.5.1第一課時（李映）有理數的乘方一、教學目標（一）學習目標1.在現實背景中，理解有理數乘方的意義．2.能進行有理數的乘方運算，掌握冪的符號法則．3.了解用計算器進行乘方運算．（二）學習重點正確理解乘方的意義，掌握乘方運算法則．（三）學習難點正確理解乘方、底數、指數的概念，并合理運算，注意區別－an與（－a）n的意義．二、教學設計（一）課前設計1.預習任務在an中，a叫底數，n叫做指數，當an看作a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪．根據示例填空：示例：==8==9，==，==，==，==4，==－4.2.預習自測（1）=（）A.﹣2B.﹣4 C.2 D.4【答案】D．【解析】解：==4，選D.【點撥】根據冪的乘方的運算法則求解．（2）（﹣3）2的值是（）A.﹣9 B.9 C.﹣6 D.6【答案】B．【解析】解：（﹣3）2=9，選B．【點撥】根據乘方的性質即可求解．（3）=（）A.﹣3 B.﹣9 C.3 D.9【答案】B．【解析】解：﹣32=﹣3×3=－9，選B．【點撥】根據冪的乘方的運算法則求解．（4）=（）A. B. C. D.【答案】D．【解析】解：===，選D.【點撥】根據冪的乘方的運算法則求解．（二）課堂設計1.知識回顧（1）幾個不等于零的有理數相乘，積的符號由負因數的個數確定，當負因數的個數為奇數時，積為_____；當負因數的個數為偶數時，積為_____．（2）正方形的邊長為2，則面積是_____，棱長為2的正方體，則體積為_____．2.問題探究探究一在現實背景中，理解有理數乘方的意義▲．●活動①小組合作，弄清定義師生活動：分小組學習教科書41頁，要求能結合教產書中的示意圖，用自己的語言表達下列幾個概念的意義及相互關系．師問：通過自主學習，談一談在一個冪中，什么是底數？什么是指數？什么冪？學生搶答.（老師引導學生觀察，發表自己看法）總結：底數是相同的因數，可以是任何有理數，指數是相同因數的個數，在現階段中是正整數，而冪則是乘方的結果．【設計意圖】通過小組學習，培養學生的閱讀能力，通過對實例中發現的乘方運算的定義，讓學生更容易掌握乘方運算的定義．●活動②區別易錯點師問：和一樣嗎？為什么？師生活動：學生獨立思考30秒，然后小組交流1分鐘．生答：不一樣！表示4個－2相乘，表示4個2相乘的相反數.師問：對的，還可以如何從底數上進行區別？生答：的底數是-2，的底數是2，“－”只是它的性質符號．總結：我們以后把讀作“－2的4次方”，而讀作“2的4次方的相反數”讀法上有區別，意義也不一樣．（請大家將兩種不同的讀法記在教科書P41上．）【設計意圖】通過小組交流，從表示的意義不同，底數的不同，讀法的不同進行區別，讓學生能夠深刻地掌握兩者的不同之處，采用記筆記的方式，進一步加深易錯點的印象．探究二能進行有理數的乘方運算，掌握冪的符號法則．▲★●活動①舉例說明，回歸本源例1．計算；（2）；（3）.【知識點】有理數乘方運算【解答過程】解：（1）==－64（2）==16（3）==-【點撥】在解決乘方的相關問題時，應將乘方運算回歸到它的定義，根據定義列式計算．【答案】（1）－64；（2）16；（3）-.【設計意圖】通過一組例題的講解，在理解乘方運算的定義后，讓學生進一步鞏固乘方運算的定義．●活動②冪的符號法則師問1：通過例1，你發現負數的冪的正負有什么規律？當指數是_________，負數的冪是______數；當指數是_________，負數的冪是______數；師生活動：學生自行觀察1分鐘．學生舉手搶答：當指數是奇數，負數的冪是負數；當指數是偶數，負數的冪是正數；總結：負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數．師問2：那么正數的冪與指數有關嗎？生答：沒有．師問3：那0呢？生答：也沒有．總結：負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；正數的任何次冪都是正數，0的任何次冪都是0．師問4：將冪運算對比前面所學的“幾個不為0的有理數相乘”，有哪些異同？生答：相同之處是：都是乘法運算，不同的是：冪運算是“幾個不為0的有理數相乘”的一種特殊運算，師問5：你認為在進行冪運算是，先做什么，后做什么？學生舉手搶答.總結：和“幾個不為0的有理數相乘”一樣，先定符號，再定絕對值．練習1.（1）中的指數和底數各是多少？呢？中的－10叫做什么數？8叫做什么數？的結果是正數還是負數？2.計算；（2）；（3）；（4）；；（6）；（7）；（8）.【知識點】有理數冪的運算【解析】1.（1）的指數和底數分別是8，-7；的指數和底數分別是8，7；中的－10叫做底數，8叫做指數；結果是正數.2.計算：解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.【點撥】在解決乘方的相關問題時，和前面“幾個不為0的有理數相乘”一樣，首先確定結果的符號問題，再將乘方運算回歸到它的定義，根據定義列式計算．【答案】1．（1）8，-7；8，7；（2）底數，指數，正數．2．（1）1；（2）－1；（3）512；（4）－125；（5）0．001；（6）；（7）10000；（8）－100000．【設計意圖】通過對負數的奇次冪和偶次冪的探討，發現冪的符號規律，培養學生觀察、歸納、表達的能力，加強學生對冪的進一步認識．通過練習，進一步加強學生對冪的簡單運算的認識，提高對冪運算的熟練程度．探究三了解用計算器進行乘方運算．●活動①例2．用計算器計算（－8）5和（－3）6．師生活動：學生自學P42，老師多媒體示范【知識點】用計算器進行冪運算【解析】解：用帶符號鍵（－）的計算器．開啟計算器后按照下列步驟進行：（（－）8）∧5=顯示：（－8）^5－32768即（－8）5=－32768（（－）3）∧6=顯示：（－3）^6729即（－3）6=729用帶符號轉換鍵+/－的計算器：8+/－∧5=顯示：－327683+/－∧6=顯示：729所以（－8）5=－32768（－3）6=729【點撥】弄清計算器的輸入順序是關鍵.【答案】-32768，729.【設計意圖】讓學生了解用計算器進行冪運算，感受現代科技與數學的結合．3.課堂總結知識梳理冪的定義．冪的符號法則．和的區別．重難點歸納（1）冪的運算和和“幾個不為0的有理數相乘”一樣，先定符號，再定絕對值．（2）和從底數，實際意義，讀法上的區別．（三）課后作業基礎型自主突破1.計算﹣42的結果等于（）A.﹣8B.﹣16 C.16 D.8【答案】B.【解析】解：﹣42=﹣16，選B.【點撥】乘方就是求幾個相同因數積的運算，﹣42=﹣（4×4）=﹣16．2.下列四個數中，是負數的是（）A.|﹣3| B.（﹣3）2 C.﹣（﹣3） D.﹣32【答案】D.【解析】解：A.|﹣3|=3，不符合題意；B.原式=9，不符合題意；C.原式=3，不符合題意；D.原式=﹣9，符合題意，選D.【點撥】各項利用絕對值的代數意義，乘方的意義，相反數的性質判斷即可．3.中，底數是，指數是．【答案】，5．【解析】解：中，底數是，指數是5，【點撥】對于冪an中，底數是a，指數是n，據此可以解答此題．4.計算：﹣23=，=．【答案】﹣8；.【解析】解：﹣23=﹣8，=.【點撥】原式利用乘方的意義計算即可得到結果．5.計算：=．【答案】﹣1．【解析】解：原式===﹣1．【點撥】原式先計算乘方運算，再計算乘除運算即可得到結果．6．計算．【答案】﹣35．【解析】解：=﹣8+9﹣9×4=﹣8+9﹣36=﹣44+9=﹣35．【點撥】根據有理數的乘方的定義進行計算即可得解．能力型師生共研1.我國古代典籍《莊子?天下篇》中曾說過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，現有一根長為1尺的木桿，第1次截取其長度的一半，第2次截取其第1次剩下長度的一半，第3次截取其第2次剩下長度的一半，如此反復，則第99次截取后，此木桿剩下的長度為（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】B．【解析】解：第1次截取其長度的一半，剩下長度為×1=尺，第2次截取其第1次剩下長度的一半，剩下的長度為×1=尺，第3次截取其第2次剩下長度的一半，剩下的長度為×1=尺，如此反復，第99次截取后，木桿剩下的長度為×1=（尺），則此木桿剩下的長度為尺．【點撥】根據題意，利用乘方的意義確定出剩下的長度即可．2.若a2=4，b2=9，且ab＜0，則a﹣b的值為．【答案】5或﹣5．【數學思想】分類討論．【解析】解：∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，∴a=2時，b=﹣3，a﹣b=2﹣（﹣3）=2+3=5，a=﹣2時，b=3，a﹣b=﹣2﹣3=﹣5，所以，a﹣b的值為5或﹣5．【點撥】根據有理數的乘方求出a、b，再根據異號得負判斷出a、b的對應情況，然后代入代數式進行計算即可得解．探究型多維突破1.若n是正整數，則的值為.【答案】0或1．【數學思想】分類討論．【解析】解：當n為奇數時，原式==0；當n為偶數時，原式==1，所以的值為0或1．【點撥】分類討論：當n為奇數或n為偶數時，再根據乘方的意義計算出，然后進行有理數的加減法運算和除法運算．2.觀察下列各式：…（1）計算：13+23+33+43+…+103的值；（2）試猜想13+23+33+43+…+n3的值．【答案】3025；.【解析】解：（1）13+23+33+43+…+103，=，=×100×121，=3025；（2）13+23+33+43+…+n3=．【點撥】觀察已知的幾個式子可以得到規律：等號的左邊是從1開始的連續整數的立方和的形式，右邊是與兩個數的平方的積，第一個是左邊的整數中的最大的一個，第二個是比這個數大1的相鄰的整數，據此規律即可求解．自助餐1.計算（﹣1）2014+（﹣1）2015的結果是（）A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.2【答案】A．【解析】解：（﹣1）2014+（﹣1）2015=1﹣1=0，選A．【點撥】直接利用有理數的乘方運算法則化簡求出即可．2.一張厚度為0.1mm的紙，如果將它連續對折20次，它的高度接近于（）A.一本數學課本的厚度 B.籃球架的高度C.籃球場地的周長 D.400m跑到長度【答案】C【解析】解：根據題意得：0.1×220=104857.6mm=104.8576m，則它的高度接近于籃球場地的周長，選C．【點撥】根據題意列出算式，利用乘方的意義計算即可得到結果．3.（﹣0.125）2006×82005=．【答案】0.125．【解析】解：82005×（﹣0.125）2006=82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125）=（﹣8×0.125）2005×（﹣0.125）=0.125.【點撥】觀察式子的特點，發現兩個冪的底數互為倒數，因而可以逆用積的乘方運算性質．4.已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×…，若14+=142×（a、b均為正整數），則a+b=．【答案】209．【解析】解：由已知得出：14+=142×，b=142﹣1，a=14，∴a+b=14+142﹣1=209．【點撥】根據已知條件得出數字之間的規律，從而表示出a，b，進而求出a+b的值．5.化簡并在數軸上分別畫出表示下列各數的點，并把各數用“＜”號連接起來．（﹣1）2016，+（﹣3.5），﹣（﹣1.5），﹣|﹣2.5|，﹣22【答案】1；﹣3.5；1.5；﹣2.5；﹣4；﹣22＜+（﹣3.5）＜﹣|﹣2.5|＜（﹣1）2016＜﹣（﹣1.5）．【解析】解：（﹣1）2016=1；+（﹣3.5）=﹣3.5；﹣（﹣1.5）=1.5；﹣|﹣2.5|=﹣2.5；﹣22=﹣4．﹣22＜+（﹣3.5）＜﹣|﹣2.5|＜（﹣1）2016＜﹣（﹣1.5）．【點撥】根據有理數的乘方、相反數、絕對值化簡，即可解答．6.閱讀題：根據乘方的意義，可得：22×23=（2×2）×（2×2×2）=25．請你試一試，完成以下題目：（1）53×52=（）×（）=5（）；（2）a3?a4=（）?（）=a（）（3）歸納、概括：am?an=（）（）==a（）（4）如果xm=4，xn=5，運用以上的結論計算xm+n=．【答案】（1）5×5×5）×（5×5），5；（2）（a?a?a）?（a?a?a?a）