條件概率一、選擇題1．已知P(AB)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(B|A)等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(9,10)C.eq\f(3,10) D.eq\f(1,10)[答案]A[解析]P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,5))＝eq\f(5,6).2．一個口袋內裝有2個白球和3個黑球，則先摸出一個白球后放回，再摸出1個白球的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)[答案]C[解析]先摸一個白球再放回，再摸球時，條件未發生變化，故概率仍為eq\f(2,5)，故選C.3．根據歷年氣象統計資料，某地四月份吹東風的概率為eq\f(9,30)，下雨的概率為eq\f(11,30)，既吹東風又下雨的概率為eq\f(8,30).則在吹東風的條件下下雨的概率為()A.eq\f(9,11) B.eq\f(8,11)C.eq\f(2,5) D.eq\f(8,9)[答案]D[解析]設事件A表示“該地區四月份下雨”，B表示“四月份吹東風”，則P(A)＝eq\f(11,30)，P(B)＝eq\f(9,30)，P(AB)＝eq\f(8,30)，從而吹東風的條件下下雨的概率為P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(8,30),\f(9,30))＝eq\f(8,9).4．甲、乙兩班共有70名同學，其中女同學40名．設甲班有30名同學，而女同學15名，則在碰到甲班同學時，正好碰到一名女同學的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)[答案]A[解析]設“碰到甲班同學”為事件A，“碰到甲班女同學”為事件B，則P(A)＝eq\f(3,7)，P(AB)＝eq\f(3,7)×eq\f(1,2)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,2).故選A.5．拋擲紅、藍兩個骰子，事件A＝“紅骰子出現4點”，事件B＝“藍骰子出現的點數是偶數”，則P(A|B)為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)[答案]D[解析]由題意知P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,12)，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(1,6)，故選D.6．把一枚骰子連續擲兩次，已知在第一次拋出的是偶數點的情況下，第二次拋出的也是偶數點的概率為()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)[答案]B[解析]A＝“第1次拋出偶數點”，B＝“第二次拋出偶數點”P(AB)＝eq\f(1,4)，P(A)＝eq\f(1,2)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).故選B.7．甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A＝“三個人去的景點各不相同”，B＝“甲獨自去一個景點”，則概率P(A|B)等于()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)[答案]C[解析]P(B)＝eq\f(4,9)，P(AB)＝eq\f(2,9)，所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(2,9),\f(4,9))＝eq\f(1,2).二、填空題8．若P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，則P(A|B)＝____________，P(B|A)＝____________.[答案]eq\f(2,3)eq\f(2,5)9．拋擲一枚硬幣兩次，設B為“兩次中至少一次正面向上”，A為“兩次都是正面向上”，則P(A|B)＝____________.[答案]eq\f(1,3)[解析]∵P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,4)，∴P(A|B)＝eq\f(\f(1,4),\f(3,4))＝eq\f(1,3).三、解答題10．從一副撲克牌(52張)中任意抽取一張，求：(1)這張牌是紅桃的概率是多少？(2)這張牌是有人頭像(J、Q、K)的概率是多少？(3)在這張牌是紅桃的條件下，有人頭像的概率是多少？[解析]設A表示“任取一張是紅桃”，B表示“任取一張是有人頭像的”，則(1)P(A)＝eq\f(13,52)，(2)P(B)＝eq\f(12,52).(3)設“任取一張既是紅桃又是有人頭像的”為AB，則P(AB)＝eq\f(3,52).任取一張是紅桃的條件下，也就是在13張紅桃的范圍內考慮有人頭像的概率是多少，這就是條件概率P(B|A)的取值，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,52),\f(13,52))＝eq\f(3,13).一、選擇題1．從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A＝“取到的2個數之和為偶數”，事件B＝“取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)[答案]B[解析]∵P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,4).2．一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)[答案]C[解析]從5個球中任取兩個，有Ceq\o\al(2,5)＝10種不同取法，其中兩球同色的取法有Ceq\o\al(2,3)＋1＝4種，∴P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．擲兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點，則擲出點數之和不小于10的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,5)[答案]B[解析]設擲出點數之和不小于10為事件A，第一顆擲出6點為事件B，則P(AB)＝eq\f(3,36)，P(B)＝eq\f(6,36).∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(3,36),\f(6,36))＝eq\f(1,2).故選B.二、填空題4．盒子中有20個大小相同的小球，其中紅球8個，白球12個，第1個人摸出1個紅球后，第2個人摸出1個白球的概率為____________．[答案]eq\f(12,19)[解析]記“第1個人摸出紅球”為事件A，第2個人摸出白球為事件B，則P(A)＝eq\f(8,20)，P(B|A)＝eq\f(12,19).5．(2015·湖州期末)從1～100這100個整數中，任取一數，已知取出的一數是不大于50的數，則它是2或3的倍數的概率為________．[答案]eq\f(33,50)[解析]解法1：根據題意可知取出的一個數是不大于50的數，則這樣的數共有50個，其中是2或3的倍數的數共有33個，故所求概率為eq\f(33,50).解法2：設A＝“取出的數不大于50”，B＝“取出的數是2或3的倍數”，則P(A)＝eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(33,100)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(33,50).三、解答題6．盒中有25個球，其中10個白的、5個黃的、10個黑的，從盒子中任意取出一個球，已知它不是黑球，試求它是黃球的概率．[解析]解法1：設“取出的是白球”為事件A，“取出的是黃球”為事件B，“取出的是黑球”為事件C，則P(C)＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5)，∴P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，P(Beq\x\to(C))＝P(B)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5)，∴P(B|eq\x\to(C))＝eq\f(PB\x\to(C),P\x\to(C))＝eq\f(1,3).解法2：已知取出的球不是黑球，則它是黃球的概率P＝eq\f(5,5＋10)＝eq\f(1,3).7．任意向x軸上(0,1)這一區間內投擲一個點，問：(1)該點落在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內的概率是多少？(2)在(1)的條件下，求該點落在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))內的概率．[解析]由題意可知，任意向(0,1)這一區間內投擲一點，該點落在(0,1)內哪個位置是等可能的，令A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,2)))，由幾何概型的計算公式可知．(1)P(A)＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).(2)令B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,4)<x<1))，則AB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,4)<x<\f(1,2)))，故在A的條件下B發生的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq