2023年河北省唐山市新站中學高一數學理期末試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知P、A、B、C是球。球面上的四個點，PA1平面

===則該球的表面積為（）

A.48兀B.45兀C.35兀D.25兀

參考答案：

B

【分析】

根據截面法，作出球心。與A叢/C外接圓圓心所在截面，利用平行四邊形和勾股定理

可求得球半徑，從而得到結果.

【詳解】如圖，,公建C的外接圓圓心E為8C的中點，設球心為O,連接OE,OP,

OA,。為PA的中點，連接OD

AJS=—

根據直角三角形的性質可得2,且QE_L平面&C,則OE//&，由&SP為等

腰三角形可得。。，以，又E41公，所以8//X3則四邊形OD4E是矩形，所以

31

/囂=±PD=-PA=3

OD=2,而2,AtAFDO中，根據勾股定理可得

R7=OlfiPD7=—

4,所以該球的表面積為S=4rf=451

所以本題答案為B.

【點睛】本題考查求三棱錐外接球的表面積問題，幾何體的外接球、內切球問題，關鍵是

球心位置的確定，必要時需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中，如果球心的位置不易確

定，則可以把該幾何體補成規則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定.

(1)1x1

2.如果函數f(x)=2(-°°<x<+°°),那么函數f(x)是()

A.奇函數，且在(-8,0)上是增函數

B.偶函數，且在(-8,0)上是減函數

C.奇函數，且在(0,+8)上是增函數

D.偶函數，且在(0,+8)上是減函數

參考答案：

D

【考點】函數奇偶性的判斷；函數單調性的判斷與證明.

【專題】計算題；函數的性質及應用.

【分析】定義域為R,關于原點對稱，計算f(-x),與f(x)比較，即可得到奇偶性，

討論x>0,x<0,運用指數函數的單調性，即可得到結論.

(A)II

【解答】解：定義域為R,關于原點對稱，f(-x)=2=f(x),

1

則為偶函數，當x>0時，y=(2)>為減函數，則x<0時，則為增函數，

故選D.

【點評】本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，考查指數函數的單調性，屬于基礎題.

3.已知數列｛4｝滿足41=%%=仇4川=%“一%(力6獷)。S*是｛%｝的前”項的

和，則”100,,3為M等

于()

A.4+6B.a-bC.-a+6

D.-a-b

參考答案:

B

提示：=源町=b03=6=_A.%=-瓦々=a-瓦勺=4/=b

勺.尹冊.

由此推得：4t內=。3t.冊+%.1+34/7+%.s=°

,^2O(M=06+333x6=。6=a.b^3004=334x=0

。故選B

...a20044s2004=a-6

4.設集合A=(x|xV3},B={x集>4},則ACB=()

A.?B.{x|0<x<3}C.{x|l<x<3}D.{x|2<x<3}

參考答案：

D

【考點】交集及其運算.

【分析】求解指數不等式化簡集合B,然后直接利用交集運算求解

【解答】解：???B={x|2x>4}={x|x>2},

又A={x|x<3},

.".AnB={x|2<x<3},

故選：D

【點評】本題考查了交集及其運算，考查了一元二次不等式及指數不等式的解法，是基礎

的計算題.

5.已知函數兀0是定義在火上的奇函數，其與函數產，有相同的單調性，且|2)=-1,

若-6(3小2閆，則實數a的取值范圍為()

4114

A.(-oo,0)U[3,+00)B.(-oo,0)U[3,+oo)C.[0,3]D.[0,3]

參考答案：

D

6.已知a,/?表示兩條不同的直線，a、6表示兩個不同的平面，則下列命題中正確

的是()

A.若a||￡,ala,b?0,則all人

B.若ala,〃與a所成角等于b與4所成角，則

C.若ala,alb,C￡，則加1夕

D.若ala,b邛,a邛,貝!J

參考答案：

D

7.與函數/⑸=21r的圖像關于直線.'，，二.；對稱的曲線c對應的函數為引為，貝U

叱）的值為

工

A.亞B.1C.2

D.7

參考答案：

D

OA^-OB-^OC

8.若向量33，則A、B、C三點的位置關系是（）

A.A、B、C不一定共線B.A、B、C共線且B在A、C之間

C.A、B、C共線且A在B、C之間D.A、B、C共線且C在A、B之間

參考答案：

B

9.在空間中，垂直于同一直線的兩條直線的位置關系是

A.垂直B.平行C.異面D.以上都有可能

參考答案：

D

10.下列函數是偶函數且在區間-Q"上為增函數的是()

A.y=x^

xDJ=2第

5.了=9-1c.y=\\

參考答案：

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.關于”的不等式丁解集是

參考答案：

(FT)U(??卡?)

X-1X-1-1-X

<2?■2v0<o

不等式X二可變形為：X~,所以X.

即x(l-x)0,解得『-1或x?().

故答案為：1-S.-12(0.+8).

*2

64；_(--)。.log：8=

12.計算:

參考答案:

2

3

略

，/、/(-)=0/Qog】x)>0

13.設JX)是R上的偶函數，且在［OPJ上遞減，若一2,才那么X的

取值范圍是.

參考答案：

2<x<2

2

=>0

14.不等式x+3的解集是.

參考答案：

S-3)U(2M)

15.下圖甲是某市有關部門根據對當地干部的月收入情況調查后畫出的樣本

頻率分布直方圖，已知圖甲中從左向右第一組的頻數為4000.在樣本中記

月收入在【⑼。】50。)，[1500,2000),[2000,2500),(2500,3000)43000,3500)

[3500,4000]的人數依次為4、4、……、其.圖乙是統計圖甲中月工資收

入在一定范圍內的人數的算法流程圖，則樣本的容量與=；圖

乙

輸出的S=.(用數字作答)

參考答案:

4000

n-=-1-0--0-0--0

04,6000.

16.已知等差數列SJ滿足為=口，%*4=4,貝ij/o=

參考答案:

23

略

17.下列各組函數中，表示同一函數的是（）

y=1j=一B.尸=x,J=l

A.x

C,V?

D,J=|X|J=(石尸

參考答案:

C

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

=

18.已知數列｛aj的前n項和為Sn,ai=l,an+i2Sn+l（n￡N*），等差數列｛bn｝中bn>0

(nGN*),且bi+bz+b3=15,又ai+bi、a2+b2>as+bs成等比數列.

（I）求數列瓜｝、｛bj的通項公式;

（II）求數列｛a&bj的前n項和L.

參考答案:

【考點】8E：數列的求和；81：數列的概念及簡單表示法.

【分析】本題是數列中的一道綜合題，（1）的求解要利用恒等式a?+1=2S?+l構造出a?=2S?-

什1兩者作差得出a“F3a”，此處是的難點，數列的｛&｝的求解根據題意列出方程求d,即

可，

（II）中數列求和是一個典型的錯位相減法求和技巧的運用.

【解答】解：(I)Vai=l,a?+i=2S?+l(n6N*),

.".an=2Sn-i+l(nGN*,n>l)，

??3n+l-Eln-2(Sn-Sn-1)，

??cin+i—a。I2a,，

an+i=3a?(nGN*,n>l)

而az=2ai+l=3=3ai,

a?+i=3an(nGN*)

數列｛a“｝是以1為首項，3為公比的等比數列，

.?.a?=3n-1(n￡N*)

??a.i=lya2=3,as=9,

在等差數列｛bj中，

Vbi+b2+b3=15,

/.b2=5.

又因ai+匕、az+bz、as+b"成等比數列，設等差數列｛bj的公差為d,

(1+5-d)(9+5+d)=64

解得d=-10,或d=2,

Vbn>0(nGN*),

舍去d=-10,取d=2,

/.bi=3,

/.bn=2n+l(nGN*),

(II)由(I)知L=3X1+5X3+7X32++(2n-1)3n-2+(2n+l)31①

3T?=3X3+5X32+7X33++(2n-1)3n-1+(2n+l)3n②

?-2T?=3Xl+2X3+2X32+2X33++2X3n-1-(2n+l)3n

=3+2(3+32+33++3n-1)-(2n+l)3"

3+2X(2n+l)3n=3憶(2n+l)3n=-2n?3”

二1-3,

ATn=n?3n

19.某養雞廠想筑一個面積為144平方米的長方形圍欄.圍欄一邊靠墻，筑成這樣的圍欄

最少要用多少米鐵絲網？此時利用墻多長？

參考答案：

筑成這樣的圍欄最少要用24貝米鐵絲網，此時利用墻12;2米.

【分析】

設長方形圍欄的長為x米，寬為>米，要用鐵絲網$米，則卬=4,

由j=x+2y,結合基本不等式，即可求出結果.

【詳解】設長方形圍欄的長為x米，寬為丁米，要用鐵絲網金米，則硬=，

>=x+2jr>2^jgr=2vr<2xl44=24J2(米)

當工=2y,即x=ii6,“短時，等號成立，電

所以筑成這樣的圍欄最少要用24,5米鐵絲網，此時利用墻12?立米.

【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，熟記基本不等式即可，屬于常考題型.

5.7_A2tMJ

20.數列｛aj中，ai~3,a2-3,且3an-W.

(1)求@3，a4；

(2)求數列瓜｝的通項an；

S」?小

(3)若數列｛b,｝的前n項和n3,求數列｛ah｝的前n項和Tn.

參考答案：

【考點】8H：數列遞推式；8E：數列的求和.

5_7__AJLGT*

【分析】⑴ai-3'a2-3,且an+2-3&n+l3=，n-N,可得

5_2

a2ai

a3=yT.同理可得a*

工上—22

a_a

(2)Ef3n+23n+l3,可得：a?+2-a?+1=3(an+1-a?),a2-a1=3.利

用等比數列的通項公式可得：an+i-an,再利用an二(an-an-1)+(an-i-an-2)+…+(as-

ai)+ai即可得出.

J21

nn

(3)數列｛bn｝的前n項和3,n22時，bn=Sn-Sn-i.n=l時，ai=Si=3,上式也成

2n-l11/2)n

立.可得bn=3.anbn=9X(2n-1)-(2n-1)X3.設｛(2n-1)

X(T)n｝的前n項和為A“，利用錯位相減法即可得出.

.5.73.2u>

【解答】解：⑴Vai-3'a2-3,且&n+2-3an+l3'n，nfcN.

5225

a2ai

.?.a3=yT=T.

5v252v7

a4=3333=37.

5_752

(2)al=￥，a2-y,且4+2亍n+1萬an，n

__52<*

由&n+2亍n+l萬&n，nfcKNT

22

_

可得:dn+2-an+i—3(an+i-an)，a,2ai—3.

?,?數列缶m-aj是等比數列，首項與公比都為3

.--(f)n

??0.n+la，n-。，

/.an-(an-an-1)+(an-i-an-2)+…+(a2-ai)+ai

(3)數列｛bj的前n項和$n與11,

22%-1

—n-i(n-l)

.,.n22時，bn=Sn-Sn-F33=3.

1

n=l時，bi=Si=3,上式也成立.

2n~~l

/.bn=3.

11(2)n

anbn=9X(2n-1)-(2n-1)X3.

設｛(2nT)X(3)｝的前n項和為An,

2

則(f)+5X號V+…+⑵7)x母”

A)23X()3

fnjf+f+...+(2n-3)(2n-l)X母

.?.iAn=3+2X哈產土尋尸…信廣]一—

f[l-(y)n-1]

y0

(2)n+12__2(2)n+1

Xl3)=3+2X(2n-1)x^3),

(f)n+1

可得An=10-(6n+15)X

11.n(l+2n-l)心)n+1

?,?數列｛ah｝的前n項和I二為"'2-10+(6n+15)X’5,

2

lln心)n+1

=9-10+(6n+15)X,3)

【點評】本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式、數列遞推關系、錯位

相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

21.(滿分15分)

a-csmB

已知“，b,。分別為△ABC的三個內角A,B,C的對邊，口——0C.

(I)求乙4的大??；

(II)若。=飛回，AABC在邊上的中線長為1,求AA5c的周長

參考答案：

a-cb

解：(I)由正弦定理得口=初，.-Ac,又a'-j'+c'-?cc?84,

cos/?e一X——

/.2,二3

(II)設BC中點為O,

由劉就=(而+菊(而+元)=(茄+麗(而-而)

—.2—>1bccos—=1-(—),Ac