2023年北京東城綜合中學高二數學理調研考試含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.在AA5c中，C=90°,且CA=CB=3,點M滿足麗=痢，則南而等于

()

A.2B.3C.4

D.6

參考答案：

B

2.命題“其>0才<點的否定為

AVx>0,2r<x,B.Vx>0.2r>x,

CVr<0.2z<xJVx<0.2x>x2

參考答案：

B

3.在證明命題“對于任意角6,cos'8-sin'6=cos26”的過程：

“8S’6-(co/e+sj/6(cos'6-sin?。"cos2&-sin2d?8s26”中應用了

()

A.分析法B.綜合法

C.分析法和綜合法綜合使用D.間接證法

參考答案:

B

略

4.在等比數列?”｝中，若q2,則內勺的值為（）

A.-4B.-2C.4D.2

參考答案：

B

5.在等比數列｛%｝中，若%,%是方程X’-4x+3=Q的兩根，則為的值是

（）

A.土出B.一石

C.±3D.6

參考答案：

D

|2x+v-2^0

-x2j4>0

6.設變量<J滿足約束條件X，則目標函數］-122的最大值

為（）

A、1B、4C、5D、6

參考答案：

D

7.在空間中，過點力作平面冗的垂線,垂足為艮記3=1（#.設a，戶是兩個不同的平面,

對空間任意-點戶,01=4工（出02=/?1/?（初,恒有尸&=尸口,則（）

A.平面a與平面戶垂直B.平面a與平面尸所成的（銳）二面角為

45。

c.平面口與平面戶平行D.平面a與平面產所成的（銳）二面角為60°

參考答案：

A

8.設〃x)是定義在A上的偶函數，當x>。時，-**+x"x)>0,且/⑴=0,則不等

式d(X)>°的解集為()

A.(-1,0)U(1,+00)B.(-1,0)U(0,1)

C.(-0O,-1)U(1,+00)D.(-00,-1)U(0,1)

參考答案：

A

略

x-1

9.不等式方IWO的解集為()

B.%9.+8)

A.（一”

(-8,+8)

D.

參考答案:

A

【考點】其他不等式的解法.

【專題】計算題.

乂-112x+l#0

【分析】由不等式由T4°可得I（x-1）（2x+l）<0,由此解得不等式的解集.

x-px+lT^O1

【解答】解：由不等式2x+l”可得1（x-1）（2x+l）<0,解得-工<xWl,故不等

（-1J

式的解集為2'」，

故選A.

【點評】本題主要考查分式不等式的解法，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題.

10.把一個周長為12的長方形卷成一個圓柱，當圓柱的體積最大時，該圓柱的底面周長與

高的比為（）

A12B1：八C2:1D2:汽

參考答案：

C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知等差數列a｝、｛bj前n項的和分別是Sn、L,則

a8

b8=____________

參考答案:

【考點】等差數列的性質.

【專題】計算題；轉化思想；等差數列與等比數列.

a8Si

【分析】把b轉化為丁1求值.

【解答】解：在等差數列a｝、瓜｝中，由丁熊及同，得

15(a[+a]5)

2-

匈15aJ15(b,+bQ5152X1515

冤=怎4-----2------=T]5-3X15+1-23

故答案為:

【點評】本題考查等差數列的前n項和，考查了等差數列的性質，是基礎的計算題.

.=MX-—1

12.曲線‘smx+cosx2在點（4J處的切線的斜率為

參考答案：

1

2

略

13.把命題"?xeR,x'WO”的否定寫在橫線上.

參考答案：

?x￡R,x2>0

考點：命題的否定.

專題：簡易邏輯.

分析：直接利用特稱命題是否定是全稱命題寫出結果即可.

解答：解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題”?xGR,YWO”的否定是：

“？xdR,x2>0v.

故答案為：？xdR,x2>0.

點評：本題考查命題的否定特稱命題與全稱命題的否定關系，基本知識的考查.

14.把數列｛2〃+1｝依次按第一個括號一個數，第二個括號兩個數，第三個括號三個

數，第四個括號四個數，第五個括號一個數......循環下去，如：(3),(5,7),

(9,11,13),(15,17,19,21),則第104個括號內各數字之和為。

參考答案：

2072

略

15.已知命題"p:m<-3,q:X-m=O無實根"，則p是q

的__________________________________________________

條件。

參考答案：

充分不必要

16.如圖所示，在三棱柱/成」4笈G中，加」底面/勿，AB=BC=AAl,

/ABC=90°,點、E、戶分別是棱/反幽的中點，則直線頤和8G的夾角是

G

w

B

參考答案：

60°

17.已知(4)為等差數列，%+%=22,4=7,則%=

參考答案：

15

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知：W、艮3是同一平面內的三個向量，其中W=(1,2)

(1)若Ic|=2巡，且c〃a,求c的坐標；

一立一一一一

(2)若|E|=2,且a+2^與2a-E垂直，求a與E的夾角0.

參考答案：

【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；平面向量共線(平行)的坐標表示；數量

積表示兩個向量的夾角.

【專題】計算題.

y-2x=0

【分析】⑴設不(x,y),由耳=2遂，a,知葭2+丫2=20,由此能求出M的

坐標.

——5

(2)由(Z+2E)1(2a-b),知(a+2b)*(2a-b)=0,整理得&叱百，故

—?—?

凸一a'b一

cos=F1r7=1——

lal-Ibl,由此能求出a與b的夾角e.

【解答】解：(1)設。=(x,y),

|c|=2掂，且c〃a,

'y-2x=0

“22

X+y=20,…

fx=2'=-2

解得iy=4或1尸一4,…

故3=(2,4)或3=(-2,-4)....

(2)(a+2b)_L(2a-b),

(a+2b)*(2a_b)=0,

—*2—*-??o

即2a+3a*b-2b-0,???

.2X5+3a?b-2X)=0

——5

整理得a.bD二—一2,-

C.a*b__1

cosy----73r7-1

lai*IbI，…

又：。e[0,Ji],9=JT.…(14分)

【點評】本題考查平面向量的坐標運算和數量積判斷兩個平面垂直的條件的靈活運用，是

基礎題.解題時要認真審題，仔細解答.

19.(本小題滿分15分)

如圖所示，將一矩形花壇幺88擴建成一個更大的矩形花園幺叱"，要求B在上，

D在上“上，且對角線⑷過C點，已知AB=3米，AD=2米。

(1)要使矩形的面積大于32平方米，則4N的長應在什么范圍內？學

(2)當為"的長度是多少時，矩形工ACW的面積最小?并求最小面積；

(3)若的長度不少于6米，則當為”的長度是多少時，矩形幺■的面積最小？并求

出最小面積。

NP

參考答案:

答：解：(1)設AN=x米，(x>2)，則刖二x-2

..ND=AN

'DC-AM

?x2―x

.-.AM=^-(2分)

x-2

.?.生Xx>32

x-2

.".3X2-32X+64>0(4分)

-**(3x-8)(x-8)>0

?，?2<x<,或x>8(5分)

(2)更=3&-2產+126-2)+12(丁分)

x-2x-2

=3--2F+12&-2)+12=R(x-2)+-L1+12

x-2x-2

>2,(36+12=24

此時x=4(10分)

s=3(x-2)+」—1-12rr.

(3)x-2在傳r。，上單調遞增，則矩形面積在x=6時，取最小值

27平方米

答：(1)2<AN<2或陽>8

(2)當AN的長度是4米時，矩形AMPN的面積最小，最小面積為24平方米；

(3)當AN的長度是6米時，矩形AMP豆面積最小，

最小面積為27平方米.35分)

20.(本題12分)如圖，在三棱錐廠-期。中，九_1底面3。，4^_18。.。為力3的

中點，RC=3C=冗”.

(1)求證：Ml平面，⑵；(2)求點C到平面匕站的距離。

c

參考答案:

(1)因為冗_L平面松C,Mu平面55C,所以8，工5-------2分

又因為在A4BC中，AC=BC,￡＞為幺E的中點，所以--------4分

又於u平面火工)，CDu平面兀Z),且冗n8=(7,

所以/_L平面九D----------------------------------------6分

(2)法一：因為/_L平面冗D且4SU平面的，所以平面九DJ?平面

VAB,

又因為平面力⑦n平面匕必=匕0,

所以點C到中的距離小即為點C到平面匕超的距離，--------8分

在直角三角形比工1中，由漢)工”=VCDC

J

VCxDC：二鳳

-----Ct

VD一飛3

得T

與

所以點C到平面匕*的距離為3.-------12分

法二：設點C到平面加的距離為〃，據=--------8分

-x-aaa=-x-h=—a

即3234'’,得3

旦

所