第40頁（共40頁）七年級—線段的動點問題（含答案）一．解答題（共40小題）1．已知數軸上有A，B，C，D，E，F六個點，點C在原點位置，點B表示的數為﹣4，下表中A﹣B，B﹣C，D﹣C，E﹣D，F﹣E的含義為前一個點所表示的數與后一個點所表示的數的差，比如B﹣C為﹣4﹣0＝﹣4．A﹣BB﹣CD﹣CE﹣DF﹣E10﹣4﹣1x2（1）在數軸上表示出A，D兩點；（2）當點A與點F的距離為3時，求x的值；（3）當點M以每秒1個單位長度的速度從點B出發向左運動時，同時點N從點A出發，以每秒3個單位長度的速度向點C運動，到達點C后立即以同樣的速度反方向運動，那么出發秒鐘時，點D到點M，點N的距離相等（直接寫出答案）．2．如圖，在數軸上點A表示的數是﹣3，點B在點A的右側，且到點A的距離是18；點C在點A與點B之間，且到點B的距離是到點A距離的2倍．（1）點B表示的數是；點C表示的數是；（2）若點P從點A出發，沿數軸以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動；同時，點Q從點B出發，沿數軸以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒，在運動過程中，當t為何值時，點P與點Q之間的距離為6？（3）在（2）的條件下，若點P與點C之間的距離表示為PC，點Q與點B之間的距離表示為QB，在運動過程中，是否存在某一時刻使得PC+QB＝4？若存在，請求出此時點P表示的數；若不存在，請說明理由．3．定義：若線段上的一個點把這條線段分成1：2的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．如圖1，點C在線段AB上，且AC：CB＝1：2，則點C是線段AB的一個三等分點，顯然，一條線段的三等分點有兩個．（1）已知：如圖2，DE＝15cm，點P是DE的三等分點，求DP的長．（2）已知，線段AB＝15cm，如圖3，點P從點A出發以每秒1cm的速度在射線AB上向點B方向運動；點Q從點B出發，先向點A方向運動，當與點P重合后立馬改變方向與點P同向而行且速度始終為每秒2cm，設運動時間為t秒．①若點P點Q同時出發，且當點P與點Q重合時，求t的值．②若點P點Q同時出發，且當點P是線段AQ的三等分點時，求t的值．4．如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度；（2）根據第（1）題的計算過程和結果，設AC+BC＝a，其他條件不變，求MN的長度；（3）動點P、Q分別從A、B同時出發，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？5．【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．（1）線段的中點這條線段的“巧點”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB＝12cm，點C是線段AB的巧點，則AC＝cm；【解決問題】（3）如圖②，已知AB＝12cm．動點P從點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動：點Q從點B出發，以1cm/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為t（s）．當t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點？說明理由6．【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美地結合．研究數軸我們發現了許多重要的規律：若數軸上點A、點B表示的數分別為a、b，則A，B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點表示的數為．【問題情境】如圖，數軸上點A表示的數為﹣2，點B表示的數為8，點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒（t＞0）．【綜合運用】（1）填空：①A、B兩點間的距離AB＝，線段AB的中點表示的數為；②用含t的代數式表示：t秒后，點P表示的數為；點Q表示的數為．（2）求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數；（3）求當t為何值時，PQ＝AB；（4）若點M為PA的中點，點N為PB的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．7．如圖，點C在線段AB上，點M、N分別是AC、BC的中點．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長；（2）若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB＝acm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？請直接寫出你的答案．（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．8．如圖，B是線段AD上一動點，沿A→D→A以2cm/s的速度往返運動1次，C是線段BD的中點，AD＝10cm，設點B運動時間為t秒（0≤t≤10）．（1）當t＝2時，①AB＝cm．②求線段CD的長度．（2）①點B沿點A→D運動時，AB＝cm；②點B沿點D→A運動時，AB＝cm．（用含t的代數式表示AB的長）（3）在運動過程中，若AB中點為E，則EC的長是否變化，若不變，求出EC的長；若發生變化，請說明理由．9．如圖，點C在線段AB上，點M、N分別是AC、BC的中點．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長；（2）若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB＝acm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？并說明理由．你能用一句簡潔的話描述你發現的結論嗎？（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．10．已知線段AB＝a，MN＝b（a，b為常數，且a＞2b），線段MN在直線AB上運動（點B、M在點A的右側．點N在點M的右側）．點P是線段AB的中點，點Q是線段MN的中點．（1）如圖1，當點N與點B重合時，求線段PQ的長度（用含a，b的代數式表示）；（2）如圖2，當線段MN運動到點B、M重合時，求線段AN、PQ之間的數量關系式；（3）當線段MN運動至點Q在點B的右側時，請你畫圖探究線段AN、BM、PQ三者之間的數量關系式．11．如圖，數軸上點A，B表示的有理數分別為﹣6，3，點P是射線AB上一個動點（不與點A，B重合）．M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．（1）若點P表示的有理數是0，那么MN的長為；若點P表示的有理數是6，那么MN的長為．（2）點P在射線AB上運動（不與點A，B重合）的過程中，MN的長是否發生改變？若不改變，請寫出求MN的長的過程；若改變，請說明理由．12．已知點C在線段AB上，且AC＝6，BC＝4，M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度；（2）如果AC＝a，BC＝b，其他條件不變，你能猜出MN的長度嗎？（3）如果我們這樣敘述它：“已知點C與線段AB在同一直線上，線段AC＝6，BC＝4，M，N分別是AC，BC的中點，求MN的長度．”結果會有變化嗎？如果有，求出結果．13．如圖，C是線段AB上一點，AB＝20cm，BC＝8cm，點P從A出發，以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B；點Q從點B出發，以1cm/s的速度沿BA向左運動，終點為A．已知P、Q同時出發，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運功．設點P運動時間為xs．（1）AC＝cm；（2）當x＝s時，P、Q重合；（3）是否存在某一時刻，使得C、P、Q這三個點中，有一個點恰為另外兩點所連線段的中點？若存在，求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由．14．有一科技小組進行了機器人行走性能試驗，在試驗場地有A、B、C三點順次在同一筆直的賽道上，A、B兩點之間的距離是90米．甲、乙兩機器人分別從A、B兩點同時同向出發到終點C，乙機器人始終以50米/分的速度行走，乙行走9分鐘到達C點．設兩機器人出發時間為t（分鐘），當t＝3分鐘時，甲追上乙．前4分鐘甲機器人的速度保持不變，在4≤t≤6分鐘時，甲的速度變為另一數值，且甲、乙兩機器人之間的距離保持不變．請解答下面問題：（1）B、C兩點之間的距離是米．在4≤t≤6分鐘時，甲機器人的速度為米/分．（2）求甲機器人前3分鐘的速度為多少米/分？（3）求兩機器人前6分鐘內出發多長時間相距28米？（4）若6分鐘后，甲機器人的速度又恢復為原來出發時的速度，直接寫出當t＞6時，甲、乙兩機器人之間的距離S．（用含t的代數式表示）15．如圖，點C在線段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，點M、N分別是AC、BC的中點．（1）求線段MN的長；（2）若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB＝acm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？并說明理由；（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？并說明理由；16．（1）觀察思考：如圖，線段AB上有兩個點C、D，請分別寫出以點A、B、C、D為端點的線段，并計算圖中共有多少條線段；（2）模型構建：如果線段上有m個點（包括線段的兩個端點），則該線段上共有多少條線段？請說明你結論的正確性；（3）拓展應用：某班45名同學在畢業后的一次聚會中，若每兩人握1次手問好，那么共握多少次手？請將這個問題轉化為上述模型，并直接應用上述模型的結論解決問題．17．如圖，點B、C是線段AD上的兩點，點M和點N分別在線段AB和線段CD上．（1）當AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN時，BC＝；（2）若AD＝a，MN＝b①當AM＝2BM，DN＝2CN時，求BC的長度（用含a和b的代數式表示）②當AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整數）時，直接寫出BC＝．（用含a、b、n的代數式表示）18．如圖所示．（1）若線段AB＝4cm，點C在線段AB上（如圖①），點M、N分別是線段AC、BC的中點，求線段MN長．（2）若線段AB＝acm，點C在線段AB的延長線上（如圖②），點M、N分別是線段AC、BC的中點，你能猜想出MN的長度嗎？請寫出你的結論，并說明理由．19．如圖所示，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看到終點表示的數是﹣2，已知點A，B是數軸上的點，請參照如圖回答下列問題：（1）如果點A表示數﹣3，將點A向右移動7個單位長度到達點B，那么終點B表示的數是，A、B兩點間的距離是．（2）如果點A表示數3，將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度到達點B，那么終點B表示的數是；A、B兩點間的距離為．（3）一般地，如果A點表示的數為a，將A點向右移動x個單位長度，再向左移動y個單位長度到達點B，請你求出終點B表示什么數？A、B兩點間的距離為多少？20．已知多項式﹣2x2y﹣a+3xy2﹣4y+5次數是4，項數是b，數軸上A、B兩點所對應的數分別是a和b．（1）填空：a＝，b＝，并在數軸上標出A、B兩點的位置．（2）數軸上是否存在點C，C點在A點的右側，且點C到A點的距離是點C到B點的距離的2倍？若存在，請求出點C表示的數；若不存在，請說明理由．（3）點D以每秒2個單位的速度從A點出發向左運動，同時點E以3個單位每秒的速度從B點出發向右運動，點F以每秒4個單位的速度從O點出發向左運動．若P為DE的中點，DE＝16，求PF的長．21．如圖，M是定長線段AB上一個定點，點C在線段AM上，點D在線段BM上．點C、點D分別從點M、點B出發，分別以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA左運動，運動方向如箭頭所示．（1）若AB＝20cm，當點C、D運動了2s時，求AC+MD的長度；（2）若點C、D運動時，總有MD＝2AC，若AM＝ncm，求AB的長；（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且MN+BN＝AN，求的值．22．如圖，C是線段AB上一點，AB＝16cm，BC＝6cm．（1）AC＝cm；（2）動點P、Q分別從A、B同時出發，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B；點Q以1cm/s的速度沿BA向左運動，終點為A．當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動．求運動多少秒時，C、P、Q三點，有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？23．如圖，數軸上A，B兩點對應的有理數分別為﹣10和20，點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸正方向勻速運動，點Q同時從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸正方向勻速運動，設運動時間為t秒．（1）分別求當t＝2及t＝12時，對應的線段PQ的長度；（2）當PQ＝5時，求所有符合條件的t的值，并求出此時點Q所對應的數；（3）若點P一直沿數軸的正方向運動，點Q運動到點B時，立即改變運動方向，沿數軸的負方向運動，到達點A時，隨即停止運動，在點Q的整個運動過程中，是否存在合適的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合條件的t值，若不存在，請說明理由．24．已知數軸上有A、B、C三個點，分別表示有理數﹣24，﹣10，8，動點P從A出發，以每秒1個單位的速度向終點C移動，設移動時間為t秒．（1）用含t的代數式表示P到點A和點C的距離：PA＝，PC＝；（2）當點P運動到B點時，點Q從A點出發，以每秒3個單位的速度向C點運動，Q點到達C點后，再立即以同樣的速度返回，運動到終點A．在點Q開始運動后，P、Q兩點之間的距離能否為2個單位？如果能，請求出此時點P表示的數；如果不能，請說明理由25．如圖所示，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看到終點表示的數是﹣2，已知點A，B是數軸上的點，請參照下圖并思考，完成下列各題．（1）如果點A表示數3，將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點B表示的數是，A，B兩點間的距離為（2）如果點A表示數﹣4，將A點向右移動68個單位長度，再向左移動156個單位長度，那么終點B表示的數是，A，B兩點間的距離是．（3）一般地，如果A點表示數為m，將A點向右移動n個單位長度，再向左移動P個單位長度，那么，請你猜想終點B表示什么數？A，B兩點間的距離為多少？26．如圖，已知數軸上點A表示的數為8，B是數軸上位于點A左側一點，且AB＝22，動點P從A點出發，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）數軸上點B表示的數是；點P表示的數是（用含t的代數式表示）（2）動點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發，問點P運動多少秒時追上點Q？（3）若M為AP的中點，N為BP的中點，在點P運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由，若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長．27．在數軸上點A表示的數是8，B是數軸上一點，且AB＝12，動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）①寫出數軸上點B表示的數，②寫出點P表示的數（用含t的代數式表示）（2）動點Q從點B出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速前進，若點P，Q同時出發，問點P運動多少秒時追上點Q？（3）在（2）的情況下，若M為AP的中點，N為PB的中點，點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由，若不變，請畫出圖形，并求出線段MN的長．．28．如圖，點A、B和線段CD都在數軸上，點A、C、D、B起始位置所表示的數分別為﹣2、0、3、12；線段CD沿數軸的正方向以每秒1個單位的速度移動，移動時間為t秒．（1）當t＝0秒時，AC的長為，當t＝2秒時，AC的長為．（2）用含有t的代數式表示AC的長為．（3）當t＝秒時AC﹣BD＝5，當t＝秒時AC+BD＝15．（4）若點A與線段CD同時出發沿數軸的正方向移動，點A的速度為每秒2個單位，在移動過程中，是否存在某一時刻使得AC＝2BD，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．29．如圖，數軸上的點O和A分別表示0和10，點P是線段OA上一動點，沿O→A→O以每秒2個單位的速度往返運動1次，B是線段OA的中點，設點P運動時間為t秒（0≤t≤10）．（1）線段BA的長度為；（2）當t＝3時，點P所表示的數是；（3）求動點P所表示的數（用含t的代數式表示）；（4）在運動過程中，若OP中點為Q，則QB的長度是否發生變化？若不變，請求出它的值；若變化，請直接用含t的代數式QB的長度．30．（1）觀察思考如圖，線段AB上有兩個點C、D，請分別寫出以點A、B、C、D為端點的線段，并計算圖中共有多少條線段；（2）模型構建如果線段上有m個點（包括線段的兩個端點），則該線段上共有多少條線段？請說明你結論的正確性；（3）拓展應用8位同學參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環制（即每兩位同學之間都要進行一場比賽），那么一共要進行多少場比賽？請將這個問題轉化為上述模型，并直接應用上述模型的結論解決問題．31．在射線OM上有三點A，B，C，滿足OA＝15cm，AB＝30cm，BC＝10cm，點P從點O出發，沿OM方向以1cm/s的速度勻速運動；點Q從點C出發，沿線段CO勻速向點O運動（點Q運動到點O時停止運動）．如果兩點同時出發，請你回答下列問題：（1）已知點P和點Q重合時PA＝AB，求OP的長度；（2）在（1）題的條件下，求點Q的運動速度．32．如圖，已知數軸上A、B兩點所表示的數分別為﹣2和8．（1）求線段AB的長；（2）已知點P為數軸上點A左側的一點，且M為PA的中點，N為PB的中點．請你畫出圖形，觀察MN的長度是否發生改變？若不變，求出線段MN的長；若改變，請說明理由．33．如圖，已知數軸上的點A對應的數為6，B是數軸上的一點，且AB＝10，動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿著數軸向左勻速運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）數軸上點B對應的數是，點P對應的數是（用t的式子表示）；（2）動點Q從點B與點P同時出發，以每秒4個單位長度的速度沿著數軸向左勻速運動，試問：運動多少時間點P可以追上點Q？（3）M是AP的中點，N是PB的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發生變化？若有變化，說明理由；若沒有變化，請你畫出圖形，并求出MN的長．34．如圖，射線OM上有三點A、B、C，滿足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，點P從點O出發，沿OM方向以1cm/秒的速度勻速運動，點Q從點C出發在線段CO上向點O勻速運動（點Q運動到點O時停止運動），兩點同時出發．（1）當點P運動到線段AB上時，分別取OP和AB的中點E、F，＝．（2）若點Q運動速度為3cm/秒，經過秒P、Q兩點相距70cm．35．如圖，先在數軸上畫出表示點A的相反數的點B，再把點A向右移動10個單位，得到點C．（1）點B表示的數為；點C表示的數為；B、C兩點之間的距離為個單位長度；（2）動點P從點B出發，以2個單位/秒的速度向右運動，動點Q從C點出發，以3個單位/秒的速度向左運動，若點P、Q相遇在點D，求點D對應的數．（3）動點P從點B出發，以2個單位/秒的速度向左運動，動點Q從C點出發，以3個單位/秒的速度向左運動，若點Q在點E處追上點P，則求點E對應的數．36．閱讀下列材料：點A、點B在數軸上分別表示兩個有理數，A、B兩點之間的距離表示為AB．（1）當點A在原點時，若點B表示的數為5時，則AB＝|5﹣0|＝5；若點B表示的數為﹣5時，則AB＝|﹣5﹣0|＝|﹣5|＝5；若點B表示的數為a時，則AB＝|a﹣0|＝|a|，當a＞0，AB＝a，當a＝0，AB＝0，當a＜0，AB＝﹣a（2）當A、B都不在原點時，A表示的數為a，B表示的數為b，則AB＝|a﹣b|，當a﹣b＞0時，AB＝|a﹣b|＝a﹣b；當a﹣b＝0時，AB＝|a﹣b|＝0；當a﹣b＜0時，AB＝|a﹣b|＝﹣（a﹣b）．根據上述材料，回答下列問題：有理數a、b、c在數軸上的位置如圖所示：（1）化簡|a|＝|c|＝|a+b|＝|a﹣b|＝（2）若點C表示的數為x，當|x+1|+|x﹣2|取得的值最小時，x的取值范圍？37．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在數軸上的意義是表示5的點與原點（即表示0的點）之間的距離．又如式子|6﹣3|，它在數軸上的意義是表示6的點與表示3的點之間的距離．即點A、B在數軸上分別表示數a、b，則A、B兩點的距離可表示為：|AB|＝|a﹣b|．根據以上信息，回答下列問題：（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是；數軸上表示﹣3和15的兩點之間的距離是；（2）點A、B在數軸上分別表示數x和﹣1．①用代數式表示A、B兩點之間的距離；②如果|AB|＝2，求x值．38．如圖，有兩段線段AB＝2（單位長度），CD＝1（單位長度）在數軸上運動．點A在數軸上表示的數是﹣12，點D在數軸上表示的數是15（1）點B在數軸上表示的數是，點C在數軸上表示的數是，線段BC＝（2）若線段AB以1個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段CD以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒，若BC＝6（單位長度），求t的值（3）若線段AB以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段CD以2個單位長度/秒的速度也向左運動．設運動時間為t秒，當0＜t＜24時，設M為AC中點，N為BD中點，則線段MN的長為．39．如圖，點C在線段AB上，AC＝12厘米，CB＝8厘米，點M、N分別是AC、BC的中點．（1）求線段MN的長；（2）若C為線段AB上任一點，滿足AB＝a厘米，其他條件不變，你能猜想MN的長度嗎？用一句簡潔的語言表述你發現的規律；（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AB＝b厘米，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．40．如圖，A，B兩點在數軸上，點A表示的數為﹣10，OB＝4OA，點M以每秒2個單位長度的速度從點A開始向左運動，點N以每秒3個單位長度的速度從點B開始向左運動（點M和點N同時出發）（1）數軸上點B對應的數是線段AB的中點C對應的數是（2）經過幾秒，點M，點N到原點的距離相等（3）當M運動到什么位置時，點M與點N相距20個單位長度？

七年級—線段的動點問題參考答案與試題解析一．解答題（共40小題）1．已知數軸上有A，B，C，D，E，F六個點，點C在原點位置，點B表示的數為﹣4，下表中A﹣B，B﹣C，D﹣C，E﹣D，F﹣E的含義為前一個點所表示的數與后一個點所表示的數的差，比如B﹣C為﹣4﹣0＝﹣4．A﹣BB﹣CD﹣CE﹣DF﹣E10﹣4﹣1x2（1）在數軸上表示出A，D兩點；（2）當點A與點F的距離為3時，求x的值；（3）當點M以每秒1個單位長度的速度從點B出發向左運動時，同時點N從點A出發，以每秒3個單位長度的速度向點C運動，到達點C后立即以同樣的速度反方向運動，那么出發1或4秒鐘時，點D到點M，點N的距離相等（直接寫出答案）．【解】（1）如圖所示，∵點B表示的數為﹣4，點C在原點位置∴A：6，D：﹣1；（2）①當點F在點A左側時，則點F表示的數為6﹣3＝3，點E表示的數為3﹣2＝1，∴x＝1﹣（﹣1）＝2；②當點F在點A右側時，則點F表示的數為6+3＝9，點E表示的數為9﹣2＝7，∴x＝7﹣（﹣1）＝8；（3）設出發x秒后，點D到點M，點N的距離相等，由題意得：﹣1﹣（﹣4﹣x）＝6﹣3x﹣（﹣1）或﹣1﹣（﹣4﹣x）＝3x﹣6﹣（﹣1）解得：x＝1或x＝4故答案為：1或4．2．如圖，在數軸上點A表示的數是﹣3，點B在點A的右側，且到點A的距離是18；點C在點A與點B之間，且到點B的距離是到點A距離的2倍．（1）點B表示的數是15；點C表示的數是3；（2）若點P從點A出發，沿數軸以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動；同時，點Q從點B出發，沿數軸以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒，在運動過程中，當t為何值時，點P與點Q之間的距離為6？（3）在（2）的條件下，若點P與點C之間的距離表示為PC，點Q與點B之間的距離表示為QB，在運動過程中，是否存在某一時刻使得PC+QB＝4？若存在，請求出此時點P表示的數；若不存在，請說明理由．【解】（1）點B表示的數是﹣3+18＝15；點C表示的數是﹣3+18×＝3．故答案為：15，3；（2）點P與點Q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；點P與點Q相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假設存在，當點P在點C左側時，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此時點P表示的數是1；當點P在點C右側時，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此時點P表示的數是．綜上所述，在運動過程中存在PC+QB＝4，此時點P表示的數為1或．3．定義：若線段上的一個點把這條線段分成1：2的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．如圖1，點C在線段AB上，且AC：CB＝1：2，則點C是線段AB的一個三等分點，顯然，一條線段的三等分點有兩個．（1）已知：如圖2，DE＝15cm，點P是DE的三等分點，求DP的長．（2）已知，線段AB＝15cm，如圖3，點P從點A出發以每秒1cm的速度在射線AB上向點B方向運動；點Q從點B出發，先向點A方向運動，當與點P重合后立馬改變方向與點P同向而行且速度始終為每秒2cm，設運動時間為t秒．①若點P點Q同時出發，且當點P與點Q重合時，求t的值．②若點P點Q同時出發，且當點P是線段AQ的三等分點時，求t的值．【解】（1）當DP＝2PE時，DP＝DE＝10cm；當2DP＝PE時，DP＝DE＝5cm．綜上所述：DP的長為5cm或10cm．（2）①根據題意得：（1+2）t＝15，解得：t＝5．答：當t＝5秒時，點P與點Q重合．②（I）點P、Q重合前：當2AP＝PQ時，有t+2t+2t＝15，解得：t＝3；當AP＝2PQ時，有t+t+2t＝15，解得：t＝；（II）點P、Q重合后，當AP＝2PQ時，有t＝2（t﹣5），解得：t＝10；當2AP＝PQ時，有2t＝（t﹣5），解得：t＝﹣5（不合題意，舍去）．綜上所述：當t＝3秒、秒或10秒時，點P是線段AQ的三等分點．4．如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度；（2）根據第（1）題的計算過程和結果，設AC+BC＝a，其他條件不變，求MN的長度；（3）動點P、Q分別從A、B同時出發，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？【解】（1）∵線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）∵點M，N分別是AC，BC的中點，∴CM＝AC，CN＝BC，∴MN＝CM+CN＝AC+BC＝a；（3）①當0＜t≤5時，C是線段PQ的中點，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②當5＜t≤時，P為線段CQ的中點，2t﹣10＝16﹣3t，解得t＝；③當＜t≤6時，Q為線段PC的中點，6﹣t＝3t﹣16，解得t＝；④當6＜t≤8時，C為線段PQ的中點，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），綜上所述：t＝4或或．5．【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．（1）線段的中點是這條線段的“巧點”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB＝12cm，點C是線段AB的巧點，則AC＝4或6或8cm；【解決問題】（3）如圖②，已知AB＝12cm．動點P從點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動：點Q從點B出發，以1cm/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為t（s）．當t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點？說明理由【解】（1）如圖，當C是線段AB的中點，則AB＝2AC，∴線段的中點是這條線段的“巧點”．故答案為：是；（2）∵AB＝12cm，點C是線段AB的巧點，∴AC＝12×＝4cm或AC＝12×＝6cm或AC＝12×＝8cm；故答案為：4或6或8；（3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6①由題意可知A不可能為P、Q兩點的巧點，此情況排除．②當P為A、Q的巧點時，Ⅰ．AP＝AQ，即，解得s；Ⅱ．AP＝AQ，即，解得s；Ⅲ．AP＝AQ，即，解得t＝3s；③當Q為A、P的巧點時，Ⅰ．AQ＝AP，即，解得s（舍去）；Ⅱ．AQ＝AP，即，解得t＝6s；Ⅲ．AQ＝AP，即，解得s．6．【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美地結合．研究數軸我們發現了許多重要的規律：若數軸上點A、點B表示的數分別為a、b，則A，B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點表示的數為．【問題情境】如圖，數軸上點A表示的數為﹣2，點B表示的數為8，點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒（t＞0）．【綜合運用】（1）填空：①A、B兩點間的距離AB＝10，線段AB的中點表示的數為3；②用含t的代數式表示：t秒后，點P表示的數為﹣2+3t；點Q表示的數為8﹣2t．（2）求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數；（3）求當t為何值時，PQ＝AB；（4）若點M為PA的中點，點N為PB的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．【解】（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數相等∴﹣2+3t＝8﹣2t，解得：t＝2，∴當t＝2時，P、Q相遇，此時，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，∴相遇點表示的數為4；（3）∵t秒后，點P表示的數﹣2+3t，點Q表示的數為8﹣2t，∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，又PQ＝AB＝×10＝5，∴|5t﹣10|＝5，解得：t＝1或3，∴當：t＝1或3時，PQ＝AB；（4）∵點M表示的數為＝﹣2，點N表示的數為＝+3，∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．7．如圖，點C在線段AB上，點M、N分別是AC、BC的中點．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長；（2）若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB＝acm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？請直接寫出你的答案．（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．【解】（1）∵M、N分別是AC、BC的中點，∴MC＝AC、CN＝BC，∵AC＝9cm，CB＝6cm，∴MN＝MC+CN＝AC+BC＝（AC+BC）＝（9+6）＝7.5cm；（2）∵M、N分別是AC、BC的中點，∴MC＝AC、CN＝BC，∵AC+CB＝acm，∴MN＝MC+CN＝AC+CB＝acm）＝a（cm）；（3）MN＝b，如圖，∵M、N分別是AC、BC的中點，∴MC＝AC、CN＝BC，∵AC﹣BC＝bcm，∴MN＝MC﹣CN＝AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝b．8．如圖，B是線段AD上一動點，沿A→D→A以2cm/s的速度往返運動1次，C是線段BD的中點，AD＝10cm，設點B運動時間為t秒（0≤t≤10）．（1）當t＝2時，①AB＝4cm．②求線段CD的長度．（2）①點B沿點A→D運動時，AB＝2tcm；②點B沿點D→A運動時，AB＝20﹣2tcm．（用含t的代數式表示AB的長）（3）在運動過程中，若AB中點為E，則EC的長是否變化，若不變，求出EC的長；若發生變化，請說明理由．【解】（1）當t＝2時，①AB＝2×2＝4cm；②BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6cm，由C是線段BD的中點，得CD＝BD＝×6＝3cm；（2））①點B沿點A→D運動時，AB＝2tcm；②點B沿點D→A運動時，AB＝20﹣2tcm；（3）在運動過程中，若AB中點為E，則EC的長不變，由AB中點為E，C是線段BD的中點，得BE＝AB，BC＝BD．EC＝BE+BC＝（AB+BD）＝×10＝5cm．9．如圖，點C在線段AB上，點M、N分別是AC、BC的中點．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長；（2）若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB＝acm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？并說明理由．你能用一句簡潔的話描述你發現的結論嗎？（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．【解】（1）∵AC＝9cm，點M是AC的中點，∴CM＝0.5AC＝4.5cm，∵BC＝6cm，點N是BC的中點，∴CN＝0.5BC＝3cm，∴MN＝CM+CN＝7.5cm，∴線段MN的長度為7.5cm，（2）MN＝a，當C為線段AB上一點，且M，N分別是AC，BC的中點，則存在MN＝a，（3）當點C在線段AB的延長線時，如圖：則AC＞BC，∵M是AC的中點，∴CM＝AC，∵點N是BC的中點，∴CN＝BC，∴MN＝CM﹣CN＝（AC﹣BC）＝b．10．已知線段AB＝a，MN＝b（a，b為常數，且a＞2b），線段MN在直線AB上運動（點B、M在點A的右側．點N在點M的右側）．點P是線段AB的中點，點Q是線段MN的中點．（1）如圖1，當點N與點B重合時，求線段PQ的長度（用含a，b的代數式表示）；（2）如圖2，當線段MN運動到點B、M重合時，求線段AN、PQ之間的數量關系式；（3）當線段MN運動至點Q在點B的右側時，請你畫圖探究線段AN、BM、PQ三者之間的數量關系式．【解】（1）∵點P是線段AB的中點，點Q是線段MN的中點∴PB＝，QB＝∵PQ＝PB﹣QB∴PQ＝（2）∵點P是線段AB的中點，點Q是線段MN的中點∴PB＝，QB＝∵PQ＝PB﹣QB∴PQ＝∵AN＝AB+MN＝a+b∴AN＝2PQ（3）如上圖所示：①當點M在點B的右側時，AN＝a+b﹣BM，PQ＝a+b﹣BM，所以AN＝2PQ+BM，②當點M在點B的左側時，AN＝a+b+BM，PQ＝a+b+BM，故：AN＝2PQ﹣BM，綜上，AN＝2PQ+BM或AN＝2PQ﹣BM．11．如圖，數軸上點A，B表示的有理數分別為﹣6，3，點P是射線AB上一個動點（不與點A，B重合）．M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．（1）若點P表示的有理數是0，那么MN的長為6；若點P表示的有理數是6，那么MN的長為6．（2）點P在射線AB上運動（不與點A，B重合）的過程中，MN的長是否發生改變？若不改變，請寫出求MN的長的過程；若改變，請說明理由．【解】（1）若點P表示的有理數是0（如圖1），則AP＝6，BP＝3．∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．∴MP＝AP＝4，NP＝BP＝2，∴MN＝MP+NP＝6；若點P表示的有理數是6（如圖2），則AP＝12，BP＝3．∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．∴MP＝AP＝8，NP＝BP＝2，∴MN＝MP﹣NP＝6．故答案為：6；6．（2）MN的長不會發生改變，理由如下：設點P表示的有理數是a（a＞﹣6且a≠3）．當﹣6＜a＜3時（如圖1），AP＝a+6，BP＝3﹣a．∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（3﹣a），∴MN＝MP+NP＝6；當a＞3時（如圖2），AP＝a+6，BP＝a﹣3．∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．∴MP＝AP＝（a+6），N＝BP＝（a﹣3），∴MN＝MP﹣NP＝6．綜上所述：點P在射線AB上運動（不與點A，B重合）的過程中，MN的長為定值6．12．已知點C在線段AB上，且AC＝6，BC＝4，M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度；（2）如果AC＝a，BC＝b，其他條件不變，你能猜出MN的長度嗎？（3）如果我們這樣敘述它：“已知點C與線段AB在同一直線上，線段AC＝6，BC＝4，M，N分別是AC，BC的中點，求MN的長度．”結果會有變化嗎？如果有，求出結果．【解】（1）∵AC＝6，BC＝4，點M，N分別是AC，BC的中點，∴MN＝（AC+CB）＝×10＝5；（2）MN＝，直線上相鄰兩線段中點間的距離為兩線段長度和的一半；（3）如圖，有變化，會出現兩種情況：①當點C在線段AB上時，MN＝（AC+BC）＝5；②當點C在AB的延長線上時，MN＝（AC﹣BC）＝1．13．如圖，C是線段AB上一點，AB＝20cm，BC＝8cm，點P從A出發，以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B；點Q從點B出發，以1cm/s的速度沿BA向左運動，終點為A．已知P、Q同時出發，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運功．設點P運動時間為xs．（1）AC＝12cm；（2）當x＝s時，P、Q重合；（3）是否存在某一時刻，使得C、P、Q這三個點中，有一個點恰為另外兩點所連線段的中點？若存在，求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由．【解】（1）AC＝AB﹣BC＝20﹣8＝12（cm），（2）20÷（2+1）＝（s）．故當x＝s時，P、Q重合；（3）存在，①C是線段PQ的中點，得2x+20﹣x＝2×12，解得x＝4；②P為線段CQ的中點，得12+20﹣x＝2×2x，解得x＝；③Q為線段PC的中點，得2x+12＝2×（20﹣x），解得x＝7；綜上所述：x＝4或x＝或x＝7．故答案為：12；．14．有一科技小組進行了機器人行走性能試驗，在試驗場地有A、B、C三點順次在同一筆直的賽道上，A、B兩點之間的距離是90米．甲、乙兩機器人分別從A、B兩點同時同向出發到終點C，乙機器人始終以50米/分的速度行走，乙行走9分鐘到達C點．設兩機器人出發時間為t（分鐘），當t＝3分鐘時，甲追上乙．前4分鐘甲機器人的速度保持不變，在4≤t≤6分鐘時，甲的速度變為另一數值，且甲、乙兩機器人之間的距離保持不變．請解答下面問題：（1）B、C兩點之間的距離是450米．在4≤t≤6分鐘時，甲機器人的速度為50米/分．（2）求甲機器人前3分鐘的速度為多少米/分？（3）求兩機器人前6分鐘內出發多長時間相距28米？（4）若6分鐘后，甲機器人的速度又恢復為原來出發時的速度，直接寫出當t＞6時，甲、乙兩機器人之間的距離S．（用含t的代數式表示）【解】（1）∵乙機器人從B點出發，以50米/分的速度行走9分鐘到達C點，∴B、C兩點之間的距離是50×9＝450（米）．∵在4≤t≤6分鐘時，甲、乙兩機器人之間的距離保持不變，∴在4≤t≤6分鐘時，甲機器人的速度為50米/分．（2）設甲機器人前3分鐘的速度為x米/分，則3x﹣50×3＝90，解得x＝80．答：甲機器人前3分鐘的速度為80米/分．（3）當t＝4時，兩人相距80﹣50＝30米，且4≤t≤6時，兩人相距總是30米．分三種情況說明：①甲在AB間時，90﹣80t+50t＝28，解得t＝＞，此情形不存在．②甲乙均在B右側，且甲在乙后時，90+50t﹣80t＝28，解得t＝．③甲乙均在B右側，且乙在甲后時，80t﹣90﹣50t＝28，解得t＝．答：兩機器人前6分鐘內出發分鐘或分鐘相距28米．（4）S＝．故答案為：450，50；15．如圖，點C在線段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，點M、N分別是AC、BC的中點．（1）求線段MN的長；（2）若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB＝acm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？并說明理由；（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？并說明理由；【解】（1）∵點M、N分別是AC、BC的中點，AC＝8cm，CB＝6cm，∴CM＝AC＝4cm，CN＝BC＝3cm，∴MN＝CM+CN＝4+3＝7cm，即線段MN的長是7cm；（2）∵點M、N分別是AC、BC的中點，AC+CB＝acm，∴CM＝AC，CN＝BC，∴MN＝CM+CN＝AC+BC＝（AC+BC）＝acm，即線段MN的長是acm；（3）如圖：MN＝b，理由是：∵點M、N分別是AC、BC的中點，AC﹣CB＝bcm，∴CM＝AC，CN＝BC，∴MN＝CM﹣CN＝AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝bcm，即線段MN的長是bcm．16．（1）觀察思考：如圖，線段AB上有兩個點C、D，請分別寫出以點A、B、C、D為端點的線段，并計算圖中共有多少條線段；（2）模型構建：如果線段上有m個點（包括線段的兩個端點），則該線段上共有多少條線段？請說明你結論的正確性；（3）拓展應用：某班45名同學在畢業后的一次聚會中，若每兩人握1次手問好，那么共握多少次手？請將這個問題轉化為上述模型，并直接應用上述模型的結論解決問題．【解】（1）∵以點A為左端點向右的線段有：線段AB、AC、AD，以點C為左端點向右的線段有線段CD、CB，以點D為左端點的線段有線段DB，∴共有3+2+1＝6條線段；（2）設線段上有m個點，該線段上共有線段x條，則x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x＝m+m+m+…+m＝m（m﹣1），∴x＝m（m﹣1）；（3）把45位同學看作直線上的45個點，每兩位同學之間的一握手看作為一條線段，直線上45個點所構成的線段條數就等于握手的次數，因此一共要進行×45×（45﹣1）＝990次握手．17．如圖，點B、C是線段AD上的兩點，點M和點N分別在線段AB和線段CD上．（1）當AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN時，BC＝4；（2）若AD＝a，MN＝b①當AM＝2BM，DN＝2CN時，求BC的長度（用含a和b的代數式表示）②當AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整數）時，直接寫出BC＝b﹣a．（用含a、b、n的代數式表示）【解】（1）∵AD＝8，MN＝6，∴AM+DN＝AD﹣MN＝8﹣6＝2，∵AM＝BM，CN＝DN，∴AB+CD＝2AM+2DN＝4，∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝8﹣4＝4，故答案為4．（2）①∵AD＝a，MN＝b，∴AM+DN＝AD﹣MN＝a﹣b，∵AM＝2BM，DN＝2CN，∴AB+CD＝（AM+DN）＝（a﹣b），∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝a﹣（a﹣b）＝b﹣a．②∵AD＝a，MN＝b，∴AM+DN＝AD﹣MN＝a﹣b，∵AM＝nBM，DN＝nCN，∴AB+CD＝（AM+DN）＝（a﹣b），∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝a﹣（a﹣b）＝b﹣a．故答案為b﹣a．18．如圖所示．（1）若線段AB＝4cm，點C在線段AB上（如圖①），點M、N分別是線段AC、BC的中點，求線段MN長．（2）若線段AB＝acm，點C在線段AB的延長線上（如圖②），點M、N分別是線段AC、BC的中點，你能猜想出MN的長度嗎？請寫出你的結論，并說明理由．【解】（1）∵點M，N分別是AC、BC的中點，AB＝4cm，∴MC＝AC，NC＝BC，∴MN＝MC+NC＝（AC+BC）＝AB＝×4cm＝2cm；（2）MN＝acm，理由是：∵點M，N分別是AC、BC的中點，AB＝acm，∴MC＝AC，NC＝BC，∴MN＝MC﹣NC＝（AC﹣BC）＝AB＝×acm＝acm．19．如圖所示，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看到終點表示的數是﹣2，已知點A，B是數軸上的點，請參照如圖回答下列問題：（1）如果點A表示數﹣3，將點A向右移動7個單位長度到達點B，那么終點B表示的數是4，A、B兩點間的距離是7．（2）如果點A表示數3，將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度到達點B，那么終點B表示的數是1；A、B兩點間的距離為2．（3）一般地，如果A點表示的數為a，將A點向右移動x個單位長度，再向左移動y個單位長度到達點B，請你求出終點B表示什么數？A、B兩點間的距離為多少？【解】（1）∵點A表示數﹣3，∴點A向右移動7個單位長度，終點B表示的數是﹣3+7＝4，A，B兩點間的距離是|﹣3﹣4|＝7；（2）∵點A表示數3，∴將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是3﹣7+5＝1，A，B兩點間的距離為3﹣1＝2；（3）∵A點表示的數為a，∴將A點向右移動x個單位長度，再向左移動y個單位長度，那么點B表示的數為（a+x﹣y），A，B兩點間的距離為|x﹣y|，故答案為：（1）4，7；（2）1，2．20．已知多項式﹣2x2y﹣a+3xy2﹣4y+5次數是4，項數是b，數軸上A、B兩點所對應的數分別是a和b．（1）填空：a＝﹣2，b＝4，并在數軸上標出A、B兩點的位置．（2）數軸上是否存在點C，C點在A點的右側，且點C到A點的距離是點C到B點的距離的2倍？若存在，請求出點C表示的數；若不存在，請說明理由．（3）點D以每秒2個單位的速度從A點出發向左運動，同時點E以3個單位每秒的速度從B點出發向右運動，點F以每秒4個單位的速度從O點出發向左運動．若P為DE的中點，DE＝16，求PF的長．【解】（1）由多項式﹣2x2y﹣a+3xy2﹣4y+5次數是4，項數是b，知a＝﹣2，b＝4，數軸表示圖如上；（2）設點C位置為x，有題意得：x+2＝2|4﹣x|，解得：x＝2或10；（3）設：t秒時，各點位置如上圖所示，其中，AD＝2t，OF＝4t，BE＝3t，則：DE＝AD+AO+AB+BE＝2t+2+4+3t＝16，解得：t＝2，則PD＝8，DF＝OF﹣OD＝4t﹣（2+2t）＝2t﹣2＝2，PF＝PD+DF＝8+2＝10，答：PF的長為10．21．如圖，M是定長線段AB上一個定點，點C在線段AM上，點D在線段BM上．點C、點D分別從點M、點B出發，分別以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA左運動，運動方向如箭頭所示．（1）若AB＝20cm，當點C、D運動了2s時，求AC+MD的長度；（2）若點C、D運動時，總有MD＝2AC，若AM＝ncm，求AB的長；（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且MN+BN＝AN，求的值．【解】（1）AC+MD＝AB﹣NC﹣BD＝20﹣2﹣4＝14（cm）；（2）設BM＝x，由題意x﹣2t＝2（n﹣t），∴x＝2n，∴AB＝AM+BM＝3n．（3）①當點N在線段BM上時，設MN＝y，由題意：y+2n﹣y＝n+y，解得y＝n，∴MN＝n，AB＝3n，∴＝3．②當點N在AB的延長線上時，設MN＝z，由題意：z+z﹣2n＝n+z，解得z＝3n，∴MN＝AB＝3n，∴＝1，22．如圖，C是線段AB上一點，AB＝16cm，BC＝6cm．（1）AC＝10cm；（2）動點P、Q分別從A、B同時出發，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B；點Q以1cm/s的速度沿BA向左運動，終點為A．當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動．求運動多少秒時，C、P、Q三點，有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？【解】（1）AC＝AB﹣BC＝16﹣6＝10cm，故答案為：10；（2）①當0＜t≤5時，C是線段PQ的中點，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②當5＜t≤時，P為線段CQ的中點，2t﹣10＝16﹣3t，解得t＝；③當＜t≤6時，Q為線段PC的中點，6﹣t＝3t﹣16，解得t＝；④當6＜t≤8時，C為線段PQ的中點，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），綜上所述：t＝4或或．23．如圖，數軸上A，B兩點對應的有理數分別為﹣10和20，點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸正方向勻速運動，點Q同時從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸正方向勻速運動，設運動時間為t秒．（1）分別求當t＝2及t＝12時，對應的線段PQ的長度；（2）當PQ＝5時，求所有符合條件的t的值，并求出此時點Q所對應的數；（3）若點P一直沿數軸的正方向運動，點Q運動到點B時，立即改變運動方向，沿數軸的負方向運動，到達點A時，隨即停止運動，在點Q的整個運動過程中，是否存在合適的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合條件的t值，若不存在，請說明理由．【解】（1）當運動時間為t秒時，點P對應的數為t，點Q對應的數為2t﹣10，∴PQ＝|t﹣（2t﹣10）|＝|t﹣10|．當t＝2時，PQ＝|2﹣10|＝8；當t＝12時，PQ＝|12﹣10|＝2．答：當t＝2時，線段PQ的長度為8；當t＝12時，線段PQ的長度為2．（2）根據題意得：|t﹣10|＝5，解得：t＝5或t＝15，當t＝5時，點Q對應的數為2t﹣10＝0；當t＝15時，點Q對應的數為2t﹣10＝20．答：當PQ＝5時，t的值為5或15，此時點Q所對應的數為0或20．（3）當運動時間為t秒時，點P對應的數為t，點Q對應的數為．當0＜t≤15時，PQ＝|t﹣（2t﹣10）|＝|t﹣10|，|t﹣10|＝8，解得：t1＝2，t2＝18（舍去）；當15＜t≤30時，PQ＝|t﹣[20﹣2（t﹣15）]|＝|3t﹣50|，|3t﹣50|＝8，解得：t3＝，t4＝14（舍去）．綜上所述：在點Q的整個運動過程中，存在合適的t值，使得PQ＝8，此時t的值為2或．24．已知數軸上有A、B、C三個點，分別表示有理數﹣24，﹣10，8，動點P從A出發，以每秒1個單位的速度向終點C移動，設移動時間為t秒．（1）用含t的代數式表示P到點A和點C的距離：PA＝t，PC＝32﹣t；（2）當點P運動到B點時，點Q從A點出發，以每秒3個單位的速度向C點運動，Q點到達C點后，再立即以同樣的速度返回，運動到終點A．在點Q開始運動后，P、Q兩點之間的距離能否為2個單位？如果能，請求出此時點P表示的數；如果不能，請說明理由【解】（1）∵動點P從A出發，以每秒1個單位的速度向終點C移動，設移動時間為t秒，∴P到點A的距離為：PA＝t，P到點C的距離為：PC＝（24+8）﹣t＝32﹣t；故答案為：t，32﹣t；（2）如圖1，當P點在Q點右側，且Q點還沒有追上P點時，3（t﹣14）+2＝t解得：t＝20，∴此時點P表示的數為﹣4，如圖2，當P點在Q點左側，且Q點追上P點后，相距2個單位，3（t﹣14）﹣2＝t解得：t＝22，∴此時點P表示的數為﹣2，如圖3，當Q點到達C點后，當P點在Q點左側時，t+2+3（t﹣14）﹣32＝32解得：t＝26，∴此時點P表示的數為2，如圖4，當Q點到達C點后，當P點在Q點右側時，t﹣2+3（t﹣14）﹣32＝32，解得：t＝27，∴此時點P表示的數為3，綜上所述：點P表示的數為﹣4，﹣2，2，3．25．如圖所示，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看到終點表示的數是﹣2，已知點A，B是數軸上的點，請參照下圖并思考，完成下列各題．（1）如果點A表示數3，將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點B表示的數是1，A，B兩點間的距離為2（2）如果點A表示數﹣4，將A點向右移動68個單位長度，再向左移動156個單位長度，那么終點B表示的數是﹣92，A，B兩點間的距離是88．（3）一般地，如果A點表示數為m，將A點向右移動n個單位長度，再向左移動P個單位長度，那么，請你猜想終點B表示什么數？A，B兩點間的距離為多少？【解】（1）∵點A表示數3，∴將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是3﹣7+5＝1，A，B兩點間的距離為3﹣1＝2；故答案為：1，2；（2）∵點A表示數﹣4，∴將A點向右移動68個單位長度，再向左移動156個單位長度，那么終點B表示的數是﹣4+68﹣156＝﹣92，A、B兩點間的距離是|﹣4+92|＝88；故答案為：﹣92，88；（3）∵A點表示的數為m，∴將A點向右移動n個單位長度，再向左移動p個單位長度，那么點B表示的數為（m+n﹣p），A，B兩點間的距離為|n﹣p|．26．如圖，已知數軸上點A表示的數為8，B是數軸上位于點A左側一點，且AB＝22，動點P從A點出發，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）數軸上點B表示的數是﹣14；點P表示的數是8﹣5t（用含t的代數式表示）（2）動點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發，問點P運動多少秒時追上點Q？（3）若M為AP的中點，N為BP的中點，在點P運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由，若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長．【解】（1）∵點A表示的數為8，B在A點左邊，AB＝22，∴點B表示的數是8﹣22＝﹣14，∵動點P從點A出發，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒，∴點P表示的數是8﹣5t．故答案為：﹣14，8﹣5t；（2）設點P運動x秒時，在點C處追上點Q，則AC＝5x，BC＝3x，∵AC﹣BC＝AB，∴5x﹣3x＝22，解得：x＝11，∴點P運動11秒時追上點Q；（3）線段MN的長度不發生變化，都等于11；理由如下：①當點P在點A、B兩點之間運動時：MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝×22＝11，②當點P運動到點B的左側時：MN＝MP﹣NP＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝11，∴線段MN的長度不發生變化，其值為11．27．在數軸上點A表示的數是8，B是數軸上一點，且AB＝12，動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）①寫出數軸上點B表示的數，②寫出點P表示的數（用含t的代數式表示）（2）動點Q從點B出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速前進，若點P，Q同時出發，問點P運動多少秒時追上點Q？（3）在（2）的情況下，若M為AP的中點，N為PB的中點，點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由，若不變，請畫出圖形，并求出線段MN的長．．【解】（1）①8﹣12＝﹣4，8＝12＝20，∴數軸上點B表示的數﹣4或20，②動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左運動，則點P表示的數8﹣6t；（2）分兩種情況：當點B在點A的左側時，點P運動追上點Q，即8﹣6t＝﹣4﹣4t，解得t＝6；當點B在點A的右側時，點P運動追上點Q，即8﹣6t＝20﹣4t，解得t＝﹣6（舍去），∴點P運動6秒追上點Q；（3）分兩種情況：①若點P在AB之間運動，則∵M為AP的中點，N為PB的中點，∴PM＝AP，PN＝BP，∴MN＝PM+PN＝（AP+BP）＝AB＝6；②若點P在AB的延長線上運動，則∵M為AP的中點，N為PB的中點，∴PM＝AP，PN＝BP，∴MN＝PM﹣PN＝（AP﹣BP）＝AB＝6；綜上所述，點P在運動的過程中，MN的長度不會發生變化．28．如圖，點A、B和線段CD都在數軸上，點A、C、D、B起始位置所表示的數分別為﹣2、0、3、12；線段CD沿數軸的正方向以每秒1個單位的速度移動，移動時間為t秒．（1）當t＝0秒時，AC的長為2，當t＝2秒時，AC的長為4．（2）用含有t的代數式表示AC的長為t+2．（3）當t＝6秒時AC﹣BD＝5，當t＝11秒時AC+BD＝15．（4）若點A與線段CD同時出發沿數軸的正方向移動，點A的速度為每秒2個單位，在移動過程中，是否存在某一時刻使得AC＝2BD，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【解】（1）當t＝0秒時，AC＝|﹣2﹣0|＝|﹣2|＝2；當t＝2秒時，移動后C表示的數為2，∴AC＝|﹣2﹣2|＝4．故答案為：2；4．（2）點A表示的數為﹣2，點C表示的數為t；∴AC＝|﹣2﹣t|＝t+2．故答案為t+2．（3）∵t秒后點C運動的距離為t個單位長度，點D運動的距離為t個單位長度，∴C表示的數是t，D表示的數是3+t，∴AC＝t+2，BD＝|12﹣（3+t）|，∵AC﹣BD＝5，∴t+2﹣|12﹣（t+3）|＝5．解得：t＝6．∴當t＝6秒時AC﹣BD＝5；∵AC+BD＝15，∴t+2+|12﹣（t+3）|＝15，t＝11；當t＝11秒時AC+BD＝15，故答案為6，11；（4）假設能相等，則點A表示的數為2t﹣2，C表示的數為t，D表示的數為t+3，B表示的數為12，∴AC＝|2t﹣2﹣t|＝|t﹣2|，BD＝|t+3﹣12|＝|t﹣9|，∵AC＝2BD，∴|t﹣2|＝2|t﹣9|，解得：t1＝16，t2＝．故在運動的過程中使得AC＝2BD，此時運動的時間為16秒和秒．29．如圖，數軸上的點O和A分別表示0和10，點P是線段OA上一動點，沿O→A→O以每秒2個單位的速度往返運動1次，B是線段OA的中點，設點P運動時間為t秒（0≤t≤10）．（1）線段BA的長度為5；（2）當t＝3時，點P所表示的數是6；（3）求動點P所表示的數（用含t的代數式表示）；（4）在運動過程中，若OP中點為Q，則QB的長度是否發生變化？若不變，請求出它的值；若變化，請直接用含t的代數式QB的長度．【解】（1）∵B是線段OA的中點，∴BA＝OA＝5；故答案為：5；（2）當t＝3時，點P所表示的數是2×3＝6，故答案為：6；（3）當0≤t≤5時，動點P所表示的數是2t，當5≤t≤10時，動點P所表示的數是20﹣2t；（4）QB的長度發生變化，當0≤t≤5時，QB＝5﹣t，當5≤t≤10時，QB＝5﹣（20﹣2t）＝t﹣5．30．（1）觀察思考如圖，線段AB上有兩個點C、D，請分別寫出以點A、B、C、D為端點的線段，并計算圖中共有多少條線段；（2）模型構建如果線段上有m個點（包括線段的兩個端點），則該線段上共有多少條線段？請說明你結論的正確性；（3）拓展應用8位同學參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環制（即每兩位同學之間都要進行一場比賽），那么一共要進行多少場比賽？請將這個問題轉化為上述模型，并直接應用上述模型的結論解決問題．【解】（1）∵以點A為左端點向右的線段有：線段AB、AC、AD，以點C為左端點向右的線段有線段CD、CB，以點D為左端點的線段有線段DB，∴共有3+2+1＝6條線段；（2），理由：設線段上有m個點，該線段上共有線段x條，則x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x＝＝m（m﹣1），∴x＝；（3）把8位同學看作直線上的8個點，每兩位同學之間的一場比賽看作為一條線段，直線上8個點所構成的線段條數就等于比賽的場數，因此一共要進行＝28場比賽．31．在射線OM上有三點A，B，C，滿足OA＝15cm，AB＝30cm，BC＝10cm，點P從點O出發，沿OM方向以1cm/s的速度勻速運動；點Q從點C出發，沿線段CO勻速向點O運動（點Q運動到點O時停止運動）．如果兩點同時出發，請你回答下列問題：（1）已知點P和點Q重合時PA＝AB，求OP的長度；（2）在（1）題的條件下，求點Q的運動速度．【解】（1）∵PA＝AB，AB＝30cm，∴PA＝×30＝20cm，∵OA＝15cm，∴OP＝OA+AP＝35cm，（2）∵OC＝OA+AB+BC，OA＝15cm，AB＝30cm，BC＝10cm，∴OC＝15+30+10＝55cm，∵CP＝OC﹣OP＝55﹣35＝20cm，∵P以1cm/s的速度勻速運動，∴點P運動的時間為35s，點Q運動的時間為35s，∴點Q的速度＝＝cm/s．32．如圖，已知數軸上A、B兩點所表示的數分別為﹣2和8．（1）求線段AB的長；（2）已知點P為數軸上點A左側的一點，且M為PA的中點，N為PB的中點．請你畫出圖形，觀察MN的長度是否發生改變？若不變，求出線段MN的長；若改變，請說明理由．【解】（1）∵A，B兩點所表示的數分別為﹣2和8，∴OA＝2，OB＝8，AB＝OA+OB＝10．（2）如圖，線段MN的長度不發生變化，其值為5．理由如下：∵M為PA的中點，N為PB的中點，∴NP＝BP，MP＝AP，∴AB＝5．33．如圖，已知數軸上的點A對應的數為6，B是數軸上的一點，且AB＝10，動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿著數軸向左勻速運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）數軸上點B對應的數是﹣4，點P對應的數是6﹣6t（用t的式子表示）；（2）動點Q從點B與點P同時出發，以每秒4個單位長度的速度沿著數軸向左勻速運動，試問：運動多少時間點P可以追上點Q？（3）M是AP的中點，N是PB的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發生變化？若有變化，說明理由；若沒有變化，請你畫出圖形，并求出MN的長．【解】（1）由題可得，B點表示的數為6﹣10＝﹣4；點P表示的數為6﹣6t；故答案為：﹣4，6﹣6t；（2）設點P運動x秒時，在點C處追上點Q（如圖），則AC＝6x，BC＝4x，∵AC﹣BC＝AB，∴6x﹣4x＝10，解得：x＝5，∴點P運動5秒時，在點C處追上點Q；（3）線段MN的長度不發生變化，等于5．理由如下：分兩種情況：①當點P在點A、B兩點之間運動時：MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝5；②當點P運動到點B的左側時：MN＝MP﹣NP＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝5，∴綜上所述，線段MN的長度不發生變化，其值為5．34．如圖，射線OM上有三點A、B、C，滿足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，點P從點O出發，沿OM方向以1cm/秒的速度勻速運動，點Q從點C出發在線段CO上向點O勻速運動（點Q運動到點O時停止運動），兩點同時出發．（1）當點P運動到線段AB上時，分別取OP和AB的中點E、F，＝2．（2）若點Q運動速度為3cm/秒，經過5或70秒P、Q兩點相距70cm．【解】設運動時間為t秒．（1）當20≤t≤80時，AP＝（t﹣20）cm，OE＝OP＝tcm，OF＝OA+AB＝50cm，∴EF＝OF﹣OE＝（50﹣t）cm，∴＝＝2．故答案為：2．（2）當0≤t≤30時，OP＝tcm，OQ＝（90﹣3t）cm，根據題意得：|OP﹣OQ|＝70，即|t﹣（90﹣3t）|＝70，解得：t＝5或t＝40（不合題意，舍去）；當t＞30時，OP＝tcm，OQ＝0cm，根據題意得：|OP﹣OQ|＝70，即t＝70．綜上所述：經過5秒或70秒P、Q兩點相距70cm．故答案為：5或70．35．如圖，先在數軸上畫出表示點A的相反數的點B，再把點A向右移動10個單位，得到點C．（1）點B表示的數為﹣5；點C表示的數為15；B、C兩點之間的距離為20