絕密☆啟用前

沖刺2023年高考數學真題重組卷02

數學（上海地區專用）

考生注意：

1、本試卷共21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.

2、本試卷分設試卷和答題卡.試卷包括試題與答題要求，作答必須涂（選擇題）或寫（非選

擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.

3、答卷前，務必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號碼等相關信息.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1一6題每題4分，第7—12題每題5分）

考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.

sin?2

fM=

1、（2012年上海高考真題）函數T8SX的最小正周期是

【答案】萬

12乃

【詳解】/（x）=sinxcosx+2=—sin2x+2,Λ---π,

2、（2016?上海?統考高考真題）設xeR,則不等式卜一5<1的解集為.

［答案］（2.4）

［詳解］試題分析：X-3<1O-1<X-3<1=2<X<4故不等式∣χ-3∣<1的解集

為（2用

【點睛】解絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值符號，再進一步求解，本題也可利用兩邊平方

的方法.本題較為容易.

3、（2021年上號高考真題）已知/（x）=m+2,則尸⑴=.

X

【答案】-3

3

令/（x）==+2=l,解得X=T

X

所以.廣⑴=-3

21

4、（2018?上海高考真題）雙曲線H-/=1的漸近線方程為±^χ.

4-2

【考點】KC:雙曲線的性質

【專題】11：計算題.

【分析】先確定雙曲線的焦點所在坐標軸，再確定雙曲線的實軸長和虛軸長，最后確定雙曲

線的漸近線方程.

2C

【解答】解：???雙曲線2--y2=ι的a=2,b=l,焦點在X軸上

4

22

而雙曲線%U?=1的漸近線方程為y=±且X

a2b2a

2

???雙曲線5--y2=ι的漸近線方程為y=±-Lχ

故答案為：y=±*χ

【點評】本題考察了雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸近線方程,

解題時要注意先定位，再定量的解題思想

5、（2014?上海?高考真題）某校高一、高二、高三分別有學生1600名、1200名、800名，

為了解該校高中學生的牙齒健康狀況，按各年級的學生數進行分層抽樣，若高三抽取20名

學生，則高一、高二共抽取的學生數為

【答案】70

【詳解】設高一、高二抽取的人數分別為“、兒則氤=嵩喘=端，解得中皿

【考點】分層抽樣.

6、（2019年上海高考真題）在（x+?）6的展開式中，常數項等于15.

【解答】解：（x+2）6展開式的通項為“C卡令符2=0得廠=2,

故展開式的常數項為第3項：C：=15.

故答案為：15.

7、（2017?上海統考高考真題）如圖，以長方體ABC。一ABCa的頂點。為坐標原點，過

。的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若“坊的坐標為（432）,則AC的

坐標為_______

4

【答案】(T.3,2)

【詳解】如圖所示，以長方體A8CD-A4CQ的頂點。為坐標原點,

過。的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，

因為DB1的坐標為(4,3,2),所以A(4,0,0),C(0,3,2),

所以AG=(T,3,2).

8、(20"上海高考真題)在極坐標系中，直線0(2CoSo+sinθ)=2與直線。COSe=I的夾

角大小為.

【答案】areeos^?^-

5

【分析】分別將直線化為直角坐標方程，進而由斜率可求傾斜角，可得夾角.

【詳解】直線zX2cose+sinO)=2化為直角坐標系方程可得：2x÷γ=2,

直線"COSe=I化為直角坐標系方程可得:χ=lt

由2x+y=2得斜率為一2,設直線與x=l的夾角為α∈[0,1L

sin(--α)…

則tan(g-α)=2,所以=一===2,

2COS(A)δmɑ

Xsin2ɑ÷cos2a=l.解得COSa=^^

5

所以α=arccos

5

故答案為?arccos

5

9、(2015?上海?統考高考真題)在報名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務獻

血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數為(結果用數值表示).

【答案】120

【詳解】①1男4女，C；C：=45種；

②2男3女,C；C：=60種；

③3男2女,Cg=15種;

，一共有45+60+15=120種.

故答案為120.

點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分

類”、“分步”的角度入手；(1)“分析"就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，

哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是

將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題

化成幾個互相聯系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決.

10、(2018?上海高考真題)在平面直角坐標系中，已知點A(-1,0)、B(2,0),E、F

是y軸上的兩個動點，且I而I=2,則小?麗的最小值為-3.

【考點】90：平面向量數量積的性質及其運算

【專題】H：計算題；35：轉化思想；41：向量法；5Λ：平面向量及應用.

【分析】據題意可設E(0,a),F(0,b),從而得出∣a-b∣=2,即a=b+2,或b=a+2,并

可求得標?而=-2+ab,將a=b+2帶入上式即可求出血?而的最小值，同理將b=a+2帶入，

也可求出瓦?標的最小值.

【解答】解：根據題意，設E(0,a),F(0,b)；

.?.IEFI=∣a-b1=2;

a=b+2,或b=a+2；

且標=(1,a),BF=(-2,b)；

.?.AE?BF=-2+ab;

當a=b+2時,Ag-BF=-2+（b+2）?b=b2+2b-2；

???b?b-2的最小值為;

4

AE?BF的最小值為-3,同理求出b=a+2時，AE?BF的最小值為-3.

故答案為：-3.

【點評】考查根據點的坐標求兩點間的距離，根據點的坐標求向量的坐標，以及向量坐標的

數量積運算，二次函數求最值的公式.

11、（2013?上海?高考真題）在X8平面上，將兩個半圓弧（X-I）\y2=l（x≥l）和

2

（x-3）+r=l（x≥3）s兩條直線y=l和V=T圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影部分.記

D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為O,過（°/）（卜區1）作C的水平截面，所得截面面積為

4萬任了+8萬，試利用祖R恒原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出。的體積值為

【答案】乃?12?2τ+2?8?τ=2萬2+16萬

【詳解】根據提示，一個半徑為L高為2;T的圓柱平放，一個高為2,底面面積肺的長方

體，這兩個幾何體與Ω放在一起，根據祖迪原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故

它們的體積相等，即Ω的體積值為H?F?2萬+2?8萬=2/+16萬.

【考點定位】考查旋轉體組合體體積的計算，重點考查空間想象能力，屬難題.

12、（2012?上海高考真題）如圖，AO與BC是四面體ABC。中互相垂直的棱，BC=2.若

AD=2c,且AB+BD=AC+CD^2a,其中a、C為常數，則四面體ABCD的體積的最大值

是

D

B

作8EUE＞于E,連接CE,則平面8EC,所以CEU。，由題設，8與C都是在以

AQ為焦距的橢球上，且8E、CE都垂直于焦距AD所以BE=CE取BC中點尸，

連接Ef貝IJ￡7U8C,EF=2.=：3C?二:=?√3F-：,四面體ABCO的體積

「=±ΛDS.C=宇、庭=1顯然，當E在"）中點，即8是短軸端點時，BE有最大

值為b=G'-c-`所以*'a二?J￡-J-I

［評注］本題把橢圓拓展到空間，對缺少聯想思維的考生打擊甚大！當然，作為填空押軸題，

區分度還是要的，不過，就搶分而言，膽大、靈活的考生也容易找到突破點：A8=BD（同時

AC=CD）,從而致命一擊，逃出生天！

二、選擇題（本大題共有4題，滿分2（）分，每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生

應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13、（2011?上海?高考真題）若α,°eR,且必則下列不等式中，恒成立的是

??2ba

A.a2+b2＞2abB.a+h≥C.一+工＞~7=7D.—+f22

abyJabab

【答案】D

【詳解】試題分析：語、F心電所以A錯；無?-。，只能說明兩實數同號，同為正數,

ab

或同為負數，所以當。<°力<°時B錯；同時C錯；2或。都是正數，根據基本不等式

一"2^1=2

求最值，3a^V*a,故D正確.

考點：不等式的性質

14、(2012?上海?高考真題)在上山。中，若sin：H-sin：S<sin：。，則上歸。的形狀是

()

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.不能確定.

【答案】A

【詳解】由條件結合正弦定理，得人+方</,再由余弦定理，

cθsC=??≤.<0

所以三角形是鈍角三角形，故選A.

15、(2016?上海?統考高考真題)設awR,"以。：菊若對任意實數X都有

sin(3x)=sin(0r+h)

3,則滿足條件的有序實數對(a,b)的對數為.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】試題分析：sin(3x-g)=sin(3x-g+2;T)=Sin(31+等，(G.i>)=，3.三1,

Xsin(3x-y)=sin[Λ?-(3Λ-?)]=sin(-3x+?-).(α∕)=(-3,f),

注意到資[0,2萬)，只有這兩組.故選B.

【考點】三角函數

【名師點睛】本題根據三角函數的圖象和性質及三角函數的誘導公式,利用分類討論的方法,

確定得到α力的可能取值.本題主要考查考生的邏輯思維能力、基本運算求解能力、數形結合

思想、分類討論思想等.

16、(2021年上海高考真題)已知兩兩不同的％，%々，%，%為滿足

X1+%=Λ2+%=馬+%,且

xl<jl,x2<J2,X3<y3,若NM+x3y3=2x2y2>0,則下列不等式中恒成立的是（）

A.XB.XC.2D.2

22<XI+X322>XI+X3x2<xlx3x2>xlx3

［法一］設玉=s—a,X=S+α,α>O,類似定義

x2=s-h,y2=s+h,x3=s-c,y3=s+c,b,c>O,則已知條件可以按以下方式寫出：

222222222

a+c=2b,s-b>0,=≠>α+c<2Z><=>xl+x3>2x2,(α+c)<2(0+cj=4?,

剩下的選項找反例即可，故選4

［法二］設X=S-a,yl=s+a,a>O,類似定義々=S_"%=5+"看=5_。，%=5+?,

b,c>Q,則已知條件可以按以下方式寫出：a2+c2^2b2,s2-b2>0,

2222

=>α+c<2bo玉+七>2々,(α+c,)<2^0+cj=4∕7o

X］=2;y∣=6

令z-z7,對玉，％分三種不同情況依次討論

Λ2=4-√6;J2=4+√6

七=3;%=5=2X,=8-2?∕6<3+2=5,排除B;

2

=>x2=22-8√6<2x3=6,排除。;

2

x3=liy3=7=>x2=22-8√6>1×2=2,排除。；故選A

【法三：群友清序老師提供】不妨設％+y=々+%=W+%=2,

所以Xly+/%=2%%化為石（2-玉）+七（2-X3）=2x2（2-Λ2）,

設"=x（2-x）,又因為％<yi,x2<y2,x3<%（所以玉,/，芻<1?

由圖可知，

【法四：群友歐陽老師提供】設不=s-alX=s+a,a>O,

類似定義％2=s-b,y2=s+/?,b>0,x3=s-c,y3=s+c,c>0,

那么條件就可以寫為/+￠2=2/,$2一〃>0,我們有不等式

（α+cf=2（/+c2）-（β-c）2<2（?2+C2）=4ZJ2

由于α,0,c>O,開方得到=α+c<28=%+￡>2%2

所以A恒成立，B恒錯誤，選A

C選項是x；>XlX3,D選項是x2<XIX3，

實際上我們取玉=4,3=5,x2=2,y2=7,x3=1,y3=8

就4=X,Λ3,C,D同時排除了.事實上C,D選項中的大于或小于或等于都是會發生的.

【法五：特殊值法】取4.5/2.7/1.8即可

三、解答題(本大題共5小題，滿分76分)

17、(2021年上海高考真題)如圖，在正三棱錐P-ABC中，

PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=6.

(1)若尸3的中點為M,8C的中點為N,求AC與MN的夾角；

(2)求P-ABC的體積.

【解答】解：(1)M.N分別為PB,BC的中點，.?.Λ4W∕PC,

則NPe4為AC與MN所成角，

在ΔE4C中，由B4=PC=2,AC=B

:.AC與MN的夾角為arccos—；

(2)過P作底面垂線，垂直為O,則O為底面三角形的中心,

連接Ao并延長，交BCTN,則AN=AO=-ATV=I.

.?PO=y∣22-l2=√3.

/(x)=Cos2x-sin2x+-,x∈(O,zr)

18、(2017?上海?統考高考真題)已知函數

(1)求/(x)的單調遞增區間；

(2)設ABC為銳角三角形，角A所對邊α=M,角B所對邊6=5,若/(A)=O,求ABC

的面積.

【答案】(I)加；⑵M

g204

【分析】(1)利用降次公式化簡/(X),然后利用三角函數單調區間的求法，求得/(X)的單

調遞增區間.

(2)由/(A)=O求得A,用余弦定理求得J由此求得三角形ABC的面積.

【詳解】⑴依題意/(x)=CoS2尤-sin。+g=cos2x+g(x?(0,兀))，由2E-7t42x≤2Aπ

得E-W≤X≤E,令女=1得與≤X≤π.所以"X)的單調遞增區間S,pJ.

22g20

(2)由于α<b.所以A為銳角，即0<A<∕,0<2A<限由/(A)=O,得

I2τττt

cos2A÷—=0,cos2A=—,所以2A=—,A=—.

2233

由余弦定理得a?=Z??+￠2-28C?COSA,c2-5c+6=0.解得C=2或C=3.

當c=2時，COSB="+C'"=一巫<0,則B為鈍角，與已知三角形ABC為銳角三角形

2ac38

矛盾.所以c=3.

所以三角形A6C的面積為LCSinA」x5x3x且=更3

2224

【點睛】本小題主要考查二倍角公式,考查三角函數單調性的求法,考查余弦定理解三角形，

考查三角形的面積公式，屬于基礎題.

19、(2019年上海高考真題)已知數列｛%｝,q=3,前〃項和為5“.

(1)若｛%｝為等差數列，且4=15,求S“；

(2)若｛α,,｝為等比數列，且IimS“<12,求公比q的取值范圍.

zι→co

【解答】解：(1)%=4+3d=3+3d=15,.?.d=4,

CCn(n-↑)“C

.?.S=3〃H——------×4=2n2+n；

〃n2

(2)S,,=3(U),.iimS“存在，.?.-l<√<l,

1-qnτs

：.IimSn存在，一1<qV1且qw0,/.IimSn=lim—~~—=—^―,

Π→0O"T8Λ→CO]—q?—Q

333

-----<12,.,.q<一,—1V夕<O或Ovqv—,

?-q44

.?.公比4的取值范圍為(-1,O)U(0,1).

__*?

20、(2012?上海?高考真題)在平面直角坐標系QV中，已知雙曲線《二亡-J'=】.

(1)設F是C的左焦點，M是C右支上一點,若IMFI=2?,求過M點的坐標；

(2)過C的左頂點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的

面積；

(3)設斜率為同<四的直線12交C于P、Q兩點，若I與圓`?廠=】相切，

求證：QPLC)Q；

【答案】⑴陽暗土后；⑵，彳°閨LM=當；⑶見解析.

【詳解】⑴雙曲線CTf=1,左焦點R-莖①

設”(XJ),則Affψ=(x+孝『+『=(&+￥)[…2分

由M是右支上—點，知X2專，所以UFI=底+豐=20,得x=￥.

所以取喙圣母…5分

(2)左頂點'(一?°),漸近線方程：JX

過A與漸近線】=平行的直線方程為：》二上心:÷?,即)=4-L

解方程組L得I'=：,……8分

所求平行四邊形的面積為‘WQMM=4,……W分

(3)設直線PQ的方程是J=H+b因直線與已知圓相切，故點=1

即b2=K+l(*),

,y=kx+b

由二亡一｝：=1?(2-V)√-2Jtfcc-62-l=0

∫xi+?=?

設P(×l,yl)、Q(×2,y2),則∣*"：=?

,=?i>?：??l"?????;所以

j3

OPOQ=xlx1+y?y1=(1+k)x,ιx1-~kb(xl?÷?)+?

(MΛX

由(*)知Iwe@=瞰,所以OPlOQ,……16分

/(x)=Iog2p+αj

21、(2016?上海?統考高考真題)已知"GH,函數IXΛ

(1)當α=5時，解不等式"x)>0；

(2)若關于X的方程〃》)-1臉[(。-4)x+24-5]=0的解集中恰有一個元素，求”的取值

范圍；

(3)設。>0,若對任意re?1,函數〃x)在區間上/+1]上的最大值與最小值的差不超

過L求。的取值范圍.

【答案】⑴x∈^-∞-lju(O,+∞).(2)(1,2]{3,4}.(3)∣,+∞^∣.

【詳解】試題分析：(1)當α=5時，解對數不等式即可；(2)根據對數的運算法則進行

化簡，轉化為一元二次方程，討論。的取值范圍進行求解即可；(3)根據條件得到

∕G)-∕(r+l)≤l,恒成立，利用換元法進行轉化，結合對勾函數的單調性進行求解即可.

試題解析：⑴由1嗚1+5>0,得g+5>l,解得xe(v,—?

(2)由/(x)-Iogz[(a-4)x+24-5]=0得log?(,+“)-log∑[(a-4)x+2a-5]=0.

X

即Iog2(,+q)=l0g2[(a-4)x+2a-5],

X

即,+a=Ca-4)x+2tz-5>0,①

X

則([-4)X2+(α-5)X-I=O,

即(x+l)[(α-4)χ-l]=O,②，

當。=4時，方程②的解為X=-1,代入①，成立

當α=3時，方程②的解為X=-L代入①，成立

當α≠4且α≠3時，方程②的解為X=-I或x=

若X=T是方程①的解，則La=α-l>O,即a>l,

X