山東省濰坊市壽光圣都中學2022-2023學年高二數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（+）2n（n∈N*）展開式中只有第6項系數最大，則其常數項為（） A．120 B．210 C．252 D．45參考答案：B【考點】二項式系數的性質． 【專題】二項式定理． 【分析】由已知得到展開式的通項，得到第6項系數，根據二項展開式的系數性質得到n，可求常數項． 【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展開式中只有第6項系數為最大， 所以展開式有11項，所以2n=10，即n=5， 又展開式的通項為=， 令5﹣=0解得k=6， 所以展開式的常數項為=210； 故選：B 【點評】本題考查了二項展開式的系數以及求特征項；解得本題的關鍵是求出n，利用通項求特征項． 2.中國古代儒家要求學生掌握六種基本才藝：禮、樂、射、御、書、數，簡稱“六藝”,某高中學校為弘揚“六藝”的傳統文化，分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數”六場傳統文化知識競賽，現有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐,規定：每場知識競賽前三名的得分都分別為且；選手最后得分為各場得分之和，在六場比賽后，已知甲最后得分為26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一場比賽中獲得第一名，下列說法正確的是(

)A.乙有四場比賽獲得第三名B.每場比賽第一名得分a為4C.甲可能有一場比賽獲得第二名D.丙可能有一場比賽獲得第一名參考答案：A【分析】先計算總分，推斷出，再根據正整數把計算出來，最后推斷出每個人的得分情況，得到答案.【詳解】由題可知,且都是正整數當時，甲最多可以得到24分，不符合題意當時，，不滿足推斷出，最后得出結論:甲5個項目得第一,1個項目得第三乙1個項目得第一,1個項目得第二，4個項目得第三丙5個項目得第二,1個項目得第三,所以A選項是正確的.【點睛】本題考查了邏輯推理,通過大小關系首先確定的值是解題的關鍵,意在考查學生的邏輯推斷能力.3.已知函數f（x）及其導數f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），則稱x0是f（x）的一個“巧值點”．給出下列五個函數：①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值點”的函數的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】63：導數的運算．【分析】根據題意，依次分析四個函數，分別求函數的導數，根據條件f（x0）=f′（x0），確實是否有解即可．【解答】解：根據題意，依次分析所給的函數：①、若f（x）=x2；則f′（x）=2x，由x2=2x，得x=0或x=2，這個方程顯然有解，故①符合要求；②、若f（x）=e﹣x；則f′（x）=﹣e﹣x，即e﹣x=﹣e﹣x，此方程無解，②不符合要求；③、f（x）=lnx，則f′（x）=，若lnx=，利用數形結合可知該方程存在實數解，③符合要求；④、f（x）=tanx，則f′（x）=﹣，即sinxcosx=﹣1，變形可sin2x=﹣2，無解，④不符合要求；故選：B．4.函數f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點x0∈[－5，5]，使f(x0)≤0的概率是A．1

B．

C． D． 參考答案：C略5.在區間[0,]上隨機取一個數,則事件“”發生的概率為（

）A．

B.

C.

D.1參考答案：C略6.已知函數存在極值點，且，其中，（

）A.3 B.2 C.1 D.0參考答案：C【分析】求得函數的導數，根據函數存在極值點，可得，即，又由，化為：，把代入上述方程，即可得到答案．【詳解】由題意，求得導數，因為函數存在極值點，，即，因為，其中，所以，化為：，把代入上述方程可得：，化為：，因式分解：，，．故選：C．【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數；(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決函數的恒成立與有解問題，同時注意數形結合思想的應用．7.某質量監督局要對某廠6月份生產的三種型號的轎車進行抽檢，一直六月份該廠共生產甲種轎車1400輛，乙種轎車6000輛，丙種轎車2000輛.現采用分層抽樣的方法抽取47輛轎車進行檢測，則甲乙丙三種型號的轎車一次應抽取(A)14輛21輛

12輛

(B)7輛30輛

10輛(C)10輛20輛

17輛

(D)8輛21輛

18輛參考答案：B8.，其中（

）（A）恒取正值或恒取負值

（B）有時可以取0（C）恒取正值

（D）可以取正值和負值，但不能取0參考答案：D9.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A10.數列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一個通項公式是(

)A.

B.cos

C.cos

D.cos參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列{an}的通項公式是，數列的通項公式是，令集合，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為{cn}．則數列{cn}的前28項的和

．參考答案：82012.出租車司機從南昌二中新校區到老校區(蘇圃路)途中有8個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈是相互獨立的，并且概率都是則這位司機在途中遇到紅燈數的期望為____.（用分數表示）參考答案：【分析】遇到紅燈相互獨立且概率相同可知，根據二項分布數學期望求解公式求得結果.【詳解】由題意可知，司機在途中遇到紅燈數服從于二項分布，即期望本題正確結果：【點睛】本題考查服從于二項分布的隨機變量的數學期望的求解，考查對于二項分布數學期望計算公式的掌握，屬于基礎題.13.一個物體的運動方程為，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是

米/秒．

參考答案：D略14.已知一組數據，，，，的方差為，則數據2，2，2，2，2的方差為_______．參考答案：2【分析】根據方差的性質運算即可.【詳解】由題意知：

本題正確結果：2【點睛】本題考查方差的運算性質，屬于基礎題.15.已知直線與圓相切，則的值為________.參考答案：16.若函數f（x）=kx﹣lnx在區間（1，+∞）單調遞增，則k的取值范圍是．參考答案：[1，+∞）【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】求出導函數f′（x），由于函數f（x）=kx﹣lnx在區間（1，+∞）單調遞增，可得f′（x）≥0在區間（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函數f（x）=kx﹣lnx在區間（1，+∞）單調遞增，∴f′（x）≥0在區間（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在區間（1，+∞）上單調遞減，∴k≥1．∴k的取值范圍是：[1，+∞）．故答案為：[1，+∞）．17.已知為偶函數，且，則______參考答案：16略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，在直三棱柱中，，，點分別為和的中點。（Ⅰ）證明：∥平面;

（Ⅱ）求三棱錐的體積。參考答案：（Ⅰ）解法1，連接……………5分解法2，P為的中點，連接PN和PM，由中位線定理知,即（Ⅱ）法一：

平面法二：連接，為的中點，平面……………12分19.已知橢圓E：(a>b>0),以F1（-c,0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0,b）作圓F1的兩條切線，設切點為M、N.(1)若過兩個切點M、N的直線恰好經過點B1(0,-b)時，求此橢圓的離心率;(2)若直線MN的斜率為-1,且原點到直線MN的距離為4（-1）,求此時的橢圓方程；(3)是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區間(-)內取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）圓F1的方程是（x+c）2+y2=(a-c)2,因為B2M、B2N與該圓切于M、N點，所以B2、M、F1、N四點共圓，且B2F1為直徑，則過此四點的圓的方程是(x+)2+(y-)2=,從而兩個圓的公共弦MN的方程為cx+by+c2=(a-c)2,又點B1在MN上,∴a2+b2-2ac=0,∵b2=a2-c2,∴2a2-2ac-c2=0,即e2+2e-2=0,∴e=-1.(負值已舍去)(2)由（1）知，MN的方程為cx+by+c2=(a-c)2,由已知-=-1.∴b=c,而原點到MN的距離為d==|2c-a|=a,∴a=4,b2=c2=8,所求橢圓方程是;(3)假設這樣的橢圓存在，由（2）則有-<-<-,∴<<,∴<<,∴<<.故得2<<3,∴3<<4,求得<e<,即當離心率取值范圍是（,）時，直線MN的斜率可以在區間(-,-)內取值.20.（本小題滿分12分）如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);(2)設直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“C1—C2型點”;(3)求證:圓內的點都不是“C1—C2型點”.參考答案：(1)C1的左焦點為,過F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為;(2)直線與C2有交點,則,若方程組有解,則必須;直線與C2有交點,則,若方程組有解,則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”.(3)顯然過圓內一點的直線若與曲線C1有交點,則斜率必存在;根據對稱性,不妨設直線斜率存在且與曲線C2交于點，則直線與圓內部有交點,故，則①若直線與曲線C1有交點,則化簡得,.....②由①②得,但此時,因為,即①式不成立;當時,①式也不成立綜上,直線若與圓內有交點,則不可能同時與曲線C1和C2有交點,即圓內的點都不是“C1-C2型點”21.已知{an}為首項a1=2的等差數列，{bn}為首項b1=1的等比數列，且a2+b2=6，a3+b3=10．（1）分別求數列{an}、{bn}的通項公式；（2）記cn=an?bn，求數列{cn}的前n項和Sn．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（1）設數列{an}的公差為d（d＞0），數列{bn}的公比為q，由題意列方程組求得公差和公比，代入等差數列和等比數列的通項公式得答案；（2）把數列{an}和{bn}的通項公式代入cn=anbn，然后直接利用錯位相減法求數列{cn}前n項和Sn．【解答】解：（1）設公差為d，公比為q，由a2+b2=6，a3+b3=10，a1=2，b1=1，得，解得d=2，q=2，∴an=2n，bn=2n﹣1，（2）∵cn=an?bn=2n?2n﹣1=n?2n，∴Sn=1?21+2?22+…+n?2n，∴2Sn=1?22+3?23+…+（n﹣1）?2n+n?2n，∴﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2∴Sn=（n﹣1）2n+1+2．22.（本題滿分12分）已知橢圓和直線L：y＝bx＋2，橢圓的離心率e＝，坐標原點到直線L的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2與橢圓相交于C、D兩點，試判斷是否存在實數k，使得點E在以CD為直徑的圓外？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）直線l：y＝bx＋2，坐標原點到直線l的距離為