Matlab矩陣分析與處理洪少華Email:Address:海韻園科研2＃514室特殊矩陣1.通用的特殊矩陣:

zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)

ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)

eye：產(chǎn)生單位矩陣

rand：產(chǎn)生0~1間均勻分布的隨機(jī)矩陣

randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正

態(tài)分布隨機(jī)矩陣調(diào)用格式：

zeros(m)：產(chǎn)生m×m零矩陣

zeros(m,n)：產(chǎn)生m×n零矩陣

zeros(size(A)：產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣特殊矩陣?yán)涸趨^(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣產(chǎn)生(0,1)區(qū)間均勻分布隨機(jī)矩陣使用rand函數(shù)，假設(shè)得到了一組滿足(0,1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)x，那么假設(shè)想得到在任意[a,b]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，只需用y=a+(b-a)*x算即可。

x=20+(50-20)*rand(5)特殊矩陣?yán)壕禐?.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣使用randn函數(shù)，假設(shè)已經(jīng)得到了一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)x，如果想更一般地得到均值為μ，方差為σ^2的隨機(jī)數(shù)，可用y=μ+σ*x計(jì)算。

y=0.6+sqrt(0,1)*randn(5)特殊矩陣2.用于專門學(xué)科的特殊矩陣(1)魔方矩陣：每行、每列及兩條對角線上的元素之和都相等

例：將101~125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。

Maigc(n)：生成一個(gè)n階的魔方矩陣

M=100+magic(5)特殊矩陣(2)范德蒙德矩陣

A=[1111

8421

27931

1252551]

其最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂靡粋€(gè)指定向量生成一個(gè)范德蒙德矩陣。函數(shù)vander(V)生成以向量V為根底向量的范德蒙德矩陣()特殊矩陣(3)希爾伯特矩陣(病態(tài)矩陣)

希爾伯特(Hilbert)矩陣的每個(gè)元素hilb(n)：n階的希爾伯特矩陣

invhilb(n)：求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣

H=hilb(4)H=invhilb(4)(4)特普利茨矩陣

特普利茨(Toeplitz)矩陣除第一行和第一列，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同。

toeplitz(x,y)：生成一個(gè)以x為第一列，y為第一行的特

普利茨矩陣

toeplitz(x)：用向量x生成一個(gè)對稱的特普利茨矩陣特殊矩陣(5)伴隨矩陣

設(shè)多項(xiàng)式p(x)為

稱矩陣

為多項(xiàng)式p(x)的伴隨矩陣，p(x)稱為A的特征多項(xiàng)式，方程p(x)=0的根稱為A的特征值compan(p)，其中p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。特殊矩陣(6)帕斯卡矩陣

二次項(xiàng)(x+y)n展開后系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。

pascal(n)：生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣

例：求(x+y)5的展開式：pascal(6)矩陣結(jié)構(gòu)變換1.對角陣(1)提取矩陣的對角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)提取矩陣A主對角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量

diag(A,k)：提取第k條對角線的元素。與主對角線平行，往上為第1條、第2條、…第n條對角線，往下為第-1條、第-2條、…、第-n條對角線。A=[123;456];

D=diag(A)D=[15]’

D1=diag(A,1)D=[26]’矩陣結(jié)構(gòu)變換(2)構(gòu)造對角矩陣

設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素diag(V,k)：產(chǎn)生一個(gè)n×n(n=m+|k|)的對角陣，其第k條對角線的元素即為向量V的元素。例：diag([12-14])

diag(1:3,-1)矩陣結(jié)構(gòu)變換2.三角陣(1)上三角矩陣

triu(A)：與矩陣A對應(yīng)的上三角陣，與A同型(維數(shù)相同)，且對角線上(含對角線)的元素和A對應(yīng)相等，對角線以下的元素為0。

triu(A,k)：求矩陣A的第k條對線以上的元素。(2)下三角矩陣

tril(A)tril(A,k)矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣的轉(zhuǎn)置：把源矩陣的第一行變成目標(biāo)矩陣第一列，第二行變成第二列…

轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(‘)〔虛數(shù)用(.’)〕矩陣的旋轉(zhuǎn)：以90度為單位對矩陣按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90度的k倍矩陣的左右翻轉(zhuǎn)：將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…

fliplr(A)矩陣的上下翻轉(zhuǎn)：flipud(A)矩陣求逆與線性方程組求解矩陣的逆：B=inv(A)

A*B=B*A=I矩陣的偽逆：B=pinv(A)

A*B*A=A

B*A*B=B包含n個(gè)未知數(shù)的線性方程組可表示為

Ax=B

x=inv(A)*Borx=A\B矩陣求值方陣的行列式值：det(A)將方陣A看做一個(gè)行列式，并對其按行列式的規(guī)那么求值矩陣的秩：rank(A)矩陣線性無關(guān)的行數(shù)或列數(shù)矩陣的跡：trace(A)矩陣對角線元素之和(矩陣的特征值之和)矩陣求值向量的范數(shù)

設(shè)向量2-范數(shù)1-范數(shù)∞-范數(shù)norm(V,2)或norm(V)norm(V,1)norm(V,inf)矩陣求值矩陣的范數(shù)norm(A,2)或norm(A)norm(A,1)norm(A,inf)矩陣求值求解線性方程組AX=b時(shí)，一般認(rèn)為，系數(shù)矩陣A中個(gè)別元素的微小擾動(dòng)不會(huì)引起解向量的很大變化。這樣的假設(shè)在工程應(yīng)用中非常重要，因?yàn)橐话阆禂?shù)矩陣的數(shù)據(jù)是由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得的，并非精確值，但與精確值誤差不大。當(dāng)參與運(yùn)算的系數(shù)與實(shí)際精確值誤差很小時(shí)，所獲得的解與問題的準(zhǔn)確解誤差也很小。(良性矩陣)遺憾的是上述假設(shè)并非總是正確的，對于有的系數(shù)矩陣，個(gè)別元素的微小擾動(dòng)會(huì)引起解的很大變化，在計(jì)算數(shù)學(xué)中，稱為這種矩陣是病態(tài)矩陣。良性與病態(tài)是相對的，需參數(shù)來描述：條件數(shù)矩陣求值矩陣A的條件數(shù)：A的范數(shù)與A的逆矩陣的范數(shù)的乘積，即cond(A)=||A||·||A-1||cond(A,1)：||A||1·||A-1||1cond(A)或cond(A,2)：||A||2·||A-1||2cond(A,inf)：||A||∞·||A-1||∞矩陣的特殊值與特征向量對于n階方陣A，求數(shù)λ和向量ξ，使得等式Aξ=λξ成立。滿足等式的數(shù)λ稱為A的特征值，而向量ξ稱為A的特征向量。實(shí)際上，方程Aξ=λξ和(A-λI)ξ=0是兩個(gè)等價(jià)方程。要使方程(A-λI)ξ=0有非0解ξ，必須使其系數(shù)行列式為0，即|A-λI|=0。E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量一個(gè)矩陣的特征向量有無窮多個(gè)，eig函數(shù)只找出其中的n個(gè)，A的其他特征向量均可由這n個(gè)特征向量的線性組合表示矩陣的超越函數(shù)MATLAB的數(shù)