§3.1線性方程組的消元法線性方程組的一般形式和矩陣形式A稱為方程組的系數矩陣

b稱為方程組的常數項矩陣

x稱為n元未知量矩陣

線性方程組的一般形式和矩陣形式

線性方程組的增廣矩陣

線性方程組與增廣矩陣是一一對應的

線性方程組的一般形式和矩陣形式

行階梯形矩陣消元法解線性方程消元法解線性方程方程組的解x1

1

x2

3

x3

2行最簡形矩陣消元法解線性方程

可以看出用消元法解線性方程組的過程

實質上就是對該方程組的增廣矩陣施以初等行變換的過程

解線性方程組時

為了書寫簡便

只寫出方程組的增廣矩陣的變換過程即可

消元法解線性方程

對方程組的增廣矩陣施以初等行變換

相當于把原方程組變換成一個新的方程組

前后兩個方程組顯然是同解的

消元法解線性方程階梯形矩陣與簡化的階梯形矩陣

如果矩陣自上而下的各行中

每一非零行的第一個非零元素的下方全是零

元素全為零的行(如果有的話)都在非零行的下邊

則稱該矩陣為階梯形矩陣

階梯形矩陣與簡化的階梯形矩陣階梯形矩陣與簡化的階梯形矩陣

如果矩陣自上而下的各行中

每一非零行的第一個非零元素的下方全是零

元素全為零的行(如果有的話)都在非零行的下邊

則稱該矩陣為階梯形矩陣

如果階梯形矩陣的每一非零行的第一個非零元素為1

且它所在列的其他元素全是0

則稱該矩陣為簡化的階梯形矩陣（最簡形矩陣）

階梯形矩陣與簡化的階梯形矩陣階梯形方程組與階梯形矩陣

對線性方程組進行變換相當于對其增廣矩陣作相應的變換

當原方程組化成一個階梯形方程組時

其增廣矩陣同時化成了階梯形矩陣

反之當增廣矩陣化成了階梯形矩陣時

原方程組化成一個階梯形方程組

階梯形矩陣與簡化的階梯形矩陣階梯形方程組解的情況分析

階梯形矩陣與階梯形方程組有下列對應關系階梯形方程組解階梯形方程組解的情況分析

設原方程組已化為下列階梯形方程組

這是因為滿足前r個方程的任何一組數k1

k2

kn

都不能滿足“0

dr

1”這個方程

所以方程組無解

1

如果dr

1

0

則原方程組無解

階梯形方程組解階梯形方程組解的情況分析

設原方程組已化為下列階梯形方程組

1

如果dr

1

0

則原方程組無解

在這種情況下有r(A)

r(A

b)

在這種情況下有r(A)

r(A

b)

n

2

如果dr

1

0且r

n

則原方程組有唯一解

3

如果dr

1

0且r

n

則原方程組有無窮多個解

在這種情況下有r(A)

r(A

b)

n

階梯形方程組解定理3

1(解的情況判定)

線性方程組Ax

b有解的充分必要條件是r(A)

r(A

b)

且當r(A

b)

n時方程組有唯一解

當r(A

b)

n時方程組有無窮多解

用消元法解線性方程組的一般步驟

第一步

對增廣矩陣施以初等行變換

化成階梯形矩陣

第二步

根據定理3.1判斷方程組是否有解

第三步

如果方程組有解

則對上述階梯形矩陣繼續進行初等行變換

化成行簡化的階梯形矩陣

第四步

寫出方程組的解

解的情況判定

解

對增廣矩陣施以初等行變換

化為階梯形矩陣

因為r(A|b)

r(A)

2

4

故方程組有無窮多解

例題

解

對增廣矩陣施以初等行變換

化為階梯形矩陣

例題方程組的全部解為其中c1

c2為任意常數

例題所以原方程組無解

r(A|b)

r(A)

因為r(A)

3

r(A|b)

4

練習第一步：判定是否有解1.寫出（A|b）2.只進行初等行變換化為階梯形；3.查看r(A)=r(A|b)?即階梯形中虛線左邊非零行行數與整個階梯形矩陣非零行行數是否相等？---若相等且等于未知量的個數，則有解且是唯一解；

若相等但小于未知量的個數，則有無窮多解；

若不相等即r(A)＜r(A|b)，則方程無解第二步：求方程解將階梯形矩陣化為行最簡形矩陣，計算得一般解。解的情況判定小結齊次線性方程組

齊次線性方程組的一般形式為

齊次線性方程組的矩陣形式為Ax

O

說明

齊次線性方程組Ax

O恒有解

因為它至少有零解

定理3

2

齊次線性方程組Ax

O有非零解的充分必要條件是

r(A)

n

齊次線性方程組

因為r(A)

2

4

所以方程組有非零解

得出原方程組的同解方程組方程組的全部解為其中c1

c2為任意常數

例題小結用消元法解線性方程組的一般步驟

第一步

對增廣矩陣施以初等行變換

化成階梯