7.5正態分布學習任務1．利用實際問題的直方圖，了解正態密度曲線的特點及曲線所表示的意義．(直觀想象)2．了解變量落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大?。?數學運算)3．會用正態分布去解決實際問題．(規律推理)自然界與工程技術中的隨機變量是最常見的．諸如，機械加工中零件的幾何尺寸(直徑、長度、寬度、高度)、強度、質量、使用壽命這些變量都不具備離散型隨機變量的特點．它們的取值往往布滿某個區間甚至整個實軸，這種變量如何構建適當的概率模型刻畫隨機變量的分布？學問點1正態曲線(1)連續型隨機變量大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往布滿某個區間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續型隨機變量．(2)正態曲線的定義我們稱f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ(3)正態曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．②曲線與x軸之間的面積為1．③曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．④曲線在x＝μ處達到峰值1σ⑤當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．學問點2正態分布(1)定義：若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ2，則稱隨機變量X聽從正態分布，記為X～N(μ(2)若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2．(3)正態分布的特征①當σ肯定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖1．②當μ肯定時，曲線的外形由σ確定，當σ較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當σ較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖2．(4)正態分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X≤b)為區域B的面積．學問點3正態總體在三個特殊區間內取值的概率及3σ原則(1)三個特殊區間內取值的概率若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．(2)3σ原則在實際應用中，通常認為聽從正態分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則．對于正態分布X～N(μ，σ2)而言，隨機變量X在[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值幾乎不行能發生，它在產品檢查、質量檢驗中起著重要的作用．1．(多選)以下關于正態密度曲線的說法中正確的有()A．曲線都在x軸的上方，左右兩側與x軸無限接近，最終可與x軸相交B．曲線關于直線x＝μ對稱C．曲線呈現“中間高，兩邊低”的鐘形外形D．曲線與x軸之間的面積為1BCD[A中正態密度曲線與x軸永久不相交，A錯，其余均正確．]2．(多選)已知三個正態密度函數φi(x)＝1σi2πe-xA．σ1＝σ2 B．μ1>μ3C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3AD[依據正態曲線關于直線x＝μ對稱，且μ越大，圖象越靠右，可知μ1<μ2＝μ3，故B、C錯誤；由于σ越小，數據越集中，圖象越瘦高，所以σ1＝σ2<σ3，故A、D正確．]3．若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________．12[由于隨機變量X～N(μ，σ2)，其正態密度曲線關于直線x＝μ對稱，故P(X≤μ)＝1類型1正態曲線及性質【例1】(1)如圖是一個正態曲線，總體隨機變量的均值μ＝________，方差σ2＝________；(2)某正態密度函數是偶函數，而且該函數的最大值為12(1)202(2)0.47725[(1)從給出的正態曲線可知，該正態曲線關于直線x＝20對稱，最大值是12所以μ＝20，12π·σ＝12因此總體隨機變量的均值μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2．(2)正態密度函數是f(x)＝12πσe-∵f(x)的最大值為f(μ)＝1σ2π∴σ＝1，∴P(0≤X≤2)＝12P(－2≤X≤2)＝12P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈利用正態曲線的性質求參數μ，σ(1)正態曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此性質結合圖象求μ．(2)正態曲線在x＝μ處達到峰值1σ2π[跟進訓練]1．某市組織一次高三調研考試，考試后統計的數學成果X(單位：分)聽從正態分布，其正態密度函數為f(x)＝110A．這次考試的數學平均成果為80分B．分數在120分以上的人數與分數在60分以下的人數相同C．分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同D．這次考試的數學成果的標準差為10B[由函數解析式知這次考試的數學平均成果為80分，標準差為10，故A，D正確．由于函數圖象關于直線x＝80對稱，所以分數在120分以上的人數與分數在40分以下的人數相同；分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同，故B錯誤，C正確．]類型2聽從正態分布的隨機變量的概率【例2】(1)已知隨機變量X～N(5，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，求P(6≤X≤7)．(2)設隨機變量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．①求c的值；②求P(－4≤X≤8)．附：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．[思路導引]找到正態曲線的對稱軸—[解](1)由隨機變量X～N(5，1)知，μ＝5，σ＝1，所以P(4≤X≤6)≈0.6827，P(3≤X≤7)≈0.9545，所以P(6≤X≤7)＝12[P(3≤X≤7)－P(4≤X(2)①由X～N(2，9)可知，正態曲線關于直線x＝2時稱．由于P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，所以2－(c－1)＝(c＋1)－2，解得c＝2．②由X～N(2，9)知μ＝2，σ＝3，所以P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．利用正態分布求概率的兩個方法(1)對稱法：由于正態曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區間上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)．②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．[跟進訓練]2．設ξ～N(1，22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．[解]由于ξ～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2．(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827．(2)由于P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，所以P(3≤ξ≤5)＝12[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ＝12[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ＝12[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ≈12(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝12[1－P(－3≤ξ＝12[1－P(1－4≤ξ＝12[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ≈12類型3正態分布的實際應用【例3】(源自湘教版教材)在某次數學考試中，假設考生的成果ξ聽從正態分布ξ～N(90，100)．(1)求考試成果ξ位于區間(70，110)上的概率；(2)若這次考試共有2000名考生，試估量考試成果在(80，100)間的考生大約有多少人．[解]由于ξ～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝100＝10．(1)由正態分布的性質可知，考生成果在μ－2σ＝90－2×10＝70和μ＋2σ＝90＋2×10＝110之間的概率約為0.9545．(2)由正態分布的性質可知，考生成果在μ－σ＝80和μ＋σ＝100之間的概率是0.6827．又由于一共有2000名同學參與考試，因此考試成果在(80，100)間的考生大約有2000×0.6827≈1365(人)．解答正態分布的實際應用題，其關鍵是轉化，把一般的區間轉化為3σ區間，由特殊區間的概率值求出．同時應嫻熟把握正態分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個區間內的概率，在此過程中用到歸納思想和數形結合思想．[跟進訓練]3．某廠生產的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)聽從正態分布N(4，0.52)．質檢人員從該廠生產的1000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5.7cm，試問：該廠生產的這批零件是否合格？[解]由于外直徑X～N(4，0.52)，則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之內取值的概率為0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.0027，而5.7?[2.5，5.5]，這說明在一次試驗中，消滅了幾乎不行能發生的小概率大事，據此可以認為這批零件是不合格的．1．如圖是正態分布Nμ，σ12，Nμ，σ22，Nμ，σ32A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3A[由σ的意義可知，圖象越瘦高，數據越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3．]2．設隨機變量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，則實數a＝()A．0B．1C．2D．4C[由于P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a)．由于X～N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2．]3．某種零件的尺寸X(單位：cm)聽從正態分布N(3，1)，則不屬于區間[1，5]這個尺寸范圍的零件數約占總數的________．4.55%[屬于區間[μ－2σ，μ＋2σ]，即區間[1，5]的取值概率約為95.45%，故不屬于區間[1，5]這個尺寸范圍的零件數約占總數的1－95.45%＝4.55%．]4．某班有50名同學，一次考試的數學成果ξ聽從正態分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估量該班同學數學成果在110分以上的人數為________．10[由題意知，P(ξ>110)＝1-2P90回顧本節學問，自主完成以下問題：1．你能寫出三個常用的概率值嗎？[提示]P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827．P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．2．正態密度曲線有哪些特征？[提示](1)集中性：正態曲線的高峰位于正中心．(2)對稱性：正態曲線關于x＝μ對稱且不與x軸相交．(3)均勻變動性：正態曲線由峰值開頭，分別向左右兩側漸漸均勻下降．課時分層作業(十八)正態分布一、選擇題1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結果聽從正態分布N(10，σ2)，則下列結論中不正確的是()A．σ越小，該物理量一次測量結果落在(9.9，10.1)內的概率越大B．σ越小，該物理量一次測量結果大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D．σ越小，該物理量一次測量結果落在(9.9，10.2)內的概率與落在(10，10.3)內的概率相等D[對于A，σ越小，正態分布的圖象越瘦長，總體分布越集中在對稱軸四周，故A正確．對于B，C，由于正態分布圖象的對稱軸為μ＝10，明顯B，C正確．D明顯錯誤．故選D．]2．設隨機變量X～N(μ，9)，若P(X<1)＝P(X>7)，則()A．E(X)＝4，D(X)＝9B．E(X)＝3，D(X)＝3C．E(X)＝4，D(X)＝3D．E(X)＝3，D(X)＝9A[∵隨機變量X～N(μ，9)，且P(X<1)＝P(X>7)，∴σ2＝9，μ＝1+72＝4，∴E(X)＝4，D(X3．設隨機變量X～N(μ，σ2)，若P(X≤1)＝0.3，P(1<X<5)＝0.4，則μ＝()A．1B．2C．3D．4C[由于隨機變量X～N(μ，σ2)，滿足P(X≤1)＝0.3，P(1<X<5)＝0.4，因此P(X≥5)＝1－P(X≤1)－P(1<X<5)＝1－0.3－0.4＝0.3＝P(X≤1)，依據正態曲線的對稱性可知μ＝1+524．一機械制造加工廠的某條生產線在設備正常運行的狀況下，生產的零件尺寸z(單位：mm)聽從正態分布N(180，σ2)，且P(z≤190)＝0.9，P(z≤160)＝0.04，則P(190<z<200)＝()A．0.1 B．0.04C．0.05 D．0.06D[由于生產的零件尺寸z(單位：mm)聽從正態分布N(180，σ2)，所以P(z>190)＝1－P(z≤190)＝0.1，P(z≥200)＝P(z≤160)＝0.04，所以P(190<z<200)＝P(z>190)－P(z≥200)＝0.1－0.04＝0.06．]5．(多選)若隨機變量X，Y的正態密度函數分別為f(x)＝12πe-x-122，g(x)＝10.62πe-x+0.522×A．P(X>1)＝PY<B．σ1<σ2C．P(X>2)＝0.15865D．P(0.7≤Y≤1.3)＝0.0428AC[由解析式可得，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，故A選項正確，B選項錯誤；P(X>2)＝12[1－P(0<X<2)]≈12×(1－0.6827)＝0.15865，故C選項正確；P(0.7≤Y≤1.3)＝P(－0.5＋2×0.6<Y≤－0.5＋3×0.6)≈二、填空題6．(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X聽從正態分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________．0.14[由題意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.14．]7．若隨機變量ξ聽從正態分布N(9，16)，則P(－3≤ξ≤13)＝________．參考數據：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．0.84[∵隨機變量ξ聽從正態分布N(9，16)，∴對稱軸方程為x＝μ＝9，σ＝4，則P(－3≤ξ≤13)＝P(μ－3σ≤ξ≤μ＋σ)＝12[P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ≈128．(2023·河南鄭州期末)在某次高三聯考中，同學的數學成果(單位：分)聽從正態分布N(95，100)．已知參與本次考試的同學有100000人，則本次考試數學成果大于105分的大約有________人．參考數據：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．15865[設本次聯考中同學的數學成果為X分，由題意知X～N(95，100)，∴μ＝95，σ＝10，∴P(85≤X≤105)≈0.6827，∴P(X>105)≈1-三、解答題9．有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)聽從正態分布N(20，4)，若這批零件共有5000個，試求：(1)這批零件中尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比；(2)若規定尺寸在24～26mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個？[解](1)∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，故尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比大約是68.27%．(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24～26mm間的零件所占的百分比大約是99.73%-∴這批零件中不合格的零件大約有5000×2.14%＝107(個)．10．已知隨機變量ξ聽從正態分布N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.84，則P(ξ≤0)＝()A．0.16 B．0.34C．0.66 D．0.84A[由題意得隨機變量ξ的樣本均值為3，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≥6)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16，所以P(ξ≤0)＝0.16．]11．甲、乙兩類產品的質量(單位：kg)分別聽從正態分布NμA．甲類產品的平均質量小于乙類產品的平均質量B．乙類產品的質量比甲類產品的質量更集中于平均值左右C．甲類產品的平均質量為1kgD．乙類產品的質量的方差為2A[由題圖可知，甲類產品的平均質量為μ1＝0.5kg，乙類產品的平均質量為μ2＝1kg，甲類產品質量的方差明顯小于乙類產品質量的方差．故甲類產品的質量比乙類產品的質量更集中于平均值左右，故A正確，B、C錯誤；由正態密度函數的解析式f(x)＝1σ可知當x＝μ時，f(x)取得最大值，∴1σ2π＝4，∴σ∴σ2＝132故選A．]12．(多選)若隨機變量ξ～N(0，2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，則下列等式成立的有()A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－2φ(x)ACD[由于ξ～N(0，2)，所以其正態曲線關于直線x＝0對稱，由于φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0，所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正確；由于φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不肯定成立，B不正確；由于P(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝2φ(x)－1，C正確；由于P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝2－2φ(x)，D正確．]13．設隨機變量ξ聽從正態分布N(φ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無實數根的概率為12，則μ4[由于方程x2＋4x＋ξ＝0無實數根的概率為12，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝12＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝1214．某市高中男生身高統計調查數據顯示：全市100000名男生的身高聽從正態分布N(168，16)．現從某學校高三班級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發覺被測同學身高全部介于160cm和184cm之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組[160，164)，第2組[164，168)，…，第6組[180，184]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．(1)試估量該校高三班級男生的平均身高；(2)求這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人數；(3)在這50名身高在172cm以上(含172cm)的男生中任意抽取2人，將該2人身高納入全市排名(從高到低)，能進入全市前135名的人數記為ξ，求ξ的數學期望．[解](1)由頻率分布直方圖可知，該校高三班級男生的平均身高約為(162×0.05＋166×0.07＋170×0.08＋174×0.02＋178×0.02＋182×0.01)×4＝168.72(cm)．(2)由頻率分布直方圖知，后3組的頻率為(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人數為0.2×50＝10，即這50名男生身高在172cm以