三角函數(shù)的概念

【基礎(chǔ)全面練】

1.（2023?沈陽高一檢測）如果角a的終邊過點P（2sin60°,-2cos60。）,則cosa=（）

11

A.--B.-

22

C.--D.—

22

【解析】選D.由題可得因為73+1=2,所以cosa='=f.

r2

2.（2023.丹東高一檢測）平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的頂點在坐標(biāo)原點O,始邊是

%軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點尸0,1）,若tana=2則m=（）

11

A.-2B.--C.-D.2

22

【解析】選B.由題意,tana1=-2,解得m=-g.

m2

3.若cosa二手且角a的終邊經(jīng)過點尸（%,2）,則P點的橫坐標(biāo)％是（）

A.2V3B.±2V3C.-2V2D.-2V3

【解析】選D尸標(biāo)7曲題意得/聲-4且％<0,所以％=-2低

\xz+2z2

4.對于①sin0>0,②sin。<0,③cosGO,④cos（9<0,⑤tan。〉0,⑥tan。<0廁0為第二象

限角的充要條件是（）

A.①③B.③⑤C.①⑥D(zhuǎn).②④

【解析】選C0為第二象限角的充要條件是

①sin。>0,④cos9<0,⑥tan。<0中任意兩個.

【補償訓(xùn)練】

（2023?淄博高一檢測）已知角0為第四象限角，則點尸（sin仇tan。）位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解析】選C.因為。是第四象限角，所以sine<0,tan8<0,則點P（sin仇tan。）位于第

三象限.

5.（2023?棗莊高一檢測）已知角a的終邊經(jīng)過點尸（-4機,3根）（加邦）,則2sina+3cosa的

【解題指南】先求得點尸與原點間的距離『5|刑，再根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的

定義，分m>0,m<0兩種情況討論求解.

【解析】選D.由題意可得，點P與原點間的距離『J（-4m）2+（3叫2=5|刑，

r-r-|\i.3m-4m

所以sina=—,cosa=—,

5|m|5|m|

當(dāng)m>0時，貝!Jsinot=-,cosa=-3故2sina+3cosa=-^;

555

當(dāng)m<0時廁sina=-|,cosa=點故2sina+3cosa=/

6.（多選題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a頂點在原點0,以％軸非負半軸為始邊,

終邊經(jīng)過點尸（1，加）（加<0）,則下列各式的值恒大于0的是（）

C.sinacosocD.sina+cosa

【解析】選AB.由題意知sina<0,cosa>0,

tana<0.選項A,包吧>0;

tana

選項B,cosa-sinct>0;

選項C,sin?cosoc<0;

選項D,sina+cosa符號不確定.

7.（多選題）（2023.大連高一檢測）在直角坐標(biāo)系中，角a的頂點與原點0重合,

始邊與％軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（%,-2）,且tana=2,則（）

A.x=-1B.sinot—

5

八2V5卜a八

C.cosa=——D.tan-<0

52

【解析】選ABD.由題意可得tan&=及=2,則％=-l,A選項正確；

X

sina=i-等B選項正確；

J(-l)2+(-2)2

cosa=,-----------=-,C選項錯誤；

J(-l)2+(-2)25

由P(-l,-2)角a的終邊在第三象限，即。￡(2祈+兀,2析+凈(左￡2),

則衿(祈+去析+平)(心Z),

即角］的終邊在第二或第四象限，所以tan^<0,D選項正確.

8.如果cos%=|cos吐那么角％的取值范圍是.

【解析】因為cos%=|cos%|,所以cosx>0,

所以角%的終邊落在y軸或其右側(cè)，

所以2左兀-/二后2祈+出左￡Z).

答案:<%<2/CTT+pkezj

9.已知角a的終邊過點(-2,1),則sinacosa的值是.

【解析】角?的終邊過點(-2,1),sin@=春0$呼|,

V5V5

S+Axsi?nacosa=-1^x--2p=—2.

人V5V55

答案q

【補償訓(xùn)練】

在平面直角坐標(biāo)系中，以工軸的非負半軸為角的始邊,如果角a/的終邊分別與單

位圓交于點舄,II)和(-|3,那么sina-tan.

4

【解析】由任意角的正弦、正切函數(shù)的定義知,sinat|,tan徐與=1

X3--o

5

答案T

10.(2023.青島高一檢測)已知角a的終邊上一點坐標(biāo)為(-3,a),且a為第二象限

角,cosa=-|廁sina-,tana-.

【解析】因為(-3,a)為a終邊上的一點,cosa=-|,所以〒解得序=16.

5J(-3)2+?25

又因為a為第二象限角，所以。>0,即。=4.

所以sina=1,tana=-1.

答案］'I

11.已知角?的終邊上有一點尸,0尸=25,且sina=T(?i<a愣)，求點P的坐標(biāo).

【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為(%,丁)尸。尸=25,

因為兀<&告,所以x<0,y<0.

因為sina=-*所以sin即臺女三，解得尸20,因為『0尸=25,

所以J%2+y2=25,即J%2_|_(-20)2=25,又％<0,解得％=-15,

故點尸的坐標(biāo)為(-15,-20).

【綜合應(yīng)用練】

12.若a是第二象限角，則下列結(jié)論一定成立的是()

A.sin->0B.cos->0

22

ciaa

C.tan->0D.sin-cos-<0

222

【解析】選C.因為"+2E<a<7i+2也，左￡Z,所以Z.

2422

當(dāng)人為偶數(shù)時合是第一象限角;當(dāng)上為奇數(shù)時尚是第三象限角.

觀察四個選項，可知tan^>0一定成立.

【補償訓(xùn)練】

若5a<九,則點Q（cosa,sina）位于（）

A.第一象限B.第一象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解析】選B.因為5a<加，

所以cosa<0,sina>0,

所以點Q在第二象限.

13.（多選題）（2023?沈陽高一檢測）下列四個選項，正確的有（）

A.P（tana,cosa）在第三象限，則a是第二象限角

B.已知扇形OAB的面積為4,周長為10,則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為：

C.若角a的終邊經(jīng)過點（Q,2Q）（存0）,則sin&=等

D.sin3cos4tan5>0

【解析】選ABD.對于A,由題可得tana<0,則a屬于第二或第四象限,cosa<0,則a

屬于第二或第三象限或角a的終邊落在％軸的負半軸上，故a屬于第二象限,A正

確；

對于B,設(shè)扇形OAB的圓心角為a（a>0）,半徑為民圓心角對的弧長為I,

則注=4,/+2H=10,解得I=2,R=4,又/=砒即2=4%解得a=1,B正確；

對于C,根據(jù)題意可得sina-,2a=-錯誤；

］（2爐+。2追⑷5

對于D,因為3e（-,7i）,4e（7i,^）,5e（史,2兀）,故sin3>0,cos4<0,tan5<0,

故sin3cos4tan5>0,D正確.

14.已知角a的終邊過點P（-8m,-3）,Hcosa=。則m的值為,

sina-.

【解析】因為角?的終邊過點P（-8加,-3）,所以O(shè)P=V64m2+9（0為坐標(biāo)原點）.

???xi-8TH4八

因為cosot=-^===—<0.

V64m2+95

所以相>0角?是第三象限角，且可得加=點所以P(-4,-3),OP=5,sina=-|.

答案§-|

15.給出下列結(jié)論:①sin156°>0;(2)cos—<0;(3)tan2>0;(4)tan(-—)<0;@sin(--)<0.

584

其中正確結(jié)論的序號是.

【解析】因為156。是第二象限角，

所以sin156。〉0,故①正確;詈=2九+詈是第三象限角，

所以cos等<0,故②正確；

2是第二象限角，因此tan2<0,故③錯誤；

-芋=-2嶗是第四象限角,

OO

所以tan(-等)<0,故④正確；

-號匚-4兀是第二象限角，

44

所以sin(-呼)>0故⑤錯誤.

答案:①②④

16.(2023.濰坊高一檢測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中角a的始邊與％軸的非負

半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B.

⑴若點B的橫坐標(biāo)為。求tana的值；

⑵若A4O5為等邊三角形，寫出與角a終邊相同的角B的集合.

【解析】⑴因為角a的終邊與單位圓相交于%軸上方一點且可知角a縱坐標(biāo)為

正數(shù)，

設(shè)項高利）,則右）2+加=1,解得加則

根據(jù)三角函數(shù)的定義得:tana^4=-1-

%—4

5

⑵因為A4O5為等邊三角形，所以NA05=/

則與角?終邊相同的角6的集合為｛/?卜=H2kR,kez）.

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