第6講空間線段以及線段之和最值問(wèn)題一、單選題12024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐P一ABCD的底面為矩形，AB=2，BC=4，側(cè)面PAB為正三角形且垂直于底面ABCD，M為四棱錐P一ABCD內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線CD距離的最小值為22024上·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把ΔABD和ΔACD折成60的二面角.若AB=，D=xD+ 32024上·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中:①若點(diǎn)Q為CC1的中點(diǎn)，則PA1+PQ的最小值為；②過(guò)點(diǎn)P作與AD1和BA1都成的直線，可以作四條；③若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作與直線D1P垂直的平面C，則平面C截正方體ABCD一A1B1C1D1的截面周長(zhǎng)為2+；④若點(diǎn)P到直線BB1與到直線AD的距離相等，CD的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)P到直線AE的最短距離是.其中正確的命題有()42024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系O一xyz中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(0,2,1)，點(diǎn)C，D分別在x軸，x軸，y軸上，且AD」BC，那么的最小值是()且該棱柱外接球O的表面積為20π,E為線段AB上一點(diǎn)．則當(dāng)該四棱柱的體積取最大值時(shí)，D1E+CE的最小值為()二、多選題點(diǎn)，點(diǎn)P滿足=λ(0<λ<1)，則()A．若M為A1D的中點(diǎn)，則三棱錐P一BEM體積為定值B．存在點(diǎn)P使得AP」BEC．當(dāng)λ=時(shí)，平面PBC截長(zhǎng)方體ABCD一A1B1C1D1所得截面的面積為D．若Q為長(zhǎng)方體ABCD一A1B1C1D1外接球上一點(diǎn)，λ=，則QE+3QP的最小值為72024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD一A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)M滿足-------------AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,zeR且x之0,y之-------------B．當(dāng)x=y=1,z=時(shí)，異面直線BM與CD1所成角的余弦值為C．當(dāng)x+y+z=1，且AM=時(shí)，則M的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)x+y=1,z=0時(shí)，AM與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值為82024下·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體如六氟化硫（化學(xué)式SF6）、金剛石等的分子結(jié)構(gòu).將正方體六個(gè)面的中心連線可得到一個(gè)正八面體（如圖1已知正八面體E一ABCD一F的（如圖2）棱長(zhǎng)為2，則()A．正八面體E-ABCD-F的內(nèi)切球表面積為B．正八面體E-ABCD-F的外接球體積為C．若點(diǎn)P為棱EB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+CP的最小值為2D．若點(diǎn)Q為棱AF上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐E-QBC的體積為定值92024下·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)M在棱DD1上，記平面BC1M截正方體所得的截面圖形為Ω,則()A．平面A1BC」平面B1C1DB．不存在點(diǎn)M，使得直線CM//平面BA1C1+CM的最小值為2D.Ω的周長(zhǎng)隨著線段DM長(zhǎng)度的增大而增大102024下·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,E,F分別為BB1,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足=λ,λe[0,1]，則()B．三棱錐P-AD1E的體積與P點(diǎn)的位置有關(guān)P的最小值為4+2D．當(dāng)λe(|（0,時(shí)，平面PEF截正方體的截面形狀為五邊形112024下·湖北·高二應(yīng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P滿足=λ1+μ，λe[0,1]，ue[0,1]，則下面結(jié)論正3A．當(dāng)λ=μ時(shí)，BP」AC1B．當(dāng)μ=時(shí)，三棱錐C1-PB1C的體積為定值C．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，直線CP與平面BCC1B1所成的角不可能為D．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，PC+PB的最小值為 π 3122024下·重慶·高三重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為1，AA1=2，點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界點(diǎn)Q滿足C=mC,me[0,1]，則()A．當(dāng)m=時(shí)，A1P+PQ的最小值為B．當(dāng)m=時(shí)，存在點(diǎn)P，使經(jīng)A1PQ為直角C．當(dāng)m=時(shí)，滿足D1P」A1Q的點(diǎn)P的軌跡平行平面C1BDD．當(dāng)m=時(shí)，滿足A1P」PQ的點(diǎn)P的軌跡圍成的區(qū)域的面積為132023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在三棱錐A1-ABC中，A1A」平面ABC，AB」AC，=AB=AC=3，P為ΔA1BC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界AP與平面A1BC所成的角為45。，則()A．A1P的最小值為-C．有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P」BCD．所有滿足條件的線段AP形成的曲面面積為142024上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)下列說(shuō)法正確的有()A．存在點(diǎn)P，使得CP」平面A1DBB．不存在點(diǎn)P，使得直線C1P與平面A1DB所成的角為30。C．PC+PD的最小值為2D．以P為球心，PA為半徑的球體積最小時(shí)，被正方形ADD1A1截得的弧長(zhǎng)是 π152024上·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別是棱A1D1，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)，若PM=，則下列結(jié)論正確的有()A．MN」BDB．MN//A1BC．點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為πD．PN的最小值是-1162024上·江蘇南京·高二南京市第九中學(xué)?？计谀┮阎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E滿足A．若λ=μ,則B1C」AED．若λ2+μ2=1，則AE與平面BB1C1C的所成角為定值172024上·湖南·高二湖南師大附中?？计谀┫铝杏嘘P(guān)正方體的說(shuō)法，正確的有()A．正方體的內(nèi)切球、棱切球、外接球的半徑之比為1::B．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,Q為正方體側(cè)面BCC1B1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,F為線段AC1的兩個(gè) 三等分點(diǎn)，則QE+QF的最小值為C．若正方體8個(gè)頂點(diǎn)到某個(gè)平面的距離為公差為1的等差數(shù)列，則正方體的棱長(zhǎng)為2D．若正方體ABCD-A,B,C,D,的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P在棱CC,上，且PC=2PC,，則三棱錐B,-D,AP的外接球表面積為π182024上·山西太原·高三統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段B1C的中點(diǎn)，點(diǎn)----------------P和Q分別滿足D1P=λD1C1，D1Q=μD1B，其中λ,μ----------------A．當(dāng)λ=時(shí)，三棱錐Q_PDE的體積為定值B．當(dāng)μ=時(shí)，四棱錐Q_ABCD的外接球的表面積是C．當(dāng)λ=1時(shí)，不存在μ使得PQ」B1D1DPQ+EQ的最小值為192024上·湖南衡陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知四棱臺(tái)ABCD_A1B1C1D1的底面為正方形，棱AA1」底面ABCD，D2，則下列說(shuō)法正確的是()A．直線CD1與平面A1BD相交B．若直線AC1與平面BDD1B1交于點(diǎn)M，則M為線段AC1的中點(diǎn)C．平面A1CD將該四棱臺(tái)分成的大、小兩部分體積之比為5:2D．若點(diǎn)P,Q分別在直線AA1,CD1上運(yùn)動(dòng)，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為的中點(diǎn)，P,Q分別是直線CC1,AM上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．三棱錐A_BDM的體積為4C．直線AC1,BD所成角的余弦值為D．PQ的最小值為212023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體ABCD_A1B1C1D1中，B．三棱錐P-AD1E的體積與P點(diǎn)的位置有關(guān)P的最小值為4+2D．當(dāng)λ=(|（0,時(shí)，平面PEF截正方體的截面形狀為五邊形222023上·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為A．當(dāng)λ=1時(shí)，B1P」ACB．當(dāng)λ=μ時(shí)，+最小值是C．當(dāng)B1P」PC時(shí)，BP的最大值D．若B1P與平面CC1D1D所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為π翻折為三棱錐P-ABC，點(diǎn)P為翻折過(guò)程中點(diǎn)D的位置，則下列結(jié)論正確的是()A．無(wú)論點(diǎn)P在何位置，總有AC」PDB．點(diǎn)P存在兩個(gè)位置，使得VP-ABC=1成立C．當(dāng)PB=時(shí)，邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為 π2D．當(dāng)PB=2時(shí)，M為PB上一點(diǎn)，則AM+CM的最小值為2242023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E，F(xiàn)，N分別是棱CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)，P是NC上一點(diǎn)，Q在平面ABCD內(nèi)，則()A．CN平面BDEB．直線BE與A1F是異面直線C．當(dāng)BP取得最小值時(shí)，BP+PQ的最小值為D．直線NC與平面BDE的交點(diǎn)是ΔBDE的外心252023上·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為線段A1C1上任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()A．PDBD1B．動(dòng)點(diǎn)P到線段BD的距離可以是C．P是A1C1中點(diǎn)時(shí)，直線PD與平面A1BD所成的角的正弦值是223-------------PM的D．三棱錐P-A1BD體積最大時(shí)，若點(diǎn)M滿足OM=xOA1+yOB+zOD，其中x+y-------------PM的最小值是262023上·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．存在點(diǎn)P，使得C1P平面B1CD1B．三棱錐B1A1D1P的體積為定值C．當(dāng)點(diǎn)P在棱CD上時(shí)，PA+PB1的最小值為2+2D．若點(diǎn)P到直線BB1與到直線AD的距離相等，CD的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)P到直線AE272024上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）四棱錐PABCD的底面為正方形，PA與底面垂直，PA=2，AB=1，動(dòng)點(diǎn)M在線段PC上，則()A．不存在點(diǎn)M，使得ACBMB．MB+MD的最小值為C．四棱錐PABCD的外接球表面積為6πD．點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值為282024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┰诶忾L(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的有()B．點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為C．當(dāng)P在線段C1D1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A1B1PC的體積不變D．若Q為正方體側(cè)面BCC1B1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,F為線段AC1的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則QE+QF的最小值三、填空題292024上·廣東·高二統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD和正方形ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面所成的二面角D一AB一F的大小是60。，則直線AC和BF夾角的余弦值為．若M,N分別是AC,BF上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=BN，則MN的最小值是.302024上·江西九江·高二統(tǒng)考期末）如圖，正三棱錐P一ABC中，三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直且相等，PA=2,M為PC的中點(diǎn)，N為平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則NM+NP的最小值為.312024上·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，E,F,M分別是棱B1C1,C1D1,AB的中點(diǎn)，G,H分別是線段AC1,EF上的動(dòng)點(diǎn)，則GH+GM的最小值為.322024上·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3,D為BC--------------的中點(diǎn)，設(shè)A1P=λA1B1,DQ=--------------=2A1A=2B1C1=2，P為線段AB1的中點(diǎn)，M,N分別為線段AC1和線段B1C1上任意一點(diǎn)，則PM+MN的最小值為.342024上·重慶·高二統(tǒng)考期末）一種糖果的包裝紙由一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形和兩個(gè)等腰直角三角形組成（如圖1沿AD，BC將這兩個(gè)三角形折起到與平面ABCD垂直（如圖2連接EF，AE，CF，AC，若點(diǎn)G滿足=x+y+z且x+y+z=1，則||的最小值為.352024上·上海·高二上海市復(fù)旦中學(xué)?？计谀┮阎谥比庵鵄BC-A1B1C1中，底面為直角三角形，=，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA1的最小值為.362023上·河北石家莊·高二石家莊一中?？茧A段練習(xí)）正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M在線 段DC上，且DM=，動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界若D1P=，則當(dāng)B1P取得最小值時(shí)，三棱錐B1一MPB外接球的表面積為372024·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，M，N分別為線段A1D和B1D1上的動(dòng)點(diǎn)，且D1N=2DM，則MN的最小值為.的體積為.392023上·上?！じ叨裰轮袑W(xué)校考階段練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三角形ABC是等腰直角三角形，其中B為直角頂點(diǎn)，且AB=3,AA1=2．若點(diǎn)D為棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M為平面BCD的一動(dòng)點(diǎn)，則B1MM的最小值是.第6講空間線段以及線段之和最值問(wèn)題一、單選題12024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐P一ABCD的底面為矩形，AB=2，BC=4，側(cè)面PAB為正三角形且垂直于底面ABCD，M為四棱錐P一ABCD內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線CD距離的最小值為【答案】B【解析】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，取AB的中點(diǎn)為H，CD的中點(diǎn)為N，連接PH，PN，HN，球O為四棱錐P一ABCD的內(nèi)切球，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAB為正三角形且垂直于底面ABCD，則平面PHN截四棱錐P一ABCD的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，此圓為ΔPHN的內(nèi)切圓，半徑為r，與HN，PH分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平面PAB」平面ABCD，交線為AB，PH一平面PAB，ΔPAB為正三角形，有PH」AB，:PH」平面ABCD，HN平面ABCD，:PH」HN，AB=2，BC=4，則有PH=3，H所以，四棱錐P一ABCD內(nèi)切球半徑為1，連接ON.QPH」平面ABCD，CD一平面ABCD，:CD」PH，又CD」HN，PH,HNì平面PHN，PHnHN=H，\CD^平面PHNON一平面PHN，可得ON」CD，所以?xún)?nèi)切球表面上一點(diǎn)M到直線CD的距離的最小值即為線段ON的長(zhǎng)減去球的半徑，所以四棱錐P一ABCD內(nèi)切球表面上的一點(diǎn)M到直線CD的距離的最小值為一1. 故選：B.22024上·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把ΔABD和ΔACD折 【答案】D【解析】由已知得AD」BD,AD」CD，所以經(jīng)BDC是ΔABD和ΔACD折成60的二面角的平面角，因?yàn)镈=xD+yD+(1xy)D，其中x,yeR，所以點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，則D的最小值為點(diǎn)D到平面ABC的距離，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，因?yàn)锳D」BD,AD」CD，BD（CD=D，BD一平所以AD」平面BDC，所以AD是點(diǎn)A到平面BDC的距離，所以sin經(jīng)BAC=，則SΔABC=AB.AC.sin經(jīng)BAC=3,4 ,4所以VDABC=xhxSΔABC=xhx=，解得h=，所以D的最小值為，故選：D.32024上·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中:①若點(diǎn)Q為CC1的中點(diǎn)，則PA1+PQ的最小值為；②過(guò)點(diǎn)P作與AD1和BA1都成的直線，可以作四條；③若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作與直線D1P垂直的平面C，則平面C截正方體ABCD一A1B1C1D1的截面周長(zhǎng)為2+；④若點(diǎn)P到直線BB1與到直線AD的距離相等，CD的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)P到直線AE的最短距離是.其中正確的命題有()【答案】C延長(zhǎng)QC到Q,，使CQ,=1，由點(diǎn)Q為CC1的中點(diǎn)，得平面ABCD是線段QQ,的中垂面，連接A1Q,,A1C1，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為直線A1Q,與平面ABCD的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，①正確；連接BC1，四邊形ABC1D1是正方體AC1的對(duì)角面，則四邊形ABC1D1是矩形，即BC1//AD1，CBC1的平分線與直線BA1,BC1都成的角，顯然在空間過(guò)點(diǎn)B作與直線BA1,AD1都成角的直線只有1條，則過(guò)空間任意點(diǎn)作與直線BA1,AD1都成角的直線只有1條，②錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，取BB1,BA的中點(diǎn)F,G，連接CG,CF,GF,C1P， π2 π2即有CF」C1P，而D1C1」平面BCC1B1，CF一平面BCC1B1，則CF」D1C1，又D1C1nC1P=C1,D1C1,C1P一平面D1C1P，于是CF」平面D1C1P，而D1P一平面D1C1P，因此CF」D1P，同理CG」D1P，顯然CGnCF=C,CG,CF一平面CGF，由于BB1」平面ABCD，則點(diǎn)P到直線BB1距離等于PB，即點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離等于它到直線AD的距離，因此點(diǎn)P軌跡是以點(diǎn)B為焦點(diǎn)，直線AD為準(zhǔn)線的拋物線在正方形ABCD及內(nèi)部，以線段AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P軌跡方程為y2=4x(0<y<2)，直線AE的方程為y=2x+2，令P(x0,2)(x0<1)，2 所以正確命題的個(gè)數(shù)為2.故選：C42024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系O一xyz中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(0,2,1)，點(diǎn)C，D分別在---x軸，y軸上，且AD」BC，那么CD的最小值是()---【答案】B------------224當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí)等號(hào)成立.5故選：B且該棱柱外接球O的表面積為20π,E為線段AB上一點(diǎn)．則當(dāng)該四棱柱的體積取最大值時(shí)，D1E+CE的最小值為()【答案】D【解析】設(shè)外接球O的半徑為R，則球O的表面積S=4πR2=20π,所以R=，=8，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)即底面為邊長(zhǎng)為2的正方形時(shí)，四棱柱的體積最大.將平面ABCD沿AB展開(kāi)，與ABC1D1處于同一平面，則D1E+EC即平面圖形中D1,E,C三點(diǎn)共線時(shí)，D1E+CE有最小值2.故選：D二、多選題點(diǎn)，點(diǎn)P滿足=λ(0<λ<1)，則()A．若M為A1D的中點(diǎn)，則三棱錐P_BEM體積為定值B．存在點(diǎn)P使得AP」BEC．當(dāng)λ=時(shí)，平面PBC截長(zhǎng)方體ABCD_A1B1C1D1所得截面的面積為D．若Q為長(zhǎng)方體ABCD_A1B1C1D1外接球上一點(diǎn)，λ=，則QE+3QP的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因?yàn)镸為A1D的中點(diǎn)，E為A1B1的中點(diǎn)，所以DB1//EM，DB1丈面BEM，EM一面BEM，所以DB1//面BEM，故A正確；則P到面BEM的距離為定值，所以體積為定值.對(duì)于B：AP在平面ABB1A1的投影為AB1，設(shè)P在平面ABB1A1的投影為G，則G在直線AB1上.則PG」平面ABB1A1，BE一平面ABB若AP」BE，PG（AP=P，所以BE」平面APG，AB1平面APG，則AB1」BE，因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1為正方形，所以AB1與BE不垂直，所以B錯(cuò).對(duì)于C：平面PCD與平面B1CD重合，平面B1CD與平面DCB1A1重合，---2----所以延長(zhǎng)CP會(huì)與A1B1有交點(diǎn)，因?yàn)镈P=3DB1，所以延長(zhǎng)CP與A1B1交于點(diǎn)E，取C1D1中點(diǎn)F，則平面PBC截長(zhǎng)方體ABCD_A1B1C1D1所得截面為矩形BCFE，所以面積為．故C正確；3---2----對(duì)于D：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1外接球球心為B1D中點(diǎn)，半徑為2,DP=3DB1，由阿氏球得，在直線B1D上必存在一點(diǎn)N，使得3QP=QN，此時(shí)點(diǎn)N在DB1延長(zhǎng)線上，且滿足B1N=3，以D為原點(diǎn)，建系如圖，DB1=3,DN=6所以=2，則N(4,2,4)，故選：ACD.72024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)M滿足-------------AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,zeR且x之0,y之-------------B．當(dāng)x=y=1,z=時(shí)，異面直線BM與CD1所成角的余弦值為24πC當(dāng)x+y+z=1，且AM=24πD．當(dāng)x+y=1,z=0時(shí)，AM與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值為【答案】AD---1------1---【解析】對(duì)于A，在AB上取點(diǎn)H，使AH=4AB，在DC上取點(diǎn)K，使DK=4DC，因?yàn)閤=,z=0,ye[0,1]將平面B1HKC1與平面AHKD沿著HK展開(kāi)到同一平面內(nèi)，如圖：連接B1D交HK于P，此時(shí)B,P,D三點(diǎn)共線，B1M+MD取到最小值即B1D的長(zhǎng)，------,:BH=，則B1H=22(3)252即此時(shí)B1M+MD的最小值為，A正確；1----------1------1----此時(shí)M為CC1的中點(diǎn)，取C1D1的中點(diǎn)為N，連接BM,MN,BN，則MN∥CD1,故經(jīng)BMN即為異面直線BM與CD1所成角或其補(bǔ)角，2BM.MN25.210而異面直線所成角的范圍為(0,]，故異面直線BM與CD1所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x+y+z=1時(shí)，可得點(diǎn)M的軌跡在ΔA1BD內(nèi)（包括邊界由于CC1」平面ABCD，BD一平面ABCD，故CC1」BD，又BD」AC，ACnCC1=C,AC,CC1一平面ACC1，故BD」平面ACC1，AC1一平面ACC1，故BD」AC1，同理可證A1B」AC1,ABnBD=B,A1B,BD平面A1BD，故AC1」平面A1BD，設(shè)AC1與平面A1BD交于點(diǎn)P，由于VA一ABD=VA一ABDxx2x2x2=4,3BD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則點(diǎn)A到平面A1BD的距離為AP=若AM= AMAM2AP222332,3即M點(diǎn)落在以3為半徑的圓上，P點(diǎn)到ΔA1BD三遍的距離為xx2=<，即M點(diǎn)軌跡是以P為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長(zhǎng)度小于圓的周長(zhǎng),C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)锽1D1∥BD,BD丈平面AB1D1，B1D1一平面AB1D1，故BD∥平面AB1D1，點(diǎn)M到平面AB1D1的距離等于點(diǎn)B到平面AB1D1的距離，設(shè)點(diǎn)B到平面AB1D1的距離為d，ABB.ADΔAB1D1為邊長(zhǎng)為2的正三角形，即SΔABD.d=xx(2)2xd=，解得d=，又M在BD上，當(dāng)M為BD的中點(diǎn)時(shí)，AM取最小值，設(shè)直線AM與平面AB1D1所成角為θ,θE[0,]，則sinθ==<=，即AM與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值為，D正確，故選：AD82024下·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體如六氟化硫（化學(xué)式SF6）、金剛石等的分子結(jié)構(gòu).將正方體六個(gè)面的中心連線可得到一個(gè)正八面體（如圖1已知正八面體E一ABCD一F的（如圖2）棱長(zhǎng)為2，則()C．若點(diǎn)P為棱EB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+CP的最小值為2D．若點(diǎn)Q為棱AF上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐E一QBC的體積為定值【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)該正八面體內(nèi)切球的半徑為r，由內(nèi)切球的性質(zhì)可知正八面體的體積對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)該正八面體外接球的半徑為R，由圖知，,利用對(duì)稱(chēng)性知OF=,故點(diǎn)O為正八面體外接球的球心，則R=，所以正八面體外接球的體積為,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；共面，從而得到一個(gè)菱形ABC,E.32連接AC與BE相交于點(diǎn)P，此時(shí)AP」EB,CP,」EB,AP=C,P32故C項(xiàng)正確；x2=,則AP+CP取得最小值為2，對(duì)于D項(xiàng)，易知AF//EC，因?yàn)锳F丈平面EBC,EC一平面EBC，所以AF//平面EBC，故選：ACD.92024下·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知棱長(zhǎng)為2在棱DD1上，記平面BC1M截正方體所得的截面圖形為Ω,則()A．平面A1BC」平面B1C1DB．不存在點(diǎn)M，使得直線CM//平面BA1C1+CM的最小值為2D.Ω的周長(zhǎng)隨著線段DM長(zhǎng)度的增大而增大【答案】ACD【解析】由于正方體的對(duì)角面相互垂直，故A正確；當(dāng)點(diǎn)M與D1重合時(shí)，直線CM//平面BA1C1，故B錯(cuò)誤；將四邊形DCC1D1翻折至與四邊形BB1D1D共面，則B1M+CM之B1C==2，故C正確；當(dāng)DM=0時(shí)，Ω為‘BC1D，且‘BC1D的周長(zhǎng)為6.當(dāng)DM=2時(shí)，Ω為四邊形ABC1D1，且四邊形ABC1D1的周長(zhǎng)為4+4.當(dāng)0<DM<2時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN//AD1，易得MN//BC1，所以Ω為四邊形MNBC1，所以l(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，所以Ω的周長(zhǎng)隨著線段DM長(zhǎng)度的增大而增大，故D正確.故選:ACD.102024下·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）在正方體ABCD一A1B1C1D1中，AB=4,E,F分別為BB1,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足=λ,λe[0,1]，則()B．三棱錐P一AD1E的體積與P點(diǎn)的位置有關(guān)P的最小值為4+2D．當(dāng)λe(|（0,時(shí)，平面PEF截正方體的截面形狀為五邊形【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4,0,0),E(4,4,2),D1(0,0,4),F(0,2,0),A1=(4,0,4)所以A1F」AD1,A1F」AE，又AE（AD1=A,AE一平面AD1E,AD1一平面AD1E，所以A1F」平面AD1E，故A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中，AB//C1D1且AB=C1D1，所以四邊形ABC1D1為平行四邊形，因此BC1//AD1，,AD1一平面AED1，所以BC1//平面AED1，因此棱BC1上的所有點(diǎn)到平面AED1的距離都相等，又P是棱BC1上的動(dòng)點(diǎn)，所以三棱錐P-AED1的體積始終為定值，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，B(4,4,0),C1(0,4,4),B1(4,4,4)，因?yàn)?λ,λe[0,1]，所以P(4-4λ,4,4λ)，所以=(4-4λ,4,4λ),=(-4λ,0,4λ-4)，2又λe[0,1]，當(dāng)λ=時(shí)，DP+B1P有最小值，最小值為2+2，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，連接EC，取AA1中點(diǎn)為G，當(dāng)EC與BC1交點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，平面PEF截正方體截面圖形ECDG為四邊形，如下圖1，此時(shí)ΔPMC~ΔEBC,ΔPMB~ΔC1=，此時(shí)λ=，當(dāng)0<λ<時(shí)，如下圖2，截面為五邊形EBFKL，故D正確；故選∶AD112024下·湖北·高二應(yīng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，點(diǎn)P滿足=λ1+μ，λe[0,1]，ue[0,1]，則下面結(jié)論正A．當(dāng)λ=μ時(shí)，BP」AC1B．當(dāng)μ=時(shí)，三棱錐C1一PB1C的體積為定值 3πC．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，直線CP與平面BCC1B1 3πD．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，PC+PB的最小值為【答案】ABC【解析】根據(jù)正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?λ1+μ，故=(0,μ,λ)，故P(0,1μ,λ)成立.對(duì)于B，因?yàn)镻(0,1一μ,λ)，故P在平面ADD1A1，故P到平面B1C1C的距離為1，而ΔB1C1C的面積為定值，故VP一CBC為定值，故VC一PBC為定值，故B正確.2+2+414設(shè)直線CP與平面BCC1B1所成的角為θ,則sinθ=------AB.CP---AB---CP1 2λ22λ+221 故θ不可能為，故C錯(cuò)誤.λ2+22， 故 故D錯(cuò)誤.點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界點(diǎn)Q滿足=m,me[0,1]，則()A．當(dāng)m=時(shí)，A1P+PQ的最小值為B．當(dāng)m=時(shí)，存在點(diǎn)P，使經(jīng)A1PQ為直角C．當(dāng)m=時(shí)，滿足D1P」A1Q的點(diǎn)P的軌跡平行平面C1BDD．當(dāng)m=時(shí)，滿足A1P」PQ的點(diǎn)P的軌跡圍成的區(qū)域的面積為【答案】ACD【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(與平面ABCD的交點(diǎn)即為使得A1P+PQ取最小值的點(diǎn)P，222222Q2222222不合要求，故不存在點(diǎn)P，使經(jīng)A1PQ為直角，B錯(cuò)誤；在平面ABCD中畫(huà)出P(s,t,0)點(diǎn)的軌跡，如圖所示，其軌跡為線段MN，其中M,N分別為AD,AB的中點(diǎn)，其中MN//BD，又BD一平面C1BD，MN丈平面C1BD，故MN//平面C1BD，當(dāng)m=時(shí)，滿足D1P」A1Q的點(diǎn)P的軌跡平行平面C1BD，C正確；22故點(diǎn)P的軌跡為以,為圓心，為半徑的圓，剛好與正方形ABCD相切，當(dāng)m=時(shí)，滿足A1P」PQ的點(diǎn)P的軌跡圍成的區(qū)域的面積為π,D正確.故選：ACD132023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在三棱錐A1一ABC中，A1A」平面ABC，AB」AC，=AB=AC=3，P為ΔA1BC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界AP與平面A1BC所成的角為45。，則()C．有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P」BCD．所有滿足條件的線段AP形成的曲面面積為【答案】ACD【解析】因?yàn)锳1A」平面ABC，AB,AC一平面ABC，所以A1A」AB,A1A」AC，取BC的中點(diǎn)M，則AM」BC,A1M」BC，又AMnA1M=M,AM,A1M一平面A1AM，所以BC」平面A1AM，過(guò)A作AH」A1M于H，因?yàn)锳H一平面A1AM，所以AH」BC，又A1MnBC=M,A1M,BC一平面A1BC，所以AH」平面A1BC，所以經(jīng)APH為AP與平面A1BC所成的角的平面角，因?yàn)锳1A」平面ABC，AM一平面ABC，則A1A」AM，22(3)2又在RtVA1AM中，A1A=22(3)2所以AH= AA. 1AM1 =2所以點(diǎn)P軌跡是以H為圓心，以為半徑的圓在‘A1BC內(nèi)部的一部分，如圖，所以A1P的最小值為A1H-HP=-，故A正確；由于軌跡圓部分在平面A1BC外部，所以A1P的最大值不等于A1H+HP=+，故B錯(cuò)誤；因?yàn)锽C」平面A1AM，A1M一平面A1AM，所以BC」A1M，若A1P」BC，則點(diǎn)P在線段A1M上，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足題意，故C正確；動(dòng)線段AP形成的曲面為圓錐AH側(cè)面積的一部分，易知三棱錐A-A1BC是正三棱錐，AH」平面A1BC，故H為等邊‘A1BC的中心， 41，所以曲面面積為圓錐側(cè)面面積的=2π4 14所以所有滿足條件的動(dòng)線段4故選：ACD.142024上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)下列說(shuō)法正確的有()A．存在點(diǎn)P，使得CP」平面A1DBB．不存在點(diǎn)P，使得直線C1P與平面A1DB所成的角為30。C．PC+PD的最小值為2D．以P為球心，PA為半徑的球體積最小時(shí)，被正方形ADD1A1截得的弧長(zhǎng)是π【答案】BCD【解析】方法一：如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，B=λB，則P(2-2λ,2-2λ,2λ)，對(duì)于A，因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體，由三垂線定理得AC1」A1B，AC1」A1D，假設(shè)CP」面A1DB，則C=(2-2λ,-2λ,2λ)與(-2,2,2)共線矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò).CA.CPCACPCA.CPCACP+9+44λ+4λ4λ+4244λ+4λ4λ+4222λ2+4λ2+2λ21:=2112，假設(shè)不成立，B對(duì).λ2++(|(λ2 (22λ)2+(22λ)2+(2λ)2+9對(duì)于D，PA=(一2λ)2+(22λ)2+(2λ)2=12λ28λ=時(shí)PA最小，P,,，PA=，設(shè)截面小圓的圓心為N，半徑為r，則NP」平面ADD1A1，所以N,0,，r=2一2=， 因?yàn)?2所以球與面ADD1A1N為圓心，為半徑的圓弧，方法二：對(duì)于A，若CP平面A1DB，則CPBD，由三垂線定理知P為BD1中點(diǎn)，但此時(shí)CP不與A1D垂直，故不存在這樣的P，A不正確；對(duì)于B，同法一，B正確；對(duì)于C，可將面DD1B與面D1BC攤平，PCPDCD2，C正確.對(duì)于D，球O半徑最小值為A到BD1的距離Rmin的射影為O1，3過(guò)O1作MN∥A1D分別交AD，AA1于M，N，OA，OO1，O在面ADD1A1上121ON，3故選：BCD.CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)，若PM=，則下列結(jié)論正確的有()A．MN」BDB．MN//A1BC．點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為πD．PN的最小值是一1【答案】ACD【解析】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，故D(0,0,0)，N(0,1,0)，M(1,0,2)，B(2,2,0)，而A1(2,0,2)，=(0,2,_2)，顯然與無(wú)倍數(shù)關(guān)系，則MN//A1B不成立，故B錯(cuò)誤，設(shè)P(x,y,0)，由兩點(diǎn)間距離公式得√(x_1)2+y2+4=，易知點(diǎn)P的軌跡是圓，故該軌跡的參數(shù)方程為x=1+cosθ,y=sinθ,(θ是參數(shù))，故P(1+cosθ,sinθ,0)，由兩點(diǎn)間距離公式得易知當(dāng)cos(θ+)=_1時(shí)，PN取得最小值，此時(shí)PN==_1，故D正確.故選：ACD162024上·江蘇南京·高二南京市第九中學(xué)?？计谀┮阎襟wABCD_A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E滿足A．若λ=μ,則B1C」AEC．若λ+μ=1，則AE+D1E的最小值為√6D．若λ2+μ2=1，則AE與平面BB1C1C的所成角為定值【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)棣?μ,所以易知點(diǎn)E為BC1中點(diǎn)，如圖，連接AB1和AC，由正方形易知AB1=AC，因?yàn)辄c(diǎn)E是B1C的中點(diǎn)，所以B1C」AE，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意得點(diǎn)E在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，由正方體的性質(zhì)可知B1C//A1D，所以B1，C，A1，D四點(diǎn)共面，因?yàn)辄c(diǎn)EeB1C，所以點(diǎn)Ee平面CDA1B1，所以平面A1DE和平面B1CA1D為同一平面，所以B1C在平面A1DE，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意得AE掃過(guò)的平面為平面AB1C，D1E掃過(guò)的平面為平面D1B1C，所以將這兩個(gè)平面獨(dú)立出來(lái)展開(kāi)成同一個(gè)平面，易知當(dāng)點(diǎn)A、E、D1三點(diǎn)共線時(shí)AE+ED1最短，之AD對(duì)于D選項(xiàng)，由BC=BB1=1和λ2+μ2=1易知點(diǎn)E在以B為圓心半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)锳B」平面BCC1B1，所以AE掃過(guò)的圖形為圓錐面，=AC=，且AE為圓錐的母線，因?yàn)閳A錐的母線與底面的夾角是恒定的，所以AE與平面BB1C1C的所成的線面角θ恒定，因?yàn)閠anθ===1，所以θ=，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.172024上·湖南·高二湖南師大附中?？计谀┫铝杏嘘P(guān)正方體的說(shuō)法，正確的有()A．正方體的內(nèi)切球、棱切球、外接球的半徑之比為1::B．若正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,Q為正方體側(cè)面BCC1B1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,F為線段AC1的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則QE+QF的最小值為C．若正方體8個(gè)頂點(diǎn)到某個(gè)平面的距離為公差為1的等差數(shù)列，則正方體的棱長(zhǎng)為2D．若正方體ABCD一A,B,C,D,的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P在棱CC,上，且PC=2PC,，則三棱錐B,一D,AP的外接球表面積為 π4【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切球、棱切球、外接球半徑分別為a:a:a，故比值為1::，故A正確；1CA2+CM2一|AM|22C1CA2+CM2一|AM|22CACM3399 對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C,D,A1,B1,C1,D1到某個(gè)平面的距離成等差數(shù)列，且公差為1.不妨設(shè)平面C為符合題意的平面，C過(guò)點(diǎn)C，延長(zhǎng)D1C1,A1B1,AB分別交平面C于點(diǎn)E,F,G，則點(diǎn)C,C1,B,B1,D,D1,A,A1與平面C的距離分別應(yīng)為0,1,2,3,4,5,6,7，因?yàn)镈1E,A1F,DC,AG互相平行，所以它們與平面C所成角相等，故由比例關(guān)系得C1E:BG:B1F:DC:D1E:AG:A1F=1:2:3:4:5:6:7.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4a，則C1E=a,BG=2a,B1F=3a，用幾何方法可解得EF=2a,EC=a,CF=a，2故S‘ECF=.EF.EC.sin經(jīng)CEF=2a2，由CC1」平面A1B1C1D1，知CC1為四面體C一EC1F的底面EC1F上的高，所以由VC一ECF=VC一ECF，算得點(diǎn)C1到平面C的距離，所以正方體的棱長(zhǎng)為4a=，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD/所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D,(0,0,3),P(0,3,2),B,(3,3,3),A(3,0,0)，設(shè)三棱錐B,一D,AP的外接球球心為N(x,y,z)，由ND,2=NP|2=NB,2=NA|2得，x22+y2所以三棱錐B,一D,AP的外接球表面積為S=4πR2=π,D正確.故選：ABD.182024上·山西太原·高三統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，E為線段B1C的中點(diǎn)，點(diǎn)----------------P和Q分別滿足D1P=λD1C1，D1Q=μD1B，其中λ,μ----------------A．當(dāng)λ=時(shí)，三棱錐Q一PDE的體積為定值B．當(dāng)μ=時(shí)，四棱錐Q一ABCD的外接球的表面積是C．當(dāng)λ=1時(shí)，不存在μ使得PQ」B1D1D．PQ+EQ的最小值為【答案】ABD【解析】 12對(duì)于A項(xiàng)，如上圖所示連接BC1，當(dāng) 12所以ΔBC1D1中，PE//BD1，時(shí)P是D1C1的中點(diǎn)，易知E為BC1的中點(diǎn)，又PE仁平面PED，BD1丈平面PED，所以BD1//平面PED，因?yàn)镼eBD1，則Q到平面PED的距離即BD1到平面PED距離，顯然三棱錐Q-PDE的底面積S‘DPE是定值，且頂點(diǎn)Q到底面PED的距離也是定值，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，如上圖所示，連接AC,BD交于K點(diǎn)，當(dāng)μ=時(shí)，易知四棱錐Q-ABCD為正四棱錐，KQ=,AK=可知其外接球球心O在直線KQ上，2()222()22解之得h=,R2=，所以其外接球的表面積為S=4πR2= ,22，故選：ABD對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)λ=1時(shí)，P與C1重合，----------------B1----------------------------------------------------則μ=，符合前提條件，故存在μ使得PQ」B1D1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，易知點(diǎn)P,Q,E三點(diǎn)在平面BC1D1上，如圖所示沿著B(niǎo)D1翻折ΔBC1D1得ΔBC1,D1，E點(diǎn)對(duì)應(yīng)E,，過(guò)E,作E,P」D1C1，垂足為P，交BD1于Q，可知(PQ+EQ)min=PE,，設(shè)EE,（BD1=M，作MN//PE,交D1C1于N，由梯形中位線可知：PE,=2MN-C1E=-=，易知此時(shí)λ=μ=，故D正確.D2，則下列說(shuō)法正確的是()A．直線CD1與平面A1BD相交B．若直線AC1與平面BDD1B1交于點(diǎn)M，則M為線段AC1的中點(diǎn)C．平面A1CD將該四棱臺(tái)分成的大、小兩部分體積之比為5:2 D．若點(diǎn)P,Q分別在直線AA1,CD1上運(yùn)動(dòng)，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.----因此CD1與不垂直，即直線CD1與平面A1BD相交，故A正確；對(duì)于B，連接AC1、A1C1、AC,設(shè)正方形ABCD的中心為O，正方形A1B1C1D1的中心為O1，則O為AC中點(diǎn)，O1為A1C1中點(diǎn)，連接OO1，可得OO1一平面BDD1B1，一平面A1C1CA，故OO1與AC1的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，D2，故O1C1//OA，且O1C1=OA，故ΔAOM與ΔC1O1M相似，故C1M=AM，故M是AC1的一個(gè)三等分點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，延長(zhǎng)A1B1至E，使得A1E=AB，所以VADDBCC=4，3--------------------------因此=(2-2μ,2-μ,2μ-λ)，2+(2μ-λ)2+，所以PQ長(zhǎng)度的最小值為，故D正確.故選：ACD.的中點(diǎn)，P,Q分別是直線CC1,AM上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．三棱錐A-BDM的體積為4C．直線AC1,BD所成角的余弦值為D．PQ的最小值為【答案】ABD-------4-------4【解析】對(duì)于A，由等體積法可得三棱錐A一BDM的體積為V=xSΔABDxCC1=正確；對(duì)于B，利用長(zhǎng)方體性質(zhì)可得A1C==，即B正確；對(duì)于C，建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：xx4x2x3=4-------則cosAC1,DB=------- AC. AC1AC.DB 29x25145所以直線AC1,BD所成角的余弦值為，即C錯(cuò)誤；-------設(shè)AQ=λAM=(4λ,λ,3λ)，即Q(4λ,λ,3λ-------設(shè)P(4,2,t)，則=(4λ4,λ2,3λt)-------當(dāng)PQ與，CC1都垂直時(shí)，PQ取得最小值；---(416)---(416)故選：ABD((4)2(16)2212023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在正方體ABCD一A1B1C1D1中，B．三棱錐P_AD1E的體積與P點(diǎn)的位置有關(guān)P的最小值為4+2D．當(dāng)λE(|（0,時(shí)，平面PEF截正方體的截面形狀為五邊形【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，又AEnAD1=A，AE仁平面AD1E，AD1仁平面AD1E，所以A1F」平面AD1E，故A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)樵谡襟wABCD_A1B1C1D1中，AB//C1D1且AB=C1D1，所以四邊形ABC1D1為平行四邊形，因此BC1//AD1，又BC1丈平面AED1，AD1仁平面AED1，所以BC1//平面AED1，因此棱BC1上的所有點(diǎn)到平面AED1的距離都相等，又P是棱BC1上的動(dòng)點(diǎn)，所以三棱錐P_AED1的體積始終為定值，故B錯(cuò)；41]，所以P(4-4λ,4,4λ)，所以D=(4-4λ,4,4λ)，B1=(-4λ,0,4λ-4)11DP+1BP1+ 32λ2-32λ+32+ 32λ2-32λ+16當(dāng)λ=時(shí)，DP+B1P有最小值，最小值為2+2，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，連接EC，取AA1中點(diǎn)為G，當(dāng)EC與BC1交點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，平面PEF截正方體截面圖形ECDG為四邊形，如圖1，, PM 1CC1 BM BC,此時(shí)λ=13當(dāng)0<λ<時(shí)，如圖2，截面為五邊形EBFKL，故D正確；故選：AD.222023上·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P滿足C=λC+μC，其中λ=[0,1],μ=[0,1]，以下結(jié)論正確的是()A．當(dāng)λ=1時(shí)，B1P」ACB．當(dāng)λ=μ時(shí)，D+A最小值是C．當(dāng)B1P」PC時(shí)，BP的最大值D．若B1P與平面CC1D1D所成角為π,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為π【答案】AB【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，-------------1---------------------------------------------------------故AC」B1P，故B1P」AC，A正確；對(duì)于B，當(dāng)λ=μ時(shí)，P在CD1上，將平面ACD1和平面CDD1沿CD1展開(kāi)成為一個(gè)平面，------則展開(kāi)圖中線段AD的長(zhǎng)即為DP+AP的最小值，------由于△ACD1為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，ΔCDD1為等腰直角三角形，即BP的最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)锽1C1」平面CC1D1D，C1P為B1P在平面CC1D1D上的射影，故經(jīng)B1PC1為B1P與平面CC1D1D所成角，即經(jīng)B1PC1=，1，故P點(diǎn)軌跡為四邊形CC1D1D內(nèi)以C1為圓心，1為半徑的圓，則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為x2πx1=，D錯(cuò)誤，故選：ABC翻折為三棱錐P-ABC，點(diǎn)P為翻折過(guò)程中點(diǎn)D的位置，則下列結(jié)論正確的是()A．無(wú)論點(diǎn)P在何位置，總有AC」PDB．點(diǎn)P存在兩個(gè)位置，使得VP-ABC=1成立C．當(dāng)PB=時(shí)，邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為 π2D．當(dāng)PB=2時(shí)，M為PB上一點(diǎn)，則AM+CM的最小值為2【答案】AC【解析】選項(xiàng)A，設(shè)菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)為O，如上圖所示，無(wú)論點(diǎn)P在何位置，總有AC」OP，AC」OD，所以AC」平面OPD；又因?yàn)镻D一平面OPD，且AC」平面OPD，所以AC」PD成立，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到使得平面APC」平面ADC成立時(shí)，VP一ABC取得最大值，使得VP一ABC=1成立，只有平面APC」平面ADC成立時(shí)的一個(gè)點(diǎn)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面是“以A為頂點(diǎn)，以O(shè)P為半徑的圓錐”的表面的 1其面積為xx2π.x2=,C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)PB=2時(shí)，易得‘PAB,‘PCB都為正三角形，AM+CM取最小值時(shí)，點(diǎn)M為PB中點(diǎn)，AM+CM的最小值為2，D不正確；故選：AC.242023·山西臨汾·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E，F(xiàn)，N別是棱CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)，P是NC上一點(diǎn)，Q在平面ABCD內(nèi)，則()A．CN」平面BDEB．直線BE與A1F是異面直線C．當(dāng)BP取得最小值時(shí)，BP+PQ的最小值為D．直線NC與平面BDE的交點(diǎn)是ΔBDE的外心【答案】ACD【解析】由題意得，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,對(duì)于選項(xiàng)A，由題意可知B(1,1,0)，N(1,0,1)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，E(0,1,1),即DB」NC，DE」NC，且DB（DE=D，DB,DE一平面BDE，所以CN」平面BDE，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：連接EF,BA1，由圖可知，BA1,EF不共線，所以BA1//EF，則A1,B,E,F四點(diǎn)共面，所以直線BE與A1F是共面直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)=λ=(λ,一λ,λ)，λ)，若BP取得最小值，則BP」CN，可得.=λ1+λ+λ=0，解得λ=，若BP+PQ取到最小值，即PQ取到最小值，即為點(diǎn)P到平面ABCD的距離，對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)直線NC與平面BDE的交點(diǎn)為O，則四面體N一BDE為正四面體，又因?yàn)镃N」平面BDE，則O為正三角形BDE的中心，即O為正三角形BDE的外心，故D正確.故選：ACD.252023上·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為線段A1C1上任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()A．PD」BD1B．動(dòng)點(diǎn)P到線段BD的距離可以是C．P是A1C1中點(diǎn)時(shí)，直線PD與平面A1BD所成的角的正弦值是223-------------PM的D．三棱錐P一A1BD體積最大時(shí)，若點(diǎn)M滿足OM=xOA1+yOB+zOD，其中x-------------PM的最小值是【答案】ACD【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為x,y,z軸所在直線，建立空間直角坐標(biāo)系， 可得 設(shè)P(a,1-a,1),ae[0,1]，對(duì)于選項(xiàng)B：取AC的中點(diǎn)O，則O|（2,2,22即動(dòng)點(diǎn)P到線段BD的距離不可以是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若P是A1C1中點(diǎn)時(shí)，則P|（2,2,且DA1,DB一平面A1BD，可知AC1」平面A1BD，即AC1為平面A1BD的法向量，------------------------DP.----1AC12所以直線PD與平面23對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C可知：AC1」平面A1BD，若三棱錐P一A1BD體積最大時(shí)，則點(diǎn)P即為點(diǎn)C1，-------------若點(diǎn)M滿足OM=xOA1+yOB+zOD，其中x+y+z=1，可知點(diǎn)ME平面A1BD，則PM的最小值即為點(diǎn)C1到平面A1BD的距離，所以PM的最小值是，故D正確；3故選：ACD.262023上·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．存在點(diǎn)P，使得C1P」平面B1CD1C．當(dāng)點(diǎn)P在棱CD上時(shí)，PA+PB1的最小值為2+2D．若點(diǎn)P到直線BB1與到直線AD的距離相等，CD的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)P到直線AE【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，連接AC1，A1C1，所以B1D1」AA1，因?yàn)锳1B1C1D1為正方形，所以B1D1」A1C1，因?yàn)锳C1因?yàn)锽1D1（B1C=B1，B1D1，B1C一平面B1D1C，所以C1A」平面B1D1C，所以當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，C1P」平面B1D1C，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，三棱錐B1-A1D1P的體積就是三棱錐P-B1A1D1的體積，而P到上底面的距離是定值，所以三棱錐B1-A1D1P的體積是定值，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P在棱CD上時(shí)，把平面ABCD沿CD旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)面與平面A1B1CD共面，連接A,B1，如圖，對(duì)于D，由點(diǎn)P到直線BB1與到直線AD的距離相等，可知P在以AD為準(zhǔn)線，B為焦點(diǎn)的拋物線上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(1,0)，P的軌跡是拋物線，其方程為y2=4x(0<x<1)，所以AE的方程:y=2x+2，與AE平行的拋物線的切線方程設(shè)為y=2x+b，2x則由Δ=(4b-4)2-16b2=0，解得b=，可得切線方程為y=2x+，則點(diǎn)P到直線AE的最短距離為23，故D= 故選：ABD.272024上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA與底面垂直，PA=2，AB=1，動(dòng)點(diǎn)M在線段PC上，則()A．不存在點(diǎn)M，使得ACLBMB．MB+MD的最小值為C．四棱錐P-ABCD的外接球表面積為6πD．點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A：連接BD，且ACnBD=O，如圖所示，當(dāng)M在PC中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)M//PA，因?yàn)镻AL平面ABCD，所以O(shè)ML平面ABCD，又因?yàn)锳C仁平面ABCD，所以O(shè)MLAC，因?yàn)锳BCD為正方形，所以ACLBD.5530530又因?yàn)锽DnOMO，且BD，OM平面BDM，所以AC平面BDM，因?yàn)锽M平面BDM，所以ACBM，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：將PBC和PCD所在的平面沿著PC展開(kāi)在一個(gè)平面上，如圖所示， 則MBMD的最小值為BD，直角 ,所以MB ,所以MBMD的最小值為直角PCD斜邊PC上高也為3對(duì)于C：易知四棱錐PABCD對(duì)于C：易知四棱錐P半徑R1PC16，表面積S4πR26π,所以C正確；半徑對(duì)于D：點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值即為異面直線PC與AB的距離，因?yàn)锳B//CD，且AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB//平面PCD，所以直線AB到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離，過(guò)點(diǎn)A作AFPD，因?yàn)镻A平面ABCD，所以PACD,又ADCD,且PAADA,故CD平面PAD，AF平面PAD，所以AFCD，因?yàn)镻DCDD，且PD，CD平面PCD，所以AF平面PCD，所以點(diǎn)A到平面PCD的距離，即為AF的長(zhǎng)，如圖所示，PAADPAAD所以由等面積得25AF所以由等面積得25由余弦定理得由余弦定理得故選：BCD.282024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┰诶忾L(zhǎng)為1的正方正確的有()B．點(diǎn)C1到