§1.7

函數的連續性

CONTENT1連續與間斷的概念2連續函數的運算性質目錄3閉區間上連續函數的性質連續與間斷的概念Chapter1

引言

例

自然界中有許多現象和事物不僅是運動變化的,而且這種變化往往是連續不斷的.如氣溫的變化,河水的流動都是隨著時間而連續地變化,這些現象反映在數學上就是函數的連續性.第一部分：函數的增量

設函數y=f(x)在點的某個鄰域內有定義,當自變量x由變到時,函數y相應地由變到，因此函數相應的增量為注:

是一個不可分割的整體記號.第一部分：函數的增量當

趨于零時,函數

y對應的增量也趨向于零,即

那么就稱函數

y=f(x)在點

處連續.第二部分：連續與間斷的概念令則得當時,有而當時,有則定義20

設函數

f(x)在點

x0的某鄰域內有定義.

(1)若,則稱

f(x)在點

x0處連續,并稱

x0為

f(x)

的一個連續點；

(2)若

f(x)在開區間(a,b)內每一點都連續,則稱

f(x)在(a,b)內

連續；

(3)若

x0不是

f(x)的連續點,則稱

x0為

f(x)的間斷點,或稱

f(x)在點

x0處間斷.第二部分：連續與間斷的概念第二部分：連續與間斷的概念(1)函數

f(x)在點處有定義;函數

f(x)在點處連續,必須同時滿足以下三個條件：(2)極限存在;(3)注：

練習例試證函數在x=0處連續.證幾何解釋：若

f(x)連續,則曲線

y=f(x)的圖形是一條連續不間斷的曲線；若

x0是

f(x)的間斷點,則曲線

y=f(x)在點

處發生斷裂.如圖所示,函數

f(x)在區間(a,b)內共有三個間斷點:x1,x2,x3.第二部分：連續與間斷的概念第三部分：單側連續的概念定義21(1)若

f(x)在點

x0的某左鄰域內有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處左連續；若

f(x)在點

x0的某右鄰域內有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處右連續.第三部分：單側連續的概念定義21(1)若

f(x)在點

x0的某左鄰域內有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處左連續；若

f(x)在點

x0的某右鄰域內有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處右連續.(2)若

f(x)在閉區間[a,b]上有定義,在開區間(a,b)內連續,且在左端點a處右連續、在右端點b處左連續,則稱

f(x)在閉區間[a,b]上連續.第三部分：單側連續的概念注：函數f(x)在點處連續

練習例44討論函數

在點

x=0和

x=1處的連續性.

解

在點

x=0處,有

由此可知

因此,f(x)在

x=0處連續.

練習例44討論函數

在點

x=0和

x=1處的連續性.

解

在點

x=1處,有

因左、右極限不相等,故

不存在,故

x=1是

f(x)的間斷點.

但是,由

可知,

f(x)在

x=1處左連續.第四部分：函數的間斷點(1)函數f(x)在點處有定義;函數f(x)在點處連續必須同時滿足以下三個條件：(2)極限存在;(3)如果上述三個條件中只要有一個不滿足,則稱函數f(x)在點處不連續或間斷,并稱點為函數f(x)的不連續點或間斷點.第四部分：函數的間斷點(1)

f(x)在處無定義;

(2)

f(x)雖在處有定義,但

不存在;(3)

f(x)雖在處有定義且

存在,但

定義如果函數y=f(x)在點處不連續,則稱是函數f(x)的間斷點.注：如果函數f(x)滿足下列條件之一時,就稱函數f(x)在點處間斷.類型特點分類第一類間斷點及均存在

若稱x0為可去間斷點

若稱x0為跳躍間斷點第二類間斷點及中至少一個不存在

若其中有一個為∞稱

x0為無窮間斷點

若其中有一個為振蕩稱x0為振蕩間斷點······第四部分：函數的間斷點

練習例45討論

在

x=0處的連續性.

解

因為

而

f(0)沒有定義,故

f(x)在

x=0處間斷,x=0為

f(x)的可去間斷點.

練習例46討論

在

x=0處的連續性.

解

因為

所以

f(x)在

x=0處間斷,且

x=0為無窮間斷點.

練習例47討論

在

x=0處的連續性.

解

因為在

x=0處函數無定義,且

不存在,

所以

f(x)在

x=0處間斷,且

x=0為第二類振蕩間斷點.

連續函數的運算性質Chapter2第一部分：連續函數的運算性質定理14(連續函數的四則運算)設f(x)與g(x)在點x0(或區間I上)連續,則

(1)在點x0處(或I上)連續；

(2)在點x0處(或I上)連續；

(3)當

時,在點x0處(或I上)連續.

第一部分：連續函數的運算性質定理15(復合函數的連續性)設函數

y=f(u)在點x0處連續,在點x0處連續,且,則復合函數

在點x0處連續,即有定理16(反函數的連續性)設函數

y=f(x)在區間[a,b]上單調、連續,且

則其反函數

在區間

上單調、連續.定理17

一切初等函數在其定義域內都是連續的.

練習例48求

解

所給函數為初等函數,其定義域為R,故由初等函數的連續性得

練習例49求

解

由于arcsinu是連續函數,則

練習例50求

解

例51求

解

練習例52討論函數

的連續性.

解

f(x)在其定義域

內不是初等函數.但在

內

為初等函數,在

內

也為初等函數,故f(x)在

內連續.例52討論函數

的連續性.

解

在分段點x=2處,有因此,f(x)在x=2處連續.綜上所述,f(x)在其定義域內連續.

練習

分段函數的連續性討論分段函數的連續性的方法：第一步：利用初等函數的連續性,分段說明函數在各分段子區間內的連續性；第二步：根據連續性的定義,討論函數在各分段點處的連續性；第三步：得出函數的連續區域.

閉區間上連續函數的性質Chapter3第一部分：閉區間上連續函數的性質定義23設函數

f(x)在區間I上有定義.若存在,使對I內的一切x,恒有

則稱

f(x0)是

f(x)在I上的最大值或最小值.最大值與最小值統稱為最值.第一部分：閉區間上連續函數的性質定理18(最值定理)設函數

f(x)在閉區間[a,b]上連續,則

f(x)在[a,b]上必能取得最大值與最小值.即在[a,b]上至少存在兩點,使對任意的

,

恒有第一部分：閉區間上連續函數的性質注：如果函數f(x)不在閉區間上連續,而在開區間內連續,或函數f(x)在閉區間[a,b]上有間斷點,則定理5不一定成立.推論

閉區間上的連續函數一定是有界函數.第一部分：閉區間上連續函數的性質定理19(介值定理)設函數

f(x)在閉區間[a,b]上連續,且

f(x)在[a,b]上的最大值為M,最小值為m,則對任何實數C(m<C<M),至少存在一點

使得第一部分：閉區間上連續函數的性質推論(零點定理)設函數

f(x)在閉區間[a,b]上連續,且,則至少存在一點

使得注：零點定理常用于證明方程實根的存在性.第一部分：閉區間上連續函數的性質注:

最值定理和介值定理中的條件“f(x)在閉區間上連續”是必要的,否則定理不一定成立.

例如,

函數

在閉區間[0,1.5]上不連續.該函數既無最小值(m=0),也無最大值(M=2);當

時,也不存在使得.

練習例53證明:方程

在(0,1)內至少有一個實根.

證

設,則

f(x)為初等函數,它在閉區間[0,1]上連續,且有于是,由零點定理可知,方程

在(0,1)內至少有一個實根

x0.

練習例54設函數

f(x)在閉區間[0,1]上連續,且證明:存在,使得.

證

構造輔助函數,由于

f(x)在閉區間[0,1]上連續,因此F(x)在[0,1]上連續,且因為由零點定理知,存在