2022-2023學年山西省晉中市王寨中學高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若向量與的夾角為，，，則（）Ａ． Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12參考答案：C2.工人月工資（y元）與勞動生產率(千元)變化的回歸直線方程為,下列判斷不正確的是(

)A．勞動生產率為1000元時,工資為130元

B.勞動生產率提高1000元時,則工資提高80元C.勞動生產率提高1000元時,則工資提高130元

D.當月工資為210元時,勞動生產率為2000元參考答案：C3.函數的導數是（

）．A. B.C. D.參考答案：B【分析】由乘法求導法則求出函數的導數，再進行化簡即可.【詳解】由可得：故答案選B【點睛】本題考查乘積的導數法則，熟練掌握乘積的導數法則和導數公式是解決本題的關鍵，屬于基礎題.4.某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖和俯視圖中，這條棱的投影分別是長為和的線段，則的最大值為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D略5.命題“若α=，則tanα=”的逆否命題是(

)A．若α≠，則tanα≠ B．若α=，則tanα≠C．若tanα≠，則α≠ D．若tanα≠，則α=參考答案：C【考點】四種命題間的逆否關系．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】根據命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”，可寫出答案．【解答】解：命題“若α=，則tanα=”的逆否命題是“若tanα≠，則α≠”．故選：C．【點評】基礎題，掌握逆否命題定義即可得出答案．6.（5分）已知，則導函數f′（x）是（） A．僅有最小值的奇函數 B． 既有最大值，又有最小值的偶函數 C．僅有最大值的偶函數 D． 既有最大值，又有最小值的奇函數參考答案：D7.如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數據，可以估計眾數與中位數分別是()A．12.512.5

B．12.513

C．1312.5

D．1313參考答案：B8.已知實數，且滿足，，則的最大值為（

）A．1

B．2

C．

D．參考答案：A略9.已知，，，則，，的大小順序為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.曲線上一點P處的切線的斜率為5，則點P的坐標為

（

▲

）A．（3，-10）

B．（3，10）

C.（2，-8）

D．（2，8）

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列的前項和為則數列的通項公式為=____

.參考答案：

12.向量與的夾角為θ，｜｜=2，｜｜=1，=t，=（1﹣t），｜｜在t0時取得最小值，當0＜t0＜時，夾角θ的取值范圍是

．參考答案：【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【分析】由向量的運算可得∴｜｜2=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函數可得0＜＜，解不等式可得cosθ的范圍，可得夾角的范圍．【解答】解：由題意可得=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t）﹣t，∴｜｜2==（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函數知當上式取最小值時，t0=，由題意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜故答案為：13.若某同學把英語單詞“”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤寫法共有

種（以數字作答）.參考答案：35914.已知數列的前n項和為，且，則

參考答案：略15.在平面直角坐標系中，動點P(x，y)到兩條坐標軸的距離之和等于它到點(1,1)的距離，記點P的軌跡為曲線W，給出下列四個結論：①曲線W關于原點對稱；②曲線W關于直線y＝x對稱；③曲線W與x軸非負半軸，y軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于；④曲線W上的點到原點距離的最小值為其中，所有正確結論的序號是________；參考答案：②③④

16.已知等式成立，則的值等于

.

參考答案：017.已知圓，定點，點P為圓M上的動點，點G在MP上，點Q在NP上，且滿足，，則點G分軌跡方程為__________．參考答案：解：由為中點可得，，則，而點坐標為，則，則，且，，則軌跡方程為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓，（Ⅰ）若直線過定點(1，0)，且與圓相切，求的方程；(Ⅱ)若圓的半徑為3，圓心在直線：上，且與圓外切，求圓的方程．參考答案：（Ⅰ）①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意．②若直線斜率存在，設直線為，即．由題意知，圓心（3，4）到已知直線的距離等于半徑2，即

解之得．所求直線方程是，．（Ⅱ）依題意設，又已知圓的圓心，

由兩圓外切，可知∴可知＝，解得，∴

，∴所求圓的方程為

．略19.已知函數．（Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求正實數p的取值范圍；（Ⅲ）設函數，若在上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實數p的取值范圍．參考答案：【考點】6K：導數在最大值、最小值問題中的應用；6A：函數的單調性與導數的關系；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（I）求出函數在x=1處的值，求出導函數，求出導函數在x=1處的值即切線的斜率，利用點斜式求出切線的方程．（II）求出函數的導函數，令導函數大于等于0恒成立，構造函數，求出二次函數的對稱軸，求出二次函數的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范圍．（III）通過g（x）的單調性，求出g（x）的最小值，通過對p的討論，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范圍．【解答】解：（I）當p=2時，函數，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2﹣2=2．從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣0=2（x﹣1）即y=2x﹣2．（II）．令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需h（x）≥0在（0，+∞）內恒成立．由題意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴，只需，即p≥1時，h（x）≥0，f'（x）≥0∴f（x）在（0，+∞）內為增函數，正實數p的取值范圍是上是減函數，∴x=e時，g（x）min=2；x=1時，g（x）max=2e，即g（x）∈，當p＜0時，h（x）=px2﹣2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在y軸的左側，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈內是減函數．當p=0時，h（x）=﹣2x，因為x∈，所以h（x）＜0，，此時，f（x）在x∈內是減函數．∴當p≤0時，f（x）在上單調遞減?f（x）max=f（1）=0＜2，不合題意；當0＜p＜1時，由，所以．又由（2）知當p=1時，f（x）在上是增函數，∴，不合題意；當p≥1時，由（2）知f（x）在上是增函數，f（1）=0＜2，又g（x）在上是減函數，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈，而，g（x）min=2，即，解得綜上所述，實數p的取值范圍是．20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點M，N分別為BC，PA的中點，且，.（1）證明：MN∥平面PCD；（2）設直線AC與平面PBC所成角為α，當α在內變化時，求二面角P-BC-A的取值范圍.參考答案：(1)取PD得中點Q,連接NQ,CQ,因為點M,N分別為BC,PA的中點，，，(2)連接PM,因為,點M為BC的中點，則，以AB,AC,AP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0),M(),P()，設平面PBC的一個法向量為=(x,y,z),則由，可取,.

21.(本題滿分14分)如圖所示，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，應沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？

參考答案：解：設用t小時，甲船能追上乙船，且在C處相遇.

在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，∠ABC=1200，

根據余弦定理得，AC2=AB2+BC2－2AB·Bccos∠ABC

即(28t)2=(20t)2+(20t)2－2×9×20tcos1200，

整理得，128t2－60t－27=0，(4t－3)(32t+9)=0，

解得或(舍).所以AC=21，BC=15，

在△ABC中，，所以∠BAC=380，所以甲船應沿南偏西70方向行駛.答：甲船應沿南偏西70方向，用