考向32銳角三角函數

【真題再現】

1.（2022?陜西?統考中考真題）如圖，Az）是：ABC的高，若BD=2CD=6,tan∕C=2,則邊AB的長為（）

A

BDC

A.3√2B.3√5C.3√7D.6√2

2.（2022?四川樂山?統考中考真題）如圖，在RtABC中，ZC=90o,BC=√5,點。是AC上一點，連接BD若

tanNA=',IanZABD=-,則CD的長為（）

23

C

.二B

A.2√5B.3C.√5D.2

4

3.（2020.安徽?統考中考真題）如圖，RtΛBC中，ZC=90°,點。在AC上,ZDBC=ZA.若AC=4,coSA=1,

則BO的長度為（）

912-15

A.-B.—C.—D.4

4S4

4.（2022?山東濟南?統考中考真題）數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖，他們在地面上C點測

得最高點A的仰角為22。，再向前70m至。點，又測得最高點A的仰角為58。，點C,D,B在同一直線上，則該建

筑物A8的高度約為（）（精確至IJIm.參考數據：sin22o≈0.37,tan22o≈0.40,sin58o≈0.85,tan58o≈1.60）

C.37mD.46m

5.（2022?廣東廣州.統考中考真題）如圖，正方形ABe。的面積為3,點E在邊CD上，且CE=I,乙ABE的平分

線交4。于點凡點M,N分別是BE,BF的中點，則MN的長為（）

B

A.且B.也

22

C.2-√3D.

2

6.（2020?山東濟南?中考真題）如圖，在矩形紙片ABCO中，AQ=10,A8=8,將48沿AE翻折，使點2落在8'處,

AE為折痕;再將EC沿E尸翻折,使點C恰好落在線段EB上的點C'處,E尸為折痕,連接AC'.若CF=3,則tanAB1AC

7.（2022?重慶?統考中考真題）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABZ）E是沿湖泊修建的人行步道.經測量,

點C在點A的正東方向，AC=200米.點E在點A的正北方向?點8,。在點C的正北方向，BO=Ioo米.點B在

點A的北偏東30。，點。在點E的北偏東45。.

(1)求步道OE的長度(精確到個位)：

(2)點。處有直飲水，小紅從A出發沿人行步道去取水，可以經過點B到達點Q,也可以經過點E到達點。.請計算

說明他走哪一條路較近？(參考數據：√Σ≈1.4I4,√3≈1.732)

8.(2021?四川內江?統考中考真題)如圖，AB是。的直徑，C、。是;。上兩點，且BO=CC,過點。的直線

OElAC交AC的延長線于點E,交AB的延長線于點F,連接A。、OE交于點G.

(1)求證：DE是。的切線；

(2)若嘗=?,。的半徑為2,求陰影部分的面積:

AG3

(3)連結8E,在(2)的條件下，求BE的長.

【考點梳理】

考點L銳角三角函數的定義、特殊角的三角函數值

1.銳角三角函數的概念

(1)銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數.

(2)在aABC中，ZC=90o,

ZA的正弦sinA=ZA的余弦cosA=,ZA的正切tanA=.

2.特殊角的三角函數值（填寫下表）

三角函數30o45o60o

sina

cosa

tana

考點二.解直角三角形

（1）解直角三角形的概念

在直角三角形中,除直角外,一共有5個元素,即3條邊和2個銳角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知

元素的過程,叫做解直角三角形.

（2）直角三角形的解法

直角三角形的解法按除直角外已知2個元素的不同情況可大致分為四種類型：

①已知一條直角邊和一個銳角（如α,NA）,其解法為:NB=90。-NA,C=，一；

sinA

②已知斜邊和一個銳角（如c,NA）,其解法為:N8=9（）o-/A,4=c?sinA;

③已知兩直角邊（如白力）,其解法為"=∕+∕72,tanA=N;

b

④已知斜邊和一直角邊（如°,〃）,其解法為:"=/?〃2/吊4=區.

C

考點三：解直角三角形的實際應用

I相紇

在找找“水平拽所或的的中.

仰他、偉水平慢的上方是抑初搜在水平線

的卜方是僻M

城一城比r地面的mu跖

和水It蜜收I的比叫做埴度.用字母I

發度、城Q衣<=-=tana

城角，城間與水干囪的夾角叫罐

/

用.用字緋a?ft示.

相南喊擔北方向線。Hb方向

力向用

假所成的小I90蜜JMI叫做力伐機

OAc

【題型探究】

題型一：銳角三角函數的定義、特殊角的三角函數值

9.（2023?河北石家莊?校考一模）在正方形網格中，以格點。為圓心畫圓，使該圓經過格點A,B,并在點A,B的

右側圓弧上取一點C,連接AC,BC,則SinC的值為（）

?-TBYc?,d?T

10.（2023?陜西西安?西安市鐵一中學校考三模）如圖，已知正方形A8CO,若點E在正方形ABC。內，且AB=A￡,

當SMBE=當時,254E的度數為（）

3正方形ABa）4

A.30oB.150oC.450D.135o

11.（2023?廣東?一模）如圖，在ABC中，CA=CB=^ZBAC=af將ABC繞點A逆時針旋轉2α,得到，ABC,

連接B'C并延長交AB于點O,當夕OJ_AB時，89的長是（）

B

D.

9

題型二：同角三角函數求值

12.（2022.廣東梅州?統考一模）如圖，在RjΛBC和砂VAr）E中，ZBAC=ZDAE=90°,AC=Ar>=3,4B=AE=5.連

接BC,CE,將△4）E繞點4旋轉一周，在旋轉的過程中當NDBA最大時，^ACE的面積為（）.

C.9D.9√2

13.（2021?江蘇?校聯考二模）如圖，在心AABC中，ZΛCβ=90o,AC=3,。是邊AB上一點，連結8,將△ACD

沿。翻折得到AECQ,連結BE.若四邊形BeQE是平行四邊形，則BC的長為（）

A

A.√3B.3C.2√3D.3√2

14.（2019?陜西寶雞?統考一模）如圖，直徑為10的。A經過點C（0,5）和點0（0,0）,B是y軸右側。A優弧上一點,

則/OBC的余弦值為（）

題型三：解直接三角形

15.（2023?陜西西安?高新一中校考模擬預測）如圖，在RtZXABC中，NC=90。，SinB=2，點力在BC邊上，且

CD=AC,連接AO,若48=13,則8。的長為（）

16.（2023?陜西寶雞?統考一模）如圖，在，ABC中，tanB=l,SinC=g,AB=應,則邊BC的長為（）

A.2√3-lB.√3+lC.√2+lD.2√2-l

17.（2023?山西臨汾?統考一模）如圖，在YABCo中，過點A作AEJ.3C,垂足為E.若BC=4,ZC=105°,

NBDC=450,則AE的長為（）.

ATB.l+√3C.2+石D.2+2√3

18.（2022?浙江杭州?校考二模）如圖,O的半徑，AB于點C,連接AO并延長交O于點E,連接EC.若AB=8,

c2√f3

?I13

題型四：仰角俯角問題

19.（2023?廣東深圳?統考一模）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂A處看乙樓樓頂8處仰角

為30。，則甲樓高度為（）

A.15米B.（36-IoG）米C.15√J米D.（36-15月）米

20.（2023?四川綿陽?統考二模）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，神舟十三

號載人飛行任務收得圓滿成功，中國航天，又站在了一個新的起點.如圖2021年10月16日，神舟十三號載人飛船

從地面。處成功發射，當飛船到達點A時，地面。處的雷達站測得AO=40（X）米，仰角為30。，3秒后，飛船直線上

升到達點B處，此時地面C處的雷達站測得8處的仰角為45。.點。，C,。在同一直線上，已知C,。兩處相距460

米，則飛船從A到3處的平均速度為（）米/秒.（結果精確到1米；參考數據：√3≈1.732,√2≈1.414）

C.334D.333

題型五：方位角問題

21.（2023?陜西西安?校考三模）某驅逐艦在海上執行任務后剛返回到港口A,接到上級指令，發現在其北偏東30。方

向上有一艘可疑船只C,與此同時在港口A處北偏東60。方向上且距離IOkm處有另一艘驅逐艦8也收到了相關指

令，驅逐艦B恰好在可疑船只C的南偏東30。的方向上，則可疑船只C距離港口A的距離為（）

A.B.I°GkmC.kmD.lθ?/?km

333

22.（2022?河北石家莊?二模）如圖，某漁船正在海上尸處捕魚，先向北偏東30。的方向航行IOh”到A處.然后右

轉40。再航行5√5k機到B處，在點A的正南方向，點尸的正東方向的C處有一條船，也計劃駛往B處，那么它的航

A.北偏東20°B.北偏東30°C.北偏東35°D.北偏東40°

題型六：坡度坡比問題

23.（2022?山東濟南?統考模擬預測）小明去爬山，在山腳A看山頂。的仰角NC4￡>=30。，小明在坡比為5:12的山

坡上走1300米到達B處，此時小明看山頂的仰角NnBF=60。，則山高8為（）米

C.(350+350到D.50()6

24.（2022.廣東廣州.廣州市第?中學校考模擬預測）如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點4的仰角為

63.4°,沿山坡向上走到P處再測得該建筑物頂點A的仰角為53。.已知BC=90米，且B、C、。在同一條直線上,

山坡坡度i=5：12,求此人從所在位置點尸走到建筑物底部B點的路程（）米.（結果精確到0.1米）（測傾器的

4

高度忽略不計，參考數據：tan53o≈-,tan63.4o≈2）

BD水平-地面

A.119.2B.137.1C.129.2D.127.1

題型七：三角函數和其他知識點綜合

25.(2023?廣東汕頭?校聯考一模)如圖，PA、尸B是，：。的切線，A、B是切點，AC是O的直徑，連接。P,交

O于點Q,交AB于點E.

CB

(1)求證：BC//OP；

(2)若E恰好是OO的中點，且四邊形。4PB的面積是166，求陰影部分的面積;

(3)若SinNBAC=g,且AD=26,求切線叢的長.

∩ΔI

26.(2023?廣西桂林?統考一模)如圖，在矩形AO8C中，-=-(?>!),以點。為原點，分別以OB,所在直線

OBn

為X軸，y軸，建立直角坐標系，反比例函數y=K的圖象與邊AC交于點M(l,3),交BC邊于點N,連接MV.

X

⑴求人的值;

(2)求IanNeMV的值(用含”的代數式表示);

(3)將CNM沿MN翻折，當點C恰好落在X軸上時，求〃的值.

27.(2023?湖北孝感?校考一模)在ABC中，ZBAC=90o,AB=AC,線段AB繞點A逆時針旋轉至(Ao不

與AC重合)，旋轉角記為α,/D4C的平分線AE與射線8。相交于點E,連接EC.

AA

A

（1）如圖①，當α=20。時，NA的度數是

（2）如圖②，當0。VaV90。時，求證：BD+2CE=血AE;

⑶當0。<1<180。，AE=2C石時，請直接寫出tanNBC石的值.

【必刷好題】

一、單選題

28.（2023?江蘇宿遷?統考一模）如圖，在正方形網格中，ABC的頂點均在格點上，貝IJtanA的值為（）

29.（2023?廣東廣州,執信中學校考一模）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算

弧田面積所用公式為：弧田面積=T（弦X矢+矢2）,弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦''指圓

弧所對弦長4中矢'’等于半徑長與圓心。到弦的距離之差.在如圖所示的弧田中，“弦”為8,“矢”為3,則CoSNa45=

)

30.（2023?江蘇無錫?江蘇省錫山高級中學實驗學校校考一模）如圖，點A是反比例函數y=-L圖像上一動點，連

X

4

接A。并延長交圖像另一支于點8.又C為第一象限內的點，且AC=BC,當點A運動時，點C始終在函數y的

X

圖像上運動.則NC48的正切值為（）

31.（2023?廣東深圳?二模）如圖分別是2個高壓電塔的位置.已知電塔A,8兩點水平之間的距離為80米（4C=80m）,

ZBAC=a,則從電視塔A到B海拔上升的高度（BC的長）為（）

32.（2023?湖北武漢?校聯考模擬預測）如圖，PA,尸B分別為?的切線，切點為A,8,點C為弧AB上一動點,

過點C作?的切線，分別交期,PB于點D,E,作△尸DE的內切圓若NP=2a,?的半徑為R,O2

33.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=?20o,DEJ.BC交BC的延長線于點￡連接AE

交BD于點,F,交CO于點G.FHLCD于點、H,連接CF?有下列結論：（T）AF=CF；②CF,=EFFG;

③尸G:EG=4:5；④CoSNG"7=域?則上述結論中正確的有（）

14

C.3個D.4個

二、填空題

4

34.（2023?廣東惠州?校考一模）如圖，在ABC的外接圓。中，AB=2,SinZACB=W,點E為A3的中點，則O

的直徑為.

35.（2023?上海徐匯?統考一模）如圖，在由正三角形構成的網格圖中，A、B、C三點均在格點上，則SinNA4C的

36.（2023?湖北孝感?校考一模）如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30。，然后向山腳

直行200米到達C處，再測得山頂A的仰角為45。，那么山高Az）約是一米（結果保留整數，參考數據：√2≈1.4∣4,

√3=1.732)

37.（2023?湖北武漢?校聯考模擬預測）如圖，某科技興趣小組在操場上活動，此時無人機在離地面20Gm的點。處,

無人機測得操控者A的俯角為30。，測得點C處的俯角為45。.又經過人工測量操控者A和教學樓8C之間的水平距

離為80m,教學樓SC的高度m.（注：點A,B,C,。在同一平面上，參考數據：√3≈1.732,結果保

留整數）

D

3砂h▽稱

/'?C

一甩

AB

38.（2023?安徽安慶?統考一模）如圖，。是等腰RtZVlBC的斜邊BC邊上一點，連接A。，作AABO的外接圓，并

將Z?AT>C沿直線AO折疊，點C的對應點E恰好落在AABD的外接圓上，若CoSNADB=典，AB=3廂.①BE=

10

②的外接圓的面積為（結果保留萬）

39.（2023?湖南衡陽?校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，。8的解析式為y=坐X,點A坐標為（2,0）,過

A作AAj.。8,垂足為點A；過點A作44?Lχ軸，垂足為點4；再過點4作44?LO8,垂足為點4；再過點AI作

AAtLX軸，垂足為點兒，這樣一直作下去，則A2必的縱坐標為.

三、解答題

40.(2023?陜西西安?高新一中校考二模)長安塔是2011西安世園會的標志，也是園區的觀景塔，游人可登塔俯瞰,

全園美景盡收眼底.該塔的設計既體現了中國建筑文化的內涵，又彰顯出時尚現代的都市風貌，是生態建筑的實踐

和示范，建成后的目標是成為提升西安城市建筑文化內涵的標志性建筑.小華是一位數學愛好者，想利用所學的知

識測量長安塔的高度，陽光明媚的一天，小華站在點。處利用測傾器測得塔尖A的仰角為42。，然后沿著Zw方向

走了60米到達點尸處，此時塔的影子頂端與小華的影子頂端恰好重合，小華身高斯=1.7米，測得尸G=3米，測

傾器的高度CD=O.8米，己知A3LBG,CDVBG,EFLBG.請你根據以上信息，計算塔AB的高度.(結果精

確到1米；參考數據：tan42o=0.9)

41.(2023?山東濟寧?統考一模)如圖，AB為。的直徑，C為。上一點，。為BA延長線上一點，ZACD=AB.

(1)求證：DC為。的切線；

3

(2)若。的半徑為5,SinB=-,求AO的長.

42.（2023?廣東佛山?校考一模）如圖，AB是。的直徑，弦CcAB于點E,點尸在）0上，"'與CO交于點G,

點，在。C的延長線上，且〃尸是〈。的切線，延長，/交AB的延長線于點

⑴求證：HG=HF-,

4

⑵連接BF,若SinM=《，BM=2,求所的長.

43.（2023?陜西西安?校考二模）華山是陜西著名的景點之一，西峰是華山最秀麗險峻的山峰，峰頂翠云宮前有巨石

狀如蓮花，故又名蓮花峰.游客可以從山底乘坐索道車到達西峰，小明要測量峰頂翠云宮的高度，他在索道A處測

得翠云宮底部B的仰角約為30。，測得翠云宮頂部C的仰角約為37。,索道車從A處運行到B處的距離約為300米.請

你利用小明測量的數據，求翠云宮8C的高度.（結果保留整數.參考數據：

sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan37o≈0.75,√3≈1.73）

C

B

30°

D-A

44.(2023?廣東惠州?校聯考一模)如圖，四邊形ABa)內接于O,8。是;。的直徑，AELCD,垂足為E,DA

平分NBDE.

(1)求證：AE是〈。的切線；

(2)若sinNOBC=g,OE=Icm,求BO和弧的長.

45.(2023?浙江溫州?統考一模)如圖，在矩形ABCD中，AO=3,點E在AB上，AE=I,CE=CD,DFLCE^

點EM,N分別是線段Sb上的點’且滿足黑$設CM=X，ENi

(1)求CE的長.

(2)求y關于X的函數表達式.

(3)連結MN,過點M作用”〃CE交AB于點/7,連結NH.

①在ANHM中，以”M為一邊的角等于NAQF時，求V的值.

②作點H關于MN的對稱點ZT,當點//落在邊5C上時一，求鑒的值.

參考答案：

I.D

【分析】先解直角ΛBC求出AO,再在直角中應用勾股定理即可求出A8.

【詳解】解：?.?8D=2CD=6,

，CD=3,

；直角一ADC中，tanZC=2,

.*.AD=CD?tanNC=3×2=6,

；?直角AABD中，由勾股定理可得，AB￡AU+BCf1=√^T^^=6√^?

故選D.

【點睛】本題考查利用銳角函數解直角三角形和勾股定理，難度較小，熟練掌握三角函數的

意義是解題的關鍵.

2.C

【分析】先根據銳角三角函數值求出AC=26，再由勾股定理求出AB=5,過點。作OElAB

于點E,依據三角函數值可得OE=gAE,=；8E,從而得BE=IAE,再由AE+BE=5得

AE=2,DE=I,由勾股定理得Af)=行，從而可求出CD

【詳解】解：在RtABC中，ZC=90o,BC=S

.〃BC\

??t3∏NyA==一

AC2

/.AC=2BC=2邪,

由勾股定理得,AB=AC"+BC2=7(2√5)2+(√5)2=5

過點。作。E∕Aβ于點E,如圖，

β.,tanZA=—,tanNABD=-,

23

?"」DE\

**AE^2,BE^3,

/.DE=-AE,DE=-BE,

23

：.-AE=-BE

23

3

BE=JAE

2

?.?AE+BE=5,

3

.?.AE+-AE=5

2

：.AE=2,

.,.DE=I,

^.RtMDE中,AD?=AE?+庶

?,?AD=-JAE2+DE2=√22+12=√5

?.?AD+CD=AC=26

：.CD=AC-AD=2亞-亞=瓜

故選：C

【點睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出QE的長是解

答本題的關鍵.

3.C

4

【分析】先根據AC=4,C?OTA=∣,求出AB=5,再根據勾股定理求出BC=3,然后根據

4

ADBC=ZA,即可得cos/DBC=CosA=-,即可求出BD.

［詳解］?.?NC=90°,

?ΛAC

..cosA=----,

AB

4

,.*AC=4,cosA——,

5

.?.AB=5,

根據勾股定理可得BC=√AB2-AC2=3,

?：NDBC=ZA,

4

ΛcosZDBC=CosA=-,

5

,BC434

.*.cosZDBC=----=一即一^二

BD5BD5

故選：C.

【點睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的長是解題關鍵.

4.C

【分析】在中，解直角三角形求出。8=1A8,在放AABC中，解直角三角形可求

O

出AB.

Λβ

【詳解】解：在RrZkABO中，IanNAZ)B=——

DB

AB

???DB=≈-=-ABf

tan58°1.68

Λβ

在RthABC中，IanZACB=----

CB

.tan22°=——--≈0.4

'?70+-AB

8

112

解得：AB=寧≈37m,

故選：C.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握正切函數的定義是解題的關鍵.

5.D

【分析】如圖，連接EF,先證明AB=BC=CO=Ao=√I?ABC90??A?Q,再求解

tan?EBC—=-L=^,可得？EBC30?,?ABF-IABE30?,再求解

BC√332

AF=ABgfan30?1,可得J)EF為等腰直角三角形，求解EF=近DE=娓-五,再利用三

角形的中位線的性質可得答案.

【詳解】解：如圖，連接ER

?；正方形ABeo的面積為3,

?AB=BC=CD=AD=ABC90??A?D,

?：CE=],

：.DE=C-I,

CE1√3

.".tan?EBC----————

BC√33

.?.?EBC30?,

\?ABE90?30?60?,

?.”平分NABE,

?1ABF??ABE30?,

2

/.AF=ABgtan30?√3?李1,

.,.DF=6-I,

.??.QEF為等腰直角三角形，

?EF=CDE=例A\=娓一五,

?.?加,"分別為3旦8尸的中點，

??ΛM1CC?/e'&

?MN=-EF=-----------.

22

故選D

【點睛】本題考查的是正方形的性質，銳角三角函數的應用，等腰直角三角形的判定與性質,

角平分線的定義，三角形的中位線的性質，求解？EBC?ABF30?是解本題的關鍵.

6.-

4

【分析】連接AF,設CE=X,用X表示AE、EF,再證明NAEF=90。，由勾股定理得通過

A尸進行等量代換列出方程便可求得X,再進一步求出QC,便可求得結果.

【詳解】解：連接AF,設CE=X,則C，E=CE=X,BE=B1E=W-x,

?；四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=S,AD=BC=IO,NB=NC=NQ=90°,

.?AE2=AB2+BE2=S2+(IO-X)』164-20x+x2,

EF2-CE2+CF2=√+32=X2+9,

由折疊知，ZAEB=ZAEB',ZCEF=ZCEF,

":ZAEB+ZAEB'+ZCEF+ZCEF^180°,

ZAEF=ZAEB'+ZCEF=90°,

222

A產=AE2+E產=164-20x+x+x+9^2x-20x+173,

,."AF2=AD2+DF2=iO2+(8-3)2=125,

.?.2√-20x+173=125,

解得，x=4或6,

當x=6時，EC=EC'=6,BE=B'E=8-6=2,EC'>B'E,不合題意，應舍去,

：.CE=C'E=4,

.?.B'C'=B'E-C'E=(10-4)-4=2,

?.?ZB,=ZB=90o,AB1=AB=S,

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，銳角三角函數，勾股定理，掌握折疊的性質

是解題關鍵.

7.（1）283米

（2）經過點8到達點。較近

【分析】（1）過E作BC的垂線，垂足為H,可得四邊形AC//E是矩形，從而得到

E"=AC=200米，再證得△OEH為等腰直角三角形，即可求解；

（2）分別求出兩種路徑的總路程，即可求解.

【詳解】（1）解：過E作BC的垂線，垂足為”，

ZCAE=ZC=ZCHE=90o,

四邊形ACHE是矩形，

E"=AC=200米，

根據題意得：NO=45。，

△△DEH為等腰直角三角形，

H=EH=200米，

?DE=s∕2EH=200√2≈283（米）；

（2）解：根據題意得：ZABC=ZBAE=30o,

在RtABC中，

，AB=2AC=400米，

.??經過點B到達點D,總路程為AB+BD=5W米,

?"?BC=y∣AB2-BC2=200√3（米），

?,?AE=CH=BC+BD-DH=200√3+100-200=200√3-100（米），

經過點E到達點。，總路程為2000+200√3-100≈529>500,

經過點8到達點。較近.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題

的關鍵.

8.（1）見解析；（2）2y∣3-^-；（3）?/f?

【分析】（1）根據同圓中等弧所對的圓周角相等得到∕C4O=∕D4B,根據等邊對等角得到

ZDAB=ZODA,則NCAQ=NOD4,即可判定O￡）〃4E,進而得到。。_LQE,據此即可得

解；

（2）連接8￡>,根據相似三角形的性質求出AE=3,AO=2g,解直角三角形得到/D4B=30。,

貝叱EAF=60°,/￡>08=60°,DF=2jj,再根據S明新SA。。F-SgOOB即可得解；

（3）過點E作EMLAB于點M,連接BE,解直角三角形得到AM=-,EM=巫,則MB=-,

222

再根據勾股定理求解即可.

【詳解】解：（1）證明：如圖，連接。。，

BD=CD,

NCAD=NDAB,

OA=OD,

.-.ZDAR=/.ODA,

.?.NGAO=NOZM,

:,OD//AE,

DElAC,

.-.ODLDE,

OO是。的半徑,

；.DE是。的切線;

(2)解：OD//AE,

.^.?OGDζyry^EGA,

DGOD

/.——=——,

AGAE

~~=~，。的半徑為2,

AG3

?.?2一=—2,

3AE

.*.AE=3,

如圖，連接

AB是。的直徑，DE±AEf

ZAED=ZADB=90o,

.ZCAD=ZDABf

.?.ΔΛEZ>^ΔA0β，

AEAD

AD^AB

3

ep?=AD

AD4

.?.AD=2√3,

c°sNΩ4B=絲=立

在RtΔADB中,

AB2

.?.NZMB=30。，

.?.NEAF=60。，NDOB=60。，

??.ZF=30o,

OD=2i

22

.?.DF==2√3

tan30o?/?

3

?$=SRFa=TX2x2小嗤』24號

(3)如圖，過點E作EM_LAB于點M,連接5E,

EM=AESin60。=述

2

35

/.MB=AB-AM=4--=-,

22

.?.BE=y∣EM2+MB2==vr?

【點睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質、扇形的面積、相似三角形的判定與

性質、解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質并證明

△OGoSAiEGA求出AE是解題的關鍵.

9.D

【分析】根據圓周角定理得出ZAC8=；4。8=45。，進而即可求解.

【詳解】解：???ZACB=gZAOB=45°,

?'?sinC=sin45o=，

2

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理，求特殊角的正弦值，掌握以上知識是解題的關鍵.

10.C

1?

【分析】如圖所示，過點作于分別求出=AB2,

EEF,ΛBF,SAAZiE=e48?Mmscd

進而推出EF=顯AB,然后解直角三角形即可得到答案.

2

【詳解】解：如圖所示，過點七作于凡

,?SAABE=2AB?EF,

???四邊形438是正方形，

:?S正方形ABCD=AB,

S正方形A8C7)

AB2~4

.*.EF=—AB，

2

?.?AE=ABf

.?.EF=-AE,

2

在RtAFE中，sinZEAF=—=—,

AE2

.?ZEAF=45°,即NBAE=45°,

故選C.

FB

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，解直角三角形，正確求出EF*AS是解題的關鍵.

11.B

【分析】先證NB'AD=60。，再求出AB的長，最后根據弧長公式求得88"

【詳解】解：CA=CB,B'DLAB,

AD=DB=-AB,

A8C是ABC繞點A逆時針旋轉2α得到,

.?AB=AB',AD=-AB',

2

ΛΓ)1

在心ΔAB'。中，cosZB,ΛD=——=-,

AB'2

.?Zβ,AD=60o,

,ACAB=a,Z.B'AB=2a,

,o

.?.ZCAB=-ZBAB=-×60=30°f

AC=BC=4,

J3

.?.AD=AC.cos30o=4×-=2√3,

2

.?.AB=2AD=4√3，

t∕∣z60τrA.β4√3

B夕的ll1長二…=------π

3

故選：B.

【點睛】本題考查了圖形的旋轉變換，等腰三角形的性質，三角函數定義，弧長公式，正確

運用三角函數定義求線段的長度是解本題的關鍵.

12.A

【分析】先分析出D的軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當BD與該圓相切時，NDBA

最大，過C作Cr_LAE于R由勾股定理及三角函數計算出B。、。尸的長，代入面積公式求

解即可.

【詳解】解：由題意知，。點軌跡為以A為圓心AQ的長為半徑的圓，

當與。點的軌跡圓相切時，NOBA取最大值，此時N&M=90。，如圖所示，

過。作CFj_AE于R

oo

VZDAE=90fZBAC=90f

：.ACAF=ABAD,

在肋AABO中，由勾股定理得：BD=√52-32=4

由SinNcAF=SinNBA。得：

CFBD

AC-Aβ,

RrICF4

即「歹

12

解得：CF=

Iio

.?.此時三角形ACE的面積=6,

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、銳角三角函數、勾股定理等知識點.此題綜合性較強，解

題關鍵是利用D的軌跡圓確定出NQB4取最大值時的位置.

13.A

【分析】設BREC相交于點F,由翻折及題目信息可以推出NAFC=90。，繼而求出/A,

運用三角函數值解決問題.

【詳解】如圖：設32EC相交于點JF

由翻折可知：ZA=ZDEC,CE=CA

NAeB=90。

???ZA+ZABC=90。

四邊形BCDE是平行四邊形

???CF=EF、DEllBC

:.ZEDB=ZABC

:.ZDEC+/EDB=ZA+ZABC=90°

/.ZAFC=90°

在RfACr中

AC=CE,CF=-CE

2

CF1

.?.-=sinZA=-=sin30o

AC2

??.ZA=30。

=tanZA=tan30o=

AC3

AC=3

BC=y∣3

故選A.

【點睛】本題考查了圖形的翻折，平行四邊形的性質，特殊角的銳角三角函數值，求出-A

的度數是解題的關鍵.

14.C

【分析】連接CD,由直徑所對的圓周角是直角，可得CO是直徑；由同弧所對的圓周角相

等可得NoBC=NOQC,在RmOeQ中，由Oe和CQ的長可求出SinNOnC.

【詳解】設OA交X軸于另一點。，連接CD,

"：ZCOD=90o,

...CD為直徑，

；直徑為10,

ΛCD=IO,

點C(0,5)和點。(0,0),

OC=5,

..OC1

..SinZOZJC=-----=—,

CD2

???ZODC=30o,

???NOBC=/000=30。，

，cos/OBC=COS30。=—.

2

故選C.

【點睛】此題考查了圓周角定理、銳角三角函數的知識.注意掌握輔助線的作法，注意掌握

數形結合思想的應用.

15.B

【分析】在RIZXASC中，利用銳角三角函數的定義先求出AC,再利用勾股定理求出8C,

進而求出CO,即可解答.

Arc

【詳解】解：在RtZVlBC中，ZC=90o,sin7?=—=—,AS=13,

AB13

：?ΛC=5,

:?BC=y]AB2-AC2=√132-52=12^

.CD=AC9

.?.CD=5,

:.BD=BC—CD=?2—5=7,

故選:B.

【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

16.B

【分析】過點4作AOIBC于點。，根據三角函數值和勾股定理求出AZ)=BD=I,再根據