2023年遼寧單招數(shù)學(xué)模擬試題及答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的。

1已矢口命題〃：\/%￡凡<：05%41貝!]

A—ip:3xG/?,cosx>1B-n/?:Vxe/?,cos>l

C—i/?:Vxe/?,cosx>1D-1/2:VxG/?,cos>1

2若復(fù)數(shù)空三(aeR,，為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為

l-2i

A-6B6C-2D4

3下列幾何體各自的三視圖中，至少有兩個試圖相同的是

A①②③B①④C②④D①②④

4函數(shù)/(x)=Inx+2x-1零點的個數(shù)為

A4B3C2D1

x-^+5>0

5若不等式組ry>a表示的平面區(qū)域是一個三角形，貝！k得取值范圍是

0<x<3

Aa<5Ba>8C5<?<8Da<5或a>8

6過點（0,1）的直線與d+V=4相交于A、B兩點，則|AB|的最小值為

A2B2GC3D2y[5

7在三角形ABC中，A=120°,AB=5,BC=7,則三絲的值為

sinC

A|CIDi

8已知非零向量和BC滿足（/^+小>8。=0且"^^=也,則A

\AB\\AC\\AC\\BC]2

ABC為

A等邊三角形B等腰非直角三角形C非等要三角形D等腰直角三角形

9函數(shù)y=/(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=log().5/(尤)的圖像大致是

22

10若點p(2,0)到雙曲線+-4=1的一條漸近線的距離為正,則在雙曲線德離心率

ab

為

AV2B73C272D2>/3

11為了解某校高三學(xué)生的視力狀況，隨機地抽查了

該校1000名高三學(xué)生的視力狀況，得到頻率分布直

方圖，如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前

4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，

設(shè)最大頻率為a,視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)b,則

a、〃的值分別為

A2.7,780B2.7,830C0.27,780D0.27,830

12設(shè)f(x)是定義在R上的齊函數(shù)，且黨x20時/(x)=V,若對隨意的

xe[-2-V2,2+V2]不等式/(%+/)<2/(%)恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是

A[x/2,+oo）B（-oo,^2]

C[4+3V2,+oo）D（-oo-V2,]o[4+3V2,+oo）

第n卷（非選擇題共90分）

留意事項：

1第II卷包括填空題和解答題共兩個大題

2第II卷全部題目的答案考生須要用0.5毫米黑色簽字筆答在答題紙制定的位置

上

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分

113JI

13若cosa=-；ael,,7）則tana=

14在如下程序圖框中，輸入4（x）=sinx,則輸出的是

開始卜■八人i=0卜4i=i+l|HZ（x）=/；.iW[結(jié)束

15已知〃是不同的直線，a、Q是不重合的平面，給出下列命題：

①若則m平行與平面a內(nèi)的多數(shù)條直線

②若a||尸,znua,"u⑸則〃?||n

③若m±a,n±/3,m||"則a||/?

④若a\\J3,m<^a,則④10

上面命題中，真命題的序號是_______（寫出全部真命題的序號）

16在技術(shù)工程上，常用到雙曲線正弦函數(shù)5析=二;和雙曲線余弦函數(shù)

5桁=巴二，而雙曲線正弦函數(shù)和雙曲線余弦函數(shù)與我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函

2

數(shù)有關(guān)類似的性質(zhì)，比如關(guān)于正、余弦函數(shù)有sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny成立,

而關(guān)于雙曲正、余弦函數(shù)滿足的(％+丁)=5無比力+5/a5①。請你御用類比的思想，寫

出關(guān)于雙曲正弦、雙曲余弦很熟的一個新關(guān)系試

三、解答題：本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17(12分)

已知a=2(coscox,cosa)x),b=(coscox,叢sina>x)

??TT

(其中o<。<1)，函數(shù)/(尤)-。山若直線x=§是

函數(shù)/(x)圖像的一條對稱軸，

(I)試求力的值；

(II)先列表在作出函數(shù)/(%)在區(qū)間［-肛加上的圖像

18(12分)

將一顆質(zhì)地勻整的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲

兩次，

記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為。，其次次出現(xiàn)的點數(shù)為人，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+b/

(I)求事務(wù)”z-3i為實數(shù)"的概率；

(II)求事務(wù)"復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(a,b)滿足(a-2)2+b2<9的

概率

19（12分）

如圖，已知里棱錐P-ABCZ)的底面為直角梯形，

AD||BC,NBCD=90°,PA=PB,PC=PD

（D證明平面PAB_1_平面ABCD;

(II)假如4￡>=1,3。=3,。。=4,且側(cè)面「。的面積為8,求四棱錐

P—ABC。的面積。

20(12分)

已知函數(shù)/3=—414+々73+加_2元_2在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞減，在區(qū)間—［1，

43

2］上單調(diào)遞增。

(I)求實數(shù)“的值

(II)求函數(shù)/(幻的極值

21(12分)

已知數(shù)列｛。｝滿足??=2a,i+2"+2(〃>2,a,=2),

(I)求%

(II)是否存在一個實數(shù)2,使得數(shù)列1當(dāng)成等差數(shù)列，若存在，求

出A的值，若不存在，請說明理由；

(III)求數(shù)列｛%｝的前n項和Sn

22(14分)

五

如圖，在中，ZCAB=9Q°,AB=2,AC=—,一曲線E過點C,動點P

2

在曲線E上運動，并保持|PA|+1PB怕勺值不變,直線/經(jīng)過點A與曲線E交于M,N

兩點。

(I)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求取現(xiàn)E的方程；c

(II)設(shè)直線/的斜率為k,若NM8N為鈍角，求k的取值

范圍。A

參考答案

1—5CBDDC6—10BADCA

ll.C12B

13.--

3

14.cosx

15.①③④

16.M-y)=shxchy-chxsfty或ch(x+y)=chxchy+shxshy

或或s/x=1等等(寫對一個即可)

17.解：

/(X)=Q為=2(coscox,coss)?(coscox,6sincox^=2cos2cox+26cosoxsincox

JI

1+2COSGX+百sin69x=l+2sin2GX+一

I6

-------1—=kjt-\—(JiGZj

:直線T為對稱軸*（等3---62'

:.a>=-K+-,0coI.-.--k-.-.A;=0,(y=-

22332

7t

(n)由⑴知/(x)=l+2sinXd---

6

列表

x+f5_77777

0T7TT7

7777

X-17一(T的7T

y0-Il3I0

描點作圖，函數(shù)/(X)在［-肛句的圖像如圖所示。

18.(文)

解：(I)=—3i為實數(shù)，即。+初-3i=a+(b-3)i為實數(shù)，."=3

依題意。可取1,2,3,4,5,6

故出現(xiàn)b=3的概率為p=—=~

t366

即事務(wù)”=—3i為實數(shù)"的概率為，

(n)有條件可知，h的值只能去1,2,3

當(dāng)人=1時-2)248,即a可取1,2,3,4

當(dāng)〃=2時,(a-2p<5,即a可取1,2,3,4

當(dāng)力=麗,(a-2)240,即a可取2

共有8中狀況下可使事務(wù)發(fā)生，有。力的取值狀況共有36種

所以事務(wù)"點("/)滿足(a-2)2+/w9"的概率為

4411

23636364

19.（文12分）

解：(I)取AB、CD的中點E、Fo連結(jié)PE、EF、PF,由PA=PB、PC=PD

得PFLCD

EF為直角梯形的中位線，二EF±CD

D

又PFEF=F,：.CD±平面PEF

PFu平面PEF，得CD_LPE

又尸E_LAB且梯形兩腰AB、CD必交

.?.PEJ-平面ABC。

又PEu平面PAB

平面尸平面ABC。

(□)由(I)PF'8,貝US〃。。=gCO.PF=；x4xPF

PE=4

由已知，七口=；(4。+3。)=2又在直角好砂中，

PE=y/PF2-EF2=V42-22=273

即四棱錐P=ABCD的高為2百

二四棱錐P=45CD的體積

1（AD+BC）CD_

32

_1_16下）

=-x8ex2,3=----

33

20.（文12分）

17

解：(I)由函數(shù)〃月=-%4+/3+加_2%_2在區(qū)間［一1,1］上單調(diào)遞減，在

區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增,可知當(dāng)時x=l取得微小值，.??/?)=()

/'(X)-—JC*+2x?+2ax—2

_f(l)=T+2+2a—2=0,得好;

（口）由（I）知

I2

f(x)=——x4+—x3+ax2-2x-2

「43

/./z(x)=-x3+2x2+x-2=-(x-l)(x+l)(x-2)

令于(x)=0,得犬=-l,x=l,x=2

列表

X(-8,-1)-1(-1.1)1(1,2)2(2,+8)

f(x)0-00-

/(-I)■q管)=-/

小）增減Xi)?吟增

SRF

所以函數(shù)有極大值〃-l）=-⑵=-3，微小值/⑴=-三

21..（文12分）

解：（工）4=4+4+2=10,%=20+8+2=30,%=60+16+2=78,

（n）假設(shè)存在一個實數(shù)x,使得數(shù)列，子工［成等差數(shù)列，則與二

+2〃+2+丸一2。?—222-2J_、J,3妨

=—---------------------------=1+怛為常數(shù)

,2—4=0即;1=2,止匕時止2=2,亥±2—止2=1,

222

當(dāng)4=2時，數(shù)列1巴薩j■是首項為2、公差為1的等差數(shù)列

（in）｛皆｝由（n）得喑=竽+（〃一i）=〃+i

：.an=(n+l)2"-2

S?=2-2+3-22+4-23+---+(n+l)2z,-2n

2S?=2-22+3-23+4-24---+(?+l)2,,+l-4n

兩式相減得：

—S“=2?2+22+2'…+2"-(〃+1)2向+2〃=一〃-2向+2〃

n+l

：.Sn^n-2-2n

22.(文14分)

解：(I)以AB所在直線為x軸，AB的中點0為原點建立直角坐標(biāo)系，則A(-1,0)

3(1,0)

有題設(shè)可得：|PA|+1PB|=|C4|+|CB卜f