2023年高考數學考前30天迅速提分復習方案（上海地區專用））

專題Lll計數原理與統計概率四大考點與真題訓練

考點一：統計

一、單選題

1.（2023?上海?統考模擬預測）已知兩組數據內,々，七，七，七和）1，%，%，%，％的中位數、

方差均相同，則兩組數據合并為一組數據后，（）

A.中位數一定不變，方差可能變大

B.中位數一定不變，方差可能變小

C.中位數可能改變，方差可能變大

D.中位數可能改變，方差可能變小

【答案】A

【分析】根據中位數、方差的概念分析運算.

【詳解】對于中位數：不妨設玉≤X2<?≤Λ4≤X5,y∣≤%≤?≤X,≤%

則兩組數據國,％，與，了4，%和%，%，%，%，%的中位數分別為W，％，則W=%，

兩組數據合并為一組數據后，則中位數為號i=??=%,故中位數一定不變；

對于方差：設％≤X2≤X3<X4KX5的平均數為"方差為S：,?照M4%4n4%的平均數

為亍，方差為S：,

貝IJX=WSWE(XLX)=-∑x,2-5?x,>,=7∑X^.2=Z∑(x?->j=7Sy'5y,

?I=I?/=I31i=lJ?Z=I31/=1)

可得Z%=5x,?年=5(s：+x=,Ey==5卜:+『),

則兩組數據合并為一組數據的平均數W=Ui>+￡>[=白價+5?=中，

IUli=Iz=ιJIUZ

方差

?=?[∑(x?-?)2+z(??-?)2=^Σ-r<2+Σ><2-10^]=?[5(5l2+j2)+5(?yι+^)-1°22]

當且僅當X=），時等號成立，

故方差可能變大，一定不會變小；

故選：A.

2.（2023?上海?統考模擬預測）如圖所示，下面是出口，上面是進口，下列選項敘述錯

B.從2018年開始，進出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小

【答案】C

【分析】根據進出口總額統計圖，逐一分析選項即可；

【詳解】從2018年開始，進出口總額依次是30.5,31.57,32.22,39.10,

進出口總增長率依次是2019年??X0035,2020年■。0.02,2021年

30.531.57

當尹≈O?2I3,選項ABD正確;

2019年進口總額比2020年進口總額小，選項C錯誤;

故選：C

3.（2023?上海閔行?上海市七寶中學校考模擬預測）某校為了解學生學習數學的情況,

采用分層抽樣的方法從高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人進行問卷調查，則

高一、高二、高三抽取的人數分別是（）

A.15,16,19B.15,17,18C.14,17,19D.14,16,20

【答案】B

【分析】結合已知條件首先求出三個年級的總人數，然后利用樣本容量分別乘以各個年級

的抽樣比即可求解.

【詳解】由題意可知，三個年級共有600+680+720=2000（人），

則高一抽取的人數為50χ黑=15,

高二抽取的人數為50χ黑=17,

720

高三抽取的人數為50x麗=18.

故選：B.

二、填空題

4.（2023?上海黃浦?統考一模）某個品種的小麥麥穗長度（單位：cm）的樣本數據如下：

10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7,則這組數據的第

80百分位數為一

【答案】10.8

【分析】將數據從小到大排序后，運用百分位數的運算公式即可.

【詳解】數據從小到大排序為：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、

11.2、11.7,共有12個，

所以12χ80%=9.6,

所以這組數據的第80百分位數是第10個數即：10.8.

故答案為：10.8

5.（2023?上海靜安?統考一模）16-17歲未成年人的體重的主要百分位數表（單位：kg）.

Pl丙PlO25?O/75用0P95內9

男40.145.147.951.556.763.772.480.495.5

女38.341.243.146.550.555.361.165.475.6

表中數據來源：《中國未成年人人體尺寸》（標準號：GB/T26158-2010）

小王同學今年17歲，她的體重50kg,她所在城市女性同齡人約有4.2萬人.估計小王同學所

在的城市有________萬女性同齡人的體重一定高于她的體重.（單位：萬人，結果保留一

位小數）

【答案】2.1

【分析】根據題意，由圖表可知，該城市女性同齡人高于小王的50百分位數，由百分位數

的定義計算可得答案.

【詳解】根據題意，小王同學今年17歲，她的體重50kg,

由圖表可知，小王體重的百分位數是50,

所以體重一定高于她的體重的人數有4.2x^=2.1（萬）

故答案為：2.1

6.（2023?上海閔行?上海市七寶中學校考模擬預測）某單位為了解該單位黨員開展學習

黨史知識活動情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統計，統計

數據如下表所示:則該單位黨員一周學習黨史時間的第40百分位數分別是.

黨史學習時間（小時）7891011

黨員人數610987

【答案】

8.5

【分析】根據百分位數的定義求解即可.

【詳解】因為（6+10+9+8+7）χ40%=16,

所以第40百分位數為第16個數和第17個數的平均數，即m8+9=8.5,

故答案為：8.5.

7.（2023?上海?統考模擬預測）某校抽取100名學生測身高，其中身高最大值為186cm,

最小值為154cm,根據身高數據繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,

則組數為.

【答案】7

【分析】求得各組的范圍，從而確定組數.

【詳解】第一組［153.5,158.5）；第二組［158.5,163.5）；

第三組［163.5,168.5）;第四組［168.5,173.5）；

第五組［173.5,178.5）；第六組［178.5,183.5）；

第七組［183.5,188.5］.

所以組數為7.

故答案為：7

三、解答題

8.（2023?上海?統考模擬預測）為了解某地區高中生的每天日間戶外活動現狀，分別在

兩所學校隨機抽取了部分學生，得到甲校抽取的學生每天日間戶外活動時間（單位：h）的

統計表和乙校抽取的學生每天日間戶外活動時間（單位：h）的頻率分布直方圖如下.

4頻率

↑≡

0.48卜----

22

0s.17

13

0.

1234時間/h

乙校抽取的學生每天日間戶外活動時間頻率分布直方圖

每天日間戶外活

組別人數

動時間（單位：h）

110,1)120

2[1,2)250

312,3)60

4[3,4]70

甲校抽取的學生每天日間戶外活動時間統計表

（1）根據圖表中的數據，估計甲校學生每天日間戶外活動時間的25%分位數在第幾組；

（2）已知每天日間戶外活動時間不低于2h可以對保護視力起到積極作用.現從乙校全體學生

中隨機選抽取2人，記其中每天日間戶外活動時間不低于2h的人數為X,求川的分布列和數學

期望；

(3)根據上述數據，能否推斷甲校抽取的學生每天日間戶外活動時間的平均值一定低于乙校

抽取的學生每天日間戶外活動時間的平均值？說明理由.

【答案】(1)第2組

(2)分布列答案見解析，數學期望：0.6

(3)不能，理由見解析

【分析】(1)利用圖表中的數據結合25%分位計算判斷；

(2)根據題意可得X8(3,0.3),根據二項分布求分布列和期望；

(3)用每組區間的中點值進行估計求平均數的估計值，用每組區間的左端點值進行估計求

平均數最小值，計算判斷.

【詳解】(1)根據表中數據，估計甲校學生每天日間戶外活動時間25%分位數在第2組.

(2)由頻率分布直方圖可知，乙校參與調查的學生每天日間戶外活動時間不低于2h的頻率

為().17+0.13=().3.

由此估計乙校全體學生每天日間戶外活動時間不低于2h的概率約為0.3.

瞰所有可能取值為0,1,2.

P(X=O)=(I-0.3)2=0.49,

P(X=I)=C；X0.3X(1-0.3)=0.42,

p(X=2)=0.32=0.09,

所以撤分布列為

才012

P0.490.420.09

E(X)=Ox0.49+1×0.42+2×0.09=0.6.

(3)不能.

若甲校參與調查的學生每組中的數據恰好都取區間中點值，則甲校參與調查的學生每天的

日間戶外活動時間的平均值

Z1=(0.5×120+1.5×250+2.5×60+3.5×70)÷5∞=1.66h.

若乙校參與調查的學生每組中的數據恰好都取相應區間的左端點值，則乙校參與調查的學

生每天的日間戶外活動時間的平均值

Z2=0×0.22+l×0.48+2×0.17+3×0.13=1.21h.

此時，h>t2.

考點二：計數原理

一、填空題

1.（2023?上海?統考模擬預測）已知有4名男生6名女生，現從10人中任選3人，則恰有1

名男生2名女生的概率為一

【答案】I#?0.5

【分析】利用組合數和古典概型的概率公式求解即可.

C1C24×151

【詳解】由題意所選的3人中恰有1名男生2名女生的概率P=P=需=[,

L∕]01NU乙

故答案為：y

2.（2023?上海靜安?統考一模）2022年11月27日上午7點，時隔兩年再度回歸的上海馬

拉松賽在外灘金牛廣場鳴槍開跑，途徑黃浦、靜安和徐匯三區.數千名志愿者為1.8萬名跑

者提供了良好的志愿服務.現將5名志愿者分配到防疫組、檢錄組、起點管理組、路線垃圾

回收組4個組，每組至少分配1名志愿者，則不同的分配方法共有種.（結果用數

值表示）

【答案】240

【分析】先將5名志愿者分成四組，然后再分配到四個地方即可.

【詳解】將5名志愿者分成四組，且每組至少1名志愿者有C；種情況，所以不同的分配方法

有C；A：=240.

故答案為：240.

3.（2023?上海閔行?上海市七寶中學校考模擬預測）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡

湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同.從中任意舀取4個湯圓，則每

種湯圓都至少取到1個的概率為.（用分數作答）

【答案】q48

【分析】直接分2個芝麻餡，1個花生餡，1個豆沙餡；1個芝麻餡，2個花生餡，1個豆沙餡

以及1個芝麻餡，1個花生餡，2個豆沙餡依次計算即可.

【詳解】每種湯圓都至少取到1個的包括2個芝麻餡，1個花生餡，1個豆沙餡；1個芝麻餡,

2個花生餡，1個豆沙餡

以及1個芝麻餡，1個花生餡，2個豆沙餡，故每種湯圓都至少取到1個的概率為

++CCC：_48

391'

48

故答案為：—.

4.(2023?上海?統考模擬預測)(x--?的二項展開式中，常數項為.

X

【答案】15

【解析】利用二項式的通項公式即可得出結果.

【詳解】二項式(x-g)6的展開式的通項公式為2=c;尸m=(T)'C"6e,

令6—3r=O,解得r=2,

所以(X--V)Ii的二項展開式中，常數項為C：=15,

X

故答案為：15.

【點睛】本題主要考查了二項式的通項公式、常數項的求法，屬于基礎題.

5.(2023?上海黃浦?統考一模)在(2x+l)5的二項展開式中，V的系數是—

【答案】80

【分析】寫出展開式的通項公式，利用公式即可得答案.

【詳解】由題意得:&=瑪(2x廣,

當r=2時，η=C^(2x)3=8O√

.?.X,的系數是80.

故答案為：80

6.(2022?上海?上海中學校考模擬預測)某校舉行數學文化知識競賽，現在要從進入決

賽的5名選手中隨機選出2名代表學校參加市級比賽.某班有甲、乙兩名同學進入決賽，則在

這次競賽中該班有同學參加市級比賽的概率為.

7

【答案】-##0.7

【分析】得出這次競賽中該班沒有同學參加市級比賽的概率，即只從除甲、乙兩名同學外

的三名同學中選兩個的概率，在根據互斥事件的概率計算即可得出答案.

C27

【詳解】在這次競賽中該班有同學參加市級比賽的概率為I-言=而.

故答案為:0.7

7.（2022?上海奉賢?統考一模）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平

面的概率是.（結果用最簡分數表示）.

【答案喘

【分析】根據古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個頂點中任取4個，有〃=C；=70個結果，

這4個點在同一個平面的有m=6+6=12個，

故所求概率尸=生=*已

n7035

故答案為：?.

8.（2022?上海奉賢?統考一模）在二項式（x+l）”的展開式中，系數最大的項的系數為

（結果用數值表示）.

【答案】462

【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后利用二項式系數的性質可求得結果.

【詳解】二項式（x+l）”的展開式的通項公式為&

所以當r=5或r=6時，其系數最大，

則最大系數為C*=C'=462,

故答案為:462.

9.（2022?上海徐匯?統考一模）在［x-jj的二項展開式中，爐項的系數是.

【答案】-672

【分析】由二項式的通項公式即可求解.

【詳解】二項式的通項為&=C，-'（V）'=（-2）匕產”，

令9-2r=3,得r=3,

所以V項的系數是（-2）V=-672.

故答案為：-672.

10.（2022?上海長寧?統考一模）有甲、乙、丙三項任務，其中甲需2人承擔，乙、丙各

需1人承擔；現從6人中任選4人承擔這三項任務，則共有種不同的選法

【答案】180

【分析】根據分組分配辦法結合分步乘法原理求解即可.

【詳解】第一步，先從6人中任選2人承擔任務甲，有《種選法，

第二步，再從剩余4人中任選1人承擔任務乙，有C；種選法，

第三步，再從3人中任選1人承擔任務丙，有C；種選法，

所以共有C：C；Ct=I80種選法.

故答案為：180.

11.（2022?上海青浦?統考二模）受疫情防控需求，現有四位志愿者可自主選擇到三個

不同的核酸檢測點進行服務，則三個核酸檢測點都有志愿者到位的概率是.（結

果用最簡分數表示）

4

【答案】-

【分析】先計算總共的選擇數，再計算三個核酸檢測點都有志愿者到位的數量，即可得答

案.

【詳解】解：四個志愿者總的選擇共N=3χ3χ3χ3=81種，

要滿足三個核酸檢測點都有志愿者到位，則必有2個人到同一核酸檢測點，故從4人中選擇2

人出來，共有C：=6種，再將這2人看成整體1人和其他2人共3人，選擇三個核酸檢測點，

共&=6種,

以/1=6×6=36f

所以P=K=生=±

N819

4

故答案為：—.

12.（2022?上海閔行?統考二模）核酸檢測是疫情防控的一項重要舉措.某相鄰兩個居民

小區均計劃在下月的1日至7日這七天時間內，隨機選擇其中的連續三天做核酸檢測，則這

兩個居民小區至少有一天同時做核酸檢測的概率為;

19

【答案】—##0.76

【分析】先求出在下月的1日至7日這七天時間內，隨機選擇其中的連續三天做核酸檢測，

兩個居民小區總的選擇情況，再計算出兩個小區沒有一天同時做核酸的情況，相減后得到

兩個居民小區至少有一天同時做核酸的情況，進而求出相應的概率.

【詳解】在下月的1日至7日這七天時間內，隨機選擇其中的連續三天做核酸檢測，兩個居

民小區均有5種選擇，分別為1日至3日，2日至4日，3日至5日，4日至6日，5日至7日，故總

的情況有52=25種，

其中兩個小區沒有一天同時做核酸的情況有一個小區選擇1日至3日，另一個小區選擇4日至

6日或5日至7日，一個小區選擇2日至4日，另一個小區選擇5日至7日，共有3種情況，再進

行排列，所以共有3A；=6種情況，

則兩個居民小區至少有一天同時做核酸的情況個數為25-6=19,

所以兩個居民小區至少有一天同時做核酸的概率為三

19

故答案為：—

13.（2022?上海?統考模擬預測）已知有1、2、3、4四個數字組成無重復數字，則比2134

大的四位數的個數為

【答案】17

【分析】先分類再分步，按千位為3,4,2分為三類，再逐次安排百位和十位，即可計算出滿

足條件的四位數個數.

【詳解】千位為3和4時，組成的四位數都比2134大，有2A；=12個，

千位為2時，百位為3或4的四位數都比2134大，有28=4個，

千位為2時,百位為1,只有2143比2134大,有1個，

則組成的四位數比2134大的一共有17個.

故答案為：17.

14.（2022?上海?統考模擬預測）一個單位方格的四條邊中，若存在三條邊染了三種不

同的顏色，則稱該單位方格是“多彩”的.如圖，一個1義3的方格表的表格線共含10條單

位長線段，現要對這10條線段染色，每條線段染為紅黃藍三色之一，使得三個單位方格都

是多彩的，這樣的染色方式種數為（答案用數值表示）.

【答案】5184

【分析】固定四邊形一條邊的顏色時，求出一個四邊形的染色方式種數，進而可以計算3個

這樣的四邊形的染色方式種數.

【詳解】任選一個四邊形的一條邊，當這條邊的顏色確定時，這個四邊形的染色方法有

6C；=12種，同時每種方法都會確認與其相鄰的四邊形的一條邊的顏色，12隈3=5184.

故答案為:5184

考點三：概率

一、單選題

1.(2022?上海徐匯?上海中學校考模擬預測)兩人擲一枚硬幣，擲出正面多者為勝，但

這枚硬幣質地不均勻，以致出現正面的概率<與出現反面的概率6不相等，已知出現正面

與出現反而是對立事件，設兩人各擲一次成平局的概率為P,則P與0?5的大小關系是

()

A.P<0.5B.P=0.5C.P>0.5D.不確定

【答案】C

【分析】由已知得P=2[2-24+l,利用作差法能比較P與0.5的大小關系.

【詳解】這枚硬幣質地不均勻，以致出現正面的概率耳與出現反面的概率心不相等，

出現正面與出現反面是對立事件，設兩人各擲一次成平局的概率為P,

所以2=k+8=尸+(1_[)2=2[2_2[+],

因為04[4]且[Xθ.5,所以P-0.5=2邛一26+]_0.5=2([_g)2>0,

所以P>O.5.

故選：C.

2.(2022?上海奉賢?統考一模)下列結論不正確的是()

A.若事件A與B互斥，則P(AUB)=P(A)P(B)

B.若事件A與B相互獨立，則P(ACB)=P⑷P(B)

c.如果x、y分別是兩個獨立的隨機變量，那么o[x+r]=o[x]+n[y]

I).若隨機變量丫的方差。卜]=3,則r)[2y+ι]=12

【答案】A

【分析】由已知，選項A,根據事件A與5互斥，可知P(AB)=P(A)+P(B);選項B,根

據事件A與3相互獨立，可知尸(ACB)=P(A)P(B)；選項C,根據X、V分別是兩個獨立的

隨機變量，可得。[X+y]=θ[X]+D[y]；選項D,由玩機=3,可得￡>[2卜+1]=2~￡>兇=12,

即可作出判斷.

【詳解】由已知，

選項A,若事件A與B互斥，則P(AB)=P(A)+P(8),故該選項錯誤；

選項B,若事件A與B相互獨立，則P(AC3)=P(A)P(B),故該選項正確;

選項c,若x、y分別是兩個獨立的隨機變量，那么Mx+y]=∕x]+o[y],故該選項正確；

選項D,若隨機變量y的方差Om=3,則。[2>+1]=2限叩]=4x3=12,故該選項正確:

故選:A.

3.(2022?上海長寧?統考一模)擲兩顆骰子，觀察擲得的點數；設事件力為：至少一個

點數是奇數；事件6為：點數之和是偶數；事件4的概率為P(A),事件砒概率為P(B);則

I-P(AC8)是下列哪個事件的概率()

A.兩個點數都是偶數B.至多有一個點數是偶數

C.兩個點數都是奇數D.至多有一個點數是奇數

【答案】D

【分析】由題意，根據交事件的運算，結合概率與事件的關系，可得答案.

【詳解】由題意，事件ACB為：兩個點數都為奇數，

由概率1-P(ACB)指的是事件AcB的對立事件的概率，

則事件ACB的對立事件為：至少有一個點數為偶數，或者至多有一個點數為奇數.

故選：D.

二、填空題

4.(2023?上海靜安?統考一模)X、B分別是事件A、B的對立事件，如果A、B兩個

事件獨立，那么以下四個概率等式一定成立的是.(填寫所有成立的等式序

號)

①P(AB)=P(A)+P(8)

②P(ZCB)=P(Z)P(B)

③P(ZC國=Q-P(A)Jl-P⑻]

@P(AuB)=P(A)+P(B)

【答案】②③

【分析】根據事件的獨立性定義判斷即可.

【詳解】①P(48)=P(A)+P(B)-P(AB),故①不一定成立；

②③由事件的獨立性定義可得.與B,文與不相互獨立，所以尸.β)=P(λ)p(β),

尸GB)=P(A)P(B)=[I-P(A)][I-P(B)],故②③正確;

④叩B)=P(A)+P(S)-P(AB),故④不一定成立.

故答案為：②③.

5.(2023?上海靜安?統考一模)現有5根細木棍，長度分別為1、3、5、7、9(單位:Cm),

從中任取3根，能搭成一個三角形的概率是.

3

【答案】0.3##—

【分析】根據古典概型，先求出樣本空間，再求出條件空間即可.

[詳解】從5根木棍中任取3個共有C=G=IO種，符合條件有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)3種,

???能搭成一個三角形的概率P=6；

3

故答案為：—.

6.(2023?上海?統考模擬預測)已知事件力發生的概率為P(A)=O.5,則它的對立事件X

發生的概率P(A)=.

【答案】/##0.5

【分析】根據對立事件的知識求得正確答案.

【詳解】依題意,P(Z)=I-P(A)=I-0.5=0.5.

故答案為：；

7.(2023?上海黃浦?統考一模)現有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票(其中

3張為中獎票)的箱子中不放回地隨機抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結束，則

活動恰好在第4人抽完后結束的概率為.

【答案】—

10

【詳解】試題分析：由題活動恰好在第4人抽完后結束，包含的情況有；(不中)中中中，

中(不中)中中，中中(不中)中.則概率為;

?23213221322111I3

r=-X-X-X—+-X-X-X—+-X-X-X—=-------1----------F——=—

54325432543210101010

考點：相互獨立事件及互斥事件概率算法.

8.(2022?上海閔行?上海市七寶中學校考模擬預測)已知函數/(x)的定義域為{Y,0,4},

值域為{2,3},則函數/(x)是偶函數的概率為

【答案】?

【分析】列舉出/(X)的所有解析式，再找出其中的偶函數，即可得答案.

【詳解】解：因為/(X)的定義域為{-4,0,4},關于原點對稱，值域為{2,3},

2,x=02,X=4或O

所以有=或/(X)=或f(χ)=

[3,X=O3,%=±43,X=-4

3,X=4或O2,X=Y或O3,X=-4或O

或/W=或f(x)=或f(尤)=

2,X=-43,x=42,x=4

共6種情況;

2,X=±4-C2,x=0

而當/(X)=3,X=O和AM時，滿足f(r)=/(x)是偶函數,有2種情況,

3,X=±4

所以/(X)是偶函數的概率尸=；.

故答案為：?

9.(2022?上海青浦?統考一模)若函數y=∕(x)的定義域和值域分別為A={l,2,3}和

8={1,2},則滿足/(?)≠/(3)的函數概率是.

【答案】I

【分析】根據給定條件，確定函數y=∕(χ)的個數，再求出滿足/⑴≠/(3)的函數個數即可

計算作答.

【詳解】因函數y=/(X)的定義域和值域分別為A={1,2,3}和8={1,2},則函數y=/(x)有6

個，它們是：

/(l)=∕(2)=l,∕(3)=2i/(1)=/(2)=2,/(3)=1;/(1)=1,/(2)=/(3)=2;

/(1)=2,/(2)=/(3)=1;/(1)=/(3)=1,/(2)=2541)=/(3)=2J⑵=1,

滿足/(?)=/(3)的函數有2個數，它們是/⑴=/(3)=l,f(2)=2或/(1)=/(3)=2,f(2)=1,

42

因此滿足/⑴吟”3)的函數有4個，所以滿足/⑴K/(3)的函數概率是?=

63

故答案為：?∣

10.(2022?上海徐匯?統考一模)某中學從甲、乙兩個班中各選出15名學生參加知識競

賽，將他們的成績(滿分100分)進行統計分析，繪制成如圖所示的莖葉圖.設成績在88分

以上(含88分)的學生為優秀學生，現從甲、乙兩班的優秀學生中各取1人，記甲班選取的

學生成績不低于乙班選取得學生成績記為事件A,則事件A發生的概率P(A)=

甲乙

58

80669

98570566688

87641866

862219588

【答案】I

【分析】根據莖葉圖利用古典概型的計算公式求解即可.

【詳解】從甲、乙兩班的優秀學生中各取1人所有的可能為:

(88,95),(88,98),(88,98),(91,95),(91,98),(91,98),(92,95),(92,98),(92,98),

(92,95),(92,98),(92,98),(96,95),(96,98),(96,98),(98,95),(98,98),(98,98),

共18種情況，其中甲班選取的學生成績不低于乙班選取得學生成績的情況有4種，

所以P(A)=R=不

故答案為：B

11.(2022?上海普陀?統考一模)“青山”飲料廠推出一款新產品一一“綠水”，該廠

開展促銷活動，將6罐“綠水”裝成一箱，且每箱均有2罐可以中獎.若從一箱中隨機抽取

2罐，則能中獎的概率為.

3

【答案】-?#0.6

【分析】記一箱中能中獎的“綠水”灌裝飲料分別記為A、B,不能中獎的“綠水”灌裝

飲料分別記為〃、b、c、,，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，

利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率?

【詳解】記一箱中能中獎的“綠水”灌裝飲料分別記為A、B,不能中獎的“綠水”灌裝

飲料分別記為b、C、d,

從一箱中隨機抽取2罐，所有基本事件有：AB,Aa,Ab,Ac、AdyBa、Bb、Be、及/、

ab、ac、ad,be、bd、cd,共15種，

其中，事件“隨機抽取的2罐能中獎”所包含的基本事件有：A3、A.、Ab.Ac.Ad、Ba、

Bb、Be、Bd,共9種，

故所求概率為P=E9=:3

3

故答案為：

12.(2022?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測)高三某位同學參加物理、化學、

政治科目的等級考，已知這位同學在物理、化學、政治科目考試中達A+的概率分別為《7、43、

84

?,這三門科目考試成績的結果互不影響，則這位考生至少得2個A-的概率是

【答案】τ?

【分析】設這位同學在物理、化學、政治科目考試中達4+的事件分別為A,B,C,則P(A)

735

-P(B)=-,P(C)=Tr這位考生至少得2個A+的概率:

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC).

【詳解】解：設這位同學在物理、化學、政治科目考試中達川的事件分別為A,B,C,

這位同學在物理、化學、政治科目考試中達A*的概率分別為(7、:3、?5,

o412

735

:.P(A)=-,P(B)=-,P(C)

8412

這三門科目考試成績的結果互不影響,

則這位考生至少得2個4,的概率：P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

Z×1×1Z×1×A1×2×AZ×1×A=1≡1

8412+8412+8412+8412192

151

故答案為:

192

【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式

等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題.

考點四：隨機變量及其分布

一、單選題

1.(2022?上海嘉定?統考一模)甲、乙兩人弈棋，根據以往總共20次的對弈記錄，甲取

勝10次，乙取勝10次.兩人進行一場五局三勝的比賽，最終勝者贏得200元獎金.第一局、

第二局比賽都是甲勝，現在比賽因意外中止.鑒于公平，獎金應該分給甲()

A.IoO元B.150元C.175元D.200元

【答案】C

【分析】我們需要計算出繼續比賽甲獲勝的概率按照比例給甲分得獎金.

【詳解】依題意知：甲乙勝負的概率都是;,假設比賽繼續，甲只需三場中贏得一場即獲得

全額獎金，

77

甲獲勝的概率尸=1-200×-=175（元）

88

故選：C

二、填空題

2.(2022?上海寶山?統考一模)兩個籃球運動員罰球時的命中概率分別是0.6和0.5,兩

人各投一次，則他們同時命中的概率是______.

【答案】0.3

【分析】根據獨立事件概率的乘法公式，即可求得結果.

【詳解】記"第一個籃球運動員罰球一次，命中”為事件A,“第二個籃球運動員罰球一

次，命中”為事件5，

則尸(A)=O.6,P(fi)=0.5,事件A和8相互獨立.

則“兩人各投一次，則他們同時命中”可用事件AB來表示，

P(AB)=P(A)?P(8)=0.6/0.5=0.3.

故答案為：0.3.

3.(2022?上海長寧?統考二模)已知隨機事件4、B互相獨立,且P(A)=O.7,P(B)=O.4,

則尸(痛)=.

7∣

【答案】0.42##—

【分析】根據對立事件的概率公式和相互獨立事件的概率乘法公式可得.

【詳解】因為P(B)=O.4,所以咽=0.6,所以P(A可=P(A)P(初=0.7X0.6=0.42.

故答案為：0.42

4.(2022?上海浦東新?統考二模)設甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標

的概率分別為0.8,0.9,則在一次射擊中，目標被擊中的概率為

【答案】0.98

【分析】利用對立事件和獨立事件的概率公式計算.

【詳解】由題意目標未被擊中的概率是(l-0?8)χ(l-0.9)=0.02,

所以目標被擊中的概率為1-0.02=0.98.

故答案為：0.98.

5.(2022?上海寶山?統考二模)某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統(簡稱系統)

A和B,系統A和系統B在任意時刻發生故障的概率分別為、和P,若在任意時刻至少有

一個系統不發生故障的概率為簫49，則P=

【答案】15##0.2

【分析】根據相互獨立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.

【詳解】由題意可得：A(I-P)+(1-IyP+11-5)(1-。)=小

整理可得：1-歷/7=石，解得：p=g

故答案為：—.

三、解答題

6.(2022?上海楊浦?復旦附中校考模擬預測)已知某同學在任何一次拓展考試中獲得滿

分的概率都為且各次考試的成績相互獨立.以B表示他參加〃(”≥2,"∈ND次考試

后從未連續取得2次滿分的概率.

(1)求？，8的值，并證明當時，R=∕τ+?-;

(2)證明：對任意”≥2,"∈N*,*<S

【答案】(1)6=33，6=5,證明見解析

4o

(2)證明見解析

【分析】⑴利用列舉法能求出巴凡要證明當心4時，B=*-+/?,分(i)第〃次

考試未取得滿分，那么前"次從未連續2次滿分和前n-1次從未連續2次滿分是相同的；(ii)

第"次取得滿分，第n-1次未取得滿分，那么前"次從未連續2次滿分和前"-2次從未連續

取得2次滿分是相同的.

(2)當〃≥3時，加=；P"+"i，所以'-∕=∕ι>0,即可證明2%>?，

《廣。,=。,-第2,所以之「《=-乩2<0,即可證明如<匕，所以當〃23時，

ZZoo

心<e<2%,再證明當〃=2時，即可得出結論.

(1)

當〃=2時，6=1-(∣)

設某同學在任何一次拓展考試中獲得滿分用α表示，不是滿分用〃表示,

當”=3時，表示某同學參加3次考試后從未連續取得2次滿分的情況有以下5種:

1I1X5=2

abb,aba,bba,hab,bbb,所以［二-X-X-

2228,

當〃24時，要求P“，即某同學參加〃次考試后從未連續取得2次滿分概率，分類進行討論;

如果第八次考試未取得滿分，

那么前〃次從未連續2次滿分和前n-l次從未連續2次滿分是相同的，

???這個時候從未連續2次滿分的概率是gχ%；

如果第”次取得滿分，第n-l次未取得滿分，

那么前八次從未連續2次滿分和前〃-2次從未連續取得2次滿分是相同的，

這個時候從未連續2次滿分的概率是:“匕2；

所以當“≥4時,月=箱+衿

⑵

當“≥4時,TRT+*,當∕ι≥3時，”共+，…

所以因為％>0,所以a∣W*>0,所以小/，

則222.

當“≥3時，6*1-?∣K=；4+???-l~^2^p?'-'+；［")=；《，+；月I-；4-1-(2-2,

ySfτ,所以6“=B-宗-2,所以&Y=Y%<O,所以

ZZooo

53

<P,,,所以當“≥3時，*<C<2%.當〃=2,P,=-,P=-,

o24

535

-<-<2×-,所以當〃=2時，P^<P<2P,.

848lltl

所以，對任意”≥2,"∈N',P,^<Pl,<2Pt,tl

【真題訓練】

一.選擇題（共1小題）

1.（2023?上海）如圖為2017-2021年上海市貨物進出口總額的條形統計圖，則下列對于進出

B.從2018年開始，進出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小

【分析】結合統計圖中條形圖的高度、增量的變化，以及增長率的計算方法，逐項判斷即可.

【解答】解：顯然2021年相對于2020年進出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長率最

大，加寸；

統計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故加寸；

2020年相對于2019的進M總額是減少的，故戊昔；

顯然進出口總額2021年的增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年

的增量小，

且計算增長率時前者的分母還大，故2020年的增長率一定最小，。正確.

故選：C.

【點評】本題考查統計圖的識圖問題，以及增長率的計算，屬于中檔題.

二.填空題（共15小題）

2.（2022?上海）在（9+工）’2的展開式中，則含」一項的系數為66.

Y4

λX

【分析】求出展開式的通項公式，令刀的次數為-4,求出確值即可.

【解答】解：展開式的通項公式為窯產。k（√）'2-*（1）k=ckZ-4?由36-44=-4,

12X12

得44=40,

得左=I0,

即7u=C10∕4=堂一，即含LJ頁的系數為66,

1244

XX

故答案為：66.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，根據條件求出通項公式，利用X的次數建立方程

是解決本題的關鍵，是基礎題.

3.（2021?上海）已知花博會有四個不同的場館兒B,C,D,甲、乙兩人每人選2個去參觀，則

他們的選擇中，恰有一個館相同的概率為2.

-3一

【分析】根據古典概型的概率公式進行計算即可.

【解答】解：甲選2個去參觀，有cj=6種，乙選2個去參觀，有cj=6種，共有6X6=36種，

若甲乙恰有一個館相同，則選確定相同的館有C：=4種，然后從剩余3個館種選2個進行排列,

有禺=6種，共有4X6=24種，

則對應概率α=22=2,

363

故答案為：2.

3

【點評】本題主要考查概率的計算，利用古典概型的概率公式是解決本題的關鍵，是基礎題.

4.（2020?上海）已知有四個數1,2,a,b,這四個數的中位數是3,平均數是4,則ab=36.

【分析】分別由題意結合中位數，平均數計算方法得A3=13,9=3,解得a,b,再算出

2

答案即可.

【解答】解：因為四個數的平均數為4,所以a+b=4X4-1-2=13,

因為中位數是3,所以2^=3,解得a=4,代入上式得6=13-4=9,

2

所以助=36,

故答案為：36.

【點評】本題考查樣本的數字特征，中位數，平均數，屬于基礎題.

5.（2020?上海）已知∕={-3,-2,-1,0,1,2,3）,a、b≡A,則IalCI引的情況有18

種.

【分析】先討論a的取值，得到對應6的值，再整體求和即可.

【解答】解：當a=-3,0種，

當a=-2,2種，

當a=-1,4種；

當a=0,6種，

當a=l,4種；

當a=2,2種，

當a=3,0種，

故共有：2+4+6+4+2=18.

故答案為：18.

【點評】本題主要考查分類討論思想在概率中的應用，屬于基礎題目.

6.（2020?上海）已知二項式（2廣*則展開式中￡的系數為10.

【分析】由C黃2x）l（√7）4=10χ3,可得到答案.

【解答】解：Ce（2x）l（√^）4=10χ3-所以展開式中f的系數為10.

故答案為：10.

【點評】本題考查利用二項式定理求特定項的系數，屬于基礎題.

7.（2022?上海）用數字1、2、3、4組成沒有重復數字的四位數，則這些四位數中比2134大的

數字個數為17.（用數字作答）

【分析】根據題意，按四位數的千位數字分2種情況討論，由加法原理計算可得答案.

【解答】解：根據題意，用數字1、2、3、4組成沒有重復數字的四位數，

當其千位數字為3或4時，有24；=12種情況，即有12個符合題意的四位數，

當其千位數字為2時，有一6種情況，其中最小的為2134,則有6-1=5個比2134大的四位數，

故有12+5=17個比2134大的四位數，

故答案為：17.

【點評】本題考查排列組合的應用，注意分類計數原理的應用，屬于基礎題.

8.（2023?上海）已知事件力的對立事件為仄，若P（∕）=0.