專題45空間向量及其應用

知考綱要求

識考點預測

梳常用結論

理方法技巧

題題型一：空間向量的線性運算

型題型二：共線、共面向量定理的應用

歸題型三：空間向量數量積的運算

類題型四：利用向量證明平行與垂直

訓練一：

培訓練二：

優訓練三：

訓訓練四：

練訓練五：

訓練六：

強單選題：共8題

化多選題：共4題

測填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐

標表不.

2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.

3.掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.

4.理解直線的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系6能用向量方法證明立體幾何中有關

線面位置關系的一些簡單定理.

【考點預測】

L空間向量的有關概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反一模相等的向量

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相斷或重

(或平行向量)合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量

2.空間向量的有關定理

(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a,的充要條件是存在實數人使得好

並

(2)共面向量定理：如果兩個向量4,〃不共線，那么向量P與向量"，8共面的充要條件是存

在唯二的有序實數對(X,y),使〃=xa+M.

⑶空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一

的有序實數組｛x,y,z),使得〃=xa+m+zc,其中，｛a,b,c｝叫做空間的一個基底.

3.空間向量的數量積

(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作晶=a,OB=b,則N/O8

叫做向量a與〃的夾角，記作〈a,b),其范圍是［0,R,若〈a,b>則稱”與b互相垂

直,記作a丄力.

(2)兩向量的數量積：已知兩個非零向量a,b,則|姉b|cos｛a,b)叫做a,6的數量積,記作。力,

即a力=|後|畫cos〈s,b).

(3)空間向量數量積的運算律

①結合律：(癡)力=4“切；

②交換律：ab=ba；

③分配律：a-(h+c)=a'b+a-c.

4.空間向量的坐標表示及其應用

設a=(a”。2,6)，b=(b\,bi,bi).

向量表示坐標表示

數量積a?b。上］+4262+4363

共線a=%(bWO,AGR)，2=%>2,，3=%>3

垂直a協=O(aWO,bWO)+0262+4363=。

模l?l、/屛+潴+44

/八061+0262+4363

夾角(a,b}(aWO,bWO)cos\a,b)——/-------------?-------------

N屛++*7尻+慶+員

5.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量4的有向線段所在直線與直線/平行或重合,則稱此向

量。為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線/丄a,取直線/的方向向量a,則向量a叫做平面a的法向量.

6.空間位置關系的向量表示

位置關系向量表示

l\//hU\//〃2=〃1=2〃2

直線厶,厶的方向向量分別為的,U2

厶丄厶U\丄〃2="1丄2=0

直線/的方向向量為〃，平面a的法向1//a〃丄〃=〃〃=0

量為n/丄。u//〃=〃=%〃

a//pn\//〃2=〃i=/2

平面a,4的法向量分別為〃1,“2

a邛n1丄n2<=>ni712—0

【常用結論】

1.在平面中，A,B,C三點共線的充要條件是：扇=》%+歹沆'(其中工+丁=1),。為平面內

任意一點.

2.在空間中，P,A,B,C四點共面的充要條件是：流=工總+丁命+z困其中x+y+z=l),

。為空間中任意一點.

【方法技巧】

1.用基向量表示指定向量的方法

(1)結合已知向量和所求向量觀察圖形.

(2)將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中.

(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.

2.證明空間四點P,M,A,8共面的方法

{\}MP=xMA+yMB-,

⑵對空間任一點。，OP=OM+xMA+yMB:

（3）對空間任一點。，OP=xOM+yOA+zOB（x+y+z=1）：

（4）加■〃力（或再//施或麻〃河.

3.由向量數量積的定義知，要求a與力的數量積，需已知同，冋和〈%b〉,n與〃的夾角與方

向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使4協計算準確.

4.利用向量法證明平行問題

①線線平行：方向向量平行.

②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直.

③面面平行：兩平面的法向量平行.

5.利用向量法證明垂直問題的類型及常用方法

證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積

線線垂直問題

為零

直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的

線面垂直問題

判定定理轉化為證明線線垂直

兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉化

面面垂直問題

為證明線面垂直

二、【題型歸類】

【題型一】空間向量的線性運算

【典例11在空間四邊形N8CO中）若麗=（一3，5，2），CD=（-7，-1，-4），點￡，E分

別為線段8C，的中點，則壽的坐標為（）

A.（2，3，3）B.（-2，-3，-3）

C.（5，一2，1）D.（-5>2'-1）

【典例2】正方體N8CD-48CQ1中點E為上底面4。的中心.若向量公=刀1+工養+健），

則實數x，y的值分別為（）

A.x=1?y=1B.x=1?y=2

【典例3］在三棱錐0-48。中，M，N分別是OA，8c的中點，G是△Z8C的重心，用基向

量萬4＜)B，沆＞表示(1)麻；(2)花.

【題型二】共線、共面向量定理的應用

【典例1]已知Z,B,C三點不共線，對平面/3C外的任一點O,若點M滿足而=；(為十/

+OQ.

(1)判斷必，施，慶三個向量是否共面；

(2)判斷點M是否在平面/8C內.

【典例2】如圖所示，已知斜三棱柱/8C—點M,N分別在NG和8c上，且滿足施

=kAC\,餉=皎(O&kWl).判斷向量曲是否與向量蒞，與洪面.

【典例3】已知/，8,。三點不共線，對平面外的任一點O，若點M滿足而=，為+/

+OQ.

(1)判斷必，而B，砒三個向量是否共面；

⑵判斷點M是否在平面/8C內.

【題型三】空間向量數量積的運算

【典例1】如圖所示，已知空間四邊形N88的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別

是4B,AD,CZ＞的中點，計算：

⑴前?旗.

(2)求異面直線ZG和CE所成角的余弦值.

【典例2]已知MN是正方體內切球的一條直徑，點尸在正方體表面上運動，正方體的棱長是

2,則麗?麗的取值范圍為()

A.[0,4]B,tO,2]c,lb4]D.U，2]

【典例3]如圖所示，在四棱柱/8CD4山CQi中，底面為平行四邊形，以頂點4為端點的三

條棱長都為1，且兩兩夾角為60。.

(1)求NG的長；

(2)求證：4cl丄BD；

⑶求BD\與AC夾角的余弦值.

【題型四】利用向量證明平行與垂直

【典例1】如圖，已知44i丄平面Z8C,BB\//AA\,AB=AC=3,BC=2?

AA尸幣,88尸2S，點E和E分別為8c和4c的中點.

(1)求證：EF〃平面4B1B4；

(2)求證：平面ZE4丄平面8C8i.

【典例2】如圖，正方形Z8C。的邊長為2啦，四邊形80EE是平行四邊形，

8。與ZC交于點G,。為GC的中點，FO=0且EO丄平面/BCD

(1)求證：/￡〃平面8CF；

(2)求證：C戶丄平面/￡￡

【典例3］在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,孫丄底面N6C。，點￡，尸分別是PC，PD

的中點，PA=AB=1'8c=2.求證:

⑴EE〃平面R48；

⑵平面必。丄平面PDC.

三、【培優訓練】

【訓練一】(多選)(2020?山東臨沂期末)如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體NBCOdBCi。，

其中，以頂點N為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，則下列說法中正確

的是()

A.(爲1+焉+疝戶=2(而2

B.屆?(蒞一疝)=0

C.向量巌與刀1的夾角是60°

D.8。與ZC所成角的余弦值為16

【訓練二】如圖，已知四棱柱/BCD—481GA的底面4囪為平行四

邊形，E為棱的中點，AF=^D,AG=2G4i,ZG與平面EFG交于點

M,貝喘

【訓練三】已知。點為空間直角坐標系的原點，向量晶=(1,2,3),(95=(2,1,2),0>=(1,1,2),

且點0在直線O尸上運動，當分?詼取得最小值時，詼的坐標是.

【訓練四】如圖，圓錐的軸截面弘8是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為S。中點,

動點P在圓錐底面內(包括圓周).若丄河P,則點。形成的軌跡長度為.

【訓練五】如圖，棱柱18coi的所有棱長都等于2,48C和

N/MC均為60。，平面/4CC丄平面Z8CD/y//C，

⑴求證：BDlAAt；]...戸、/

⑵在直線CG上是否存在點尸，使平面。4G?若存在，求出點尸的代/;五

B

位置，若不存在，請說明理由.

【訓練六】如圖，在底面為直角梯形的四棱錐7M8C。中，AD〃BC，ZABC=90°，PD丄平

面ABCD'AD=1'AB=\l3，BC=4.

(1)求證：BD丄PC；

(2)設點E在棱PC上，PE=XPC，若Z>E〃平面PAB，求%的值.

四、【強化測試】

【單選題】

1.已知向量。=(1,1,0),6=(—1,0,2),且版+〃與2a—b互相垂直，則上的值是()

75

A.-B.2C.-D.1

53

2.如圖，在平行六面體N8C。一Z'B'C'D'中，NC與3。的交點為O,點/在8C'上,

且8M=2MC',則下列向量中與電相等的向量是()

A.

263

B.--j8+-jb4--zr*

263

C.-AB+-AD+-Z47*

263

1-1—,1―；*

D.-AB--AD+-AA'

263

3.在空間四邊形/BCD中，范?⑦+式?物+就)?比等于()

A.-1B.0C.1D.不確定

4.如圖，在大小為45。的二面角力一跖一。中，四邊形/8EE,C。所都是邊長為1的正方形,

則8,。兩點間的距離是()

A.gB也C.1D.y'3—也

5.已知空間任意一點。和不共線的三點4,B,C,若辦=x(5^+y/+z覺(x,y,zER),

則“x=2,y=—3,z=2”是“P,A,B,C四點共面”的()

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.已知空間向量”=(1,0,1),6=(1,1,〃)，且a協=3,則向量。與6的夾角為()

弋B5cfDT

7.如圖，在大小為45。的二面角/一跖一。中，四邊形Z8EE,C0EE都

是邊長為1的正方形，則8,。兩點間的距離是()

A.A/3B./

C.lD.A/3-^2

8.如圖，正方形與矩形NCE尸所在平面互相垂直，AB=^2,AF=\,M在ER上，且

AM//平面5DE.則M點的坐標為()

A.（h1，1）B停事]

c停t0D停I]

【多選題】

9.已知空間三點Z(l,0,3),5(-1,1,4),C(2,一1,3),若前〃死,且凝尸汨，則點P的坐

標為()

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(—4,2,—2)D.(2,—2,4)

10.已知空間中三點/(0,1,0),5(2,2,0),。(一1,3,1),則下列結論正確的有()

A.港與充是共線向量

B.與瀝共線的單位向量是(1,1,0)

C.施與心夾角的余弦值是一呼

D.平面Z8C的一個法向量是(1,-2,5)

11.下面四個結論正確的是()

A.向量a,伙aWO,8W0),若a丄b,則a協=0

B.若空間四個點P,A,B,C,PC=^PA+^PB,則3,B,C三點共線

C.已知向量0=(1』，x),6=(-3,X,9),若XV6則〈。，萬〉為鈍角

D.任意向量Q,D。滿足(0山)?C=Q?(6?C)

12.給出下列命題，其中為假命題的是()

A.已知〃為平面a的一個法向量，為直線/的一個方向向量，若〃丄m,貝!j/〃a

B.已知〃為平面a的一個法向量，〃，為直線/的一個方向向量，若〈〃，，〃〉=y,則/與a所

成角為/

6

C.若兩個不同的平面a,4的法向量分別為〃，V,且“=(1,2,-2),0=(—2,-4,4),則a〃4

D.已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量p,總存在實數x,丹z使得p

=xa+)力+zc

【填空題】

13.如圖所示，在四面體。I8C中，OA=a,OB=b,OC=c,。為8C的中點，E為的中

點、,則無=(用a,b,c表示).

14.若“=(1,1,0),〃=(—1,0,2),則與。+〃同方向的單位向量是.

15.已知4(1,-2,11),8(4,2,3),C(x,歹』5)三點共線，則中=.

16.如圖，已知四棱柱的底面481Goi為平行四邊形，￡為棱N8的中點，

AF=-AD,AG=2GA\,ZG與平面EFG交于點“，則儂=

3AC\------