2023年湖南省常德市中考數學試卷

一、選擇題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）

1.(3分)3的相反數是()

A.-3B.3C.AD.-A

33

2.(3分)下面算法正確的是()

A.(-5)+9=-(9-5)B.7-(-10)=7-10

C.(-5)X0=-5D.(-8)+(-4)=8+4

X-3<2的解集是（）

3.(3分)不等式組.

3x+l》2x

A.x<5B.lWx<5C.-l^x<5D.xW-1

4.（3分）我市“神十五”航天員張陸和他的兩位戰友已于2023年6月4日回到地球家園,

“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結構包括天和核心艙、

問天實驗艙和夢天實驗艙，假設“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進入問天實

驗艙和夢天實驗艙開展實驗的機會均等，現在要從這三名航天員中選2人各進入一個實

驗艙開展科學實驗，則甲、乙兩人同時被選中的概率為（)

夢天

實驗艙n

天和

核心艙T

r扁

A-2B.AcD.A

345

5.(3分)若/+3a-4=0,貝！12a2+6。-3=)

A.5B.1C.-1D.0

6.(3分)下列命題正確的是（）

A.正方形的對角線相等且互相平分

B.對角互補的四邊形是平行四邊形

C.矩形的對角線互相垂直

D.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

7.（3分）如圖1,在正方形A3CQ中，對角線AC、BO相交于點O,E,尸分別為A。，DO

上的一點，且所〃AO,連接ARDE.若NE4C=15°,則NA%）的度數為（）

AD

BC

A.80°B.90°C.105°D.115°

8.（3分）觀察下邊的數表（橫排為行，豎排為列），按數表中的規律，分數_匆_若排在第

2023

〃行b歹U,貝的值為（）

1

T

12

2T

123

32T

A.2003B.2004C.2022D.2023

二、填空題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）

9.（3分）計?算：（a2h）3=.

10.（3分）分解因式：cr'+2a2b+ab2=.

11.（3分）要使二次根式《4有意義，則x應滿足的條件是.

12.（3分）聯合國2022年II月15日宣布，全世界人口己達80億.將8000000000用科學

記數法表示為.

13.（3分）若關于x的一元二次方程，-2x+a=0有兩個不相等的實數根，則實數。的取值

范圍是.

14.（3分）我市體育中考有必考和選考項目，擲實心球是必考項目之一，在一次訓練中，

張華同學擲實心球10次的成績依次是（單位：米）7.6,8.5,8,6,8.5,9.1,8.5,8.4,

8.6,9.2,7.3.則張華同學擲實心球成績的眾數是.

15.（3分）如圖1,在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是A8上一點，且

AO=2,過點￡）作￡>E〃8C交AC于E,將△AOE繞A點順時針旋轉到圖2的位置.則

圖2中毀的值為_____________________

CE

16.（3分）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的

“會圓術”，如圖，俞是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是弦AB的中點，。在會上，

2

CDLA8.“會圓術”給出篇長/的近似值s計算公式：￡IL,當04=2,ZAOB

S=AB+0A

=90°時，|/-s\=.（結果保留一位小數）

三、（本大題2個小題，每小題5分，滿分10分）

17.（5分）計算：卜g）*sin60°+|2°-V3|,

18.（5分）解方程組：，-2y=l…①

l3x+4y=23…②

四、（本大題2個小題，每小題6分，滿分12分）

19.（6分）先化簡，再求值：要~小（2上［），其中x=5.

X2-4X+2

20.（6分）如圖所示，一次函數yi=-x+，〃與反比例函數上相交于點A和點8（3,-

1）.

（1）求機的值和反比例函數解析式;

（2）當時，求x的取值范圍.

y

2k

r

五、(本大題2個小題，每小題7分，滿分14分)

21.(7分)黨的二十大報告指出：“我們要全方位夯實糧食安全根基，牢牢守住十八億畝耕

地紅線.確保中國人的飯碗牢牢端在自己手中”.為了了解糧食生產情況，某校數學興趣

小組調查了某種糧大戶2018年至2022年糧食總產量及2022年糧食分季節占比情況如下：

2018與022年該種糧大戶糧食

總產量統計圖

(1)該種糧大戶2022年早稻產量是噸；

(2)2018年至2022年該種糧大戶糧食總產量的中位數是，平均數

是;

(3)該糧食大戶估計2023年的糧食總產量年增長率與2022年的相同，那么2023年該

糧食大戶的糧食總產量是多少噸？

22.(7分)“六一”兒童節將至，張老板計劃購買A型玩具和B型玩具進行銷售，若用1200

元購買A型玩具的數量比用1500元購買B型玩具的數量多20個，且一個8型玩具的進

價是一個A型玩具進價的1.5倍.

(1)求4型玩具和B型玩具的進價分別是多少？

(2)若A型玩具的售價為12元/個，B型玩具的售價為20元/個，張老板購進A,8型玩

具共75個，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進多少個？

六、（本大題2個小題，每小題8分，滿分16分）

23.（8分）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的

椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同

學小余，小陳同學先測量，根據測量結果畫出了圖1的示意圖（圖2）.在圖2中，已知

四邊形ABCD是平行四邊形，座板CD與地面MN平行，LEBC是等腰三角形且BC=

CE,ZFBA=114.2°,靠背FC=57c〃?，支架AN=43cm,扶手的一部分8E=16.4的.這

時她問小余同學，你能算出靠背頂端F點距地面（MN）的高度是多少嗎？請你幫小余同

學算出結果（最后結果保留一位小數）.（參考數據：sin65.8°=0.91,cos65.8°=0.41,

24.（8分）如圖，四邊形A8CZ）是。。的內接四邊形，AB是直徑，C是俞的中點，過點C

作CELAD交的延長線于點E.

（1）求證：CE是。。的切線；

（2）若BC=6,AC=8,求CE,OE的長.

七、（本大題2個小題，每小題10分，滿分20分）

25.（10分）如圖，二次函數的圖象與x軸交于A（-1,0）,B（5,0）兩點，與y軸交于

點C,頂點為。.。為坐標原點，tan/ACO」.

5

(1)求二次函數的表達式；

(2)求四邊形ACO8的面積；

(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內，若/ACO=NPBC,求P點的坐標.

備用圖

26.(10分)如圖，在△A8C中，AB=AC,。是BC的中點，延長D4至E,連接EB.EC.

(1)求證：

(2)在如圖1中，若AE=A￡>,其它條件不變得到圖2,在圖2中過點。作。FLAB于

F,設，是EC的中點，過點H作HG〃AB交下。于G,交DE于M.

求證：①A尸MH=AM?AE；

@GF=GD.

圖1圖2

2023年湖南省常德市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題8個小題，每小題3分，滿分24分)

1.(3分)3的相反數是()

A.-3B.3C.AD.-A

33

【分析】根據一個數的相反數就是在這個數前面添上“-”號，求解即可.

【解答】解：3的相反數是-3.

故選：A.

【點評】本題考查了相反數的意義，掌握相反數的定義是關鍵.

2.(3分)下面算法正確的是()

A.(-5)+9=-(9-5)B.7-(-10)=7-10

C.(-5)X0=-5D.(-8)4-(-4)=8+4

【分析】根據有理數的加法法則可以判斷4根據有理數的減法法則可以判斷B；根據任

何數和零相乘都得零可以判斷C;根據有理數的除法可以判斷D.

【解答】解：(-5)+9=-5+9=-(5-9),故選項A錯誤，不符合題意；

7-(-10)=7+10,故選項8錯誤，不符合題意；

(-5)X0=0W-5,故選項C錯誤，不符合題意；

(-8)4-(-4)=8+4,故選項。正確，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

3.(3分)不等式組［x-3<2的解集是()

13x+l)2x

A.x<5B.1?5C.-1?5D.xW-1

【分析】先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集.

【解答】解：卜一?2①，

l3x+l>2x②

解不等式①，得：x<5,

解不等式②，得：X2-1,

該不等式組的解集是-lWx<5,

故選：c.

【點評】本題考查解一元一次不等式組，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方

法.

4.（3分）我市“神十五”航天員張陸和他的兩位戰友已于2023年6月4日回到地球家園,

“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結構包括天和核心艙、

問天實驗艙和夢天實驗艙，假設“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進入問天實

驗艙和夢天實驗艙開展實驗的機會均等，現在要從這三名航天員中選2人各進入一個實

驗艙開展科學實驗，則甲、乙兩人同時被選中的概率為（）

夢天

實驗艙U

A.AB.Ac.AD.A

2345

【分析】列出樹狀圖，運用概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

一共有6種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時被選中的情況有2利h

甲、乙兩人同時被選中的概率為2=上.

63

故選:B.

【點評】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所

有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解

題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總

情況數之比.

5.（3分）若〃2+3“-4=0,則2a2+64-3=（）

A.5B.1C.-1D.0

【分析】將已知條件變形可得/+3〃=4,然后將2a2+6〃-3變形為2（a2+3a）-3后代

入數值計算即可.

【解答】解：..Z2+3a-4=0,

/.<22+3f7=4,

.\2a2+6a-3

=2（tz2+3a）-3

=2X4-3

=5,

故選：A.

【點評】本題考查代數式求值，將2a2+64-3變形為2（J+3a）-3是解題的關鍵.

6.（3分）下列命題正確的是（）

A.正方形的對角線相等且互相平分

B.對角互補的四邊形是平行四邊形

C.矩形的對角線互相垂直

D.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

【分析】根據正方形的性質、平行四邊形的判定、矩形的性質、菱形的判定定理判斷即

可.

【解答】解：A、正方形的對角線相等且互相平分，命題正確，符合題意；

8、對角互補的四邊形不一定是平行四邊形，故本選項命題錯誤，不符合題意；

C、矩形的對角線相等，不一定互相垂直，故本選項命題錯誤，不符合題意；

。、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故本選項命題錯誤，不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

7.（3分）如圖1,在正方形A8C。中，對角線4C、8。相交于點O,E,尸分別為A。，DO

上的一點，JiEF//AD,連接AF,DE.若N￡1C=15°,則NAE。的度數為（）

AD

A.80°B.90°C.105°D.115°

【分析】先根據正方形的性質及得NOE尸=NOC8=45°,NOFE=/OBC=

45°,進而得NAEF=NDFE=135°,OE=OF,然后證和△QFE全等得NC4E

=ZFDE=\5°,從而得NAQE=30°,最后利用三角形的內角和定理可求出NAED的

度數.

【解答】解：???四邊形A8C。為正方形，

：.OA=OD,ZOBC=ZOCB=ZOAD=ZODA=45°,

?:EF〃BC,

：.ZOEF=ZOCB=45°,ZOFE=ZOBC=45°,

：.ZOEF=ZOFE=45°,

AZAEF=ZDFE=135°,OE=OF,

?：OA=OD,

：.AE=DF,

在△人￡：尸和△￡）/￡：中，

AE=DF,NAEF=NDFE=135°,EF=FE,

：.AAEF^ADFE（SAS）,

：.ZCAF=ZFDE=15°,

：.ZADE=ZODA-ZFDE=45°-15°=30°,

AZAED=]S0°-ZOAD-ZADE=\S0°-45°-30°=105°.

故選：C.

【點評】此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理

等，解答此題的關鍵是依據正方形的性質得出判定所和△。在全等的條件.

8.（3分）觀察下邊的數表（橫排為行，豎排為列），按數表中的規律，分數/2_若排在第

2023

〃行b列，則“-b的值為（)

1

T

12

2T

123

321

A.2003B.2004C.2022D.2023

【分析】觀察數表得到〃，力的值，即可求出答案.

【解答】解：觀察數表可得，同一行的分數，分子與分母的和不變，（m，〃為正整

m

數）在第（加+〃-1）行，第〃列，

???，2-在第2042行，第20列，

2023

??.q=2042,b=20,

：.a-6=2042-20=2022,

故選：C.

【點評】本題考查數字變化類規律問題，解題的關鍵是觀察數表得到小6的值.

二、填空題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）

9.（3分）計算：（/％）3=痂3

【分析】根據積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘；塞的乘

方，底數不變指數相乘計算.

【解答】解：（/人）3=（a2）%3="6匕3.

故答案為：a6b3.

【點評】本題主要考查積的乘方的性質，幕的乘方的性質，熟練掌握運算性質是解題的

關鍵.

10.（3分）分解因式：〃3+2。26+/=a（a+b）」.

【分析】先提取公因式小再運用完全平方公式分解.

【解答】解：cr'+lcrb+atr

—a（cP+lab+b2）

=a（a+b）2.

故答案為：a（a+b）2.

【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進

行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法

分解.

II.（3分）要使二次根式有意義，則x應滿足的條件是.G4.

【分析】根據二次根式的性質，被開方數大于等于0,就可以求解.

【解答】解：根據二次根式有意義得：x-420,

解得：x24.

故答案為：x>4.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數是非負數是

解決問題的關鍵.

12.（3分）聯合國2022年11月15日宣布，全世界人口已達80億.將8000000000用科學

記數法表示為8X109.

【分析】科學記數法的表現形式為4X10〃的形式，其中lW|a|<10,”為整數，確定〃

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相

同，當原數絕對值大于等于10時，〃是正數，當原數絕對值小于1時〃是負數；由此進

行求解即可得到答案.

【解答】解：8000000000=8X109,

故答案為：8X109.

【點評】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義.

13.（3分）若關于x的一元二次方程/-2x+4=0有兩個不相等的實數根，則實數a的取值

范圍是1

【分析】由關于x的一元二次方程?-2x+a=0有兩個不相等的實數根，即可得判別式

A>0,繼而可求得〃的范圍.

【解答】解：???關于x的一元二次方程--2x+a=0有兩個不相等的實數根，

A=b2-4ac=（-2）2-4X4=4-4a>0,

解得：a<\,

的取值范圍是：a<l.

故答案為：a<1.

【點評】此題考查了一元二次方程判別式，解答的關鍵是注意掌握一元二次方程有兩個

不相等的實數根，即可得△>（）.

14.（3分）我市體育中考有必考和選考項目，擲實心球是必考項目之一，在一次訓練中,

張華同學擲實心球10次的成績依次是（單位：米）7.6,8.5,8.6,8.5,9.1,8.5,8.4,

8.6,9.2,7.3.則張華同學擲實心球成績的眾數是8.5.

【分析】根據眾數的定義，找到該組數據中出現次數最多的數即可.

【解答】解：由題意可知，數據8.5出現了三次，次數最多，所以眾數是8.5.

故答案為：8.5.

【點評】本題為統計題，考查眾數的意義，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數.求

一組數據的眾數的方法：找出頻數最多的那個數據，若幾個數據頻數都是最多且相同，

此時眾數就是這多個數據.

15.（3分）如圖1,在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是A8上一點，且

AD=2,過點。作。交AC于E,將△AOE繞A點順時針旋轉到圖2的位置.則

【分析】利用勾股定理求得線段AC的長度，利用平行線的性質和相似三角形的判定與

性質得到蛙?，由旋轉的性質得到

ABAC

ZDAB^ZEAC,再利用相似三角形的判定與性質得到四3金=2.

ECAC105

【解答】解：；NABC=90°,43=8,BC=6,

C=VAB2+BC2=V82+62

'JDE//BC,

：.△AOES"BC,

-AD_AE

"AB=AC"

；將△AOE繞A點順時針旋轉到圖2的位置，

：.ZDAB=ZEAC,

：./XADB^^AEC,

.BD_AB_8_4

"EC"AC"10"5"

故答案為：-1.

5

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，直角三角形的性質，

勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質定理是解題的關鍵.

16.（3分）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的

“會圓術”，如圖，金是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是弦AB的中點，。在會上，

"會圓術”給出篇長/的近似值s計算公式：￡D_,當OA=2,ZAOB

S=AB+0A

=90°時，\l-s\=0.1.（結果保留一位小數）

【分析】根據題意分別求出線段的長度，代入公式中求出s,得出答案.

【解答】解：如圖，連接OC,

；AO=2,ZAOB=90°,

?.OB=2,AB=2近,

；C是弦AB的中點，。在品上，CDYAB,

,.COLAB,即。、C、O共線,

,.CO=M，CD=2-近,

s-2&+-（2~^）：=3,

../=2nX2X^_七3」，

360

故答案為：0.1.

O

【點評】本題以圓為背景考察了圓的相關概念，本題難度不大，掌握垂徑定理和等腰直

角三角形是解決問題的關鍵.

三、（本大題2個小題，每小題5分，滿分10分）

1-1

17.（5分）計算：］_（5）,sin60°+|20-V3|-

【分析】根據負整數指數累，特殊銳角的三角函數值，零指數幕，絕對值性質進行計算

即可.

【解答】解：原式=1-2XY1+|1-F|

2

=1-y/~3+［~（1-V3）］

=1-Vs~（1-V3）

=1-V3-1+V3

=0.

【點評】本題考查實數的運算，實數的相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌

握.

18.（5分）解方程組：卜必=1…①

I3x+4y=23…②

【分析】利用加減消元法求解即可.

【解答】解：①X2+②得：5x=25,

解得：x=5,

將x—5代入①得：5-2y—\,

解得：）=2,

所以原方程組的解是［x=5.

Iy=2

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元

法與加減消元法.

四、（本大題2個小題，每小題6分，滿分12分）

19.（6分）先化簡，再求值：學工+（2上［），其中x=5.

X2-4X+2

【分析】利用分式的相應的法則對式子進行化簡，再代入相應的值運算即可.

【解答】解：畢-+（2月0

X2-4X+2

_x+3______.x+3

（x-2）（x+2）'x+2

x+3x+2

(x-2)(x+2)x+3

1

當x=5時,

原式=--

5-2

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

20.(6分)如圖所示，一次函數yi=-x+m與反比例函數y?相交于點4和點8(3,

2x

1).

(1)求，〃的值和反比例函數解析式;

(2)當時，求X的取值范圍.

【分析】(1)把5(3,-1)分別代入一次函數yi=-x+m與反比例函數y1，即可

2x

求出m的值和反比例函數的解析式;

(2)先求出A點坐標，再根據圖象即可得到時x的取值范圍.

【解答】解：(1)?.?一次函數yi=-x+，"與反比例函數y上相交于點A和點B(3,

2X

1),

-1=-3+m,-1=—,

3

解得，〃=2,k=-3,

，反比例函數的解析式為中=-3

x

y=-x+2

x=T或x=3

(2)解方程組13，得

y=一y=3

Xy=-l

（-1,3）,

觀察圖象可得，當時，x的取值范圍為xV-1或0<x<3.

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交

點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無

解，則兩者無交點.也考查了一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求反比例函數

的解析式，以及利用數形結合思想解不等式.

五、（本大題2個小題，每小題7分，滿分14分）

21.（7分）黨的二十大報告指出：“我們要全方位夯實糧食安全根基，牢牢守住十八億畝耕

地紅線.確保中國人的飯碗牢牢端在自己手中”.為了了解糧食生產情況，某校數學興趣

小組調查了某種糧大戶2018年至2022年糧食總產量及2022年糧食分季節占比情況如下:

2018To22年該種糧大戶糧食2022年該種糧大戶糧食總產量

總產量統計圖分季節占比統計圖

（1）該種糧大戶2022年早稻產量是10噸;

（2）2018年至2022年該種糧大戶糧食總產量的中位數是160噸，平均數是174

噸；

（3）該糧食大戶估計2023年的糧食總產量年增長率與2022年的相同，那么2023年該

糧食大戶的糧食總產量是多少噸?

【分析】（1）用該種糧大戶2022年糧食總產量乘以早稻產量所占百分比即可;

（2）根據中位數與平均數的定義求解即可；

（3）先求出2022年的糧食總產量年增長率，進而求解即可.

【解答】解：（1）250X（1-75%-21%）=10（噸）.

故答案為：10;

（2）將5個數據按從小到大的順序排列后，第三個數為160,所以中位數為160噸;

x=(120+140+160+200+250)4-5=174(噸).

故答案為：160噸；174噸；

(3)(250-200)4-200XI00%=25%,

250X(1+25%)=312.5(噸).

即2023年該糧食大戶的糧食總產量是312.5噸.

【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統

計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；

扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.也考查了平均數與中位數.

22.(7分)“六一”兒童節將至，張老板計劃購買A型玩具和B型玩具進行銷售，若用1200

元購買A型玩具的數量比用1500元購買B型玩具的數量多20個，且一個B型玩具的進

價是一個4型玩具進價的1.5倍.

(1)求A型玩具和B型玩具的進價分別是多少？

(2)若A型玩具的售價為12元/個，B型玩具的售價為20元/個，張老板購進A,8型玩

具共75個，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進多少個？

【分析】(1)設A型玩具的單價為x元/件.根據用1200元購買A型玩具的數量比用1500

元購買B型玩具的數量多20個，列方程即可得到結論；

(2)設購買4型玩具機個.根據張老板購進A,B型玩具共75個，要使總利潤不低于

300元，列不等式即可得到結論.

【解答】解：(1)設A型玩具的進價為x元/個，則B型玩具的進價是1.5x元/個.

由題意得：1200_i500=20，

x1.5x

解得：x—10,

經檢驗，x=10是原方程的解，

.?.B型玩具的進價為10X1.5=15(元/個)，

答：A型玩具的進價是10元/個，B型玩具的進價是15元/個.

(2)設購買A型玩具個，則購進8型玩具(75-加)個.

根據題意得，(12-10)m+(20-15)(75-m)>300,

解得：相<25,

答：最多可購進A型玩具25個.

【點評】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，正確地理解題意是解題

的關鍵.

六、（本大題2個小題，每小題8分，滿分16分）

23.（8分）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的

椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同

學小余，小陳同學先測量，根據測量結果畫出了圖1的示意圖（圖2）.在圖2中，已知

四邊形ABCD是平行四邊形，座板CD與地面MN平行，叢EBC是等腰三角形且BC=

CE,114.2°,靠背FC=57cm,支架AN=43cm,扶手的一部分8E=16.4cm.這

時她問小余同學，你能算出靠背頂端尸點距地面（MN）的高度是多少嗎？請你幫小余同

學算出結果（最后結果保留一位小數）.（參考數據：sin65.8°=0.91,cos65.8°=0.41,

【分析】過點/作FQLC。于點。，過C作于點H,求出FQ、的值解答即

可

【解答】解：過點尸作FQJ_CO于點Q,

N

:四邊形A8C。是平行四邊形，/尸54=114.2°,

.?.ZFC<2=180°-114.2°=65.8°,尸0=尸OsinN尸C0=57sin65.8°,

過點4作APLMN于點P,

由題意知AB〃C￡>〃MN,FC//AN,

則NANP=NFCQ=65.8°，又4N=43CTK,

；.AP=AN?sin/ANP=43sin65.8°,

過C作CHLAB于點H,

,:BC=CE,EB=\6A,

：.BH=S.2,

??.C”=B，?tanNC8H=8.2X2.23F8.29,

...靠背頂端F點距地面(MN)高度為

F0+AP-”C=57sin65.8°+43sin65.8°-18.29=100X0.91-18.29=72.71^72.7cm.

【點評】本題考查了解直角三角形，掌握平行四邊形是解題的關鍵.

24.(8分)如圖，四邊形ABC。是。。的內接四邊形，4B是直徑，C是俞的中點，過點C

作CELAD交AD的延長線于點E.

(1)求證：CE是。0的切線；

(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的長.

【分析】(1)根據等腰三角形的性質以及圓心角、弦、弧之間的關系可得NCA￡=ZOCA,

進而得到。C〃AE,再根據平行線的性質得出OCLEC即可；

(2)利用相似三角形的性質，勾股定理以及圓心角、弧、弦之間的關系進行計算即可.

【解答】(1)證明：如圖，連接OC,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

:點C是標的中點，

：.ZOAC^ZCAE,

：.ZCAE=ZOCA,

：.OC//AE,

\'AE±CE,

：.OCLCE,

：oc是半徑，

是。。的切線；

(2)解：為。。直徑，

4cB=90°,

,:BC=6,AC=8,

."3=、BC2+AC2=13

又,.?N8-C4E,NAEC=NAC8=90°,

：.AAECs^ACB,

.ECAC

-，CB=AB)

即區

610

EC卷

b

?.?點c是面的中點，即祕=而，

：.CD=BC=6,

24、218

答：

5

E

【點評】本題考查切線的判定與性質，圓周角定理，勾股定理以及圓心角、弦、弧之間

的關系，掌握切線的判定方法，圓周角定理，勾股定理以及圓心角、弦、弧之間的關系

是正確解答的前提.

七、(本大題2個小題，每小題10分，滿分20分)

25.(10分)如圖，二次函數的圖象與x軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點，與y軸交于

點C,頂點為D.O為坐標原點，tanNACO」.

5

(1)求二次函數的表達式；

(2)求四邊形ACO8的面積；

(3)尸是拋物線上的一點，且在第一象限內，若NACO=NPBC,求P點的坐標.

備用圖

【分析】(1)依據AO=1,tan/ACO=工求得C點坐標，將點A、B、C的坐標代入，

5

利用待定系數法求二次函數解析式求解；

(2)過。作。NLA8于N,作。于將拋物線解析式整理成頂點式形式求出

點。的坐標，列式計算即可得解；

(3)連接PB,過C作CE_L8C交B尸于E,過E作EF_L0C于/，利用OC=O3=5,

求得BC=5&,結合NAC0=/P8C求得CE=圾，△EFC是等腰直角三角形，得至UE

的坐標為(1,6),過8、E的直線的解析式為v=_lx4,進而聯立方程求得拋物線

民直線B