§3.5線性方程組解的結構齊次線性方程組解的結構非齊次線性方程組解的結構目錄Part1齊次線性方程組解的結構一、齊次線性方程組的矩陣形式回顧回顧：齊次線性方程組解的判定

包含n個未知數的齊次線性方程組

Ax=0

有非零解的充分必要條件是系數矩陣的秩R(A)<n．

所謂線性方程組解的結構，就是當線性方程組有無窮多個解時，解與解之間的相互關系．備注：當方程組存在唯一解時，無須討論解的結構．下面的討論都是假設線性方程組有解．定義：設有齊次線性方程組Ax=0，則方程組的解稱為方程組的解向量．二、解向量的定義二、解向量的性質齊次線性方程組解的性質性質1：若

x1=x1，

x2=x2是齊次線性方程組Ax=0的解，則

x=x1+x2

還是

Ax=0

的解．證明：A(x1+x2)=Ax1+Ax2

=0+0=0．性質2：若x=x是齊次線性方程組Ax=0

的解，k為實數，則

x=kx

還是

Ax=0的解．證明：

A(kx

)=k(Ax

)

=k0=0．結論結論：若x1=x1,

x2=x2,...,

xt=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，

則

x=k1x1+k2x2+…+ktxt

還是Ax=0

的解.思考已知齊次方程組Ax=0的幾個解向量，可以通過這些解向量的線性組合給出更多的解．思考：能否通過有限個解向量的線性組合把

Ax=0的解全部表示出來？例

求齊次線性方程組

的通解．即例題

令x3=c1，x4=c2，得通解表達式例題回顧：向量組的極大無關組的概念定義：設有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,ar，滿足①

向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關；②

向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關；②'

向量組A

中任意一個向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱向量組A0是向量組A

的一個極大無關組．向量組的極大無關組一般是不唯一的．回顧把

Ax=0

的全體解組成的集合記作S，若求得S

的一個極大無關組S0：x1=x1,

x2=x2,...,,

xt=xt

，那么Ax=0的通解可表示為x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齊次線性方程組的解集的極大無關組稱為該齊次線性方程組的基礎解系（不唯一）．結論三、基礎解系的概念定義：齊次線性方程組Ax=0的一組解向量：x1,x2,...,xr如果滿足①

x1，x2，...，xr線性無關；②方程組中任意一個解都可由x1,x2,...,xr線性表示，那么稱這組解是齊次線性方程組的一個基礎解系．后n-r

列前r

列

設

R(A)=r，為敘述方便，不妨設A行最簡形矩陣為對應的齊次線性方程組令xr+1,…,xn

為自由變量，則方法一：先求出通解，再從通解求得基礎解系．方法一令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則齊次線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿足基礎解系條件②）（x1,x2,...,xn-r

很明顯滿足基礎解系，并且這個基礎解系中恰含有n-r個解）

方法一n

?

r

列前

r

行后

n

?

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

?

r

，即x1,

x2,…,xn-r

線性無關．（滿足基礎解系條件①）于是x1,

x2,…,xn-r

就是齊次線性方程組Ax=0的基礎解系．方法一例：求齊次線性方程組

的基礎解系．方法一：先求出通解，再從通解求得基礎解系．即四、基礎解系的求解四、基礎解系的求解

令x3=c1，x4=c2，得通解表達式因為方程組的任意一個解都可以表示為x1,x2的線性組合．x1,x2的四個分量不成比例，所以x1,x2線性無關．所以x1,x2

是原方程組的基礎解系．此即為Ax=0

的基礎解系．通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，則令方法二：對自由未知量賦值方法二例1：求齊次線性方程組

的基礎解系．方法二：對自由未知量賦值例題即令合起來便得到基礎解系，得

還能找出

其它基礎

解系嗎？例題問題：是否可以把x1

選作自由變量？答：可以，因為是否把系數矩陣化為行最簡形矩陣，其實并

不影響方程組的求解．當兩個矩陣行等價時，以這兩個

矩陣為系數矩陣的齊次線性方程組同解．思考令x1=c1，x2=c2，得通解表達式即思考從而可得另一個基礎解系：

和

．定理：設m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩

R(S)=n

?r．定理

解

對增廣矩陣(A|0)施以初等行變換

得即原方程組與方程組同解

其中x3

x4

x5為自由未知量

例題

讓自由未知量(x3

x4

x5)T分別取值(1

0

0)T

(0

1

0)T

(0

0

1)T

得方程組的一個基礎解系:

1

(

2

1

1

0

0)T

3

(2

1

0

0

1)T

2

(

1

3

0

1

0)T

因此

方程組的全部解為

c1(

2

1

1

0

0)T

c2(

1

3

0

1

0)T

c3(2

1

0

0

1)T其中c1

c2

c3為任意常數

例題Part2非齊次線性方程組解的結構取b

0

得到的齊次線性方程組

Ax

0稱為非齊次線性方程組Ax

b的導出組

一、非齊次線性方程組及其導出組回顧：非齊次線性方程組解的判定

包含n個未知數的非齊次線性方程組Ax=b

有解的充分必要條件是系數矩陣的秩r(A)=r(A,b)，并且當r(A)=r(A,b)=n時，方程組有唯一解；當r(A)=r(A,b)<n時，方程組有無窮多個解．回顧非齊次線性方程組解的性質性質3：若x1=h1，

x2=h2是非齊次線性方程組

Ax=b

的解，則

x=h1?h2

是對應的齊次線性方程組

Ax=0

（導出組）的解．證明：

A(h1?h2)=Ah1?Ah2=b

?b=0．性質4：若x=h

是非齊次線性方程組

Ax=b

的解，x=x

是導出組

Ax=0

的解，則

x=x

+h

還是

Ax=b

解．證明：

A(x

+h

)=Ax

+Ah

=0+b=b

．二、性質根據定理可知

設Ax=0

的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解為

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h定理

設

是非齊次線性方程組Ax

b的一個解

是其導出組Ax

0的全部解

則x

是非齊次線性方程組Ax

b的全部解

三、通解的結構求非齊次線性方程組Ax=b通解的步驟:求非齊次方程組Ax=b

的一個特解h;求導出組Ax=0的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r；得非齊次方程組Ax=b

的通解為

x=x

+h

=

c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h

四、通解步驟例3：求線性方程組的通解．解：容易看出是方程組的一個特解

．其對應的齊次線性方程組為例題導出組Ax=0的通解非齊次方程組Ax=b的特解例題

根據前面的結論，導出組的基礎解系為于是，原方程組的通解為

對增廣矩陣(A|b)施以初等行變換

得

解

即原方程組與方程組同解

其中x3

x4為自由未知量

例題(x3

x4為自由未知量)

讓自由未知量(x3

x4)T取值(0

0)T

得方程組的一個特解

(13/7

4/7

0

0)T

與原方程組的導出組同解的方程組為

對自由未知量(x3

x4)T取值(1

0)T

(0

1)T

即得導出組的基礎解系

1

(

3/7

2/7

1

0)T

2

(

13/7

4/7

0

1)T

因此所給方程組的全部解為

x

c1

1

c2

2(c1

c2為任意常數)例題方程組有解的幾個等價關系（重點、難點）

2.

設有非齊次線性方程組Ax=b，向量組A：a1,a2,…,an是系數矩陣A的列向量組.四個等價關系：

n元非齊次線性方程組Ax=b有解.向量b能由向量組A：a1,a2,…,an線性表示．

向量組a1,a2,…,an與向量組a1,a2,…,an,b等價．

r

(A

)=r

(A,b

)．回顧01小結求解線性方程組（第二章，利用矩陣的初等行變換）線性方程組的幾何意義（第三章，四種等價形式）齊次線性方程組的通解能由它的基礎解系來構造．基礎解系是解集S

的極大無關組．解集S是基礎解系的所有可能的線性組合．非齊次線性方程組的通解與其導出組的基礎解系的關系.02小結（一）設有齊次線性方程