課題函數的性質—奇偶性〔一〕教學目的掌握函數奇偶性的概念，并能判斷一些簡單函數的奇偶性；掌握函數的繼續偶性與函數圖像的關系。教學內容【知識梳理】函數奇偶性的定義：偶函數的定義:如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數.奇函數的定義:如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函數.判斷函數奇偶性的方法：步驟：〔1〕看定義域是否是對稱區間〔是的話就繼續，不是就是非奇非偶函數〕〔2〕找f(x)與f(-x)之間的關系，假設f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數，假設f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函數注意強調：①定義本身蘊涵著：函數的定義域必須是關于原點的對稱區間――這是奇〔偶〕函數的必要條件――前提②＂定義域內任一個＂：意味著不存在＂某個區間上的＂的奇〔偶〕函數――不研究③判斷函數奇偶性最根本的方法：先看定義域，再用定義：f(x)=f(x)(或f(x)=f(x))奇偶函數的圖像：奇函數圖象關于原點對稱偶函數圖象關于y軸對稱根據規律判斷函數的奇偶性：〔可以把函數堪稱是正數，奇函數看成是負數來記憶〕偶函數與偶函數的和是偶函數偶函數與奇函數的和是非奇非偶函數奇函數與奇函數的和是奇函數偶函數與偶函數的積是偶函數奇函數與奇函數的積是偶函數偶函數與奇函數的積是奇函數【典型例題分析】判斷以下函數的奇偶性：例1、〔1〕〔2〕y=2x〔3〕y=3x2+1〔4〕y=2x4+3x2〔5〕y=0〔6〕y=2x+1〔7〕解析：〔1〕奇函數〔2〕奇函數〔3〕偶函數〔4〕偶函數〔5〕既奇又偶函數〔6〕非奇非偶函數〔7〕非奇非偶函數注意：常函數f(x)=c(c為常數)只要定義域是對稱區間，就一定是偶函數，當c=0時是既奇又偶函數；當定義域不是對稱區間的時候就是非奇非偶函數。變式練習1：〔1〕f(x)=x+x；〔2〕f(x)=x-；〔3〕f(x)=；〔4〕f(x)=。答案：〔1〕非奇非偶函數〔2〕奇函數〔3〕偶函數〔4〕奇函數變式練習2：f〔x〕＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，且其定義域為［a－1，2a］，那么a＝___________，解析：定義域應關于原點對稱，故有a－1＝－2a，得a＝.又對于所給解析式，要使f〔－x〕＝f〔x〕恒成立，應b＝0.答案：0例2、判斷以下函數的奇偶性：1．解：定義域：關于原點非對稱區間∴此函數為非奇非偶函數2．解：定義域：∴定義域為x=±1且f(±1)=0∴此函數為即奇且偶函數3．解：顯然定義域關于原點對稱當x>0時,x<0f(x)=x2x=(xx2)當x<0時,x>0f(x)=xx2=(x2+x)即：∴此函數為奇函數4.f〔x〕=|x+1|－|x－1|解析：〔1〕函數的定義域x∈〔－∞，+∞〕，對稱于原點.∵f〔－x〕=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－〔|x+1|－|x－1|〕=－f〔x〕，∴f〔x〕=|x+1|－|x－1|是奇函數.變式練習：判斷以下函數的奇偶性，并證明你的結論。1.2.略3、判斷的奇偶性。解：∵∴函數的定義域為R且f(x)+f(x)∴f(x)=f(x)∴f(x)為奇函數注：判斷函數奇偶性的又一途徑：f(x)+f(x)=0為奇函數f(x)+f(x)=2f(x)例3、函數f〔x〕的定義域為D={x|x≠0}，且滿足對于任意x1、x2∈D，有f〔x1·x2〕=f〔x1〕+f〔x2〕.〔1〕求f〔1〕的值；〔2〕判斷f〔x〕的奇偶性并證明；解析：〔1〕解：令x1=x2=1，有f〔1×1〕=f〔1〕+f〔1〕，解得f〔1〕=0.〔2〕證明：令x1=x2=－1，有f［〔－1〕×〔－1〕］=f〔－1〕+f〔－1〕.解得f〔－1〕=0.令x1=－1，x2=x，有f〔－x〕=f〔－1〕+f〔x〕，∴f〔－x〕=f〔x〕.∴f〔x〕為偶函數.變式練習1、假設f(x)是定義在R上，對任意的x,y均滿足f(x+y)=f(x)+f(y),試判斷f(x)為奇函數還是偶函數？答案：奇函數變式練習2、f〔x〕、g〔x〕都是奇函數，f〔x〕＞0的解集是〔a2，b〕，g〔x〕＞0的解集是〔，〕，＞a2，那么f〔x〕·g〔x〕＞0的解集是A.〔，〕 B.〔－b，－a2〕C.〔a2，〕∪〔－，－a2〕D.〔，b〕∪〔－b2，－a2〕提示：f〔x〕·g〔x〕＞0或∴x∈〔a2，〕∪〔－，－a2〕.答案：C例4、判斷函數的奇偶性。解：當當時，當時，綜上，對于任意,恒成立，故為偶函數。【說明】對于分段函數的奇偶性也應該分段取加以驗證，此題也可以通過圖像加以說明。變式練習：〔1〕f(x)為奇函數，且當x>0時的解析式是，求當x<0時的解析式。〔2〕f(x)為偶函數，且當x《0時的解析式是，求當x>0時的解析式。(3)f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0是，求f(x)的解析式。解析：〔1〕x<0時，〔2〕x>0,(3)【課堂小練】1、判斷以下函數的奇偶性〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕解：〔1〕定義域，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數；〔2〕定義域為，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數；〔3〕定義域為，關于原點對稱且此時，故函數既是奇函數又是偶函數〔4〕定義域為，定義域關于原點對稱，且，故函數是奇函數；〔5〕，關于原點對稱，，故函數是奇函數。【說明】：判斷函數的奇偶性，首先要看函數的定義域是否關于原點對稱，假設不對稱，那么為非奇非偶函數。假設對稱，那么需根據定義進一步判斷，其中比擬復雜的函數，當難以判認的關系時，應將的解析式先化簡再判斷。2、下面四個結論中，正確命題的個數是①偶函數的圖象一定與y軸相交②奇函數的圖象一定通過原點③偶函數的圖象關于y軸對稱④既是奇函數，又是偶函數的函數一定是f〔x〕=0〔x∈R〕A.1 B.2 C.3 D.4解析：①不對；②不對，因為奇函數的定義域可能不包含原點；③正確；④不對，既是奇函數又是偶函數的函數可以為f〔x〕=0〔x∈〔－a，a〕〕.答案：A3、函數f〔x〕=ax2＋bx＋c〔a≠0〕是偶函數，那么g〔x〕=ax3＋bx2＋cx是A.奇函數 B.偶函數C.既奇且偶函數 D.非奇非偶函數解析：由f〔x〕為偶函數，知b=0，有g〔x〕=ax3＋cx〔a≠0〕為奇函數.答案：A4、假設函數f(x)=(x-a)+bx+c是偶函數，那么a、b、c應具備什么條件？【課堂總結】奇、偶函數的性質〔1〕具有奇偶性的函數，其定義域關于原點對稱〔也就是說，函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱〕.〔2〕奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱.〔3〕假設奇函數的定義域包含數0，那么f〔0〕=0.〔4〕奇函數的反函數也為奇函數.〔5〕定義在〔－∞，+∞〕上的任意函數f〔x〕都可以唯一表示成一個奇函數與一個偶函數之和【課后練習】一、單項選擇題1.函數f(x)=x4-x2在區間[a，b](a≠b)上()A．是偶函數但不是奇函數B．是奇函數但不是偶函數C．既不是奇函數又不是偶函數D．既是奇函數又是偶函數2.假設奇函數f(x)在[a，b]上，(a＜b＜0)上有最大值-5，且為增函數，那么f(x)在區間[-b，-a]上是〔〕A．增函數且有最大值-5B．增函數且有最小值5C．減函數且有最小值5D．減函數且有最大值-53.假設函數定義在R上，那么f(x)〔〕A．既是偶函數，又是增函數B．既是偶函數，又是減函數C．既是奇函數，又是增函數D．既是奇函數，又是減函數4.對于定義域是R的任何奇函數f(x)，都有〔〕A．f(x)-f(-x)>0，(x∈R)B．f(x)-f(-x)≤0(x∈R)C．f(x)·f(-x)≤0，(x∈R)D．f(x)·f(-x)＜0(x∈R)5.〔〕A、B、C、D、6.假設f(x)=(m-1)x2+2mx+3(x∈R)為偶函數，那么在(0，+∞)內f(x)是〔〕A．增函數B．局部是增函數，局部是減函數C．減函數D．不能確定增減性7.函數f(x)定義域為[a，b]，其中b＞-a＞0，那么，函數f(x)+f(-x)的定義域是〔〕A．[a，b]B．[a，-a]C．[-b，-a]D．[-b，b]二、填空題1.f(x)為偶函數，當x＜0時，f(x)=2x-3，那么當x＞0時，f(x)=_______．2.函數f(x)是偶函數，且在(-∞，0)上表達式是f(x)=x2+2x+5，那么在(0，＋∞)上表達式為_______．3.偶函數f(x)在區間[2，4]上是減函數，那么f(-3)_________f(3.5)．4.假設函數f(x)=x3+bx2+cx是奇函數，函數g(x)=x2+(c－2)x+5是偶函數，那么b=______，c=_______．5.f(x)=x5+ax3+bx－8，且f(－2)=10，那么f(2)=________．三、解答題：1、判斷函數的奇偶性答案：一、單項選擇題1.C2.B3.C4.C5.C6.C7.B二、填空題1.-2x-32.f(x)=x2-2x+53.“＞”4.b=0，c=25.－26三、解答題課題函數的性質---奇偶性〔二〕教學目的掌握函數奇偶性的概念，并能判斷一些簡單函數的奇偶性；掌握函數的繼續偶性與函數圖像的關系。教學內容【知識梳理】問題思考：什么是奇函數〔偶函數〕？如何判斷函數的奇偶性？函數的就奇偶性進行分類，有哪幾類？【典型例題分析】例1、設為奇函數，為偶函數，且，求和的解析式。【解析】將變量代換為，通過和的奇偶性有，這樣與原等式聯立方程組求解和。【答案】由有又為奇函數，為偶函數所以聯立可得變式練習1：是偶函數，是奇函數，定義域都是，那么________________答案：變式練習2：任意一個定義域為對稱區間的函數f(x),都可以表示成一個奇函數和一個偶函數的和，即f(x)=答案：,其中為偶函數，是奇函數例2、為奇函數，且當時，，求時，的解析式。【解析】設轉化為，求的解析式【答案】設，那么，由時，又為奇函數即當時，的解析式為〔〕【點撥】在哪個區間求解析式，就設在那個區間里，其次要通過區間上的解析式進行代入，最后通過的奇偶性把轉化為或，從而解出。變式練習1：假設為奇函數，當時，，那么當時，的解析式是〔C〕ABCD變式練習2：是R上的奇函數，且當時，，求的解析式。【解析】利用奇偶性定義，把與，與進行轉化。【答案】任取因為是R上的奇函數，又所以綜上所述，【點撥】在在哪個區間求解析式，就設在那個區間里，然后利用的奇偶性定義，把轉化為，再利用從而解出。例3、函數對一切,都有，求證：為奇函數。【解析】從奇函數的定義考慮【答案】顯然的定義域是R，它關于原點對稱，在中，令再令所以為奇函數。【點撥】對于抽象函數關系式，常常通過取特殊值或變量換元進行分析。變式練習1：.設函數的定義域是R，且，對任意恒成立，那么是〔C〕A偶函數B既是偶函數又是奇函數C奇函數D既非偶函數又非奇函數變式練習2：函數對任意的實數想，x,y均有求f(0)的值(2)討論函數f(x)奇偶性解析：〔1〕另x=y=0,得f(0)=1(2)令y=-x帶入得f(-x)=f〔x〕,偶函數例4、函數是奇函數，又，求函數的值域。【答案】通過條件可得出所以的值域為：練習：函數，假設，求分析：此題要通過求的值，再來求是不可能的，考慮到是奇函數，可以利用奇函數的性質來解決。解：，那么，易證得為奇函數例5、函數的定義域為R，假設與都是奇函數，那么〔〕A是偶函數B是奇函數CD是奇函數【解析】因為與都是奇函數①②①中令②中令，即的周期是4所以是奇函數選D例6、小題組訓練〔1〕A、ab=0B、a+b=0C、a=bD、a2+b2答案：D〔2〕函數f(x)偶函數，其圖像與x軸有四個交點，那么方程f(x)=0的所有實根之和等于〔〕A、4B、2C答案：D〔3〕〔〕A、是奇函數但不是偶函數B、是偶函數但不是奇函數C、既是奇函數又是偶函數D、既不是奇函數也不是偶函數答案：A【課堂小練】一、根底穩固1.判斷的奇偶性__________________2.函數是偶函數，那么______________3.假設〔是常數〕，且，那么________4.函數是R上的奇函數，當時，，那么當時，_______5.函數為奇函數的充要條件是〔〕ABCD6.設函數，給出以下四個命題：①時，是奇函數；②時，方程只有一個實根；③的圖像關于對稱；④方程至多有兩個實根。其中命題正確的選項是〔〕A①④B①③C①②③D①②④二、能力提升7.假設是上的奇函數，那么______________8.函數的定義域為，是奇函數，是偶函數，用定義域討論函數的奇偶性。三、開放探究9.，問：〔1〕當為何值時，是奇函數；〔2〕當為何值時，是偶函數。四、高考體驗10.函數是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數都有，那么的值是〔〕A0BC1D答案：1.非奇非偶2、13.04.5.B6.C7.08.為偶函數9.〔1〕(2)10.A代入，得代入，得代入，得代入，得所以【課堂總結】判斷函數的奇偶性一定先看定義域函數奇偶性的證明必須嚴格按照定義去證明【課后練習】1.判斷以下函數的奇偶性：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕2.設函數的定義域是，且不恒等于零，瑞對于任意滿足，判斷的奇偶性，假設滿足又怎么判斷其奇偶性了？3.是偶函數，且不恒等于零，判斷的奇偶性。4.設，假設_____________5.我們稱一個函數圖像關于