4.1認識三角形知識點一知識點一三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.知識點知識點二三角形的分類按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形按角分類：三角形直角三角形知識點知識點三三角形的內角和內角和定理三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．三角形內角和定理：三角形內角和是180°．知識點知識點四直角三角形的性質直角三角形兩個內角互余．知識點知識點五三角形的三遍關系三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．知識點知識點六三角形的三條重要線段（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

（5）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點．題型一認識三角形【例題1】（2022秋?玉州區期中）如圖所示的圖形中，三角形共有A．5個 B．6個 C．3個 D．4個解題技巧提煉此題考查三角形，關鍵是根據三角形的概念數出個數解答．【變式1-1】三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式1-2】（2022?南崗區校級開學）滿足下列條件的三角形是等邊三角形的個數是①有兩個角是的三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形：③三個外角（每個頂點處取一個外角）都相等的三角形；④一邊上的高也是這邊中線的等腰三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2022秋?路南區期中）觀察下列圖形，其中是三角形的是A． B． C． D．題型二三角形的內角和定理【例題2】（2022秋?宜州區期中）已知中，，則圖中的度數為A． B． C． D．解題技巧提煉本題考查了三角形內角和定理和四邊形的內角和定理．知道剪去三角形的一個角后得到一個四邊形，根據四邊形的內角和定理求解是解題的關鍵．【變式2-1】（2022秋?渝北區校級期中）如圖，、都是的角平分線，且，則A． B． C． D．【變式2-2】將一副三角板如圖放置，則圖中的∠1＝°．【變式2-3】定義：當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的一個內角為30°，那么這個“特征角”α的度數為．題型三直角三角形的性質【例題3】（2022春?相城區校級期中）如圖，的角平分線、相交于，，，且于，下列結論：①；②；③；④平分．其中正確的結論是A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④解題技巧提煉本題主要考查的是平行線、角平分線、三角形內角和定理，解題的關鍵是熟知直角三角形的兩銳角互余．【變式3-1】（2022秋?威縣校級月考）有一道題目：“如圖，在中，，將沿折疊，使得點落在邊上的點處，若，且中有兩個內角相等，求的度數．”嘉嘉的答案是，淇淇說：“嘉嘉考慮的不全面，還應該有另外一個值．”下列判斷正確的是A．淇淇說的不對，就是 B．淇淇說得對，且的另一個值是 C．淇淇說得對，且的另一個值是 D．兩人都不對，應有三個不同值【變式3-2】（2022秋?東莞市校級期中）在一個直角三角形中，一個銳角等于，則另一個銳角的度數是A． B． C． D．【變式3-3】（2022秋?崇川區期中）如圖，在中，，沿折疊，使點恰好落在邊上的點處，若，則等于．題型四三角形三條重要線段【例題4】（2022秋?巴南區校級期中）下列說法中正確的是A．平分三角形內角的射線叫做三角形的角平分線 B．三角形的中線是經過頂點和對邊中點的直線 C．鈍角三角形的三條高都在三角形外 D．三角形的三條中線總在三角形內解題技巧提煉本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個頂點向對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高；三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．【變式4-1】（2022秋?渝北區月考）下列各圖中，作出的邊上的高，正確的是A． B． C． D．【變式4-2】（2021秋?匯川區期末）如圖，，，分別是的中線，角平分線，高，下列各式中錯誤的是A． B． C． D．【變式4-3】如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上一點，CF⊥AD于H，下面判斷正確的有（）①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD邊AD上的中線；③CH是△ACD邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型五有關三角形三條重要線段的計算問題【例題5】（2022秋?岑溪市期中）如圖，已知的周長為，，邊上中線，的周長為，則長為．解題技巧提煉考查了三角形的周長和中線，本題的關鍵是由周長和中線的定義得到的長，題目難度中等．【變式5-1】（2022秋?洛龍區期中）如圖，在中，已知點，，分別是，，的中點，的面積是4，則的面積是A．2 B．1 C．0.5 D．0.25【變式5-2】如圖，AD為△ABC的中線，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周長28cm，則△ABD的周長為．【變式5-3】（2022秋?南沙區校級期末）如圖，中，是邊上的中線，是中邊上的中線，若的面積是28，則的面積．題型六三角形的三邊關系【例題6】（2022秋?霸州市校級期末）已知一個三角形的兩條邊長分別為3和7，則第三條邊的長度不能是A．11 B．9 C．8 D．7解題技巧提煉本題考查的是三角形三邊關系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊差小于第三邊是解答此題的關鍵．【變式6-1】（2022秋?洛川縣校級期末）若長度為，2，3的三條線段能組成一個三角形，則的值可能為A．6 B．5 C．1 D．3【變式6-2】（2022秋?屯昌縣期中）下列長度的三條線段中，能構成三角形的是A．，， B．，， C．，， D．，，【變式6-3】（2022秋?北京期中）下列長度的三條線段，能組成三角形的是A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，3，6 D．4，6，104.1認識三角形知識點一知識點一三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.知識點知識點二三角形的分類按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形按角分類：三角形直角三角形知識點知識點三三角形的內角和內角和定理三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．三角形內角和定理：三角形內角和是180°．知識點知識點四直角三角形的性質直角三角形兩個內角互余．知識點知識點五三角形的三遍關系三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．知識點知識點六三角形的三條重要線段（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

（5）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點．題型一認識三角形【例題1】（2022秋?玉州區期中）如圖所示的圖形中，三角形共有A．5個 B．6個 C．3個 D．4個【分析】根據三角形的概念數出個數解答即可．【解答】解：三角形的個數有，，，，，共5個，故選：．解題技巧提煉此題考查三角形，關鍵是根據三角形的概念數出個數解答．【變式1-1】三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【分析】根據三角形的分類可直接得到答案．【解答】解：三角形根據邊分類不等邊三角形等腰三角形∴圖中小橢圓圈里的A表示等邊三角形．故選：D．【變式1-2】（2022?南崗區校級開學）滿足下列條件的三角形是等邊三角形的個數是①有兩個角是的三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形：③三個外角（每個頂點處取一個外角）都相等的三角形；④一邊上的高也是這邊中線的等腰三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據等邊三角形的判定方法逐項的可求解．【解答】解：①有兩個角是的三角形是等邊三角形，故符合題意；②有兩個外角相等的等腰三角形不一定是等邊三角形，故不符合題意：③三個外角（每個頂點處取一個外角）都相等的三角形是等邊三角形，故符合題意；④一邊上的高也是這邊中線的等腰三角形不一定是等邊三角形，故不符合題意．所以等邊三角形的個數為2個，故選：．【變式1-3】（2022秋?路南區期中）觀察下列圖形，其中是三角形的是A． B． C． D．【分析】在同一平面內，由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．根據三角形的定義判斷即可．【解答】解：選項中2條線段沒有相接，所以不是三角形，故不是三角形；滿足三角形的定義，故是三角形；有2條線段相交，沒有首尾順次相接，所以不是三角形，故不是三角形；有1條線段的觀點連接了另一條線段上的一點，所以不是三角形，故不是三角形．故選：．題型二三角形的內角和定理【例題2】（2022秋?宜州區期中）已知中，，則圖中的度數為A． B． C． D．【分析】先根據三角形內角和定理求得的和是130度，再根據四邊形的內角和是360度，即可求得的值．【解答】解：，．，．故選：．解題技巧提煉本題考查了三角形內角和定理和四邊形的內角和定理．知道剪去三角形的一個角后得到一個四邊形，根據四邊形的內角和定理求解是解題的關鍵．【變式2-1】（2022秋?渝北區校級期中）如圖，、都是的角平分線，且，則A． B． C． D．【分析】根據三角形的內角和定理以及角平分線的定義，列出算式計算即可．【解答】解：、都是的角平分線，，，，，故選：．【變式2-2】將一副三角板如圖放置，則圖中的∠1＝°．【分析】先用三角形內角和定理求出角4的度數，即可得出結論．【解答】解：由題意得：∠2＝60°，∠3＝45°，根據三角形的內角和得，∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°，∴∠1＝∠4＝75°，故答案為：75．【變式2-3】定義：當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的一個內角為30°，那么這個“特征角”α的度數為．【分析】可分三種情況：當“特征角”為30°時；當β＝30°時；當第三個角為30°時，根據“特征角”的定義，結合三角形的內角和定理分別計算即可求解．【解答】解：當“特征角”為30°時，即特征角”α＝30°；當β＝30°時，“特征角”α＝2×30°＝60°；當第三個角為30°時，“特征角”12綜上，這個“特征角”α的度數為30°或60°或100°．故答案為30°或60°或100°．題型三直角三角形的性質【例題3】（2022春?相城區校級期中）如圖，的角平分線、相交于，，，且于，下列結論：①；②；③；④平分．其中正確的結論是A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【分析】根據平行線、角平分線、垂直的性質及三角形內角和定理依次判斷即可得出答案．【解答】解：①，，又是的角平分線，，故正確；④無法證明平分，故錯誤；③，，平分，，．，且，，即，，故正確；②，，，，，，，故正確．正確的為：①②③，故選：．解題技巧提煉本題主要考查的是平行線、角平分線、三角形內角和定理，解題的關鍵是熟知直角三角形的兩銳角互余．【變式3-1】（2022秋?威縣校級月考）有一道題目：“如圖，在中，，將沿折疊，使得點落在邊上的點處，若，且中有兩個內角相等，求的度數．”嘉嘉的答案是，淇淇說：“嘉嘉考慮的不全面，還應該有另外一個值．”下列判斷正確的是A．淇淇說的不對，就是 B．淇淇說得對，且的另一個值是 C．淇淇說得對，且的另一個值是 D．兩人都不對，應有三個不同值【分析】由軸對稱的性質得到，，，分兩種情況，應用三角形內角和定理，平角定義列出關于的方程，求出即可解決問題．【解答】解：，，，，關于對稱，，，，令，則，，，，中有兩個內角相等，只有，，當時，，，；當時，，，，或．故選：．【變式3-2】（2022秋?東莞市校級期中）在一個直角三角形中，一個銳角等于，則另一個銳角的度數是A． B． C． D．【分析】根據直角三角形兩銳角互余即可求解．【解答】解：在一個直角三角形中，一個銳角等于，另一個銳角的度數是：．故選：．【變式3-3】（2022秋?崇川區期中）如圖，在中，，沿折疊，使點恰好落在邊上的點處，若，則等于．【分析】求出，即可解決問題．【解答】解：，，，由折疊可知，，，故答案為：．題型四三角形三條重要線段【例題4】（2022秋?巴南區校級期中）下列說法中正確的是A．平分三角形內角的射線叫做三角形的角平分線 B．三角形的中線是經過頂點和對邊中點的直線 C．鈍角三角形的三條高都在三角形外 D．三角形的三條中線總在三角形內【分析】根據三角形的角平分線、中線和高的概念判斷即可．【解答】解：、三角形的角平分線是一條線段，故本選項說法錯誤，不符合題意；、三角形的中線是經過頂點和對邊中點的線段，故本選項說法錯誤，不符合題意；、鈍角三角形的二條高都在三角形外，最長邊上的高在三角形內，故本選項說法錯誤，不符合題意；、三角形的三條中線總在三角形內，本選項說法正確，符合題意；故選：．解題技巧提煉本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個頂點向對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高；三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．【變式4-1】（2022秋?渝北區月考）下列各圖中，作出的邊上的高，正確的是A． B． C． D．【分析】根據三角形高的定義，過點與邊垂直，且垂足在邊上，然后結合各選項圖形解答．【解答】解：根據三角形高線的定義，只有選項中的是邊上的高．故選：．【變式4-2】（2021秋?匯川區期末）如圖，，，分別是的中線，角平分線，高，下列各式中錯誤的是A． B． C． D．【分析】根據三角形的中線，角平分線，高的定義即可得到，，．進而判斷即可．【解答】解：，，分別是的中線，角平分線，高，，，，故選項、、正確，選項錯誤，故選：．【變式4-3】如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上一點，CF⊥AD于H，下面判斷正確的有（）①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD邊AD上的中線；③CH是△ACD邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念進行判斷．連接三角形的頂點和對邊中點的線段即為三角形的中線；三角形的一個角的角平分線和對邊相交，頂點和交點間的線段叫三角形的角平分線；從三角形的一個頂點向對邊引垂線，頂點和垂足間的線段叫三角形的高．【解答】解：①根據三角形的角平分線的概念，知AG是△ABE的角平分線，故此說法錯誤；②根據三角形的中線的概念，知BG是△ABD的邊AD上的中線，故此說法錯誤；③根據三角形的高的概念，知CH為△ACD的邊AD上的高，故此說法正確；④根據三角形的角平分線和高的概念，知AH是△ACF的角平分線和高線，故此說法正確．故選：B．題型五有關三角形三條重要線段的計算問題【例題5】（2022秋?岑溪市期中）如圖，已知的周長為，，邊上中線，的周長為，則長為．【分析】先根據周長為，，，由周長的定義可求的長，再根據中線的定義可求的長，由的周長為，即可求出長．【解答】解：，，周長為，，是邊上的中線，，的周長為，．故長為，故答案為：．解題技巧提煉考查了三角形的周長和中線，本題的關鍵是由周長和中線的定義得到的長，題目難度中等．【變式5-1】（2022秋?洛龍區期中）如圖，在中，已知點，，分別是，，的中點，的面積是4，則的面積是A．2 B．1 C．0.5 D．0.25【分析】根據點是的中點，可得的面積的面積，再根據點是的中點，可得的面積，的面積，從而可求出的面積，然后再根據點是的中點，可得的面積的面積，進行計算即可解答．【解答】解：點是的中點，的面積是4，的面積的面積的面積，點是的中點，的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積的面積，點是的中點，的面積的面積，故選：．【變式5-2】如圖，AD為△ABC的中線，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周長28cm，則△ABD的周長為．【分析】根據三角形的中線的概念得到BD＝DC，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵AD為△ABC的中線，∴BD＝DC，∵△ACD的周長28cm，∴AC+AD+CD＝28（cm），∵AC＝10cm，∴AD+CD＝28（cm），即AD+BD＝28（cm），∵AB＝13cm，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝41（cm），故答案為：41cm．【變式5-3】（2022秋?南沙區校