第十八章平行四邊形菱形的判定

前面我們學習平行四邊形和矩形時,都可以用性質得出相應的判定,那么我們學習菱形的判定時是否也可以反推菱形的性質來得到它的判定呢?我們大家一起來嘗試一下吧!類比導入類比導入圖形性質定理判定定理平行四邊形對邊平行兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形對邊相等兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形對角相等兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分對角線互相平分的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形類比導入圖形性質定理判定定理矩形四個角都是直角有三個角是直角的四邊形是矩形對角線相等對角線相等的平行四邊形是矩形有一個角是直角的平行四邊形是矩形菱形兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角？四條邊都相等兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角新知探究探究點1

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

如圖,用一長一短兩根木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可轉動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個四邊形.

(1)轉動木條,這個四邊形總有什么特征?它是什么四邊形?這個四邊形的對角線總是互相平分,它是平行四邊形．新知探究探究點1

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

如圖,用一長一短兩根木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可轉動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個四邊形.

(2)繼續轉動木條,觀察橡皮筋圍成的四邊形什么時候變成菱形?當這個四邊形的對角線互相垂直時變成菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO．∵BD⊥AC,∴AB=BC(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等).∴?ABCD是菱形.猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.下面我們來進行驗證：新知探究已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,且BD⊥AC.求證：?ABCD是菱形.BACDO歸納總結：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形,且BD⊥AC.

∴?ABCD是菱形．歸納總結例1

如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O,

且AB=5,AO=4,BO=3.

求證：ABCD是菱形.ABCDO證明：∵AB=5,AO=4,BO=3,∴.∴△OAB是直角三角形.

∴AC⊥BD.

∴ABCD是菱形.例題精析

1.如圖,在?ABCD中,對角線AC與BD交于點O,若添加一個條件,可推出?ABCD是菱形,則該條件可以是()A.AB=ACB.AC=BD

C.AC⊥BDD.AB⊥ACC對應訓練ABCDO2.一個平行四邊形的一條邊長是9，兩條對角線的長分別是12和，這是一個特殊的平行四邊形嗎？為什么？求出它的面積.ABCDO解：如圖，由題意得：AB=9,AC=,BD=12.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AO=AC=,BO=BD=6.∴.∴△OAB是直角三角形.

∴AC⊥BD.∴ABCD是菱形.∴.對應訓練【選自教材P58，練習第2題】新知探究探究點2

四條邊相等的四邊形是菱形.

老師拿四根長度一樣的新粉筆,首尾順次相接拼成一個四邊形,在黑板上畫出相應的圖形并標上字母(如圖),得到的四邊形ABCD是菱形嗎?猜想：四條邊相等的四邊形是菱形．四邊形ABCD是菱形.猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.下面我們來進行驗證：新知探究已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.BACD證明：∵AB=CD，BC=AD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形.歸納總結：四條邊相等的四邊形是菱形.幾何語言：∵AB=BC=CD=AD,

∴四邊形ABCD是菱形.歸納總結解：證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D

=90°,AD=BC，AB=CD.∵E，F，G，H分別是AB，BC，CD

，AD的中點，∴AH=DH=BF=CF,AE=BE=CG=DG.∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，∴HE=FE=FG=HG，∴四邊形EFGH是菱形.對應訓練1.如圖，在矩形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD

，AD的中點.求證：四邊形EFGH是菱形.FEHGCBAD2.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構成的四邊形ABCD是一個菱形嗎？為什么？對應訓練【選自教材P58，練習第3題】ABCD解：四邊形ABCD是一個菱形.理由：過點A作AE⊥BC于點E,作AF⊥CD于點F.∵AD∥BC，AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D.又∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形.EF例2

如圖，在?ABCD中,BF平分∠ABC交AD于點F,AE⊥BF于點O,交BC于點E,連接EF.(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若AE=6,BF=8,CE=3,求?ABCD的面積.例題精析ABCDOEF(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=EO,AD∥BC,∴∠EBF=∠AFB．∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF,

∴∠ABF=∠AFB,∴AB=AF．∵BO⊥AE,AO=EO,∴AB=EB,∴BE=AF．∵BE∥AF,∴四邊形ABEF是平行四邊形．又AB=AF,∴?ABEF是菱形．例題精析ABCDOEF(2)解：如圖，過點F作FG⊥BC于點G．∵四邊形ABEF是菱形,AE=6,BF=8,∴OE=AE=3,OB=BF=4.在Rt△BOE中,BE=

==5.∵S菱形ABEF=AE·BF=BE·FG,∴×6×8=5FG,∴FG=.∵BC=BE+CE=5+3=8，∴S?ABCD=BC·FG=8×=.例題精析ABCDOEFG矩形和菱形小結：課堂總結圖形概念性質定理判定定理矩形有一個角是直角的平行四邊形四個角都是直角有三個角是直角的四邊形是矩形對角線相等對角線相等的平行四邊形是矩形菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形四條邊都相等四條邊相等的四邊形是菱形兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角對角線互相垂直的平行四邊形是矩形知識結構四邊形兩條邊都相等平行四邊形對角線相等互相垂直有一組鄰邊相等菱形菱形菱形課后作業1.教材P60習題18.2第6,10題.2.《創優作業》主體本部分相應課時訓練.1.如圖，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于點C,BD平分∠ABC,且交AE于點D,連接CD.求證：四邊形ABCD是菱形.角相等邊相等菱形ABCD

平行線+角平分線

點擊查看解題過程課后作業【選自教材P60，習題18.2第6題】FDCBAOE證明：∵AC平分∠BAD,

∴∠1=∠2.

又AE∥BF,∴∠2=∠3，AD∥BC.

∴∠1=∠3.∴BA=BC.同理可得：AB=AD.

∴AD=BC.∴四邊形ABCD為平行四邊形.

∴四邊形ABCD為菱形.課后作業FDCBAO123E2.如圖，四邊形ABCD是菱形，點M，N分別在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；點F，G分別在BC，CD上，MG與NF相交于點E.求證：四邊形AMEN，EFCG都是菱形.課后作業【選自教材P61，習題18.2第10題】ABMFCGDNE課后作業證明：∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=DA=BC=CD.

∵BM=DN,

∴AB-BM=DA-DN,即AM=AN.

∵MG∥AD，NF∥AB,∴四邊形AMEN是平行四邊形.

∴?AMEN是菱形.同理可證：四邊形EFCG是菱形.ABMFCGDNE

3.已知平行四邊形ABCD,下列條件:

①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四邊形ABCD是菱形的有()A.①③B.②③C.③④D.①②③A課后作業4.如圖，在ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與AD,AC,BC相交于點E,O,F.求證：四邊形AFCD是菱形.FEDCBAO三角形全等菱形AECF

平行四邊形

邊相等角相等AECF+垂直(AC⊥EF)點擊查看解題過程課后作業證明：∵四邊形ABCD為平