2023年1月廣東春季高考(學(xué)考)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與易錯(cuò)題訓(xùn)練(四)

第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與募函數(shù)

一、指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

⑴指數(shù)新運(yùn)算性質(zhì)：as-a!=di+t；3)'=*；(ab)r=arbr.

(2)函數(shù)y=^a>0且際1)叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y—(f0<a<la>\

yr

圖象一J

0i0X

定義域R

值域(0,+00)

性質(zhì)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=L

在R上是減函

單調(diào)性在R上是增函數(shù).

數(shù).

【易錯(cuò)題訓(xùn)練】

1、若則i(yy=________,103=________.

2、設(shè)/(x)=]2e：<2,則/x/Q))的值為()

log3(x-l),x>2.

A.0B.1C.2。.二

3、解指數(shù)方程：

3

(1)(，吟尸噌⑵2x7-l=15(3)3—工27(4)2*1=3.

4.判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系：

121

(1)18與18+1；⑵(§)3,34,(§尸(3)2",(2.5)°

g,與百,則圖象Q、C2、

5、如圖的曲線Ci、C2、C3、C4是指數(shù)函數(shù)>=。工的圖象，而

C3、C4對(duì)應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次是________、________、________、

f—Yv一7x<0

6、設(shè)函數(shù)/(x)=,若則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

2X-\x>0

A.(—,1)B.(—3,+s)C.(-3,1)D.(7,—3)-(l,+8)

7、計(jì)算：

二、對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(1)對(duì)數(shù)的概念：如果4=N(a>0,且右1),那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù).記作：x=logW,其中

。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)牢記兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)，以10為底的對(duì)數(shù)IgN；自然對(duì)數(shù)，以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底

數(shù)的對(duì)數(shù)InN.

x

(3)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：a=Nx=logflN.

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0,且awl,">0,N>0,那么：

losN

logoa=1；log?l=0；aa=N；logJVf+logJV=loga(MN)；logflM—\ogaN—log?^；

logW=niogM(neR)；logbn=—logb(a>0且a/1,Z?>0)；

a"ma

【易錯(cuò)題訓(xùn)練】

1.下列四個(gè)命題，其中正確的是()

①對(duì)數(shù)的真數(shù)是非負(fù)數(shù)；②若a>0且<#1,則logal=0；③若a>0且存1,則logaa=l；

④若a>0且則*2=2.

A.①②③B.②③④C.①③D.①②③④

2.若Iog2(logx9)=l,則x=()

A.3B.±3C.9D.2

3.右對(duì)數(shù)式log(a-2)9=2,貝Ua=()

A.—1B.5C?號(hào)

D.-1或5

4.對(duì)Q>0,且中N>0),下列說(shuō)法正確的是（）

B第=log"MV

A.XogaMAogaN=loga(M+N)

10g(-2)M

C.logo幫沖=logWD.log?M—,

log(-2)a

5、用對(duì)數(shù)的形式表示下列各式中的x：

(1)10T=25;(2)2*=12;(3)5工=6;(4)4r=-.

6

6、計(jì)算：log2（S+2）+log2（2—

3?23

log53lg3+jlg9+glg^27-lgV3

21og32-log3—+log38-5

Ig81-lg27

7、3a=2,貝log38—21og36=L

8、已知集合”={尤|廄2》<2},N={T,0,1,2},則MN=()

A.{-1,0,1,2}B.{-1,1,2}C.{0,1,2}D.{1,2}

9.如果lgx=lga+31gb—51gc,那么()

3

ab「"33

A.x=a+3b~cB.x=^^-C.——D.x-a+b-c

5cc

1。、解不等式

(1)log-(4x-l)>log-(2x+3)(2)logzx>log4(3%+4)

22

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

0<a<la>\

yfA1y=logo%(a>l)

圖象

。卜弋日產(chǎn)(031)0,(1Q)5

定義域(0,+GO)

值域R

性質(zhì)

定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(1,0),即x=l時(shí)，y=0.

單調(diào)性在(0,十℃)上是減函數(shù).在(0,+co)上是增函數(shù).

【易錯(cuò)題訓(xùn)練】

1、比較下列各組數(shù)中的兩個(gè)值大小：

(l)log23.4,log28.5(2)logo.31.8,logo.32.7

2.已知函數(shù)/(x)=21oglx的值域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)人x)的定義域是()

2

A.停,g]B.[-1,1]C.[1,2]D.(-00,當(dāng)]U[j,+oo)

3.設(shè)。＞。，且。工1,函數(shù)y=2+log0(x+2)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)p,則p點(diǎn)的坐標(biāo)是

A.(-1,2)B.(2,-1)C.(3,-2)D.(3,2)

4.若函數(shù)y=1喈2(左/+4左x+3)的定義域?yàn)镽,則Z的取值范圍是.

M，則磯勒

5.已知g(x)={

Inx

6、函數(shù)式x)=log2(3'+l)的值域?yàn)?)

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.(1,+oo)D.[1,+oo)

7.若函數(shù)y=/(x+3)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,4),則函數(shù)y=/(x)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)

8.函數(shù)y=loga(x+2)+3(a>0且河1)的圖象過(guò)定點(diǎn).

232

9、設(shè)a=1|j,z，=||：,c=1|j,則a/,c的大小關(guān)系是

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

0,2

10、已知a=logs2,b=log050.2,c=O.5,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

11、比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小:

09

(1)log67,log76；(2)log3n,log20.8；(3)l.l',log,j0.9,log070.8；

12、設(shè)a=log54,Z?=(log53)2,c=log45,則()

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

三、塞函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

(1)函數(shù)叫做幕函數(shù)(只考慮a=l,2,3,-1的圖象).

1

22

(2)畫出幕函數(shù)y=x,y=x,y=x',y=x,的圖象(如圖),

觀察它們的性質(zhì)：

23___—1

幕函數(shù)尸X尸X

尸X

定義域RRR[0,+8){%|%￡R且*0}

值域R[0,+oo)R[0,+GO){州GR,且羽0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

%e(o,+s)時(shí)，增；%e(o,+s)時(shí)，減；

單調(diào)性增增增

%G(—oo,0)時(shí)，減%G(—oo,0)時(shí)，減

定點(diǎn)(1,1)

①丫二*11在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類：(在其他象限的圖像要根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶

性作圖)

(1)所有的幕函數(shù)在(0，+◎都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)

(2)當(dāng)a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都通過(guò)原點(diǎn)，并且在［0,+oo)上是增函數(shù)(從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上

升)?

(3)當(dāng)aVO時(shí)，新函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+oo)上是減函數(shù).

【易錯(cuò)題訓(xùn)練】

若函數(shù)/(%)是幕函數(shù)，且滿足羽=3,則/

1、

A.-B.3C.--D.-3

33

2、若幕函數(shù)八X)的圖象過(guò)點(diǎn)(16,8),則〃力</(犬)的解集為

A.(-oo,0)l(l,4w)B.(0,1)C.(-oo,0)D.(l,+oo)

22

3、已知a=[g]/,c=logsg,則a,上c的大小關(guān)系是

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

4、已知/?：募函數(shù)丁=(〃7.2-加一])/在(o,+8)上單調(diào)遞增；<1則p是q的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5、如圖所示的曲線是幕函數(shù)>=/在第一象限的圖象，已知ae{-4,-：二，4},相應(yīng)曲線

44

G，C2,C3,C4對(duì)應(yīng)的a值依次為

”11””11“1…1”1”1

-4,一一,-,44,-,——,-4一一,-4,4,-4,—,-4,——

A.44B.44c.44D.44

6、若幕函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(：,2),則/(_：)的值為.

8o

232

7、設(shè)a=1|j/=c=1|j,則a/,c的大小關(guān)系是

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

8、募函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-1),則滿足f{x)=27的x的值是.

o

9、比較大小

7305

(1)1.5,1.72(2)(—1.2)3,(—1.25)3(3)5.25-1,5.26-1,5.26-2(4)O.5,3,log30.5

四、函數(shù)的零點(diǎn)

1.函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)y=/(x),我們把使兀0=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù))=式尤)的零點(diǎn).

2.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系

函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)0方程段)=0有實(shí)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與X軸有交點(diǎn).

3.零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有式

<0,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,份內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,b),使/c)=0,這個(gè)c也就是方程|x)

=0的根.

【易錯(cuò)題訓(xùn)練】

1.設(shè)實(shí)數(shù)a為常數(shù)，則函數(shù)--x+o(xGR)存在零點(diǎn)的充分必要條件是()

A.a<\B.a>lC.D.

2.函數(shù)y=ln%的零點(diǎn)是()

A.(0,0)B.x=0C.x~1D.不存在

3.函數(shù)/(x)=2]—1的零點(diǎn)為()

A.1B.0C.(1,0)D.(0,0)

4、函數(shù)火光)=一爐一3x+5的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

A.(-2,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

5.函數(shù)兀0=2%+3%的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

6.若函數(shù)/(x)=3?x+l—2a在區(qū)間(一1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

C.—1<<2<!

A.a*B.或a<—1D.a<—1

【學(xué)業(yè)水平考試真題】

1.(2020年1月廣東學(xué)考)設(shè)a=log23,6=logo.32,c=log32,則(

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

2.(2021年1月廣東學(xué)考)已知a=0.23,人=0.32,。=,則a,b,c的大小關(guān)系()

A.a<c<bB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

3.（2021年1月廣東學(xué)考）下列計(jì)算正確的是（）

222-

A.5x5-=0B.（（）2=1C.Ig2+lg5=lg7D.log2V8=1

4.（2021年1月廣東學(xué)考）食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，為了給消費(fèi)者提供放心的蔬菜，某

農(nóng)村合作社搭建了兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，分別種植西紅柿和黃氐，根據(jù)以往的種植經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種植西

紅柿的年利潤(rùn)P（單位：萬(wàn)元），種植黃瓜的年利潤(rùn)Q（單位：萬(wàn)元）與投入的資金x（4Wx016,單位：萬(wàn)

元）滿是P=4岳+8,Q=4x+12,現(xiàn)該合作社共籌集正20萬(wàn)，將其中8萬(wàn)元投入種植西紅和，剩

4

余資金投入種植西瓜，求這兩個(gè)大棚的年利潤(rùn)總和。

【學(xué)業(yè)水平考試模擬題】

1.（2022年廣東學(xué)考模擬）計(jì)算：（跖V?（粒『等于（）

A.a"B.C.a8D.4

2.計(jì)算log318-log32=

3.已知幕函數(shù)70）=非的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,審），則人9）的值為（）

A.3B.±3C.1D.3s

4.函數(shù)兀c）=（濟(jì)一加一1R"是嘉函數(shù)，且在xe（0,+a＞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)相的值是（）

A.-1B.2C.3D.—1或2

5.函數(shù)式x）=ln（f+l）的圖象大致是（）

ABCD

2

6.如圖，函數(shù)y=b的圖象是（）

刀

2L二2

A0X

、1（n尸

1【\37CI）

7.函數(shù)4x）=\）在區(qū)間［-2,2］上的最小值是（

）

11

--

-

A.4B.4C.-4D.4

8.函數(shù)尸”在區(qū)間;，2上的最大值是（）

A??B.；C.4D.—4

9.已知a=log30.2,&=30-2,c=