宜春九中（外國語學校）2020—2021學年上學期期中考試高二年級數學卷（文科）考試時間：120分鐘試卷總分：150分一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）已知曲線C的方程為，則下列各點中，在曲線C上的點是A. B. C. D.設，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件全稱命題“”的否定是

A. B. C. D.已知點，若直線l過點與線段有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是

．A. B. C. D.在同一平面直角坐標系中，直線：和直線：有可能是A. B.

C. D.已知圓的圓心為M，設A為圓上任一點，點N的坐標為，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是（）A.圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.橢圓過點作圓的切線，則切線方程為

A. B.

C.或 D.或已知兩點，，若點P是圓上的動點，則面積的最小值為

A.6 B. C.8 D.以圓：與圓：相交的公共弦為直徑的圓的方程為

A. B.

C. D.若橢圓與直線交于兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則

A. B. C. D.2已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為A. B.2 C. D.4在平面直角坐標系xOy中，已知F是拋物線的焦點，過點F作兩條相互垂直的直線，，，分別與拋物線交于點A，B和C，D，記AB的中點為M，CD的中點為N，則的最小值是

A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知直線和直線垂直，則實數a的值為__________．已知命題p：，使；命題q：，都有給出下列結論：命題“”是真命題；命題“”是假命題；命題“”是真命題；命題“”是假命題；其中正確的序號是________．橢圓的左右焦點為，，，離心率為，過的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為______．已知F為雙曲線C：的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為______．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）已知集合，，且．

若是的充分條件，求實數a的取值范圍；

若命題“”為真命題，求實數a的取值范圍．

已知雙曲線C：與雙曲線有相同的漸近線，且經過點Ⅰ求雙曲線C的方程；Ⅱ求雙曲線C的實軸長，離心率，焦點到漸近線的距離．

已知直線與直線的交點為M．

求過點M且到點的距離為2的直線l的方程；

求過點M且與直線平行的直線l的方程．

已知圓，其中．如果圓C與圓外切，求m的值；如果直線與圓C相交所得的弦長為，求m的值．

已知橢圓C：

的離心率為，其左焦點到點的距離為，過原點O作直線OP的垂線l交橢圓C于A，B兩點．

求橢圓C的方程；

求的面積．

已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點F在x軸上，拋物線C上一點到焦點F的距離為．Ⅰ求拋物線C的標準方程；Ⅱ設點，過點的直線l與拋物線C相交于A，B兩點記直線MA與直線MB的斜率分別為，，證明：為定值．

宜春九中（外國語學校）2020—2021學年上學期期中考試高二年級數學卷答案和解析【答案】1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 6.D 7.C

8.B 9.B 10.D 11.B 12.C 13.

14.

15.20

16.2

17.解：由是的充分條件，得，所以，

解得．

所以實數a的取值范圍為．

命題“”為真命題，

，或，

解得或又．

所以實數a的取值范圍為：或．

18.解：Ⅰ雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，

設雙曲線的方程為，

代入得，

故雙曲線的方程為：．Ⅱ由方程得，，，故離心率．

其漸近線方程為；

焦點坐標，解得到漸近線的距離為：．

，即．

19.解：由題意，由解得，

直線的交點M為，

根據題意，所求直線的斜率一定存在，

設所求直線方程為，即，

到直線的距離為2，

，

解得或，

所求直線的方程為或；

易知過點且與平行的直線的斜率為：，

所求的直線方程為：，即．

20.解：圓C的圓心為，半徑．因為圓C與圓外切，所以兩圓的圓心距等于其半徑和，

即，

解得．圓C的圓心到直線的距離．因為直線與圓C相交所得的弦長為，所以，解得．21.解：設橢圓左焦點為，

則由題意得，

解得，

則，

所以橢圓方程為．

設，，

由及得，

所以直線l為，

由得：

因為點到直線l的距離為

所以．

22.解：Ⅰ由題意，可設拋物線C：，焦點，則，解得，

因此，拋物線C的標準方程為；Ⅱ證明：設過點的直線l：，設點、，

聯立，消去x，得，

，由韋達定理可得，．

，

因此，為定值．

【解析】1.【分析】

本題考查曲線與方程的對應關系，滿足方程的解的實數對，對應的點在曲線上．

直接把點的坐標代入方程，滿足方程的點，在曲線上，否則不在曲線上．

【解答】

解：把A、B、C、D坐標分別代入曲線方程，只有滿足方程，

所以在曲線上．

故選A．2.解：，解得或；

當或時，使得不成立；

當時，使得或成立；

是的必要不充分條件．

故選：B．

先求出不等式的解集，在根據充分必要條件的定義判斷即可．

本題充分考查了充分必要條件，考查不等式解法，屬于基礎題．3.【分析】

本題考查命題的否定，屬于基礎題．

根據題意利用否命題的定義即可得到結果．

【解答】

解“”的否定是“”

故選B．4.【分析】本題考查了直線的傾斜角與斜率和數形結合思想．

由已知條件結合圖形，通過觀察直線傾斜角的變化，利用傾斜角與斜率間的關系得到斜率的變化情況，一般斜率的范圍與過線段端點的直線的斜率有直接關系．【解答】解：直線PA的斜率，直線PB的斜率，

結合圖象如下：

可得直線l的斜率k的取值范圍是或．

故選C．5.【分析】本題考查了直線的斜率、截距的意義，屬于基礎題．由方程看到：的斜率與的截距相同，的截距與的斜率相同，結合選項可得結果．【解答】解：直線：和直線：分別化為：：，：．

由方程看到：的斜率與的截距相同，

的截距與的斜率相同．

據此可判斷出：只有B滿足上述條件．

故選B．6.解：圓的圓心為M，設A為圓上任一點，

點N的坐標為，線段AN的垂直平分線交MA于點P，

是AN的垂直平分線上的一點，，

又，所以點P滿足，即P點滿足橢圓的定義，

焦點是，，半長軸，

故P點軌跡方程式．

故選：D．

推導出P是AN的垂直平分線上的一點，且，由，得到點P滿足，從而得到動點P的軌跡是焦點為，，半長軸的橢圓．

本題考查動點的軌跡方程的求法，考查橢圓、直線方程、垂直平分線等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．7.【分析】

本題考查直線與圓的位置關系及圓的切線方程的問題，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．

將切線的斜率分為存在與不存在兩種情況討論，借助點到直線的距離公式即可求解．

【解答】

解：圓的圓心為，半徑為1．

當過點P的切線垂直于x軸時，切線斜率不存在，方程為，

因為圓心到直線的距離為，

所以直線符合題意；

當過點P的切線不垂直于x軸時，

設切線方程為，即．

由點到直線的距離公式得：，解得．

此時切線方程為：，即．

綜上所述，切線方程為或．

故選C．8.【分析】本題考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．求出圓心到直線AB的距離d，即可得出圓上的點到直線AB的最小距離為，再利用三角形的面積計算公式面積的最小值即可得出．

【解答】解：圓，即，令圓心為，半徑為1，

如圖，過圓心C向直線AB作垂線交圓于點P，連接BP，AP，這時的面積最小．

直線AB的方程為，即，

圓心C到直線AB的距離為，

所以P到直線AB的最小值為，因為，的面積的最小值為．故選B．9.解：圓：與圓：，方程相減得圓與圓的公共弦所在直線的方程：．

與圓：聯立，可得圓，，公共弦為直徑的圓的圓心坐標為，

故選：B．

兩圓方程相減求出公共弦所在直線的解析式，確定公共弦為直徑的圓的圓心坐標，即可得出結論．

此題考查了直線與圓相交的性質，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關鍵．10.【分析】本題主要考查了直線與橢圓的位置關系，在涉及到與弦的斜率及中點有關時可以利用“點差法”，考查運算能力，屬于中檔題．

設，，，可得直線OM和AB的斜率，A，B在橢圓上，代入橢圓方程，利用點差法和中點坐標公式，化簡整理即可得到所求值．【解答】解：設，，AB中點為，

，

，

由AB的中點為M可得，

由A，B在橢圓上，可得，

兩式相減可得，

把代入可得：，

整理可得

故選D

．11.略12.【分析】

本題考查直線與拋物線的位置關系，中點坐標公式，屬于中檔題．

聯立直線AB與拋物線的方程，求出M的坐標，同理求出N的坐標，再利用平面向量的數量積以及基本不等式求出最小值即可．

【解答】

解：設點，，，

，焦點，

由題意，直線，的斜率都存在且不為0，

可設直線AB的方程為，

把直線AB：代入，

得，

可知：，

，

同理可得，，

，當且僅當時取等號．

所以的最小值是5，

故選C．13.【分析】

本題考查兩直線垂直的應用，屬于基礎題目．

由兩直線垂直得出關系式求出a的值即可．

【解答】

解：由題意可得，

解得．

故答案為．14.【分析】本題考查復合命題的真假判斷，首先判斷p，q的真假，利用復合命題的真假判斷即可求解．

【解答】解：命題p：，使，錯誤，命題q：，都有正確．故正確．15.【分析】

由橢圓性質列出方程組，求出a，再由橢圓定義得的周長為4a，由此能求出結果．

本題考查三角形周長的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意橢圓定義及性質的合理運用．

【解答】

解：橢圓的左右焦點為，，，離心率為，

，解得，，，

過的直線交橢圓于A、B兩點，

的周長為．

故答案為：20．16.【分析】

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，離心率的求法，考查轉化思想以及計算能力．

利用已知條件求出A，B的坐標，通過AB的斜率為3，轉化求解雙曲線的離心率即可．

【解答】

解：F為雙曲線C：的右焦點，A為C的右頂點，

B為C上的點，且BF垂直于x軸．所以，

若AB的斜率為3，可得：，

，代入上式化簡可得，，

可得，，

解得．

故答案為：2．17.本題考查了集合之間的關系、不等式的解法、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．

由是的充分條件，根據，即可得出．

由命題“”為真命題，可得，或，即可得出．18.Ⅰ由題意設雙曲線的方程，代入M的坐標，即可求解雙曲線方程．Ⅱ利用雙曲線方程，然后求解雙曲線C的實軸長，離心率，焦點到漸近線的距離．

本題考查雙曲線的方程及簡單性質，考查直線與雙曲線位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．19.本題考查了直線方程的求法，涉及兩直線交點坐標求法，點到直線距離公式運用，兩直線平行斜率關系，考查了運算求解能力，屬于中檔題．

先將直線聯立，求出點M坐標，然后設出所求直線方程，運用點到直線距離公式建立關于k的方程求解即可；

先根據直線平行的關系得到所求直線的斜率，然后用點斜式寫出所求直線方程即可求解．20.本題考查直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，弦長公式，考查轉化思想，屬于中檔題．

化簡求得圓心及半徑，由圓C與圓相外切，則兩圓的圓心距等于其半徑和，即可求得m的值；

利用點到直線的距離公式求得C到直線的距離，根據弦長公式即可求得m的值．21.本題考查橢圓的方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯立，消去未知數y，運用韋達定理和弦長公式，考查兩點間的距離公式，考查了學生的運算能力屬于中檔題．

運用兩點的距離公式以及離心率公式，可得a，c的值，由a，b，c的關