第一章空間向量與立體幾何章末測試（提升）單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)1．（2023安徽）如圖所示，在四面體中，E，F分別是與的中點，若，，，則與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取中點G，連結，，∵在四面體中，E，F分別是與的中點，∴，，∴是與所成的角（或所成角的補角），∵，，，∴，，，∴，∴與所成的角為.故選：D.2．（2023云南）如圖，是的重心，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】是的重心，，，，，，，，．故選：D．3．（2023·高一單元測試）如圖，正方體中，M是的中點，則（

）A．直線與直線相交，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線AC異面，直線平面D．直線與直線垂直，直線∥平面【答案】D【解析】因為是正方體，不妨設棱長為2，以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系：則，，，，，，，，又M為的中點，故可得，，，設平面的法向量為，則，即，不妨取，故可得．設平面的法向量為則，即，不妨取，故可得．對A：因為，，故BM，不相交，故錯誤；對B：，，不存在非零實數，使得，故MB，不平行，故錯誤；對C：，平面的法向量為，不存在非零實數，使得，故MB與平面不垂直，故錯誤；對D：，，則，故直線MB與垂直；又，故MB與平面平行，故正確；故選：D．4．（2022秋·高二單元測試）如圖，在正三棱柱中底面邊長、側棱長都是4，別是的中點，則以下四個結論中正確的是（

）①與所成的角的余弦值為；②平行于平面；③三棱錐的體積為；④垂直于．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】A【解析】取的中點G，連接，則平行于．在三角形中，．應用余弦定理得，所以①正確.取的中點H，連接，則平行且等于，所以四邊形為平行四邊形，所以平行于，又不在平面內，平面，所以平行于平面，所以②正確．三棱錐的體積，所以③正確．假設垂直于，又因為垂直于，所以垂直于側面，所以垂直于，這與等于矛盾，所以④錯誤．故選：A5．（2022·高二單元測試）在棱長為1的正方體中，是棱的中點，點在側面內，若，則的面積的最小值是()A． B． C． D．【答案】B【解析】以點為空間直角坐標系的原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，則點，，所以．因為，，所以,因為，所以，所以．因為，所以，所以,因為，所以當時，．因為正方體中，平面，平面,故，所以，故選：B．6．（2023黑龍江）已知向量，若，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】由，得，則，設向量與的夾角為，則，又，所以，因為，所以向量與為相反向量，所以與的夾角為.故選：C.7．（2023·高二單元測試）如圖，是棱長為1的正方體，若P∈平面BDE，且滿足，則P到AB的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，以點A為原點，分別為軸建立空間坐標系，,則，則,，，，設平面的一個法向量，則，令，則，且面，則，即，得，故，所以，，，則，P到AB的距離為.故選：C8．（2023北京）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點為棱上一點，滿足，下列結論錯誤的是（

）A．平面平面；B．點到直線的距離；C．若二面角的平面角的余弦值為，則；D．點A到平面的距離為．【答案】D【解析】A選項，因為平面，平面，所以CD，故∠PBA即為與底面所成的角，，因為，所以PA=AB=1，因為，取AD中點F，連接CF，則AF=DF=AB=CF=BC，則四邊形ABCF為正方形，∠FCD=∠FCA=45°，所以AC⊥CD，又因為，所以CD⊥平面PAC，因為CD平面PCD，所以平面平面PCD，A正確；由A選項的證明過程可知：CD⊥平面PAC，因為平面PAC所以CD⊥PC，故點P到直線CD的距離即為PC的長度，其中由勾股定理得：，B正確；以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，其中平面ACD的法向量為，設平面ACE的法向量為，則，令得：，所以，設二面角的平面角為，顯然，其中，解得：或，因為，所以，C正確；過點A作AH⊥PC于點H，由于CD⊥平面APC，平面APC，所以AH⊥CD，因為，所以AH⊥平面PCD，故AH即為點A到平面PCD的距離，因為PA⊥AC，所以，D選項錯誤故選：D二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2022·高二單元測試）已知空間中三點A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），則正確的有（）A．與是共線向量B．的單位向量是（1，1，0）C．與夾角的余弦值是D．平面ABC的一個法向量是（1，﹣1，3）【答案】CD【解析】由題意知，，，，因為，所以與不是共線向量，即A錯誤；的單位向量為，所以的單位向量為或，即B錯誤；，所以與夾角的余弦值為，即C正確；設平面ABC的一個法向量為，則，即，令x＝1，則y＝﹣1，z＝3，所以，即D正確．故選：CD．10．（2023·高二單元測試）如圖，正方體的棱長為，、、分別為、、的中點，則（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點與點到平面的距離相等【答案】BC【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、、、、，對于A選項，，，則，所以，直線與直線不垂直，A錯；對于B選項，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，，即，因為平面，平面，B對；對于C選項，連接、、，因為、分別為、的中點，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，所以，，所以，、、、四點共面，故平面截正方體所得截面為，且，同理可得，，所以，四邊形為等腰梯形，分別過點、在平面內作，，垂足分別為、，如下圖所示：因為，，，所以，，故，，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，，故，故梯形的面積為，C對；對于D選項，，則點到平面的距離為，，則點到平面的距離為，所以，點與點到平面的距離不相等，D錯.故選：BC.11．（2023遼寧）正方體的棱長為2，為底面的中心，為棱上的動點（不包含兩個端點），則下列命題中錯誤的是（

）

A．存在點，使得平面 B．存在點，使得平面C．存在點，使得 D．存在點，使得與所成角為【答案】ABC【解析】如圖，連接，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設，選項A，易知平面，故與平面有交點，所以不存在點，使得平面，故選項A錯誤；選項B，在正方體中，易知，故為等邊三角形，所以，所以不存在點，使得平面，故選項B錯誤；選項C，則，，由，得到，所以時，點與重合，由條件知，不存在點，使得，故選項C錯誤；選項D，因為，，由，得到，化簡得到，得到或，因為，所以存在點，使得與所成角為，故選項D正確；

故選：ABC.12．（2023湖南）下列關于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B．若，則的夾角是鈍角C．已知，，若與垂直，則D．已知A、B、C是空間中不共線的三個點，若點O滿足，則點O是唯一的，且一定與A、B、C共面【答案】ACD【解析】因為向量是空間的一個基底，則不共面，所以也不共面，所以也可以作為空間的一個基底，故A正確；當與的夾角為時，也可得，所以B錯誤；因為，，則，，且與垂直，所以，解得，故C正確；因為，所以，所以共面，所以四點共面，如圖，取中點為，取中點為，則，又因為，故，所以，即，則在上且靠近的三等分點處，即滿足此關系的點只有一個，所以點唯一，且與共面，故D正確；故選:ACD三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2023黑龍江）已知，，，，點在直線上運動，當取最小值時，點的坐標是【答案】【解析】因為點在直線上運動，所以存在，使得，因為，所以，所以點的坐標為.所以，，所以，所以當時，取最小值，此時點的坐標為.故答案為：.14．（2023春·高二單元測試）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則點B1到平面ABC1的距離為.【答案】【解析】以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，，，設平面ABC1的法向量為，則，即，令，則，故，所以點B1到平面ABC1的距離為.故答案為：..15．（2023安徽）如圖所示，在正方體中，AB＝3，M是側面內的動點，滿足，若AM與平面所成的角，則的最大值為.【答案】【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，設，則，因為，所以，所以，則，因為平面，所以即為AM與平面所成角，即，則，所以當時，取得最大值.故答案為：.16．（2022·高二單元測試）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，若平面平面ABCD，側面PAD是邊長為的正三角形，底面ABCD是矩形，，點Q是PD的中點，則下列結論中正確的是．（填序號）①平面PAD；②PC與平面AQC所成角的余弦值為；③三棱錐B-ACQ的體積為；④四棱錐Q-ABCD外接球的內接正四面體的表面積為．【答案】②④【解析】取的中點，的中點，連接，因為三角形為等邊三角形，所以,因為平面平面ABCD，所以平面，因為，所以兩兩垂直，所以，如下圖，以為坐標原點，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，因為點Q是PD的中點，所以，對于①：平面的法向量為，，所以與不共線，所以與平面不垂直，故①不正確；對于②：，設平面的法向量為，則，令，則，所以，設PC與平面AQC所成角為，則，所以，所以②正確；對于③：三棱錐的體積為，所以③不正確；對于④：設四棱錐外接球的球心為，則，所以，解得，即為矩形對角線的交點，所以四棱錐外接球的半徑為，設四棱錐外接球的內接正四面體的棱長為，將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對角線，故正方體的棱長為，所以，得，所以正四面體的表面積為，所以④正確.故選：②④.四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2023河南）如圖，在三棱錐中，已知平面，平面平面.

(1)求證：平面；(2)若是的中點，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）過點作于點，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，又因為平面，所以，又，平面，所以平面.

（2）幾何法：因為平面，所以，又因為平面，所以為與平面的所成角，令，則，則，解得；因為，且平面平面，所以為的平面角，.

坐標法：因為平面，所以，則以為軸，為軸建立空間直角坐標系，軸，取，則，;設平面的法向量為，由可得：；取，則，平面的一個法向量為，設與平面所成角為，則，解得，此時，則，設平面與平面的夾角為，則.

18．（2023陜西）如圖，在四面體中，，分別為棱，上的點，，底面，，．

(1)求證：平面平面；(2)求側棱與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】1）因為，，，則四邊形為等腰梯形，作于，于，則，

在中，，因此，為正三角形，且，從而，又平面，平面，則，又平面，于是平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知，直線兩兩垂直，以點為原點，射線的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，顯然，則，有，設平面的法向量，則，令，得，設與平面所成的角為，則，所以側棱與平面所成角的正弦值為.19．（2022·高二單元測試）如圖，已知等邊中，E，F分別為AB，AC邊的中點，N為BC邊上一點，且，將沿EF折到的位置，使平面平面，M為EF中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）證明：因為為等邊的邊的中點，所以是等邊三角形，且，，因為是的中點，所以，，又由于平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，且，則四邊形是平行四邊形，則，在正中，知，所以，而，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）設等邊的邊長為4，取中點，連接，由題設知，由（1）知平面，又平面，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的一個法向量為，則由，得，令，則，平面的一個法向量為，所以，顯然，二面角的平面角為銳角，二面角的平面角的余弦值為.20．（2023湖北）如圖，在由三棱錐和四棱錐拼接成的多面體中，平面，平面平面，且是邊長為的正方形，是正三角形.

(1)求證:平面；(2)若多面體的體積為16，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）取的中點，連接，由是正三角形，得，平面，而平面平面，平面平面，則平面，因為平面，則，平面，所以平面.

（2）由平面，平面，得，而，，平面，則平面，又，平面，平面，因此平面，而平面，于是平面平面，則點到平面的距離等于點平面的距離，又，依題意，，解得，以點為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，正方形的邊長為2，是正三角形，則，，設平面的一個法向量為，則，取，得，而，令與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值是.21