高中數學必修4知識點總結

第一章三角函數(初等函數二)

正角：按逆時針方向旋轉形成的角

1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角：不作任何旋轉形成的角

2、角a的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則

稱a為第幾象限角.

第一象限角的集合為{。k360<a<H360+90#eZ}

第二象限角的集合為{a|h360+90<H360+180,AeZ}

第三象限角的集合為{a|h360+180<a<k-360+270MeZ}

第四象限角的集合為{。k360+270<a<k-360+360?ez}

終邊在x軸上的角的集合為{a|a=Z.180MeZ}

終邊在y軸上的角的集合為{a|a=hl80+90,ZeZ}

終邊在坐標軸上的角的集合為{a,=八90eZ}

3、與角a終邊相同的角的集合為伊忸360+a#eZ}

4、已知a是第幾象限角，確定區(〃eN*)所在象限的方法：先把各象限均分〃等份，再

從x軸的正半軸的上方起，依次將各區域標上一、二、三、四，則a原來是第幾象限對

應的標號即為區終邊所落在的區域.

n

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

6、半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,則角a的弧度數的絕對值是冏=1.

7、弧度制與角度制的換算公式：2萬=360，1=—,l=f—1?57.3.

180\7T)

8、若扇形的圓心角為a(a為弧度制)，半徑為r,弧長為/,周長為C,面積為S,則

/=r|a|,C=2r+l,S==

9,設a是一個任意大小的角，a的終邊上任意一點P的坐標是(x,y),它與原點的距離

是廠(7=J%2+y2>0),則sina=),cosa=—,tancr=—(x^O).

10、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為

正，第四象限余弦為正.

11、三角函數線：sina-MP,cosa=OM,tandz=AT.

12、同角三角函數的基本關系：⑴sin2a+cos2a=1

(sin2a=l-cos2or,cos2=l-sin2a\；(2)-S^n<Z-=tana

\7cosa

(,sina)

s\na-tan?cosa,cosa=------.

Itana)

13、三角函數的誘導公式：

(l)sin(2A7r+a)=sina,cos(Ikrv+a)=cosa,tan(2A7r+a)=tana(%￡Z)?

(2)sin(;r+a)=-sina,cos(〃+a)=-cosa,tan(?+a)=tana.

(3)sin(-df)=-sincr,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin=sina,cos(乃一a)=-cosa,tan(;r-a)=-tana.

口訣：函數名稱不變，符號看象限.

（6）sin[]+aJ=cosa,cos^y4-?J=-sma.

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.

14、函數y=sinx的圖象上所有點向左（右）平移機個單位長度，得至lj函數y=sin（x+°）

的圖象；再將函數丁=4!1（%+夕）的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的5倍（縱

坐標不變），得到函數丁=5畝（5+。）的圖象；再將函數二金（5+夕）的圖象上所有點

的縱坐標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數丁=人5畝（3+0）的圖象.

函數y=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的，倍（縱坐標不變），得

到函數

y=sinox的圖象；再將函數丁二五!!。8的圖象上所有點向左（右）平移的個單位長度,

CD

得到函數卜=疝（5+0）的圖象；再將函數尸而（5+9）的圖象上所有點的縱坐標伸

長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數丁=人$皿5+協的圖象.

函數y=Asin（Gx+o）（A>0,G>0）的性質：

①振幅：A；②周期：T=；③頻率：/=—=-^―；④相位：o）x+（p；⑤初相：（p.

coT2%

函數y=Asin（〃）x+0）+B,當工=須時，取得最小值為Wn；當工二馬時，取得最大值

、11T

為Xnax，貝UAu^y叱-ymin），B=~（ymax+ymin）*萬=馬一％（王〈馬）?

15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質:

數y=sinxy=cosxy=tanx

L

yy

圖象MJ

00

匚十X1/i

定義.兀1r

RR<xx手k兀+一,keZ,

域、2.

值域[-M][-M]R

jr

當x=2k兀+5(ZeZ)當兀=2kMk$Z)時,

時，>max=1；當ymax=l；當X=2k兀+兀

最值既無最大值也無最小值

x=lk7i--(ZeZ)時,=-l.

2

(kWZ)時，ymin=T-

周期2兀2TT71

性

奇偶奇函數偶函數奇函數

性

_,71_,71

在2k7i,2k兀H—

122在［2左萬一%,2%萬］（ZeZ）上

在（女）一5,左乃+

單調

(keZ)上是增函數；在是增函數;在［2k兀,2k兀+句

性

化GZ）上是增函數.

7t3萬（ZGZ）上是減函數.

2/C萬d——,2KTT-\------

22_

(ZeZ)上是減函數.

對稱中心

對稱中心(左肛0)(左wZ)對稱中心

對稱對稱軸+eZ)［今。，叼

性

x=卜兀+eZ)

對稱粕Ix=ki(kGZ)無對稱軸

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量.

數量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點、方向、長度.

零向量：長度為0的向量.

單位向量：長度等于1個單位的向量.

平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向量.

17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點：共起點.

.

5+3=AB+BC=AC

⑶三角形不等式：弧|-忖卜卜+6卜回+網.

(4)運算性質：①交換律：a+b=b+a；②結合律：(a+b)+d=&+(b+c)；

③Q+O=O+a=a.

a-b=AC-AB=BC

⑸坐標運算：設a=（%,y）,b=（x2,y2）,則a+b=（西+9，x+必）?

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.

＞

⑵坐標運算：設a=（x，y）,b=（x2,y2）,則a—b=（百一々，弘一月）?

設A、B兩點的坐標分別為,（%2，%），則0=（百-々,y-%）?

19、向量數乘運算：

⑴實數X與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作/la.

①同|=風向；

②當；1＞0時，/la的方向與a的方向相同；當幾＜0時，4a的方向與a的方向相反；當

2=0時，Aa-0.

⑵運算律：①=；②（/l+"）d=；Li+"a；③=布+肪.

⑶坐標運算：設G=（x,y）,則2?=%（樂,）=（＞1%介）.

20、向量共線定理：向量a（a70）與人共線，當且僅當有唯一一個實數4,使人=/la.

設＜7=（3,y）,b={x2,y2）,其中丘0,則當且僅當石［一花3=°時，向量”、。僅70）

共線.

21、平面向量基本定理：如果e；、4是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平

面內的任意向量a,有且只有一對實數4、4，使a=4q+4e2?（不共線的向量G、e2

作為這一平面內所有向量的一組基底）

22、分點坐標公式：設點P是線段PH上的一點，PrP2的坐標分別是（百,%）,（私力），

當PF=XPP,時，點P的坐標是卜土玉，絲出］.

23、平面向量的數量積：

⑴a?/?=同Wcose（aw0,力w0,0＜^＜180.零向量與任一向量的數量積為0.

⑵性質：設a和b都是非零向量，則①a_Lbo=0.②當Q與。同向時，=同網；

2

當Q與b反向時，db=-同忖；a-d=a=同?或同=夜?4.③,心尼同問.

(3)運算律：@a-b=ba；②=/l(a.6)=a?(勸卜?{a+b^-c=d-c+b-c.

⑷坐標運算：設兩個非零向量a=(%,y),Z?=(x2,y2),則a?/?=A]X2+yiy2.

若d=(x,y),則同2=f+、2,或同=J%2+y2.

設ci=a，y),6=(%2，必)，則a。%工2+X%=0.

設a、b都是非零向量，a=(x，x),b=^x2,y2),。是a與b的夾角，則

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第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

(Dcos(a-/7)=cosacos/?+sinasin〃；

(2)cos(a+尸)=cosacos4一sinasin/7；

(3)sin(a-/7)=sinacos/?-cosasin/7；

(4)sin(a+/?)=sinczcos/7+cos<zsin/?；