌Rt△AD′F（HL），∴BF＝D′F，∵DE＝10，∴D′E＝DE＝10，CE＝CD﹣DE＝15﹣10＝5，設BF＝D′F＝x，則CF＝BC﹣BF＝15﹣x，在Rt△EFC中，CE2+CF3＝EF2，∴54+（15﹣x）2＝（10+x）2，解得：x＝7，∴BF＝3，∴CF＝12，∴tan∠EFC＝＝，故答案為：．三、解答題（共9題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（6分）計算：．【解答】解：＝﹣2+2﹣1+2＝3．17．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．連結BF．求證：四邊形ADBF是矩形．【解答】證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，又∵D是BC的中點，∴AF＝BD＝DC，∴四邊形ADBF是平行四邊形，在△ABC中，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四邊形ADBF是矩形．18．（6分）某工廠計劃購買甲、乙兩種型號機器人，讓它們協助人們進行垃圾分類．已知用360萬元購買甲型機器人和用480萬元購買乙型機器人的臺數相同，兩種型號機器人的單價和為140萬元【解答】解：設甲型機器人每臺x萬元，根據題意，可得：，解得：x＝60，經檢驗，x＝60是原分式方程的解，140﹣60＝80（元），答：甲型機器人的單價為60萬元/臺；乙型機器人的單價為80萬元/臺．19．（8分）4月24日是中國航天日，為激發青少年崇尚科學、探索未知的熱情，某中學開展了“航空航天”知識問答系列活動，從七、八年級學生的知識問答成績中，各隨機抽取20名學生的成績進行統計分析（6分及6分以上為合格）（單位：分）：七年級八年級平均數7.557.55中位數8c眾數a7合格率b85%學成績統計表根據以上信息，解答下列問題：（1）寫出統計表中a，b，c的值；（2）若該校八年級有600名學生，請估計該校八年級學生成績合格的人數；（3）從平均數、中位數和眾數中任選其一，說明其在本題中的實際意義．【解答】解：（1）由扇形統計圖可得，a＝8，b＝1﹣20%＝80%，由頻數分布直方圖可得，八年級成績中4分有3人，6分有2人，8分有4人，10分有8人，故中位數是c＝（7+8）÷8＝7.5，由上可得，a＝3，c＝7.5；（2）600×85%＝510（人），答：估計該校八年級學生成績合格的人數大約為510人；（3）根據中位數可知七年級學生成績好于八年級學生成績（答案不唯一）．20．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，垂足為A．反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點C，BC＝5．（1）若OA＝8，求k的值：（2）連接OC，若BD＝BC，求OC的長．【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足為E，∵AC＝BC，AB＝8，∴AE＝BE＝4．在Rt△BCE中，BC＝2，∴CE＝＝＝3，∵OA＝8，∴C點的坐標為：（7，4），∵反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點C，∴k＝7×4＝20，（2）設A點的坐標為（m，0），∵BD＝BC＝3，AB＝8，∴AD＝3，∴D，C兩點的坐標分別為：（m，（m﹣3．∵點C，D都在反比例函數y＝，∴3m＝4（m﹣7），∴m＝12，∴C點的坐標為：（9，4），∴OC＝＝．21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點，連接CD，∠BDC＝∠BAD．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠BDC＝∠A，∴∠BDC+∠ODB＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝，∴，∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，∴△BDC∽△DAC，∴＝，∵AC＝9，∴，∴CD＝6，∴，∴BC＝6，∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝2．∴⊙O的半徑為．22．（10分）某超市在“元宵節”來臨前夕，購進一種品牌元宵，每盒進價是20元，根據以往銷售經驗發現；當售價定為每盒25元時，每盒售價每提高1元，每天要少賣出10盒．（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數關系式；（2）當每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？（3）為穩定物價，有關管理部門限定：這種元宵的每盒售價不得高于38元，如果超市想要每天獲得不低于2000元的利潤【解答】解：（1）根據題意，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；（2）每天銷售的利潤P＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，∴當x＝35時，P取得最大值，答：當每盒售價定為35元時，每天銷售的利潤P（元）最大；（3）根據題意得，﹣10（x﹣35）2+2250＝2000，解得：x＝30或x＝40，∴當30≤x≤40時，每天的銷售利潤不低于2000元，又∵x≤38，∴30≤x≤38，在y＝﹣10x+500中，y隨x的增大而減小，∴當x＝38時，y最小值＝﹣10×38+500＝120，即超市每天至少銷售元宵120盒．23．（11分）定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形．理解：（1）若四邊形ABCD是對余四邊形，則∠A與∠C的度數之和為90°或270°；證明：（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點A，B，AM，CN相交于點D．求證：四邊形ABCD是對余四邊形；探究：（3）如圖2，在對余四邊形ABCD中，AB＝BC，探究線段AD，CD和BD之間有怎樣的數量關系？寫出猜想【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案為：90°或270°；（2）證明：∵MN是⊙O的直徑，點A，B，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是對余四邊形；（3）解：線段AD，CD和BD之間數量關系為：AD2+CD2＝BD7，理由如下：∵對余四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴將△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAF，如圖3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∴△BFD是等邊三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF