1信號與系統分析2緒論信號的概念信號的分類信號的特征系統的概念系統的分類信號與系統分析3§1.1 信號的概念§1.1.1信息與信號1.信息——由一定的符號按照一定的規律排列起來具有某種含義的對象.例如:語言、文字、圖畫、數據、符號等→信號，以便遠距離、高速、高效傳輸2.信號——是信息的載體,信息的表達形式，信息則是信號的具體內容,在信息活動中信號則指欲傳輸待處理的對象.4§1.1.1 信號的概念3.信號的描述物理上：信號是信息的載體通常表現為隨時間變化的物理量，如：聲、光、電、力等。電信號：隨時間變化的電壓、電流、電荷、磁通。數學上：信號是一個或多個變量的函數形態上：信號表現為一種波形語言、文字圖畫、數據符號5信號的數學描述——表達式周期=2*pi相位=0.5幅度=A6對阻尼振蕩的數學描述7一段鳥鳴的聲音的時域波形8鳥鳴在不同頻率時的幅度分布—頻譜9鳥鳴聲的時—頻譜陣圖10§1.1.2信號分類：

1.確知信號:具有確定的函數關系(自變量的函數).

隨機信號:不可預知的信號，例如信號傳輸中的干擾、噪聲等。本課程只研究確知信號2.連續時間信號：自變量的取值范圍是連續的，在實數域內取值。

離散時間信號：自變量只能取整數，也稱為離散時間序列。

11注:n只能取整數,在兩個整數值之間沒有定義,x[n]可以描述自變量本來就是離散的現象,而大多數情況下它是連續信號經過采樣后得到的離散序列?數字信號函數值取整數的離散時間信號.12連續時間信號的例子：離散時間信號的例子：

連續時間信號離散時間信號13§1.1.2信號分類：

3.周期信號和非周期信號。

連續時間周期信號

離散時間周期信號

14§1.1.3信號的特征:自變量的函數具有:

1.時間特性(位移)-----波形的變化2.頻率特性(頻率分量:幅度、相位，信號帶寬)

3.能量特性

153.信號的能量特性：連續時間信號在區間的能量定義為：連續時間信號在區間的平均功率定義為：16離散時間信號在區間的能量定義為在區間的平均功率為

周期信號能量：用它的平均功率表征:17（以T為周期）或（以N為周期）18§1.2系統的概念§1.2.1系統:若干相互依賴、相互作用的事物組合而成的具有特定功能的整體或某一個過程---完成信號某種活動的過程,可以是物理的或非物理的系統.§1.2.2系統的分類:

連續時間系統離散時間系統19按系統自身的特性，分為：線性與非線性系統時變與時不變系統即時系統與動態系統（記憶與非記憶）因果與非因果系統可逆與不可逆系統穩定與不穩定系統集總參數與分布參數系統

本課程只討論集總參數LTI系統§1.2.2系統的分類20§1.3信號與系統分析§1.3.1信號分析:

基本目的：是揭示信號自身的特性(時間特性、頻率特性)，以及信號發生改變時，其特性相應的變化。

基本思想：信號分解為簡單基本單元信號的線性組合，這種分解可以在時域、頻域、變換域進行，相應產生了三種分析方法。21§1.3.1信號分析:時域：以(t)

(n)

作為基本單元頻域：以ejtejn

作為基本單元變換域：以estZn

作為基本單元從連續時間信號離散時間信號，產生了抽樣理論。為適應數字信號處理數字信號分析DFTFFT小波分析，時頻分析抽樣繼續發展22§1.3.2系統分析:系統分析的任務：（１）求特定系統對給定輸入的響應（２）從已知系統的激勵與響應，確定系統的特性x(t)y(t)=?系統y(t)X(t)？系統分析系統綜合x(n)y(n)x(n)y(n)23

連續時間信號:;

自變量的取值范圍是連續的，在實數域內取值。離散時間信號:;

自變量只能取整數，也稱為離散時間序列。離散時間信號：對連續時間信號等間隔抽取樣本:x(t)24

§1.1.2信號的自變量變換

信號可視為自變量的函數，當自變量改變時，必然會使信號的特性相應地改變。

1.平移：ShiftofSignals25或者:

262.信號的反轉以為中心反轉27反轉與平移相結合,即由例:作法一:0T1011T+101-T-1-1作法二:-1T-1101-T-1-1283.信號的尺度變換：Scaling時是將在時間軸上壓縮a倍，時是將在時間軸上擴展1/a倍離散的例子:29連續時間信號:尺度變換離散時間信號:內插與抽取30例如：01234562112322220123012345678910111221123231

一般來講,抽取的過程是不可逆的,因為在抽取時,序列的點被丟掉了,無法從抽取后的信號恢復原來的信號.

內插的過程是可逆的,可以從內插的信號通過抽取,恢復成原來的信號.

抽取和內插嚴格講并不是一種尺度變換,只是從序列長度的變化角度,可以將其視為尺度的擴展和壓縮.32自變量變換的綜合應用示例：做法一：011011/23/2011/21/633做法二：011011/3011/61/2做法三：011011/67/6011/61/234自變量變換的綜合應用舉例:例2:解法一:解法二:解法三:

3536§1.1.3奇信號與偶信號：oddSignalsandevenSignals如果有則稱該信號是偶信號。（鏡像偶對稱）對實信號而言：37如果有則稱該信號為奇信號（鏡像奇對稱）如果有則稱該信號為共軛偶信號。如果有則稱為共軛奇信號。對復信號而言：

38任何信號都能分解成一個偶信號與一個奇信號之和。對實信號有：

其中其中0-1-21212-2210-111-139對復信號有：其中其中可以分解成一個共軛偶對稱信號與一個共軛奇對稱信號之和,即:40§1.1.4周期信號與非周期信號：周期信號：

使周期關系成立的的最小周期或，稱為信號的基波周期

（）。可視為周期信號，但它的基波周期沒有確定的定義。

0=2/T0（弧度/秒）

0=2/N0（弧度）稱為基波頻率可以視為周期信號，其基波周期41§２.2常用的基本信號正弦信號指數信號單位階躍信號符號函數單位沖激和單位脈沖信號42§2.2.1正弦信號

連續時間正弦信號(周期信號)波形為基波頻率，為相位

T0

0

X(t)=Acos(

0

t+)0

=2/T0

43§2.2.1正弦信號

離散時間正弦信號(不一定是周期信號)

0為頻率如果具有周期性;

則有:cos

0n=cos

0(

n+N);N為正整數于是有:

0N=2m;m為整數

即:

0/2=m/N

可見,只有當

0/2為有理數時,

cos

0n才是周期信號.44§2.2.1正弦信號

離散時間正弦信號(不一定是周期信號)對以上結論的解釋:離散時間信號可以看為從連續時間信號等間隔抽樣的樣本,對同一個連續時間信號抽樣用不同的抽樣間隔,得到不同的序列.對周期性連續時間信號等間隔抽樣,得到的序列可能是周期的,也可能不是周期的,當基波周期與抽樣間隔滿足是有理數時,對周期性連續時間信號等間隔抽樣,得到的序列才具有周期性例:周期的周期的非周期的45§1.2.2指數信號一.連續時間復指數信號：C為復數

a為復數a=r+j

46①實指數信號(C和a都是實數)若中的為0,C實數同時:若中的為0,a實數則為實指數函數a==r+j

47

x(t)隨t的增加 而單調指數增長

x(t)隨t的增加 而指數衰減①實指數信號(C和a都是實數)

x(t)=C48②周期復指數信號

若a為純虛數，即時，設C=1:則特點：該信號是周期的，周期為T0

a=j

049周期復指數信號與正弦信號的關系

—取周期復指數的實部歐拉公式(基波周期相同的正弦信號)取實部則為正弦信號正弦信號也可以用基波周期相同的周期復指數信號表示.50成諧波關系的周期復指數信號集

集中有無數多個相互獨立的周期復指數信號

每一個信號都是周期的：;每一個信號都有一個公共周期：每一個信號的頻率都是基波頻率的整數倍，稱為K次諧波。例：K=0;k=1;k=251③一般復指數信號(c,a均為復數)最一般的情況C用極座標,a用直角坐標來表示

實指數信號實指數信號52一般復指數信號若r=0,x(t)的實部和虛部都為正弦信號若

r<0,x(t)為振幅指數衰減的正弦(1)若r>0,x(t)為振幅指數增長的正弦(2)(1)r<0(2)r>053二.離散時間復指數信號離散時間復指數信號或序列①實指數信號:(C和均為實數)

>1

單調指數增長0<<1

單調指數衰減-1<<0

交替指數衰減

<-1

交替指數增長

=1

=-1

交替變化的常數5455二.離散時間復指數信號離散時間復指數信號或序列②C=1,=ej0

指數信號:

與正弦的關系:

與連續時間周期復指數信號的重大區別:56離散周期復指數信號——周期性只有為有理數,才具有周期性連續時間周期復指數信號：是周期的，周期為T0離散時間復指數信號：57離散周期復指數信號——重復性連續時間周期復指數信號具有兩個特點：

(1).對任何，都是周期的。

(2)愈大，振蕩頻率愈高；離散時間復指數信號具有如下關系:對于不同的不互不相同,而是以為周期重復.58成諧波關系的周期復指數信號集N:基波周期2/N:基波頻率

每一個信號都是周期的;每一個信號都有一個公共周期：N每一個信號的頻率都是基波頻率的整數倍，稱為K次諧波;信號集中的信號不全是相互獨立的;只有N個諧波是獨立的;

59成諧波關系的周期復指數信號集k=0——N-1;k=0與K=N是一個信號

k=1與K=N+1是一個信號

只有N個諧波分量是相互獨立的,其余信號均是這N個信號的重復.

60③一般復指數信號(C、

均為復數)最一般的情況實、虛部均為振幅按指數變化的正弦振蕩61離散時間復指數信號

離散衰減正弦信號振幅指數衰減的正弦振蕩振幅指數增長的正弦振蕩正弦振蕩62

信號和的比較頻差的整數倍， 信號相同僅當是周期的基波頻率基波周期：N

不同，信號不同對任何信號都是周期的基波頻率基波周期：T0對于離散時間復指數信號的頻率有效范圍只有2

，高頻對應于的奇數倍處，低頻對應于0、2及的偶數倍處。63=0

，

=2kπ

處都對應最低頻率。而

=π

或

=2πk+π

處都對應最高頻率。6465§1.2.3單位階躍信號

1.連續時間單位階躍1t0t0166§1.2.3單位階躍信號

2.離散時間單位階躍

(n)=1n≥0

0n<0

在n=0有確定的意義,

(t),

(n)不僅在信號與系統的分析中有重要作用,而且在信號的時域表示中有廣泛的用途.167例1:用階躍表示矩形脈沖G(t)G1(t)G1(t)1168例如:信號加窗或取單邊f(t)t069例如:三角波x(t)t-

170（1）突然接入的直流電壓

（2）突然接通又馬上斷開電源K負載713.符號函數

定義sgn(t)

10t可用階躍表示-1

72離散時間單位脈沖序列定義，，10§1.2.4單位沖激與單位脈沖信號具有提取信號中某一點的樣值的作用。173§2.1.4單位沖激與單位脈沖信號1.離散時間單位脈沖信號

與之間的關系：一次差分1u(n)=1n≥0

0n<074單位階躍定義：，，102.連續時間單位沖激信號定義：定義的不嚴密性，由于在不連續，因而在該處不可導。采用極限來理解,定義u△(t)

75定義顯然當100則認為

寬度越來越窄,,幅度越來越大,所包圍的面積始終為1的這樣一個極限。：76表示為1001

矩形面積稱為沖激強度。顯然有：也具有提取連續時間信號樣本的作用。77狄拉克定義

0t078(t)與u(t)的關系顯然:

一次微分

一次積分

79§2.3奇異函數

對

(t)的定義是不嚴格的,從極限的角度定義,有很多不同信號的極限都具有這種特性

定義：矩形面積不變，寬趨于0時的極限0t80其他函數演變的沖激函數三角脈沖的極限雙邊指數脈沖的極限81其他函數演變的沖激脈沖鐘形脈沖的極限抽樣脈沖的極限82§2.3奇異函數

用常規函數作為的定義是不嚴格的,這表明是一個非常規函數,稱為奇異函數(廣義函數),對其定義通常采用卷積或積分運算下所表現的特性來定義奇異函數。積分意義下的特性來表達一.及其性質:

定義:的取樣特性831.令;則有2.由定義84§1.3奇異函數

即3.若則4.若,則表明是偶函數5.令85總結單位沖激函數的性質

偶函數積分篩選

?取樣性:

尺度變換86篩選特性t087取樣性:沖激序列對連續信號抽樣88§1.3奇異函數

二.(t)的微分與積分(在積分意義下對的定義)

由卷積意義下的定義,可得定義:89

單位沖激偶——

取極限取極限求導90

理想微分器的單位沖激響應應該是的微分，記為，從卷積運算或LTI系統分析的角度應該有：所以稱為沖激偶（Unitdoublet）微分器91單位沖激偶的性質2.“篩選”1.當時92單位沖激偶的性質3.奇函數93單位沖激偶的性質4.945.95單位沖激偶的性質6.高階微分與積分:

96單位沖激偶的性質6.高階微分與積分:(P30)97第一章信號與系統§1.4系統的描述一.系統的模型系統是由一些相互聯系,相互依賴的環節組成的具有一定功能的整體.

系統可以看成對信號進行某種變換的過程,要分析一個系統,首先要建立系統的模型從實際的物理問題抽象出來的描述輸入/輸出關系或物理特性的數學模型.98例:R、L、C振蕩電路e(t)RL99二.系統的表示:連續時間系統和離散時間系統可以表示為:系統對輸入信號的作用,其本質就是對輸入信號進行某種變換或運算.連續時間系統是把連續時間輸入信號變換成連續時間輸出信號的系統離散時間系統是把離散時間輸入信號變換成離散時間輸出信號的系統連續時間系統離散時間系統y(t)y(n)100二.系統的表示:系統的表示方法:方程電系統的電路圖方框圖(模擬圖)用運算符號表示的運算關系.常用的運算符號有:

這些方法可以相互轉換+1011.級聯(cascadeInterconnection)ⅠⅡ2.并聯(parallelinterconnection)ⅠⅡ三.系統的互聯102實際中也經常級聯,并聯混合使用,如ⅠⅡⅢⅣ3.反饋聯結(Feedbackinterconnection)ⅡⅠ103

三.系統的互聯系統的互聯為我們提供了用簡單系統構成復雜系統的方法,也為我們分析復雜系統提供了方便，我們可以將復雜系統視為若干簡單系統的互聯,只要分析各個子系統的特性,就可以了解整個復雜系統的特性.這一思想對系統分析和系統綜合都是十分重要的。104

§1.5系統的性質:即時系統與動態系統(記憶與非記憶)即時系統(無記憶系統)

在任何時刻系統的輸出只與該時刻的輸入有關,而與該時刻以前、以后的輸入無關.

例:全電阻網絡;;

即時系統的一個特例:

恒等系統:105

§1.5系統的性質:即時系統與動態系統(記憶與非記憶)動態系統(記憶系統)

它的輸出不僅與當前的輸入有關,也與其它時刻的輸入有關.例:累加器差分器電容都是記憶系統.106

§1.5系統的性質:2.可逆性與逆系統

如果系統對任何不同的輸入都產生不同的輸出,即輸入與輸出一一對應,則系統是可逆的,如果系統對二個或二個以上不同的輸入產生相同的輸出,則系統是不可逆的.

如:是不可逆系統,因為有兩個不同輸入,產生相同的輸出.是不可逆的,因為輸入時,

輸入時,107如果一個可逆系統與另一個系統級聯后構成一個恒等系統,則稱后者是前者的逆系統(inversesystem)ⅠⅡ

是可逆系統,其逆系統是

是可逆系統,其逆系統是是不可逆系統,因為無法從還原為不可逆,也是不可逆系統.108

判斷系統是否可逆一般是困難的,無有效的辦法判定系統是否可逆.該系統不可逆109

§1.5系統的性質:3.因果性

在任何時刻系統的輸出都只與該時刻以及該時刻以前的輸入有關,而與該時刻以后的輸入無關.則系統是因果的,如果系統在某時刻的輸出與以后的輸入有關,則系統為非因果的.一切物理可實現的連續時間系統都是因果的.一切即時系統(無記憶)都是因果的對非實時處理的離散時間系統可以實現非因果系統,先存儲,后處理.110時決定于以后時刻的輸入.都是非因果的.RLC電路,

都是因果系統111

§1.5系統的性質:4.穩定性

如果一個系統的輸入是有界的,輸出也有界,則系統是穩定的,否則系統是非穩定的.例:R、C;R、L、C系統均為穩定系統

均為不穩定系統系統的穩定性在系統分析和系統綜合中具有重要意義,以后將在時域,頻域分別研究系統的穩定性.工程實際中總希望所設計的系統是穩定的.因此穩定性對系統來說時非常重要的112

§1.5系統的性質:5.時變與時不變性如果一個系統當輸入有一個時間上的平移，輸出也產生相同的平移，除此之外無任何其它變化，則系統是時不變的,否則系統是時變的.即：則系統是時不變的檢驗方法：令考查：是否等于根據輸入輸出的關系113例:當時，時由于系統是時不變的。114例:當時，時由于系統是時變的。115又例：當時，

時而該系統是時變的。116

如果一個系統即滿足迭加性也滿足齊次性就稱該系統是線性的。（LinearSystem）（二者要同時滿足，所對應的方程為線性方程，但反過來未必成立)。否則就是非線性的（NonlinearSystem）即：若則

其中a，b是常數滿足此關系的系統是線性的?！?.5系統的性質:6.線性117例1：，滿足可加性，但不滿足齊次性。當時其實部變為虛部，虛部變為實部。滿足齊次性但不滿足可加性。若輸入為則例2.2118

如果一個系統是線性的，當我們能夠把輸入信號分解成若干個簡單的信號的線性組合時，只要能得到該系統對每一個簡單信號所產生的響應。就可以很方便地根據線性特性，通過線性組合而得到系統對的輸出響應。即若則119

§1.5系統的性質:7.增量線性系統由線性系統必須滿足齊次性，可以得到:這表明,一切線性系統必須滿足零輸入,零輸出的特性,即:當沒有輸入信號時,一切線性系統均不應有輸出.

有一種工程中廣泛使用的系統,其輸入與輸出之間不滿足線性關系,但輸入的增量與輸出的增量成線性關系,這類系統稱為增量線性系統.

例如：不滿足齊次性；不是線性系統.

但該系統的輸入改變時,輸入的增量:

滿足線性關系與輸出的增量:120

§1.5系統的性質:7.增量線性系統任何一個增量線性系統都可以等效成一個線性系統加上一個與輸入無關的響應.

例如：是增量線性系統可等效為:

線性系統+零狀態響應零輸入響應121

§1.5系統的性質:7.增量線性系統

當時,,∴稱為零輸入響應.

完全是由輸入信號與系統特性引起的,滿足零輸入零輸出,是線性系統,∴稱為零狀態響應.

線性系統+零狀態響應零輸入響應對單元信號的要求:

1.本身要簡

2.能夠構成相當廣泛的一類信號,具有普遍性

3.系統對單元信號的響應易于求得.

本章的內容:

1.用

(t)表示連續時間信號x(t),用卷積積分求得響應;

2.用

(n)表示離散時間信號x(n),用卷積和求得響應;

3.在信號進行時域分解的的情況下,研究系統的性質;

問題的實質：1研究信號的分解：即以什么樣的信號作為構成任意信號的基本信號單元，如何用基本信號單元的線性組合來構成任意信號；2如何得到LTI系統對基本單元信號的響應和對任意信號的響應。

第二章信號與系統的時域分析

§2.1信號的時域分解:

一.用

(t)

表示連續時間信號:

將x(t)用一系列的距形脈沖近似,

0t單位距形脈沖定義:0t第個矩形可表示為：這些矩形迭加起來就成為階梯形信號，即：當時，，，，，于是：表明：任何連續時間信號都可以被分解為無數多個移位加權的單位沖激信號的線性組合。第二章信號與系統的時域分析

§2.1信號的時域分解:

一.用

(t)

表示連續時間信號:

結論:以上討論表明,任何連續時間信號可以分解成無數多個移位、加權的單位沖激之和,解決了連續時間信號時域分解的問題.

二.用

(n)

表示離散時間信號:

可以由線性組合構成即：

對任何離散時間信號，如果每次從其中取出一個點，就可以將整個信號拆開來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權、不同位置的單位脈沖。于是有：表明：任何信號都可以被分解成移位加權的單位脈沖信號的線性組合。第二章信號與系統的時域分析

§2.2連續時間信號LTI系統的時域分析:

一.卷積積分:

單位沖激響應:

單位沖激響應h(t)的定義:LTI系統對

(t)的響應

LTI

(t)h(t)§2.2連續時間信號LTI系統的時域分析:

結論：只要知道了系統的單位沖激響應h(t)，就可以求得系統對任何x(t)所產生的響應y(t),

這表明:系統的單位沖激響應h(t)可以完全表征一個LTI系統。

第二章信號與系統的時域分析第二章信號與系統的時域分析

二.卷積積分的求法:

(1)解析法:如果信號可以寫成解析式,可用卷記積分的公式做.

例:

運算過程的實質:

參與卷積的兩個信號中，一個不動，另一個反轉后隨參變量t移動。對每一個t的值，將和對應相乘，再計算相乘后曲線所包圍的面積。

通過圖形幫助確定積分區間和積分上下限是很有用的。

積分上下限的確定具有重要意義(2)圖解法:

注:卷積的過程包括反轉,平移,相乘,積分,(如下圖所示),關鍵是確定參變量t在不同區間積分的的上下限.

例:T-TTT求y(t)=?T-Tt-Ttt-TtT-Tt-TtT-T例:T-TTT求y(t)=?t-TtT-Tt-TtT-Tt-TtT-T第二章信號與系統的時域分析

三.卷積的性質:

(1)交換率:

y(t)y(t)一個單位沖激響應是的LTI系統對輸入信號所產生的響應，與一個單位沖激響應是的LTI系統對輸入信號所產生的響應相同。

二個LTI系統級聯可以交換級聯次序第二章信號與系統的時域分析

三.卷積的性質:

(2)結合率:

從系統的觀點解釋：

(1)

(2)

一個系統是由若干LTI系統級聯所構成，則系統總的單位沖激響應等于各個LTI子系統單位沖激響應的卷積.

h1(t)

h2(t)

w(t)y(t)y(t)第二章信號與系統的時域分析

三.卷積的性質:

(3)分配率:

一個系統有若干LTI系統的并聯構成，則系統總的單位沖激響應等于各子系統單位沖激響應之和。

+

y(t)y(t)產生以上結論的前提條件：①系統必須是LTI系統；②所有涉及到的卷積運算必須收斂。如：平方乘2若交換級聯次序，即：乘2平方顯然是不等價的。

第二章信號與系統的時域分析

三.卷積的性質:

(4)微分:如果

(5)積分:

與

(t)的卷積:

單位沖激響應等于(t)的系統是恒等系統

信號平移:

恰當地利用卷積的性質可以簡化卷積的計算：例2如果用圖解法做:①當時，②當時，③當時，④當時，⑤當時，將微分一次的，1第二章信號與系統的時域分析

§2.3離散時間信號LTI系統的時域分析:

一.卷積和:

單位脈沖響應:

單位脈沖響應h(n)的定義:LTI系統對

(n)的響應

x(n)可表示為移位加權的單位脈沖之和

LTI

(n)h(n)如果:第二章信號與系統的時域分析

§2.3離散時間信號LTI系統的時域分析:

結論：只要知道了系統的單位脈沖響應h(n)，就可以求得系統對任何x(n)所產生的響應y(n),也即LTI系統對任何輸入信號x(n)的響應,可以用系統對單位脈沖響應來決定,因而可以預言,h(n)將可以完全刻畫一個LTI系統的特性.

二.卷積和的求法:

(1)解析法:如果信號可以寫成解析式,可用卷積和的公式做.

例1...注:求和的上、下限的確定具有重要意義.

第二章信號與系統的時域分析

§2.3離散時間信號LTI系統的時域分析:

(2)圖解法:

注:過程包括反轉,平移,相乘,求和

關鍵是確定參變量n在不同區間求和的上下限.

例2

01234x(n)0123456h(n)0n-6nh(n-k)n-6nn-6nn-6n①時，②時，③時，④時，⑤時，

通過圖形正確確定反轉移位信號的區間表示，對于確定卷積和計算的區段及各區段求和的上下限是很有用的。

3.列表法

分析卷積和的過程，可以發現：①與所有的各點都要遍乘一次；

②在遍乘后，各點相加時，根據，參與相加的各點都具有與的分量相加為特點。

優點：缺點：計算非常簡單。①只適用于兩個有限長序列的卷積和；②一般情況下，無法寫出的表達式。

4.有限長序列的卷積法:

兩個有限長序列的卷積和,利用單位脈沖序列的卷積特性,可以方便的求得:

例:

第二章信號與系統的時域分析

三.卷積和的性質:

與連續時間卷積性質相同,滿足交換率、結合率、分配率;

從系統的觀點作出的解釋也相同;

條件限制也相同:只適合于LTI系統;

所涉及到的各個卷積和運算都應該收斂;

例1:是非線性系統，其單位脈沖響應是：

h(n)=[(n)+(n-1)]2=2(n)+2(n)(n-1)+2(n-1)

=1n=0,1

0其它n

=(n)+(n-1)

是一個LTI系統，其單位脈沖響應是：

所以不能排除非線性系統或時變系統具有和一個LTI系統相同的單位脈沖響應，不同的是，非線性系統或時變系統的單位脈沖響應不一定可以完全刻畫系統的特性。

第二章信號與系統的時域分析

例2:

是一個LTI系統，其單位脈沖響應是：

不收斂

若，兩個系統都是LTI系統。當時，第二章信號與系統的時域分析

三.卷積和的性質:

x(n)與

(n)、u(n)的卷積和結果與連續時間信號的卷積積分結果類似:

;單位脈沖響應等于(n)的系統是恒等系統

信號平移

作業:

§2.4LTI系統的性質:

既然,從卷積積分到卷積和我們看到LTI特性可以完全由其h(t),h(n)刻畫,那末我們有必要研究一下,LTI系統的特性是如何體現在

第二章信號與系統的時域分析第二章信號與系統的時域分析

一.即時系統與動態系統:

·即時系統(無記憶系統)

在任何時刻系統的輸出只與該時刻的輸入有關,而與該時刻以前、以后的輸入無關,以離散時間LTI系統為例:

對即時系統,要求卷積和中只能有的項,其他項均要為零,因此,只有:

這表明,此系統的:

連續時間LTI系統的情況完全類似,對即時系統必須有:

若k=1,則為恒等系統,此時:第二章信號與系統的時域分析

§2.4LTI系統的性質:

二.可逆性:如果LTI系統是可逆的，一定存在一個逆系統，且該逆系統也是LTI系統，它們級聯起來構成一個恒等系統。

因此有：

顯然有：例2.累加器是可逆的LTI系統，

逆系統是：顯然也有：例1：延時器是可逆的LTI系統其其逆系統是：第二章信號與系統的時域分析

§3.4LTI系統的性質:

三.因果性:

在任何時刻系統的輸出都只與該時刻以及該時刻以前的輸入有關,而與該時刻以后的輸入無關.則系統是因果的.

以離散時間LTI系統為例

系統如是因果的,y(n)只能與當前以及以前的輸入有關,欲使y(n)與n時刻以后的輸入無關,要求和式中k>n的項均為零,為此要求:

也即:

相應的對連續時間LTI系統有:

是LTI系統因果性的充分必要條件

因果系統的逆系統不一定是因果的,例:

;因果的其逆系統非因果的∴第二章信號與系統的時域分析

§2.4LTI系統的性質:

四.穩定性:

如果一個系統的輸入是有界的,輸出也有界,則系統是穩定的,否則系統是非穩定的.

以離散時間LTI系統為例

設:有界,即:

欲使則要求

∴絕對可和,是離散時間LTI穩定的充分必要條件

絕對可積,是連續時間LTI穩定的充分必要條件第二章信號與系統的時域分析

§2.4LTI系統的性質:

五.單位階躍響應:

以上討論我們看到LTI系統的特性充分體現在h(t),h(n)中,然而,h(t),h(n)是系統對輸入

(t),(n)的響應,在實際工程中,我們很難用實驗的方法,測定h(t),h(n),而往往使用單位階躍響應來描述系統.

系統對單位階躍信號響應;

單位階躍響應也完全可以表征一個LTI系統.

第二章信號與系統的時域分析

§2.5LTI系統的微分、差分方程描述:

一.連續時間LTI系統的微分方程描述

描述連續時間LTI系統的LCCDE一般可以表示為:

LCCDE可以描述相當廣泛的一類連續時間LTI系統,分析這種系統,就是求解該方程,對LCCDE的解是由:

特解:取決于系統的輸入信號

齊次解:即系統未加輸入信號時方程的解

即:

k:k=1,2,3………..N為特征根

解的一般形式當無重根時均為常數

是待定系數。第二章信號與系統的時域分析

§2.5LTI系統的微分、差分方程描述:

一.連續時間LTI系統的微分方程描述

k:k=1,2,3………..N特征根

要確定其中N個待定系數,需要一組附加條件.

從數學的角度講,解方程的一組附加條件可以是任意的,這意味著一組附加條件的數值和給出這一組附加條件的時刻都可以是任意的,如果這一組附加條件是在輸入加入的時刻給出,我們稱這樣一組附加條件為初始條件.

現在研究系統的線性、因果性和時不變性與LCCDE及附加條件的關系,就是說在什么情況下,由LCDDE描述的系統才是線性的、因果的和時不變的.第二章信號與系統的時域分析

§2.5LTI系統的微分、差分方程描述:

(1)線性:

線性系統滿足零輸入零輸出,時,方程變成齊次方程,

其解:

時,要求,則有所有的系數;即要求確定的一組附加條件;

這表明LCCDE連同一組全部為零的附加條件才能描述一個線性系統.

第二章信號與系統的時域分析

§2.5LTI系統的微分、差分方程描述:

(2)因果性:

假設系統在的時刻加入輸入信號,附加條件在時給出,當時,附加條件是在信號加入以后的某個時刻給出.

為了滿足線性,要求這組附加條件必須全部為零,即:

;于是系統的輸出在t=0的時刻必須為零.

而輸入信號在t<0時已經加入,因而應該由系統本身特性和輸入信號決定,于是產生了矛盾,一方面附加條件要求在t=0必須為零,另一方面在t=0必須受到系統和輸入信號的約束,這就要求系統在t0～0這一區間,對的響應必須能預見到t=0時刻的響應,從而導致系統的非因果性.

0t第二章信號與系統的時域分析

§2.5LTI系統的微分、差分方程描述:

(2)因果性:

因而可以得出結論:只有附加條件在輸入信號加入的時刻給出,即附加條件同時是初始條件,才能保證系統是因果的.

綜上所述:一個LCCDE連同一組全部為零的初始條件才能描述一個線性的,因果的同時也是時不變的系統.

如果這組初始條件不全為零,則系統是增量線性系統.

(3)時不變性:

驗證:以一個一階微分方程為例

初始條件:

t0t0+T只需驗證:若:顯然:表明系統是時不變的結論：一個LCCDE連同一組全部為零的初始條件可以描述一個LTI因果系統。這組條件是：如果一個因果的LTI系統由LCCDE描述,且具有一組零初始條件，就稱該系統初始是靜止的或最初是松弛的。反之，一個LTI系統可以由一組初始條件全部為零的LCCDE來描述。

如果LCCDE具有一組非零的初始條件，則可以證明它所描述的系統是增量線性的。第二章信號與系統的時域分析

二.離散時間LTI系統的差分方程描述:

1.描述離散時間LTI系統的LCCDE一般可以表示為:

與連續時間LTI系統LCCDE一樣,它的解也分為齊次解和特解,也需要一組附加條件:

可以得出與微分方程相同的結論:

一個LCCDE連同一組全部為零的初始條件，可以描述一個線性,因果和時不變的離散時間系統，其初始條件一般為:

當LCCDE具有一組全部為零的初始條件時，所描述的系統是線性、因果、時不變的。

無論微分方程還是差分方程，由于其特解都與輸入信號具有相同的函數形式，也就是說它是完全由輸入決定的，因而特解所對應的這一部分響應稱為受迫響應或強迫響應。齊次解所對應的部分由于與輸入信號無關，也稱為系統的自然響應。

增量線性系統的響應有零狀態響應和零輸入響應。零輸入響應與輸入信號無關，因此屬于自然響應。零狀態響應既與輸入信號有關，也與系統特性有關，因而它包含了受迫響應，也包含有一部分自然響應。第二章信號與系統的時域分析

二.離散時間LTI系統的差分方程描述:

2.差分方程的遞推迭代解法:

(

項提出)

將方程改寫為:

要求,不僅要知道所有的輸入,還要知道

用遞推的方法可以求得n

0時所有的

例:y(0)可從y(-1),y(-2),y(-3)………y(-N)求得

y(1)可從y(0),y(-1),y(-2)………y(-N+1)求得

y(2)可從y(1),y(0),y(-1)………y(-N+2)求得

.

.

.第二章信號與系統的時域分析

二.離散時間LTI系統的差分方程描述:

2.差分方程的遞推迭代解法:

將(K=N的項提出)

方程改寫為:

用遞推的方法可以求得n<0時所有的y(n)

例:y(-1)可從y(0),y(1),y(2)………y(N-1)求得

y(-2)可從y(-1),y(0),y(1)………y(N-2)求得

y(-3)可從y(-2),y(-1),y(0)………y(N-3)求得

.

.

.第二章信號與系統的時域分析

二.離散時間LTI系統的差分方程描述:

2.差分方程的遞推迭代解法:

例:

第二章信號與系統的時域分析

二.離散時間LTI系統的差分方程描述:

3.FIR(Finiteimpulseresponse)與IIR(Infinite…)系統

由LCCDE描述的離散時間系統可以分為兩大類,即:FIR和IIR系統

若(只有k=0的項)則方程變為:

·只要知道輸入序列,即可求得y(n),無需遞推.

·顯然,是一個有限長序列,故為FIR系統,方程稱為非遞歸方程.

若ak除了a0外,不全為零,則y(n)不僅與輸入有關,而且與以前的輸出有關,

方程為遞歸型,為無限長,稱為IIR系統,這兩類系統不同,故系統結構特性及設計方法均有明顯差異.

第二章信號與系統的時域分析

三.LTI系統的方框圖表示:

一個LTI系統往往可以由微分方程和差分方程表示,實現這樣一個系統,就是要完成微分方程和差分方程所表示的運算關系,我們可以用另外一種手段直觀的分析和模擬實現一個系統,即用一些基本的運算單元(相乘、相加、延時、微分、積分），表示方程規定的運算關系，用計算機技術或數字電路技術實現系統的模擬仿真，模擬實現，這就是系統的方框圖表示。

第二章信號與系統的時域分析

三.LTI系統的方框圖表示:

（一）.離散時間LTI系統的方框圖表示：

LCCDE包括：移位、相加、乘系數三種運算

例：描述一階系統的差分方程:

改寫為：

這一方程的實現框圖為：

+Db-aD第二章信號與系統的時域分析

三.LTI系統的方框圖表示:

（一）.離散時間LTI系統的方框圖表示：

一般情況：改寫為：

DDDDDD直接Ⅰ型第二章信號與系統的時域分析

三.LTI系統的方框圖表示:

（一）.離散時間LTI系統的方框圖表示：

如果M=N:需要2N個延遲單元(移位寄存器)或計算機存儲單元;

合并延時單元,得直接II型

Dy(n)b0DD++++b1b2bN++++-a1-a2-aNDDD第二章信號與系統的時域分析

三.LTI系統的方框圖表示:

（一）.離散時間LTI系統的方框圖表示：

合并延時單元,得直接II型

(正準型)

直接Ⅱ型DDD第二章信號與系統的時域分析

三.LTI系統的方框圖表示:

（二）.連續時間LTI系統的方框圖表示：

描述連續時間LTI系統的LCCDE:

LCCDE包括：微分、相加、乘系數三種運算,顯然將離散時間系統中的差分換成微分即可.

由于微分器在工程中不易實現,抗干擾能力差,工程上常用積分器實現,可以將微分方程改寫成積分方程.

定義:y(t)的零次積分

將方程兩邊積分N次(令M=N),則有:k個

（二）.連續時間LTI系統的方框圖表示：

直接Ⅰ型第二章信號與系統的時域分析

三.LTI系統的方框圖表示:

（一）連續時間LTI系統的方框圖表示：

交換級聯次序

bN++++bN-1bN-2b0++++-aN-1-aN-2-a0x(t)y(t)第二章信號與系統的時域分析

三.LTI系統的方框圖表示:

（一）.連續時間LTI系統的方框圖表示：

合并積分單元,得直接II型

(正準型)直接Ⅱ型第二章信號與系統的時域分析

三.LTI系統的方框圖表示:

（二）.連續時間LTI系統的方框圖表示：

將連續時間LTI系統的直接型結構和離散時間LTI系統的直接型結構比較,可以看出:

將離散時間延時單元改為積分器,并把相應的系數次序倒置,就可以從離散時間LTI系統的直接型結構變成連續時間LTI系統的直接型結構.

LTI系統還有級聯、并聯結構，將在以后的章節介紹.

⒈信號的時域分解:⒉LTI系統的時域分析——卷積和與卷積積分⒊LTI系統的描述方法：①用描述LTI系統（也可用描述）；②用LCCDE連同零初始條件描述LTI系統；本章主要討論了以下內容：③用系統方框圖描述（等同于LCCDE描述）。⒋LTI系統的特性與的關系：①記憶性、因果性、穩定性、可逆性與的關系；②系統級聯、并聯時，與各子系統的關系。190y(t)191192付里葉變換193194-1195196a-a197ROC圖198199200201202203204205206207208例1:209210例1.顯然表明的ROC是將的ROC平移了一個。3.S域平移若則211212213例.214ROC:是X（S）ROC的反轉ROC