北理工高等代數課件B目錄線性空間與線性變換多項式與矩陣線性方程組與矩陣的秩歐幾里得空間二次型與二次曲線01線性空間與線性變換定義線性空間是一個由向量和數構成的集合，其中加法和數乘滿足一定的性質。例子實數域上的向量空間、矩陣空間等。性質線性空間的基底、維數等。線性空間的基本概念定義線性變換是在線性空間上保持向量加法和數乘不變的映射。矩陣表示線性變換可以用矩陣表示，矩陣的行和列對應于輸入和輸出空間的基向量。性質線性變換的矩陣表示具有一些重要性質，如可逆性、相似性等。線性變換及其矩陣表示性質特征值和特征向量具有一些重要性質，如唯一性、可對角化等。應用特征值和特征向量在許多領域都有應用，如物理、工程、經濟等。定義特征值是線性變換在某個向量上的輸出等于該向量的數乘因子時的輸入值。特征向量是與特征值對應的非零向量。特征值與特征向量02多項式與矩陣多項式是由變量、常數和四則運算通過有限次運算得到的數學表達式。定義多項式具有加法、減法和乘法的封閉性，即同類項可以相加、相減和相乘。性質多項式的最高次項的次數稱為該多項式的次數。次數多項式的定義與性質矩陣加法兩個矩陣的對應元素相加得到新的矩陣。矩陣乘法一個矩陣乘以一個常數得到新的矩陣。行列式矩陣的行列式是所有行或所有列的元素構成的行列式的值。矩陣的運算與性質矩陣的分解與相似變換矩陣的分解將一個矩陣分解為幾個簡單的矩陣的乘積。相似變換通過一系列的行變換和列變換，將一個矩陣變為另一個矩陣。03線性方程組與矩陣的秩高斯消元法線性方程組的解法通過行變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣，從而求解線性方程組。選主元技巧選擇合適的主元，避免在消元過程中出現除數為0的情況。根據方程組系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩判斷方程組的解的情況。方程組的唯一解與無窮多解矩陣中非零子式的最高階數。秩的定義矩陣乘法、轉置、行列式等運算下，秩保持不變。秩的性質行（或列）向量線性無關，且秩等于行數（或列數）。滿秩矩陣行（或列）向量線性相關，且秩為0。零矩陣矩陣的秩及其性質n階方陣所有行列式值的乘積。行列式的定義代數余子式、轉置、乘法等運算下，行列式的值保持不變。行列式的性質行列式為0時，矩陣的秩小于n；行列式不為0時，矩陣的秩等于n。行列式與矩陣的秩行列式與矩陣的關系04歐幾里得空間歐幾里得空間的基本概念01歐幾里得空間是滿足向量加法、標量乘法和數量積封閉性的線性空間。02歐幾里得空間中的向量可以用幾何圖形表示，如點或矢量。歐幾里得空間中的向量可以定義長度和角度等幾何量。0303內積和外積在歐幾里得空間中具有重要的幾何意義，分別表示向量的長度和方向。01向量的內積定義為兩個向量的模長之積與它們夾角的余弦值的乘積，記作點乘。02向量的外積定義為兩個向量的模長之積與它們夾角的正弦值的乘積，記作叉乘。向量的內積與外積010203正交變換是指保持向量長度和夾角不變的線性變換。對稱變換是指保持向量關于某一直線對稱的線性變換。正交變換和對稱變換在歐幾里得空間中具有廣泛的應用，如幾何圖形變換、信號處理等。正交變換與對稱變換05二次型與二次曲線二次型是多項式中的一種，其一般形式為$f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2gx+2fy+2gz+2abxy+2acxz+2bcyz$，其中$a,b,c,g,f,g$是常數。二次型的定義二次型具有對稱性，即$f(x,y,z)=f(y,x,z)$；二次型的正定性，即對于所有的$x,y,z$，都有$f(x,y,z)>0$；以及二次型的可加性和可乘性。二次型的性質二次型的定義與性質二次曲線的一般形式為$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz=0$，其中$A,B,C,D,E,F$是常數。二次曲線的標準形式通過一系列的線性變換，可以將二次曲線轉化為標準形式，即$x^2+y^2=R^2$或$x^2-y^2=R^2$或$x^2=R^2$或$y^2=R^2$。二次曲線標準形式的轉化二次曲線的標準形式二次曲線的分類與性質根據不同的標準，可以將二次曲線分為不同的類型，如橢圓型、雙曲線型、拋物線型等。二次曲線的分類不同類型的二次曲