學年內江市市六中高一數學（理）下學期第一次月考卷滿分:150分時間：120分鐘一、單選題1．設向量=（3，k)，=（－1，3），已知，則k=（

）A．2 B．1 C．－2 D．－12．的值為（

）A． B． C． D．3．在△ABC中，點D在邊BC上，且，E是AD的中點，則（

）A．B．C．D．4．我國古代數學家趙爽的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較小的銳角為θ，那么（

）A．5 B． C． D．5．如圖所示，在平面直角坐標系中，角和角均以為始邊，終邊分別為射線和，射線，與單位圓的交點分別為，．若，則的值是（

）A． B． C． D．6．已知，若是方程的兩根，則（

）A．或 B． C． D．7．點是所在平面上一點，滿足，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形8．已知是邊長為的正三角形，為線段上一點（包含端點），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．已知，，，則＝（）A． B． C． D．10．已知向量，將向量繞坐標原點O逆時針旋轉角得到向量（），則下列說法不正確的是（

）A．B．C．D．11．在平面直角坐標系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α終邊上一點，P與原點O之間距離為r，比值叫做角α的正割，記作secα；比值叫做角α的余割，記作cscα；比值叫做角α的余切，記作cotα．四名同學計算同一個角β的不同三角函數值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一名同學的結果是錯誤的，則錯誤的同學是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．二、填空題13．設，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則________．14．已知，，則________.15．如圖，在等腰中，已知，，、分別是邊、的點，且，，其中且，若線段、的中點分別為、，則的最小值是________．16．已知函數的圖象的相鄰兩個對稱軸之間的距離為，且恒有，若存在成立，則的取值范圍為__________．三、解答題17．已知向量，，其中，．(1)求；(2)求在方向上的投影．18．（1）已知非零向量滿足，且，求與的夾角．（2）四邊形為平行四邊形，，，若點M，N滿足，，求的值．19．已知向量.(1)若，求的值；(2)記求的取值范圍.20．化簡下列各式：(1)；(2)；(3)．21．如圖所示，ABCD是一塊邊長為7米的正方形鐵皮，其中ATN是一半徑為6米的扇形，已經被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊落在BC與CD上的長方形鐵皮，其中P是弧TN上一點．設，長方形的面積為S平方米．（1）求關于的函數解析式；（2）求的最大值．22．已知，，其中，，且函數在處取得最大值．(1)求的最小值，并求出此時函數的解析式和最小正周期；(2)在（1）的條件下，先將的圖像上的所有點向右平移個單位，再把所得圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），然后將所得圖像上所有的點向下平移個單位，得到函數的圖像．若在區間上，方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；(3)在（1）的條件下，已知點是函數圖像上的任意一點，點為函數圖像上的一點，點，且滿足，求的解集．【答案】1.B【分析】根據向量數量積坐標運算與垂直定義即可求解．【詳解】因為，則，解得故選：B2．A【分析】由三角函數的誘導公式和兩角和的正弦公式，化簡原式，即可求解.【詳解】由三角函數的誘導公式和兩角和的正弦公式，可得：.故選：A.3．D【分析】利用向量的線性運算即得.【詳解】因為，所以．因為是的中點，所以，則．故選：D．4．A【分析】先求得直角三角形的直角邊，由此求得，進而求得.【詳解】由題意可知，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為1，設圖中直角三角形較短的直角邊長為，可得出直角三角形較長的直角邊長為，由勾股定理可得，解得，，所以，因此，.故選：A5．C【解析】由三角函數定義得，由誘導公式得，再由兩角差的余弦公式可求值．【詳解】由題知，，，，，則，故選：C．【點睛】本題考查三角函數的定義，考查誘導公式和兩角差的余弦公式，解題關鍵是掌握兩角差的余弦公式．6．C【解析】根據韋達定理可得的和與積關系,再根據判斷的范圍.再代入兩角和的正切公式求解,判斷的大小即可.【詳解】因為是方程的兩根可得.所以均為正數,又,故所以.又.故.故選：C【點睛】本題主要考查了兩角和的正切公式的運用,包括根據正切值范圍求解角度范圍的方法等.屬于中等題型.7．B【分析】根據平面向量的線性運算與模長公式，可以得出，由此可判斷出的形狀.【詳解】點是所在平面上一點，滿足，則，可得，即，等式兩邊平方并化簡得，，因此，是直角三角形.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算與數量積運算，也考查了模長公式應用，是中等題．8．A【分析】以線段的中點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，設點，則，利用平面向量數量積的坐標運算，并結合二次函數的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】取線段的中點，連接，則，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設，則，、，，，故.故選：A.9．C【分析】由已知，結合同角平方關系可求cos()、sin()，然后根據，由兩角差的余弦展開可求值．【詳解】∵，∴，．∵，∴，則cos()＝，∵，∴sin()＝．＝cos()cos()+sin()sin()＝．故選：C．10．C【分析】由題意得到四邊形OACB為菱形，且，由兩邊之和大于第三邊判斷A選項，利用余弦定理求出B選項，利用模的平方求出模的范圍，判斷C選項，利用數量積為0判斷D選項.【詳解】由題意得：，四邊形OACB為菱形，且，由兩邊之和大于第三邊，可得：，A正確；因為，所以，故，所以，B正確；，則，，則，故，C錯誤；，故，D正確.故選：C11．D【分析】當甲錯誤時，乙一定正確，從而推導出丙、丁均錯誤，與題意不符，故甲一定正確；再由丙丁必有一個錯誤，得到乙一定正確，由此利用三角函數的定義能求出結果．【詳解】解：當甲：錯誤時，乙：正確，此時，r＝5k，y＝3k，則|x|＝4k，（k＞0），或，∴丙：不正確，丁：不正確，故錯誤的同學不是甲；甲：，從而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），此時，乙：；丙：；丁：必有兩個正確，一個錯誤，∵丙和丁應該同號，∴乙正確，丙和丁中必有一個正確，一個錯誤，∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，故丙正確，丁錯誤，綜上錯誤的同學是丁．故選：D．12．D【分析】令，，根據題意作出圖形，結合圖形將已知條件轉化，得到，然后數形結合求的最大值.【詳解】如圖:令，，則，故.因為，所以，記的中點為，所以點在以為直徑的圓上.設，連接，因為，所以點在直線上.因為，所以，即，所以.結合圖形可知，當時，即取得最大值，且.故選：D【點睛】思路點睛：向量中有關最值的求解思路：一是形化，利用向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題；二是數化，利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值、不等式的解集、方程有解等問題.13．.【分析】根據向量與共線，設，得到，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，向量與向量因為向量與共線，可設，即，則，解得.故答案為：.14．【分析】根據題中條件，同角三角函數基本關系，得到，再由兩角差的正弦公式，即可得出結果.【詳解】∵，，∴，，即，，兩式相加可得：，即，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查根據三角恒等變換求三角函數值，熟記同角三角函數基本關系，以及兩角差的正弦公式即可，屬于常考題型.15．【分析】直接利用向量的數量積和向量的線性運算的應用和模的運算的應用整理成關于以為變量的二次函數的形式，進一步利用二次函數的性質的應用求出結果．【詳解】在等腰中，∵，，∴；∵、分別是邊、的點，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，其中，，即，∴當時，取得最小值，∴的最小值是．故答案為：．16．【分析】根據兩角和的正弦公式，輔助角公式，化簡可得解析式，根據題意，求得周期，可得值，根據，結合正弦型函數的性質，可求得a值，根據x的范圍，求得的范圍，可得的最值，結合題意，分析即可得b的范圍.【詳解】由題設，，，由相鄰兩個對稱軸之間的距離為，故，又，即，故，解得．，當時，，此時的最大值為，最小值為，若存在，，使成立，則只需，，故的取值范圍為17．(1)(2)【分析】（1）根據題意，求得，結合數量積的坐標運算，即可求解；（2）根據在方向上的投影的計算公式，即可求得在方向上的投影．【詳解】(1)解：由題意，向量，，其中，，可得，所以.(2)解：因為在方向上的投影為，又因為，所以在方向上的投影為．18．（1）（2）9【解析】（1）由，再結合向量的數量積運算即可得解；（2）由向量的線性運算可得，再結合向量的數量積運算即可得解；【詳解】解：（1）因為，所以，又，則，則．又，所以．（2）∵，∴，，∴．【點睛】本題考查了向量的數量積運算，重點考查了向量的夾角及向量的線性運算，屬基礎題.19．(1)(2)【分析】（1）直接利用向量平行得到，即可求出角x；（2）整理出=，直接求值域.【詳解】(1)∵向量，由可得：，即.∵∴(2)由=∵，∴∴f（x）的取值范圍為20．(1)(2)(3)【分析】（1）將67°寫成，結合兩角和的正弦、正切公式，即可求解；（2）切化弦，結合輔助角公式，兩角和的正弦公式運算即可求解；．（3）將改成，改成的形式，結合兩角和的正弦公式即可求解．【詳解】(1)解：原式=．(2)解：原式．(3)解：原式．21．（1）；（2）平方米．【分析】（1），將用表示，易得到關于的函數解析式．（2）由（1）可知是關于的三角函數，通過換元轉化為一元二次函數求解最值，注意換元后定義域也一同變換．【詳解】（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知，，由，可得，，，，故S關于的函數解析式為．（2）令，可得，即，．又由，可得，故，關于t的表達式為,又由，可知當時，S取最大值，最大值為平方米．【點睛】此題考查三角函數最值問題，關鍵點在對式子靈活換元處理，換元后新函數的定義域一同改變，屬于一般題目．22．(1)的最小值為1，此時，(2)(3)【分析】（1）根據向量的數量積的運算，化簡函數，結合在處取得最大值，求得的值，得到函數的解析式和最小整數周期；（2）根據三角函數的圖象變換，求得，把方程有兩個不相等的實數根轉化為的圖象與直線有兩個交點，結合圖象列出不等式，即可求解；（3）設，，根據，求得，結合，即可求解.【詳解】(1)解：因為，所以，因為在處取得最大值，所以，即，當時