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文檔簡介
高中數學必修4知識點總結
第一章三角函數(初等函數二)
正角:按逆時針方向旋轉形成的角
1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角
零角:不作任何旋轉形成的角
2、角a的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,則
稱a為第幾象限角.
第一象限角的集合為{。k360<a<H360+90#eZ}
第二象限角的集合為{a|h360+90<H360+180,AeZ}
第三象限角的集合為{a|h360+180<a<k-360+270MeZ}
第四象限角的集合為{。k360+270<a<k-360+360?ez}
終邊在x軸上的角的集合為{a|a=Z.180MeZ}
終邊在y軸上的角的集合為{a|a=hl80+90,ZeZ}
終邊在坐標軸上的角的集合為{a,=八90eZ}
3、與角a終邊相同的角的集合為伊忸360+a#eZ}
4、已知a是第幾象限角,確定區(〃eN*)所在象限的方法:先把各象限均分〃等份,再
從x軸的正半軸的上方起,依次將各區域標上一、二、三、四,則a原來是第幾象限對
應的標號即為區終邊所落在的區域.
n
5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.
6、半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,則角a的弧度數的絕對值是冏=1.
7、弧度制與角度制的換算公式:2萬=360,1=—,l=f—1?57.3.
180\7T)
8、若扇形的圓心角為a(a為弧度制),半徑為r,弧長為/,周長為C,面積為S,則
/=r|a|,C=2r+l,S==
9,設a是一個任意大小的角,a的終邊上任意一點P的坐標是(x,y),它與原點的距離
是廠(7=J%2+y2>0),則sina=),cosa=—,tancr=—(x^O).
10、三角函數在各象限的符號:第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為
正,第四象限余弦為正.
11、三角函數線:sina-MP,cosa=OM,tandz=AT.
12、同角三角函數的基本關系:⑴sin2a+cos2a=1
(sin2a=l-cos2or,cos2=l-sin2a\;(2)-S^n<Z-=tana
\7cosa
(,sina)
s\na-tan?cosa,cosa=------.
Itana)
13、三角函數的誘導公式:
(l)sin(2A7r+a)=sina,cos(Ikrv+a)=cosa,tan(2A7r+a)=tana(%£Z)?
(2)sin(;r+a)=-sina,cos(〃+a)=-cosa,tan(?+a)=tana.
(3)sin(-df)=-sincr,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.
(4)sin=sina,cos(乃一a)=-cosa,tan(;r-a)=-tana.
口訣:函數名稱不變,符號看象限.
(6)sin[]+aJ=cosa,cos^y4-?J=-sma.
口訣:正弦與余弦互換,符號看象限.
14、函數y=sinx的圖象上所有點向左(右)平移機個單位長度,得至lj函數y=sin(x+°)
的圖象;再將函數丁=4!1(%+夕)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的5倍(縱
坐標不變),得到函數丁=5畝(5+。)的圖象;再將函數二金(5+夕)的圖象上所有點
的縱坐標伸長(縮短)到原來的A倍(橫坐標不變),得到函數丁=人5畝(3+0)的圖象.
函數y=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的,倍(縱坐標不變),得
到函數
y=sinox的圖象;再將函數丁二五!!。8的圖象上所有點向左(右)平移的個單位長度,
CD
得到函數卜=疝(5+0)的圖象;再將函數尸而(5+9)的圖象上所有點的縱坐標伸
長(縮短)到原來的A倍(橫坐標不變),得到函數丁=人$皿5+協的圖象.
函數y=Asin(Gx+o)(A>0,G>0)的性質:
①振幅:A;②周期:T=;③頻率:/=—=-^―;④相位:o)x+(p;⑤初相:(p.
coT2%
函數y=Asin(〃)x+0)+B,當工=須時,取得最小值為Wn;當工二馬時,取得最大值
、11T
為Xnax,貝UAu^y叱-ymin),B=~(ymax+ymin)*萬=馬一%(王〈馬)?
15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質:
數y=sinxy=cosxy=tanx
L
yy
圖象MJ
00
匚十X1/i
定義.兀1r
RR<xx手k兀+一,keZ,
域、2.
值域[-M][-M]R
jr
當x=2k兀+5(ZeZ)當兀=2kMk$Z)時,
時,>max=1;當ymax=l;當X=2k兀+兀
最值既無最大值也無最小值
x=lk7i--(ZeZ)時,=-l.
2
(kWZ)時,ymin=T-
周期2兀2TT71
性
奇偶奇函數偶函數奇函數
性
_,71_,71
在2k7i,2k兀H—
122在[2左萬一%,2%萬](ZeZ)上
在(女)一5,左乃+
單調
(keZ)上是增函數;在是增函數;在[2k兀,2k兀+句
性
化GZ)上是增函數.
7t3萬(ZGZ)上是減函數.
2/C萬d——,2KTT-\------
22_
(ZeZ)上是減函數.
對稱中心
對稱中心(左肛0)(左wZ)對稱中心
對稱對稱軸+eZ)[今。,叼
性
x=卜兀+eZ)
對稱粕Ix=ki(kGZ)無對稱軸
第二章平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量.
數量:只有大小,沒有方向的量.
有向線段的三要素:起點、方向、長度.
零向量:長度為0的向量.
單位向量:長度等于1個單位的向量.
平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.
相等向量:長度相等且方向相同的向量.
17、向量加法運算:
⑴三角形法則的特點:首尾相連.
⑵平行四邊形法則的特點:共起點.
.
5+3=AB+BC=AC
⑶三角形不等式:弧|-忖卜卜+6卜回+網.
(4)運算性質:①交換律:a+b=b+a;②結合律:(a+b)+d=&+(b+c);
③Q+O=O+a=a.
a-b=AC-AB=BC
⑸坐標運算:設a=(%,y),b=(x2,y2),則a+b=(西+9,x+必)?
18、向量減法運算:
⑴三角形法則的特點:共起點,連終點,方向指向被減向量.
>
⑵坐標運算:設a=(x,y),b=(x2,y2),則a—b=(百一々,弘一月)?
設A、B兩點的坐標分別為,(%2,%),則0=(百-々,y-%)?
19、向量數乘運算:
⑴實數X與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘,記作/la.
①同|=風向;
②當;1>0時,/la的方向與a的方向相同;當幾<0時,4a的方向與a的方向相反;當
2=0時,Aa-0.
⑵運算律:①=;②(/l+")d=;Li+"a;③=布+肪.
⑶坐標運算:設G=(x,y),則2?=%(樂,)=(>1%介).
20、向量共線定理:向量a(a70)與人共線,當且僅當有唯一一個實數4,使人=/la.
設<7=(3,y),b={x2,y2),其中丘0,則當且僅當石[一花3=°時,向量”、。僅70)
共線.
21、平面向量基本定理:如果e;、4是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平
面內的任意向量a,有且只有一對實數4、4,使a=4q+4e2?(不共線的向量G、e2
作為這一平面內所有向量的一組基底)
22、分點坐標公式:設點P是線段PH上的一點,PrP2的坐標分別是(百,%),(私力),
當PF=XPP,時,點P的坐標是卜土玉,絲出].
23、平面向量的數量積:
⑴a?/?=同Wcose(aw0,力w0,0<^<180.零向量與任一向量的數量積為0.
⑵性質:設a和b都是非零向量,則①a_Lbo=0.②當Q與。同向時,=同網;
2
當Q與b反向時,db=-同忖;a-d=a=同?或同=夜?4.③,心尼同問.
(3)運算律:@a-b=ba;②=/l(a.6)=a?(勸卜?{a+b^-c=d-c+b-c.
⑷坐標運算:設兩個非零向量a=(%,y),Z?=(x2,y2),則a?/?=A]X2+yiy2.
若d=(x,y),則同2=f+、2,或同=J%2+y2.
設ci=a,y),6=(%2,必),則a。%工2+X%=0.
設a、b都是非零向量,a=(x,x),b=^x2,y2),。是a與b的夾角,則
pnqn=£±=XRJ也丫2
誹|&";忘+£,
第三章三角恒等變換
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:
(Dcos(a-/7)=cosacos/?+sinasin〃;
(2)cos(a+尸)=cosacos4一sinasin/7;
(3)sin(a-/7)=sinacos/?-cosasin/7;
(4)sin(a+/?)=sinczcos/7+cos<zsin/?;
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