非線性方程求根第1頁，課件共27頁，創作于2023年2月MATLAB命令例1：解方程解：在MATLAB里輸入命令：

X=solve(‘8*x^9+17*x^3-3*x=-1’)可解出9個解。例2：解方程解：X=solve(‘sin(x)=0’),很可惜運行后只輸出一個根x=0.缺點：用solve命令不能求出周期函數所對應的全部根。第2頁，課件共27頁，創作于2023年2月例3：解非線性方程組解：在MATLAB命令窗口輸入命令：E1=sym('x^x-4=0');E2=sym('2*x*y+x=1');[x,y]=solve( E1,E2)x1=double(x),y1=double(y)出來的結果為：x=log(4)/lambertw(log(4))y=-1/2*(log(4)-lambertw(log(4)))/log(4)

第3頁，課件共27頁，創作于2023年2月

x1=2y1=-0.2500注：MATLAB系統只能做數值運算，并沒有符號運算功能，符號運算工具箱（symbolicmathtoolbox)則擴充了MATLAB這方面的功能，它是由Maple的核心來完成。第4頁，課件共27頁，創作于2023年2月例4：解方程解：將方程化為，在matlab窗口輸入命令>>fa=[8,0,0,0,0,0,17,0,-3,1];>>xk=roots(fa)運行后得所有根。缺點：命令roots只能求為多項式時方程的根。

第5頁，課件共27頁，創作于2023年2月一、圖解法求方程的正根，設分別畫出的圖形，兩條曲線的交點即為原方程的根，從圖中觀察，根大約為0.38。第6頁，課件共27頁，創作于2023年2月二、二分法對于求解給定區間的根，二分法是一種既簡單又穩健的方法，可以與圖解法結合使用。第7頁，課件共27頁，創作于2023年2月最終解經過n步迭代后，區間長度變為：即為可能的最大誤差第8頁，課件共27頁，創作于2023年2月當給定容許誤差時，所需最小迭代步數為：用于二分法計算的函數bisec_n.functionbisec_n(f_name,a,c)tolerance=0.000001;it_limit=30;fprintf('It.abcf(a)');fprintf('f(b)f(c)\n');it=0;Ya=feval(f_name,a);Yc=feval(f_name,c);if(Ya*Yc>0)fprintf('\n\nStoppedbecausef(a)f(c)>0\n');第9頁，課件共27頁，創作于2023年2月elsewhile1it=it+1;b=(a+c)/2;Yb=feval(f_name,b);fprintf('%3.0f%10.6f,%10.6f',it,a,b);fprintf('%10.6f,%10.6f,%10.6f,%10.6f\n',c,Ya,Yb,Yc);if(abs(c-a)<=tolerance)fprintf('Toleranceissatisfied.\n');breakendif(it>it_limit)fprintf('Iterationlimitexceeded.\n');breakendif(Ya*Yb<=0)c=b;Yc=Yb;elsea=b;Ya=Yb;endendfprintf('Finalresult:Root=%12.6f\n',b);end第10頁，課件共27頁，創作于2023年2月例1求函數的零點。bisec_n('fun_ex2',0.8,1.0)functionf=fun_ex2(x)f=sqrt(1+x.^2)-tan(x);解答：首先通過畫圖，根約為0.9，然后調用函數。結果為：Root=0.941462第11頁，課件共27頁，創作于2023年2月三、迭代法改寫方程：建立迭代格式：若收斂，則必收斂到的根，即則，得到序列第12頁，課件共27頁，創作于2023年2月迭代過程的幾何表示y第13頁，課件共27頁，創作于2023年2月x0=1.5;err=1;fprintf('%f',x0);whileabs(err)>0.000001x1=(x0+1).^(1/3);fprintf('%f',x1);err=x1-x0;x0=x1;end迭代收斂。第14頁，課件共27頁，創作于2023年2月x0=1.5;err=1;fprintf('%f',x0);fori=1:3x1=x0.^3+1;fprintf('%f',x1);err=x1-x0;x0=x1;end第15頁，課件共27頁，創作于2023年2月收斂充分性定理

第16頁，課件共27頁，創作于2023年2月第17頁，課件共27頁，創作于2023年2月自動生成的一個方法為：則迭代格式變為：其中為常數，可由如下方式確定：因時收斂，則也即當時，迭代收斂。其中必須與同號，當時，收斂速度最快。若在每一步迭代中，令，得到Newton迭代公式。第18頁，課件共27頁，創作于2023年2月例3求方程在內的根。解答：令的近似值為：取則迭代公式為：第19頁，課件共27頁，創作于2023年2月給出迭代法的一個M文件：function[k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai(x0,k)%輸入量--x0是初始值，k是迭代次數x(1)=x0;fori=1:kx(i+1)=fun(x(i));%程序中調用的fun.m文件

piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/abs(x(i+1)+eps);i=i+1;xk=x(i);[(i-1)pianchaxdpianchaxk]endif(piancha>1)&(xdpiancha>0.5)&(k>3)disp('請用戶注意：此迭代序列發散，請重新輸入新的迭代公式')return;end第20頁，課件共27頁，創作于2023年2月if(piancha<0.001)&(xdpiancha<0.0000005)&(k>3)disp('祝賀你！此迭代序列收斂，且收斂速度較快')return;endp=[(i-1)pianchaxdpianchaxk]’例：求方程的在區間根。解：建立M文件fun.mfunctiony1=fun(x)y1=(10-x^2)/2;在窗口輸入第21頁，課件共27頁，創作于2023年2月

[k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai(2,5)結果為：請用戶注意：此迭代序列發散，請重新輸入新的迭代公式若重新建立M文件:

functiony1=fun(x)y1=x-(x^2+2*x-10)/(2*x+2)在窗口輸入：[k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai(2,5)運行結果為：祝賀你！此迭代序列收斂，且收斂速度較快第22頁，課件共27頁，創作于2023年2月四、Newton迭代法設求解方程的一個根，關于初值的一階Taylor展開為：將其看做的近似，并令為0，得到近似解：重復操作，一般地：第23頁，課件共27頁，創作于2023年2月幾何解釋：第24頁，課件共27頁，創作于2023年2月計算給定函數的一階導數可能會很繁，可用差分近似代替，如：或其中h取得很小上兩式分別為向前和向后差分近似。差分近似中的誤差很小，對于牛頓迭代法的收斂性沒有很明顯的影響，然而當根的附近有奇點時使用差分近似要小心。第25頁，課件共27頁，創作于2023年2月例4推導立方根的牛頓迭代公式，并求的立方根。解：問題等價于求的零點。Newton迭代法：令，迭代3次達到精確解。n

x055.45.3718345.371686第26頁，課件共27頁，創作于2023年2月Newton迭代公式可由函數Newt_n實現。functionx=Newt_n(f_name,x0)x=x0;xb=x-999;n=0;del_x=0.01;whileabs(x-xb)>0.0001n=n+1;xb=x;ifn>300break;endy=feval(f_