2022-2023高二下數學模擬試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.

3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.一個幾何體的三視圖如圖所示，若主視圖是上底為2,下底為4,高為1的等腰梯形，左視圖是底邊為2的等腰三

角形，則該幾何體的體積為（）

/\△

主視圖左視圖

俯視圖

1011

A.—B.—C.2D.4

33

2.定義語句“r=mmod〃”表示把正整數根除以w所得的余數賦值給r,如7mod3=l表示7除以3的余數為1,

若輸入m=56,〃=18,則執行框圖后輸出的結果為（）

人m.“

r=rnmo<l可

|vn=n|

Inlr|

/輸出m/

?

CS)

A.6B.4C.2D.1

3.已知直線/傾斜角是arctan2,在）’軸上截距是2,則直線/的參數方程可以是（)

x=2+/x=2+tx=2tx=t

A.<D.4

y=-2ty=2-t[y=2-2t

4.已知過點P（1,D且與曲線＞=/相切的直線的條數有（）.

A.0B.1C.2D.3

5.在1/13-中，，且:"二，則二_(二，「的面積為()

cosA=sinA=f

A.B.2/C.3D.

設復數z13+4'l-2,則復數z的共匏復數是()

6.

2

5.5.5._5

A.------1B.—F1C.-------F1D.

222-2

7.下列說法中正確的個數是()

①命題："x、yeR,若上一1|+|>-1|=0,則x=y=l"，用反證法證明時應假設xrl或；

②若a+b>2,則。、Z?中至少有一個大于1；

③若一1、x、y、z、-4成等比數列，貝力=±2；

④命題：“癡目0,1],使得》+，<2'"”的否定形式是：“VWG[0,1],總有x+，22””.

XX

A.1B.2C.3D.4

8.下列命題中真命題的個數是()

①VxeR,x4>x2；

②若“PM”是假命題，則都是假命題；

③若“PXGR,V—f+wo”的否定是“土￡火，d—V+i>0”

A.0B.1C.2D.3

9.設尸(x)是偶函數/(X)(XH0)的導函數，當xe(0,+8)時，礦(x)-2〃x)>0,則不等式

4/(x+2019)-(x+2019『/(-2)<0的解集為()

A.(-00,-2021)B.(-2021,-2019)U(-2019,-2017)

C.(-2021,-2017)D.(^o,-2019)0(-2019,-2017)

10.在一組數據為(玉，x),(七，%)，…，(%，”)(〃Z2,X1,%2，，Z不全相等)的散點圖中，若這組樣本數據

的相關系數為-1,則所有的樣本點(x,,yj(i=l,2,,〃)滿足的方程可以是()

1,,

A.y=-+1B.y—x—\

C.y=x+lD.y——

u.函數y=/（2x+1）是定義在R上的奇函數，函數-v=g*）的圖象與函數y=/a）的圖象關于直線y=*對稱，

貝”（幻+8（一幻的值為（）

A.2B.1C.0D.不能確定

12.某班制定了數學學習方案：星期一和星期日分別解決4個數學問題，且從星期二開始，每天所解決問題的個數與

前一天相比，要么“多一個”要么“持平”要么“少一個”，則在一周中每天所解決問題個數的不同方案共有（）

A.141種B.140種C.51種D.50種

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若定義在［—1,+8）上的函數.“X）=（一尸’—則=.

14.已知隨機變量J服從二項分布J?則P?=3）=.

15.將圓的一組〃等分點分別涂上紅色或藍色，從任意一點開始，按逆時針方向依次記錄左伏W"）個點的顏色，稱為

該圓的一個“A階色序”，當且僅當兩個“A階色序”對應位置上的顏色至少有一個不相同時，稱為不同的“女階色

序”.若某圓的任意兩個“上階色序”均不相同，則稱該圓為“Z階魅力圓”.“4階魅力圓”中最多可有的等分點個

數為.

16.若復數z=（3-i）（l-2i）,則z的共匏復數』的虛部為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓C的中心為坐標原點O,焦點尸I,為在x軸上，橢圓C短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方

形，且橢圓。短軸長為1.

（1）求橢圓C的標準方程.

7T

（1）尸為橢圓C上一點，且/尸1尸尸1=2,求△尸尸I尸1的面積.

18.（12分）為紀念“五四運動”100周年，某校團委舉辦了中國共產主義青年團知識宣講活動活動結束后，校團委對甲、

乙兩組各10名團員進行志愿服務次數調查，次數統計結果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認,

在圖中以“表示.

甲乙

862101244

7221012366a

120

（1）若甲組服務次數的平均值不小于乙組服務次數的平均值，求圖中〃所有可能的取值；

（2）團委決定對甲、乙兩組中服務次數超過15次的團員授予“優秀志愿者”稱號設〃=3,現從所有“優秀志愿者”里任

取3人，求其中乙組的人數X的分布列和數學期望.

x=2cos6

19.(12分)已知曲線C的參數方程(。為參數)，在同一直角坐標系中，將曲線C上的點按坐標變換

y=3sin。

x'=—x

2得到曲線C.

(1)求曲線c'的普通方程;

(2)若點A在曲線C上，已知點3(2,0),求直線A8傾斜角的取值范圍.

20.（12分）如圖，在三棱錐P—A8C中，平面243,平面ABC,AB=6,BC=2j5,AC=2瓜,D,￡分

別為線段A3,8C上的點，且AZ）=2￡>B,CE=2EB,PD±AC.

⑴求證：平面ABC；

TT

⑵若直線以與平面所成的角為“求平面PAC與平面尸叱所成的銳二面角.

21.(12分)已知函數/(x+l)=x-l.

(I)求函數f(x)的解析式；

(H)求函數y=|/(x)|的單調區間.

22.(10分)一個盒子里裝有，〃個均勻的紅球和〃個均勻的白球，每個球被取到的概率相等，已知從盒子里一次隨機

取出1個球，取到的球是紅球的概率為1,從盒子里一次隨機取出2個球，取到的球至少有1個是白球的概率為3.

311

(1)求加,聯的值；

(2)若一次從盒子里隨機取出3個球，求取到的白球個數不小于紅球個數的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，利用所給數據，求出三棱柱與三棱錐的體積，從而可得結果.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，

畫出幾何體的直觀圖，如圖，

把幾何體補形為一個直三棱柱ABG-DCH,

由三視圖的性質可知三棱柱的底面面積=1,高BC=4,

所以VABG-DCH=SMBG?8C=4，

^E-DCH=^F-ABG~干G=-,

所以，幾何體的體積為4-2-.故選人

【點睛】

本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想

象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素

“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組

合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.

2、C

【解析】

模擬執行程序框圖，只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可得到輸出的，”的值.

【詳解】

第一次進入循環，因為56除以18的余數為2,

所以r=2,機=18,n=2,判斷廠不等于0,返回循環；

第二次進入循環，因為18除以2的余數為0,

所以r=0,m=2,〃=0,判斷/?等于0,

跳出循環，輸出〃?的值為2.故選C.

【點睛】

本題主要考查程序框圖的循環結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：（1）不要混淆處理框

和輸入框；（2）注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構；（3）注意區分當型循環結構和直到型循環結構；（4）處

理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數；（5）要注意各個框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中

只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.

3、D

【解析】

由傾斜角求得斜率，由斜截式得直線方程,再將四個選項中的參數方程化為普通方程，比較可得答案.

【詳解】

因為直線I傾斜角是乃-arctan2,

所以直線/的斜率k=tan（〃-arctan2）=-tanarctan2=-2,

所以直線l的斜截式方程為:y=-2x+2,

x=2+tc

由c消去/得y=-2x+4,故A不正確；

y=-2t

x=2+t

由彳消去f得y=—x+2,故B不正確；

x=2t1

由jy—2—/消去'得'=一:"+2,故。不正確；

x=t

由彳cC消去/得y=-2x+2,故。正確；

y^2-2t

故選:D.

【點睛】

本題考查了直線方程的斜截式，參數方程化普通方程,屬于基礎題.

4、C

【解析】

設切點為（xo，y（））,則yo=x03,由于直線］經過點（1,1）,可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點x0處

的切線斜率，建立關于X。的方程，從而可求方程.

【詳解】

若直線與曲線切于點（Xo,y0）（x°H0）,則k=空=日==x；+Xo+1,

Xo-lx0-l

又丁丫』？*?,二y[x=Xo=3Xo2,2Xo2-X0-1=(),解得Xo=l,Xo=-y,

...過點p(l,l)與曲線C:y=x'相切的直線方程為3x-y-2=0或3x-4y+l=0,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數的幾何

意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.

5、B

【解析】

通過，可求出A,B角度，從而利用面積公式即得結果.

ros/1=sinB=1

【詳解】

由于一€(0K〕'可知」而上n?_r或口(舍)'故-J又a=titanW=2\?所以

cos.4=-Kino=-B=-B=—C=-

1?1?*2

故選B.

ST”=7adsinC=2、3

【點睛】

本題主要考查解三角形的綜合應用，難度不大.

6、B

【解析】

分析：根據復數模的定義化簡復數，再根據共輸復數概念求結果.

、…E心|3+4z|-2i5-2/

詳解：因為z=--------------,所以z=―-—,

22

所以復數z的共軻復數是2+兀

2

選B.

點睛：首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規思路，如

(?+bi\c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.deR).其次要熟悉復數相關基本概念，如復數a+bi(a,beR)的實

部為。、虛部為6、模為，？+從、對應點為(a,b)、共鈍為。―尻.

7、C

【解析】

根據命題的否定形式可判斷出命題①的正誤；利用反證法可得出命題②的真假；設等比數列的公比為4,利用等比數

列的定義和等比中項的性質可判斷出命題③的正誤；利用特稱命題的否定可判斷出命題④的正誤.

【詳解】

對于命題①，由于x=y=l可表示為x=l且y=l,該結論的否定為“XHI或，所以，命題①正確；

對于命題②，假設awl且bwl,由不等式的性質得。+匕W2,這與題設條件矛盾，假設不成立，故命題②正確；

對于命題③，設等比數列一1、x、y、z、T的公比為q,則3=d>0,.

由等比中項的性質得y2=(-l)x(-4)=4,則y=-2,命題③錯誤；

對于命題④，由特稱命題的否定可知，命題④為真命題，故選：C.

【點睛】

本題考查命題真假的判斷，涉及反證法、等比中項以及特稱命題的否定，理解這些知識點是解題的關鍵，考查分析問

題和解決問題的能力，屬于基礎題.

8^B

【解析】

若x=l,則_?=%2,故命題①假；若“〃△4”是假命題，則。應至多有一個是真命題，故命題②是假命題；依據

全稱命題與特征命題的否定關系可得命題“VxeR.d—Y+iwo”的否定是“3/6凡/3-犬02+1〉0”，即命題

③是真命題，應選答案B.

9、B

【解析】

設*同=/魯，計算尸(另>0,變換得到尸(1+2019)<尸(一2),根據函數網力的單調性和奇偶性得到

|x+2019|<2,解得答案.

【詳解】

由題意xf\x)-2/(x)>O(x>0),得x2f'(x)~2燈'(x)>0,

進而得到立‘(X):2對(?>o,令尸(司二勺1,

x2fr(x}-2xf(x］八_,

則F(x)‘、"''>0,/(一2)早3力偌都

/(x+2019)<〃-2)

由4/(%+2019)-(％+2019)2/(-2)<0,得

(x+2019)24

即尸(x+2()19)<E(—2).

當xe(O,+8)時,F(x)>0,在(0,+8)上是增函數.

函數”X)是偶函數，.?.F'(x)=工學也是偶函數，且尸(x)在(-8,0)上是減函數,

.?.|x+2019|<2,解得一2021<x<-2017,又無+2019w0,即XH-2019,

.-.XG(-2021,-2019)：(-2019,-2017).

故選：B.

【點睛】

本題考查了利用函數的奇偶性和單調性解不等式，構造函數/(%)=/空，確定其單調性和奇偶性是解題的關鍵.

10、A

【解析】

根據相關系數的概念即可作出判斷.

【詳解】

?.?這組樣本數據的相關系數為-1,

.??這一組數據(％/),(9,%)，…(%，州)線性相關，且是負相關，

可排除D,B,C,

故選A

【點睛】

本題考查了相關系數，考查了正相關和負相關，考查了一組數據的完全相關性，是基礎的概念題.

11、A

【解析】

試題分析：?.?函數v=/(2x+l)是定義在R上的奇函數，.../(一2%+1)=-/(2x+l),令/=1一2x代入可得

/⑺+/(2-)=0,函數/(%)關于(1Q)對稱，由函數y=g(x)的圖象與函數.y=/(x)的圖象關于直線>=》對

稱，函數g(x)關于(°Q對稱從而有g(x)+g(-x)=2,故選函

考點：奇偶函數圖象的對稱性.

【思路點睛】利用奇函數的定義可把已知轉化為/G）+/（2T）=0,從而可得函數“X）關于（1Q）對稱，函數

y=g（x）的圖象與函數y=的圖象關于直線y=x對稱，則g"）關于（°」）對稱，代入即可求出結果.

12、A

【解析】

分析：因為星期一和星期日分別解決4個數學問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個”或“少一個”的天

數必須相同，都是0、1、2、3天，共四種情況，利用組合知識可得結論.

詳解：因為星期一和星期日分別解決4個數學問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個”或“少一個”的天

數必須相同，

所以后面六天中解決問題個數“多一個”或“少一個”的天數可能是0、1、2、3天，共四種情況，

所以共有C；+C；C；+C；C-+C；C；=141種.

故選：A.

點睛：本題考查組合知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定中間“多一個”或“少一個”的天數必須相同

是關鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、?

23

【解析】

由定積分的幾何意義可得，f的是以原點為圓心,以1為半徑的圓的面積的一半，

I______31_______3/]4

/.J^l-x2dx=—,j/（x）=+-4x+3jdx+T%3-2x2+3x1^=---,故答案為

-i2-i-ii213）23

n4

2~3,

8

14、—

81

【解析】

直接利用二項分布公式得到答案.

【詳解】

則/4=3）=。，（；）3、；=白

隨機變量二服從二項分布4?

33o1

Q

故答案為：

O1

【點睛】

本題考查了二項分布的計算，屬于簡單題目.

15、1

【解析】

分析：由題意可得，“4階色序”中，每個點的顏色有兩種選擇，故“4階色序”共有2x2x2x2=l種，從兩個方面進

行了論證，即可得到答案.

詳解：“4階色序”中，每個點的顏色有兩種選擇，故“4階色序”共有2x2x2x2=l種，

一方面，n個點可以構成n個“4階色序”，故“4階魅力圓”中的等分點的個數不多于1個；

另一方面，若n=L則必需包含全部共1個“4階色序”，

不妨從(紅，紅，紅，紅)開始按逆時針方向確定其它各點顏色，顯然“紅，紅，紅，紅，藍，藍，藍，藍，

紅，藍，藍，紅，紅，藍，紅，藍”符合條件.

故“4階魅力圓”中最多可有1個等分點.

故答案為：1.

點睛：本題主要考查合情推理的問題，解題的關鍵分清題目所包含的條件，讀懂已知條件.

16>7

【解析】

利用復數乘法運算化簡z為。+沅的形式，由此求得共朝復數，進而求得共甄復數的虛部.

【詳解】

z=(3-z)(l-2z)=l-7z,z=\+li,故虛部為7.

【點睛】

本小題主要考查復數乘法運算，考查共朝復數的概念，考查復數虛部的知識.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17、(1)y+y2=l；(1)2-73

【解析】

(1)由已知可得關于。，仇c的方程組，求得a,b的值，即可得到橢圓的方程;

(D在46尸耳中，由已知結合橢圓的定義及余弦定理和三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】

/+金

(1)設橢圓的標準方程為A/=1(〃>/?>0)>

??,橢圓C的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓C短軸長為1,

b-c

...在=1,解得，/=212=1,

a1=b2+c2

橢圓C的標準方程為4+/=1.

(1)由橢圓定義知怛￡|+||=2夜①

又/々P8=巳，由余弦定理得|P用21「入『一2歸用歸周cos2=4②

聯立①②解得|P制歸用=4(2—6)

所以三角形片尸人的面積SA6"=g|PK||P可sin2=2-石

【點睛】

本題主要考查了橢圓的定義的應用，標準方程的求解，以及幾何性質的應用，其中解答熟練應用橢圓的焦點三角形,

以及余弦定理和三角形的面積公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

9

18、(1)〃的取值為0或1或1.(1)見解析，-

【解析】

(1)根據甲組服務次數的平均值不小于乙組服務次數的平均值列不等式，由此求得〃的可能取值.

(1)根據超幾何分布的分布列計算公式，計算出分布列并求得數學期望.

【詳解】

,AB口口口2At位1+2+4+4+12+13+16+16+(10+〃)+2098+it

乙組10名團員服務次數的平均值為------------------------------------——二—

由題意得10...3B，即出2.

故圖中"的取值為0或1或1.

(1)由圖知，甲組“優秀志愿者”有1人，乙組“優秀志愿者”有3人.

由題意，隨機變量X的所有可能取值為1,1,3,

則P(X=1)=與g.,P(X=2)=隼g=],P(X=3)=目J

v?c1UJVxcJLU

所以X的分布列為

X113

331

P

105To

3319

^EX=lx—+2x-+3x—=-.

105105

【點睛】

本小題主要考查根據莖葉圖計算平均數，考查超幾何分布分布列和期望的計算，考查數據處理能力，屬于基礎題.

19、(1)x2+y2=l(2)0,-u—,萬］

L6」L6)

【解析】

(1)按照坐標變換先得到曲線的參數方程，再化簡為普通方程.

(2)先計算AB與圓相切時的斜率，再計算傾斜角的范圍.

【詳解】

X-7*x'=cos0

消去。得C的普通方程f+丁=1

(2)當A3與圓相切時，NA8O=30

...%=也或一正，直角傾斜角的取值范圍為八式5兀

0,—u----，71

3366

【點睛】

本題考查了參數方程，坐標變換，傾斜角范圍，意在考查學生的計算能力和應用能力.

20、(1)證明見解析；(2)5-

6

【解析】

(1)根據線面垂直的判定定理，直接證明，即可得出結果；

(2)先由題意得到P￡),CD,A3兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，分別求出平面F4C與平面產￡出的法向

量，由向量夾角公式，即可求出結果.

【詳解】

(1)由題意知AC=2遍，BC=26，AB=6,

所以4。2+8。2=4牙，

所以NAC8=e，所以3乙鉆。=迪=走，

263

又易知80=2,

所以CO?=22+(2>A)2-2X2X2GXCOSNABC=8,

所以C￡>=20，又4)=4,

所以CZ>2+A￡>2=AC"

所以CDLAB,

因為平面平面ABC,交線為AB，

所以平面RS,所以CDLPO,

因為PDLAC,ACCD=C,

所以「力平面ABC；

(2)由⑴知P。，CD,AB兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的直角坐標系。一孫z,

71TT

因為直線Q4與平面ABC所成的角為一，即/24。=一，所以PD=A0=4,

44

則A(0,T,0),C(2V2,0,0),3(0,2,0),尸(0,0,4),

所以圍=(一2夜,2,0),AC=(2V2,4,0),PA=(0,-4,-4).

因為AD=2Z)B,CE=2EB,所以DE//AC,

由(1)知ACLBC,所以DE_LBC,

又PO_L平面ABC,所以POLBC,

因為PDIDE=D,

所以CB,平面尸DE,

所以用=(—20,2,0)為平面戶口后的一個法向量.

/、fn±AC

設平面尸AC的法向量為〃=(x,y,z),貝！,

''nlPA

2夜x+4y=03l,

所以《-?令z=l,得》=&，y=-l,

-4j-4z=0

所以〃=(J5,-1,1)為平面PAC的一個法向量.

ruu

ruirn-CB-4-2_G

所以cos<〃,CB>=

畸V4xV12-2，

所以平面PAC與平面所成的銳二面角的余弦值為—,

2

故平面PAC與平面POE所成的銳二面角為？.

6

【點睛】

本題主要考查證明線面垂直，以及求二面角的大小，熟記線面垂直的判定定理，以及二面角的空間向量的求法即可,

屬于常考題型.

21、(1)/。)=》一2；(11)單調遞增區間是[2,+8),單調遞減區間是(一8,2].

【解析】

分析：(D換元法x=r—1,/(。=，一2,進而得到