四川省阿壩市2023-2024學年高二上數學期末監測模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

77"

1.如下圖，面a與面夕所成二面角的大小為且A,3為其棱上兩點.直線AC,分別在這個二面角的兩個半

平面中，且都垂直于A8,已知=AC=2,BD=4,則CD=（）

A.722

C.^30D.2V10

2.已知等比數列｛4｝的前幾項和為S”（“eN*）,則關于〃的方程S"=0的解的個數為（）

A.OB.1

C.無數個D.0或無數個

3.已知球。的半徑為2,球心到平面a的距離為1,則球。被平面a截得的截面面積為（）

A.2岳B.3萬

C.乖17rD.兀

22

4.雙曲線C：5—二=1（a>0,6>0）的左、右焦點分別為耳（一。,0）、月（G。），點P在雙曲線上，忸。|=6,

a"b"

NF\PF]=—,則C的離心率為（）

A.75-1B.2

D.V3

5.若方程4必+@2=4左表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（）

A.2A/IB.2G

C.y[kD.口

6.均勻壓縮是物理學一種常見現象.在平面直角坐標系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點的坐標來描述.設曲線。上任

意一點P(x,y),若將曲線。縱向均勻壓縮至原來的一半，則點P的對應點為A(x,gy).同理，若將曲線C橫向均勻

壓縮至原來的一半，則曲線。上點P的對應點為6(；x,y).若將單位圓好+了2=1先橫向均勻壓縮至原來的一半，再

縱向均勻壓縮至原來的工，得到的曲線方程為()

3

2222

A%y1n%y1

A.------1----=1B?-----1-------1

4994

CAx2+9V=1D.9%2+4y2=1

7.在x軸與y軸上截距分別為-2,2的直線的傾斜角為()

A.45°B.135°

C.90°D.180°

22

8.若方程——2_=1表示雙曲線，則實數機的取值范圍是()

m2-m

A.(0,2)B.(0,+oo)

C.(-oo,2)D.(2,+CO)

9.拋物線y=4d的焦點坐標是

A.(1,0)B.(0,1)

10.已知函數“九)對于任意的xe(O,?)滿足礦(x)-〃x)=G-2cosx,其中/'(%)是函數的導函數，則

下列各式正確的是()

11.設等差數列｛4｝的前"項和為S〃.若q=1,g+%=6,則$7=()

A.19B.21

C.23D.38

22

12.過雙曲線C:=-1=l(a〉6〉0)的左焦點耳作x軸的垂線交曲線C于點P,8為右焦點，若/耳尸6=45。,

ab

則雙曲線的離心率為()

A.也B.72-1

2

C.V2D.72+1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在棱長為1的正方體43。一4耳￡2中，人￡-4月=.

14.記S,為等差數列｛%,｝的前"項和，若為=4,54=20,貝！|“9=.

22

15.如圖，已知橢圓E的方程為二+當=l(a>fe>0),A為橢圓的左頂點，B,C在橢圓上，若四邊形Q48C為平行四

a2b2

邊形，且/。43=30。，則橢圓的離心率等于

16.在空間直角坐標系O-xyz中，平面OAB的一個法向量為〃=(2,—2,1),已知點P(—1,3,2),則點P到平面OAB

的距離d等于__________________

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)動點M到點尸的距離比它到直線/：%+工=0的距離小上，記M的軌跡為曲線C

(1)求C的方程；

(2)已知圓O:(x—2)2+丁=1,設p,A,8是C上不同的三點，若直線P5均與圓O相切，若尸的縱坐標為

0,求直線的方程.

18.(12分)已知數列｛4｝滿足％=1,4+""+[=。.

(1)求證數列<:>是等差數列，并求｛4｝通項公式；

(2)已知數列[黑匚1的前幾項和為S“，求S,.

2a”，

19.（12分）如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，BC〃平面”1。，BC^-AD,E是尸。的中點

2

（1）求證：CE//平面如5；

（2）若M是線段CE上一動點，則線段40上是否存在點N,使MN//平面B43?說明理由

20.（12分）一個完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個鏈子形成的曲線形狀被稱為懸

鏈線（如圖所示）.選擇適當的坐標系后，懸鏈線對應的函數近似是一個雙曲余弦函數，其解析式可以為

f（x）=aex+be-x,其中a,b是常數.

（1）當。=狂0時，判斷并證明八％）的奇偶性；

19

（2）當a*e（0,1）時，若了（尤）最小值為五,求一+—的最小值.

1-ai-b

22]

21.（12分）如圖，已知橢圓G：=+二=1（a>A>0）的左、右焦點分別為耳（T,。）、（1,0）,離心率為三.

ah2

過耳的直線與橢圓G的一個交點為A,過工垂直于A月的直線與橢圓G的一個交點為3，AF^BF^P.

（I）求橢圓G的方程和點P的軌跡的方程;

（2）若曲線。2上的動點〃到直線AB：丫=h+機的最大距離為&+1，求產的值.

22.（10分）已知橢圓E：g+與=1（。〉6〉0）過點（0,、歷），且離心率e=Y2

ab~2

（1）求橢圓E的方程;

9

（2）設直/：》=陽-1（m6/?）交橢圓石于4,3兩點，判斷點G（——,0）與以線段A3為直徑的圓的位置關系，并說

4

明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據題意，作DE/ABA,且DE=BA,則四邊形A3DE為平行四邊形，進一步判斷出該四邊形為矩形，然

后確定出NCAE為二面角的平面角，進而通過余弦定理和勾股定理求得答案.

【詳解】如圖，作DE//B4,且DE=BA=亞,則四邊形A5OE為平行四邊形，所以4石//3￡）,/歸=5￡>=4.因

7T

為BDLAB,所以又ACLAB,所以NC4￡是該二面角的一個平面角，即NC4E=一,由余弦定理

3

CE=J22+42-2X2X4XCOS|=2A/3.

因為ACLAB,DE//BA,所以ACLOK,易得四邊形ABOE為矩形，貝（JDELM,而ACCA￡=A,所以DEL

平面ACE,則。石_LCE,于是CD=7CE2+DE?=拒?

故選：B.

2、D

【解析】利用等比數列的求和公式討論公比的取值即得.

【詳解】設等比數列｛4｝的公比為心

當q=l時，Sn=nax,因為qwO,所以S〃=0無解，即方程S〃=0的解的個數為0,

當g時,s〃=嗎m

所以q=-l時，方程5“=0有無數個偶數解，當qw-1時，方程S“=0無解,

綜上，關于〃的方程S”=0的解的個數為0或無數個.

故選：D.

3、B

【解析】根據球的性質可求出截面圓的半徑即可求解.

【詳解】由球的性質可知，截面圓的半徑為獷萬=也,

所以截面的面積S=〃（若了=3萬.

故選:B

4、C

【解析】根據雙曲線定義、余弦定理，結合題意，求得區。關系，即可求得離心率.

【詳解】根據題意，作圖如下：

不妨設|尸耳|=叫尸閶=九,貝！|和-〃=2。，m2+n2—2mn=4a2,①;

2.2A2

在△PH8中，由余弦定理可得：cos120。=〃'一,代值得：-mn=m2+n2-4c2,②；

2mn

4b2

聯立①②兩式可得：mn=—；

3

在4POF]和aPOF2中，由cosZPOFi+cosZPOF2=0,

—rZp,一加2+匕2—Jrfr-rtnZFtO99,9

可得：------------1------------------------=0,整理得：rn2+H2=2c2+2b2，③；

2bc2bc

4b2

聯立②③可得：4c2—mn=2c2+2Z?2，又mn-.......，

3

2527

故可得：C=~b9則/=。2一〃=—》2,

33

則:=?，故離心率為巫.

a222

故選：C.

5、B

【解析】根據雙曲線標準方程直接判斷.

22

【詳解】方程4爐+。2=4左即為上+匕=i,

k4

22

由方程表示雙曲線，可得乙-工=1,

4-k

所以。=2,b=y[—k，

所以虛軸長為2b=2H，

故選：B.

6、C

x=2x'

【解析】設單位圓上一點為（x,y）,經過題設變換后坐標為（尤',了），貝".代入圓的方程即可得曲線方程.

【詳解】由題設，單位圓上一點坐標為（羽y）,經過橫向均勻壓縮至原來的一半，縱向均勻壓縮至原來的工，得到對應

3

坐標為O',y'),

,=X

x9[x=2x'

：.\,貝U,,故必+丁=1中，可得：4x'2+9y'2=l.

，=上ly=3y

I3

故選：c.

7、A

【解析】按照斜率公式計算斜率，即可求得傾斜角.

【詳解】由題意直線過(-2,0),(0,2),設直線斜率為左，傾斜角為a,

,2-0,

則左=tana=0_(_2)=l，故々=45°.

故選：A.

8、A

【解析】方程化為圓錐曲線(橢圓與雙曲線)標準方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關系

Y2V22v2

【詳解】解：方程^——匚=1可化為T工+一」=1,它表示雙曲線，貝！|，次機—2)<0,解得0<相<2.

m2—mmm—2

故選：A

9、D

o11

【解析】根據拋物線d=2py的焦點坐標為(0,與)可知，拋物線y=4/即/=y的焦點坐標為(0),故選D.

2416

考點：拋物線的標準方程及其幾何性質.

10、C

【解析】令歹(x)=1KD,XH0,結合題意可得/(x)=避二”二，利用導數討論函數

/(X)的單調性，進而得出/(彳)<E(?)</(|：),變形即可得出結果.

【詳解】令砥x)=&,XH0,

X

則尸(x)=獷’3；"x),

又獷'(%)-/(%)=A/3-2cosx,

所以U(x)=Q：cosx,xe(o,兀),

^Fr(x)>0=>—<x<7i,

令%x)<OnO<x<%,

所以函數尸(x)在(0,9］上單調遞減,

在W，71單調遞增,

所以弋）＜呷＜

/（7）/（7），（：）

7171冗

?4I

故選：C

11,A

【解析】由已知及等差數列的通項公式得到公差d,再利用前〃項和公式計算即可.

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d,由已知，得jq+。=2。+71=6，

6Z,=1

17x64

解得，4,所以S7=7xl+kX==19.

a=-27

I7

故選:A

12、D

A2

【解析】由題知是等腰直角三角形，歸耳1=1片鳥|=2c,又根據通徑的結論知|尸耳—，結合/

a

可列出關于。，c的二次齊次式，即可求解離心率.

【詳解】由題知APE外是等腰直角三角形，且/月「工=45。，

??.|尸耳|=閨閱=2。，

〃2萬2

又—,/.一=2c9即Z?2=2ac，

aa

b2=c2—a29c2—a2=2ac,即2e—2=0,

解得e=2土逐=1土收

2

Qe>1,e=1+?

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】根據向量的加法及向量數量積的運算性質求解.

【詳解】如圖，在正方體中，

TT2

AC]-A51=I就+?4與=AB+AD+A4]\AB=AB+0+0=1,

故答案為：1

14、18

【解析】根據等差數列通項和前n項和公式即可得到結果.

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d,

a、—4國a.+d=公4解得%=2

由,一，得《+620,I

U=20|d=2

所以。9=2+8x2=18

故答案為：18

15、述

3

【解析】首先利用橢圓的對稱性和Q4BC為平行四邊形，可以得出B、C兩點是關于y軸對稱，進而得到BC=OA=a-,

鼻

設3veg"''從而求出3,然后由NQ鉆="8=30。，利用tan30o=《-=。，求得a=3Z?,最后

2

根據儲=02+從得出離心率

【詳解】解：AO是與％軸重合的，且四邊形Q鉆C為平行四邊形

:.BC//OA,

所以5、C兩點的縱坐標相等，B、。的橫坐標互為相反數，

：.B、c兩點是關于》軸對稱的

由題知：OA=a

四邊形Q鉆C為平行四邊形，所以BC=Q4=。

可設

代入橢圓方程解得：|y|=@

2b

設。為橢圓的右頂點，ZOAB=30°,四邊形Q鉆C為平行四邊形

ZCOD=3Q°

與

對。點：tan30°=^—=—

a3

2

解得：a—3b

根據：a2=c2+b2

2

得：a2=c2+—

9

9

242

..c=------

3

故答案為：述

3

16、2

【解析】O是平面OAB上一個點，設點P到平面OAB的距離為d,則

d=|-^pl,:OP-n=(-1,3,2).(2,-2,1)=-6,|?|=V4+4+1=3/.d=g=2即點P到平面OAB的距離為2

考點：空間向量在立體幾何中的運用

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)：/=工

（2）x+2yf2y+1=0

【解析】（1）由拋物線的定義可得結論；

⑵設4（%,%）,得物的兩點式方程為（y-M）（2-xj=（x-%）,由A在拋物線上，化簡直線方程為

x-（%+=0,然后由圓心到切線的距離等于半徑得出/的關系式，并利用芯="得出點（西,％）滿足

的等式，同理設（9，%）得總方程，最后由直線方程的定義可得直線A3方程

【小問1詳解】

由題意得動點M到點尸［；，。］的距離等于到直線x=-；的距離，

所以曲線C是以尸［J。］為焦點，％=為準線的拋物線.

設C:y2=2px（p>0）,則p=g,于是C的方程為丁=尤.

【小問2詳解】

由（1）可知尸（2,0）,設4（*］,弘），

R1的兩點式方程為（,_%）（2—玉）=（%_玉）（0_%）.

由西="，可得PA：x—卜1+0）y+0%=0.

|2+瓜|

因為與O相切，所以I/，=1，整理得才+2拒％+1=0.

J1+U+⑹

因為M=%］,可得%+2，^%+1=0.

設3（々,%）,同理可得%+2及為+1=。

于是直線AB的方程為x+20y+1=0.

18、（1）證明見詳解，an=—^—

2n-l

⑵S〃=2-巴匚

〃T

11cf11

【解析】（1）由題意將原式化簡變形得到--------=2,可證明數列一是等差數列，由等差數列的通項公式則可

an+lan［，

得一=2〃-1,進而得到｛4｝的通項公式;

xa+1

(2)由(1)把｛(4｝的通項公式代入黃「，得到馬，利用乘公比錯位相減法求和即可.

2an2

【小問1詳解】

若%+1=。，則4=0,這與%=1矛盾,

4+產°,

由已知得2a,a“+i—an+an+l=0,

1—=2,故數列工是以工=1為首項，2為公差的等差數列，—=l+2(n-l)=2n-l,1

aa2n-l

n+ln[J"1°n

【小問2詳解】

7凡+17+1〃

設包=懣L，則由（D知2=懣「=而，

b”0123n

所以S=—I—7H—r+H--，

n22223T

n-1n

—22223+W24+2〃2〃+i9

兩式相減，則=-+—+—++

所以S〃=2—^?

19、(1)證明見解析;

(2)存在，理由見解析.

【解析】(1)R為AP中點，連接砂,8尸，由中位線、線面平行的性質可得四邊形5c即為平行四邊形,再根據線

面平行的判定即可證結論；

(2)取">中點N,連接CN,EN,根據線面、面面平行的性質定理和判斷定理即可判斷存在性

【小問1詳解】

如下圖，若R為"中點，連接EF,BF,由E是的中點，

所以EF//AD且EE=工AD,

2

又8C//平面BCu面ABC。，且面ABC。面Q4D=AD,

所以3C//AD,且3C=LA。，

2

所以四邊形BC即為平行四邊形，故CE/IBF,

而CEu面上4B,BF?面PAB,則CE//面八18.

小問2詳解】

取A。中點N,連接CN,EN,

,:E,N分別為P￡>,A。的中點，

,EN//PA,

ENa平面上4u平面上4B,

EN〃平面PAB,

線段存在點N,使得〃平面E4B,理由如下：

由(1)知：CE〃平面PAB,又CEEN=E,

...平面CEN〃平面上鉆，又拉是CE上的動點，MNu平面CEN,

〃平面PAB,

二線段AD存在點N,使得MN〃平面

20、(1)偶函數(2)10

【解析】(1)根據偶函數定義直接判斷可知；

⑵由基本不等式求得了(%)的最小值，得到。、?的關系，然后代入目標式，分離常數，然后可得.

【小問1詳解】

當。=。力0時，f(x)=a(ex+e~x),定義域為R,

因為/(—x)=a(eT+e，)=/(x)

所以了(%)為偶函數.

【小問2詳解】

x

因為。力e(0,1),所以/■(九)=圮、+加一'>2而，當且僅當ae'=be-，

1Ai

即x=—In—時，取等號.由題知2?F=0,即匕=丁，

2a2a

因為a,Z?e(O,l),所以即』<a<L

''2a2

12124a2—6a+l?1

所以1一。1-b1-a112a2-3a+l2a2-3a+l

2a

令%二2〃2一3〃+1，々￡(1,1),貝!|一：4%<0,

2o

1113

所以—V—8,所以2--210,當％,即〃=—時，取等號.

tt84

19

所以——十一的最小值為10.

l-a1-b

22

21、(1)橢圓&的方程為土+匕=1,點尸的軌跡。2的方程為V+y2=i

43

⑵k2=—

2

c1

【解析】(1)由題意可得c=l,—=7,求出4,再結合/=〃+°2,求出人2,從而可得橢圓G的方程，設P(x,y),

則由題意可得耳P=0,坐標代入化簡可得點P的軌跡C2的方程，

(2)由題意結合點到直線的距離公式可得加2=2(42+1),設4芯,％),3(%,%),將直線方程代入橢圓方程中消去》，

UUUluuu

整理利用根與系數的關系，由4耳?%=(),可得與一下=1—再々一%見，因為(乙一七)=(%+々)—4芯%2,代入

化簡計算可求得答案

【小問1詳解】

c1

由題意得C=l,—=—,解得a=2,貝!I

a2

b2=a2-c2=3>

22

所以橢圓G的方程上+乙=1，

43

設P(x,y),則由題意可得耳P.《P=O,

所以(x+1,j)-(x-l,y)=0,

所以必+/=1,

所以點P軌跡C?的方程為％2+y2=i

【小問2詳解】

由（1）知曲線。2是以原點為圓心，1為半徑的圓,

因為曲線。2上的動點〃到直線AB：y=kx+m的最大距離為亞+1，

所以21+1=行+1,得病=2（r+1）,

J1+左2

f22

土+匕=1

設4%1，%）,5（九2，、2），由<43，得（3+4左2）f+8初1T+4m2-12=0,

y=kx+m

—8km_4m2-12_8(^2+1)-12_8Z:2-4

所以再+x2

3+4左2，-3+4左2—-"3+4左2——3+4?

yry2=(g+m)(kx2+m)

22

=kx1x2+km(x、+x2)+m

,2W-127-8km2

=k------------+km---------T+m

3+4423+442

-12/+3療

―3+4左2~

_-12k-+6(k-+1)_-6k-+6

~3+止-3+4左2'

uuuuuu

因為砍.即=0，

所以(―1——%)=°，

所以_1+々一毛+%々+%％=0，

2

,,842—4-6k+61+242

所以々一七

因為(%2—再了~(須+%2)2—4玉％2,

一、/1+242丫(8kmY/8/—4

所以------7=-------7-4-----y，

(3+4左2J13+4/J3+4左2

2

所以(1+2左2)2=64k2m2-4(8左2-4)(3+4k),

2

(1+2k~)=64左2.2*2+1)-4(8左2-4)(3+4V),

所以4左4—92左2—47=0,