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文檔簡介

§1.6

無窮小的比較

CONTENT1無窮小比較的概念2等價無窮小目錄無窮小比較的概念Chapter1

引例引例

當

時,x,3x,x2,sinx都是無窮小量,也就是說,當

時,x,3x,x2,sinx都趨近于零.但是,它們趨近于零的速度有差異,見下表：

快慢是相對的.如,x2比3x趨近于零的速度要快得多,此時

sinx與

x趨近于零的速度大致相同,此時

第一部分：無窮小比較的概念定義19設

是在自變量變化的同一過程中的兩個無窮小,且

(1)若

則稱

是比

高階的無窮小,記作

；

(2)若

則稱

是比

低階的無窮?。?/p>

(3)若

則稱

與

是同階的無窮??；特別地,若

則稱

與

是等價無窮小,記作

；(4)若

則稱

是

的k階的無窮小.

練習例39證明:當

時,為x的四階無窮小.證

因為故當

時,為x的四階無窮小.例40當

時,求tanx-sinx關于x的階數.解

因為故當

時,tanx-sinx為x的三階無窮小.等價無窮小Chapter2第一部分：常用等價無窮小當時,常用的等價無窮小量：例如

當

時,.

第二部分：等價無窮小定理13設

是同一過程中的無窮小,且存在,則

證

定義設是同一變化過程中的兩個無窮小量,如果則稱與是等價無窮小量,記作~

練習例41求解

當

時,故

第二部分：等價無窮小注：(1)求兩個無窮小量商的極限時,分子、分母可分別用它們的等價無窮小量代替.(2)只有當分子或分母為函數的乘積時，各個乘積項量代換.(3)對于和或差中的函數,一般不能分別用等價無窮小才可以分別用它們的等價無窮小量代換.

等價無窮小例42求解

練習例43求解

當

時,故

小結1.

無窮小比較的概念

高階無窮

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