2022-2023學年廣東省肇慶市河兒口中學高二數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的兩個焦點為（），（1，0），橢圓的長半軸長為2，則橢圓方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.函數有（

）A．極大值，極小值

B．極大值，極小值C．極大值，無極小值

D．極小值，無極大值參考答案：C3.直線3x+4y﹣13=0與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法判定參考答案：C【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題．【分析】由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑r，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離d，發現d=r，故直線與圓相切．【解答】解：由圓的方程得到：圓心坐標為（2，3），半徑r=1，所以圓心到直線3x+4y﹣13=0的距離d==1=r，則直線與圓的位置關系為相切．故選C【點評】此題考查了直線與圓的位置關系，以及點到直線的距離公式．其中直線與圓的位置關系的判定方法為：當0≤d＜r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d＞r時，直線與圓相離．4.設集合，，，則=（

）A． B． C．

D．參考答案：B5.已知.、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一動點，圓與的延長線、的延長線以及線段相切，若為其中一個切點，則 (

)

A． B． C．

D．與的大小關系不確定參考答案：A6.在空間直角坐標系中，已知點則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.對于不重合的兩個平面與，給定下列條件：（1）存在平面，使得與都垂直于

（2）存在平面，使得與都平行于（3）內有不共線的三點到的距離相等（4）存在異面直線，使得。其中可以判定與平行的條件有A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：B略8.

用秦九韶算法計算多項式

當時的值時，需要做乘法和加法的次數分別是（

）A．6，6

B．5,

6

C．5,

5

D．6,

5參考答案：A9.已知命題p：若a=0，則函數f（x）=cosx+ax+1是偶函數．下列四種說法：①命題p是真命題；②命題p的逆命題是真命題；③命題p的否命題是真命題；④命題p的逆否命題是真命題．其中正確說法的個數是（）A．1 B．2

C．3

D．4參考答案：略10.有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：1、2、6號選手中的一位獲得第一名；觀眾乙猜測：4、5、6號選手都不可能獲得第一名；觀眾丙猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾丁猜測：3號選手不可能得第一名.比賽后發現沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結果，此人是（

）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁參考答案：B【分析】分別假設甲、乙、丙、丁猜對比賽結果，逐一判斷得到答案.【詳解】假設甲猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設乙猜對比賽：3號得第一名，正確假設丙猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設丁猜對比賽：則觀眾甲和丙中有一人正確，矛盾故答案選B【點睛】本題考查了邏輯推理，意在考查學生的邏輯推理能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知{an}是公差不為0的等差數列，{bn}為等比數列，滿足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若對于每一個正整數n，均有an=a1+logabn，則常數a=．參考答案：【考點】等比數列的通項公式；等差數列的通項公式．【分析】設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，由題意列式求得d，q的值，則等差數列和等比數列的通項公式可求，代入an=a1+logabn，求解即可得到a值．【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，∴，解得d=6，q=9，∴an=3+6（n﹣1）=6n﹣3，，代入an=a1+logabn得，，即loga9=6，∴．故答案為：．12.已知雙曲線x2﹣=1與拋物線y2=2px（p＞0）有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為M，若|MF|=5，則點M的橫坐標為．參考答案：3【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】根據雙曲線和考查拋物線的性質，求出p，再根據拋物線的定義，到焦點的距離與到準線的距離相等，得到x0+=5，解得即可．【解答】解：∵拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F（，0）．雙曲線x2﹣=1的焦點為（2，0）或（﹣2，0），∴=2，∵兩曲線的一個交點為M，設點M的橫坐標x0，|MF|=5，∴x0+=5，∴x0=5﹣=3，故答案為：3．【點評】本題考查雙曲線和考查拋物線的焦點，以及拋物線的定義，到焦點的距離與到準線的距離相等，考查學生的計算能力，比較基礎．13.已知點與點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程為____________.參考答案：略14.已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的離心率為 。參考答案：略15.曲線f（x）=xlnx+x在點x=2處的切線方程為．參考答案：（2+ln2）x﹣y﹣2=0【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點坐標，運用點斜式方程可得切線的方程．【解答】解：f（x）=xlnx+x的導數為f′（x）=2+lnx，可得f（x）=xlnx+x在點x=2處的切線斜率為2+ln2，切點為（2，2+2ln2），則f（x）=xlnx+x在點x=2處的切線方程為y﹣（2+2ln2）=（2+ln2）（x﹣2），即為（2+ln2）x﹣y﹣2=0．故答案為：（2+ln2）x﹣y﹣2=0．16.設直線的方程是，從1，2，3，4，5這五個數中每次取兩個不同的數作為A、B的值，則所得不同直線的條數是（

）A.20 B.19 C.18 D.16參考答案：C解：由題意知本題是一個排列組合問題，∵從1，2，3，4，5這五個數中每次取兩個不同的數作為A、B的值有A52=20種結果，在這些直線中有重復的直線，當A=1，B=2時和當A=2，B=4時，結果相同，把A，B交換位置又有一組相同的結果，∴所得不同直線的條數是20-2=18，故答案為：1817.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，一條漸近線方程為2x—y=0，則雙曲線的離心率為

▲

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）試問線段上是否存在點，使與成角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

參考答案：（Ⅰ）證明：根據三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，，連結，交于點，連結．由是直三棱柱，得四邊形為矩形，為的中點．又為中點，為中位線，

∥，

因為平面，平面，所以∥平面．

（Ⅱ）由是直三棱柱，且，故兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系．

，則．所以，

設平面的法向量為，則有所以

取，得．易知平面的法向量為．

由二面角是銳角，得，即二面角的余弦值為．（Ⅲ）假設存在滿足條件的點．因為在線段上，，，故可設，其中．所以，．

因為與成角，所以．

即，解得，舍去，所以當點為線段中點時，與成角．

19.某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經過一扇智能門。首次到達此門，系統會隨機（即等可能）為你打開一個通道，若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門。再次到達智能門時，系統會隨機打開一個你未到過的通道，直至走完迷宮為止。令表示走出迷宮所需的時間。（1）求的分布列；（2）求的數學期望.參考答案：必須要走到1號門才能走出，可能的取值為1，3，4，6

，

分布列為：1346

（2）小時20.已知拋物線的焦點為F，為過定點的兩條直線.（1）若與拋物線C均無交點，且，求直線的斜率的取值范圍；（2）若與拋物線C交于兩個不同的點A，B，以AB為直徑的圓過點F，求圓的方程.參考答案：解：（1）當的斜率不存在時，的斜率為0，顯然不符合題意.所以設直線的方程為，代入拋物線得即………①由于與拋物線無交點所以即有，∴?………②同理，方程為，由與拋物線無交點可得，即………③由②③得，得或（2）設，由①得，，所以易得，由于，所以，而即，即即，得，此時圓心，則半徑所求的圓方程為

21.(12分)拋物線在第一象限內與直線相切。此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S。求使S達到最大值的a，b值，并求。參考答案：解：依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為，所以（1）又直線與拋物線相切，即它們有唯一的公共點由方程組得，其判別式必須為0，即于是，代入（1）式得：令；在時得唯一零點，且當時，；當時，。故在時，取得極大值，也是最大值，即時，S取得最大值，且略22.如圖，四棱錐中P-ABCD，四邊形ABCD為菱形，，，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）取中點連結，，先證明平面BOP，即可證明；（2）先證明兩兩垂直.以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.求出平面與平面的法向量，代入公式即可得到結果.【詳解】（1）證明：取中點連結，，，.又四邊形為菱形，，故是正三角形，又點是的中點，.又，平面，平面，又平面..（2）解：，點是的中點，.又平面平面.平面平面，平面，平面，又平面.，.又，所以兩兩垂直.以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐